【分享】常用算法設(shè)計方法 5Q地帶

liuye 2006-07-27

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【分享】常用算法設(shè)計方法

QUOTE:

一、迭代法

迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：

（1）選一個方程的近似根，賦給變量x0；

（2）將x0的值保存于變量x1，然后計算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；

（3）當(dāng)x0與x1的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復(fù)步驟（2）的計算。

若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：

【算法】迭代法求方程的根

{ x0=初始近似根；

do {

x1=x0；

x0=g(x1)； /*按特定的方程計算新的近似根*/

} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；

printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；

}

迭代算法也常用于求方程組的根，令

X=（x0，x1，…，xn-1）

設(shè)方程組為：

xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)

則求方程組根的迭代算法可描述如下：

【算法】迭代法求方程組的根

{ for (i=0;i<n;i++)

x=初始近似根;

do {

for (i=0;i<n;i++)

y=x;

for (i=0;i<n;i++)

x=gi(X);

for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)

if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；

} while (delta>Epsilon)；

for (i=0;i<n;i++)

printf(“變量x[%d]的近似根是 %f”，I，x)；

printf(“\n”)；

}

具體使用迭代法求根時應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：

（1）如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對迭代的次數(shù)給予限制；

（2）方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導(dǎo)致迭代失敗

QUOTE:

二、窮舉搜索法

窮舉搜索法是對可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解。

【問題】將A、B、C、D、E、F這六個變量排成如圖所示的三角形，這六個變量分別取[1，6]上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個解。

程序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見下面的程序。

【程序1】

# include

void main()

{ int a,b,c,d,e,f;

for (a=1;a<=6;a++)

for (b=1;b<=6;b++) {

if (b==a) continue;

for (c=1;c<=6;c++) {

if (c==a)||(c==b) continue;

for (d=1;d<=6;d++) {

if (d==a)||(d==b)||(d==c) continue;

for (e=1;e<=6;e++) {

if (e==a)||(e==b)||(e==c)||(e==d) continue;

f=21-(a+b+c+d+e);

if ((a+b+c==c+d+e))&&(a+b+c==e+f+a)) {

printf(“%6d,a);

printf(“%4d%4d”,b,f);

printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);

scanf(“%*c”);

}

按窮舉法編寫的程序通常不能適應(yīng)變化的情況。如問題改成有9個變量排成三角形，每條邊有4個變量的情況，程序的循環(huán)重數(shù)就要相應(yīng)改變。

對一組數(shù)窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個排列看作一個長整數(shù)，則所有排列對應(yīng)著一組整數(shù)。將這組整數(shù)按從小到大的順序排列排成一個整數(shù)，從對應(yīng)最小的整數(shù)開始。按數(shù)列的遞增順序逐一列舉每個排列對應(yīng)的每個整數(shù)，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個排列找出對應(yīng)數(shù)列的下一個排列可在當(dāng)前排列的基礎(chǔ)上作部分調(diào)整來實現(xiàn)。倘若當(dāng)前排列為1，2，4，6，5，3，并令其對應(yīng)的長整數(shù)為124653。要尋找比長整數(shù)124653更大的排列，可從該排列的最后一個數(shù)字順序向前逐位考察，當(dāng)發(fā)現(xiàn)排列中的某個數(shù)字比它前一個數(shù)字大時，如本例中的6比它的前一位數(shù)字4大，這說明還有對應(yīng)更大整數(shù)的排列。但為了順序從小到大列舉出所有的排列，不能立即調(diào)整得太大，如本例中將數(shù)字6與數(shù)字4交換得到的排列126453就不是排列124653的下一個排列。為了得到排列124653的下一個排列，應(yīng)從已經(jīng)考察過的那部分?jǐn)?shù)字中選出比數(shù)字大，但又是它們中最小的那一個數(shù)字，比如數(shù)字5，與數(shù)字4交換。該數(shù)字也是從后向前考察過程中第一個比4大的數(shù)字。5與4交換后，得到排列125643。在前面數(shù)字1，2，5固定的情況下，還應(yīng)選擇對應(yīng)最小整數(shù)的那個排列，為此還需將后面那部分?jǐn)?shù)字的排列順序顛倒，如將數(shù)字6，4，3的排列順序顛倒，得到排列1，2，5，3，4，6，這才是排列1，2，4，6，5，3的下一個排列。按以上想法編寫的程序如下。

【程序2】

# include

# define SIDE_N 3

# define LENGTH 3

# define VARIABLES 6

int A,B,C,D,E,F;

int *pt[]={&A,&B,&C,&D,&E,&F};

int *side[SIDE_N][LENGTH]={&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A};

int side_total[SIDE_N];

main{}

{ int i,j,t,equal;

for (j=0;j<variables;j++)

*pt[j]=j+1;

while(1)

{ for (i=0;i<side_n;i++)

{ for (t=j=0;j<length;j++)

t+=*side[j];

side_total=t;

}

for (equal=1,i=0;equal&&i<side_n-1;i++)

if (side_total!=side_total[i+1] equal=0;

if (equal)

{ for (i=1;i<variables;i++)

printf(“%4d”,*pt);

printf(“\n”);

scanf(“%*c”);

}

for (j=VARIABLES-1;j>0;j--)

if (*pt[j]>*pt[j-1]) break;

if (j==0) break;

for (i=VARIABLES-1;i>=j;i--)

if (*pt>*pt[i-1]) break;

t=*pt[j-1];* pt[j-1] =* pt; *pt=t;

for (i=VARIABLES-1;i>j;i--,j++)

{ t=*pt[j]; *pt[j] =* pt; *pt=t; }

}

從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來確定所有的候選解。下面再用一個示例來加以說明。

【問題】背包問題

問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。

設(shè)n個物品的重量和價值分別存儲于數(shù)組w[ ]和v[ ]中，限制重量為tw?？紤]一個n元組（x0，x1，…，xn-1），其中xi=0 表示第i個物品沒有選取，而xi=1則表示第i個物品被選取。顯然這個n元組等價于一個選擇方案。用枚舉法解決背包問題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)上述方法，我們只要枚舉所有的n元組，就可以得到問題的解。

顯然，每個分量取值為0或1的n元組的個數(shù)共為2n個。而每個n元組其實對應(yīng)了一個長度為n的二進(jìn)制數(shù)，且這些二進(jìn)制數(shù)的取值范圍為0～2n-1。因此，如果把0～2n-1分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個n元組。

【算法】

maxv=0;

for (i=0;i<2n;i++)

{ B[0..n-1]=0;

把i轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，存儲于數(shù)組B中;

temp_w=0;

temp_v=0;

for (j=0;j<n;j++)

{ if (B[j]==1)

{ temp_w=temp_w+w[j];

temp_v=temp_v+v[j];

}

if ((temp_w<=tw)&&(temp_v>maxv))

{ maxv=temp_v;

保存該B數(shù)組；

}

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[樓主] | Posted:2006-07-27 15:50|

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QUOTE:

三、遞推法

遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時，解或為已知，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，…，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解。

【問題】階乘計算

問題描述：編寫程序，對給定的n（n≦100），計算并輸出k的階乘k?。╧=1，2，…，n）的全部有效數(shù)字。

由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲長整數(shù)，存儲長整數(shù)數(shù)組的每個元素只存儲長整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a[ ]存儲：

N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100

并用a[0]存儲長整數(shù)N的位數(shù)m，即a[0]=m。按上述約定，數(shù)組的每個元素存儲k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個元素、第三個元素……。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲形式為：

3 0 2 1 ……

首元素3表示長整數(shù)是一個3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。

計算階乘k！可采用對已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計算5！，可對原來的24累加4次24后得到120。細(xì)節(jié)見以下程序。

# include

# define MAXN 1000

void pnext(int a[ ],int k)

{ int *b,m=a[0],i,j,r,carry;

b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1));

for ( i=1;i<=m;i++) b=a;

for ( j=1;j<=k;j++)

{ for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)

{ r=(i<a[0]?a+b:a)+carry;

a=r%10;

carry=r/10;

}

if (carry) a[++m]=carry;

}

free(b);

a[0]=m;

}

void write(int *a,int k)

{ int i;

printf(“%4d！=”,k);

for (i=a[0];i>0;i--)

printf(“%d”,a);

printf(“\n\n”);

}

void main()

{ int a[MAXN],n,k;

printf(“Enter the number n: “);

scanf(“%d”,&n);

a[0]=1;

a[1]=1;

write(a,1);

for (k=2;k<=n;k++)

{ pnext(a,k);

write(a,k);

getchar();

}

QUOTE:

四、遞歸

遞歸是設(shè)計和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進(jìn)一步介紹其他算法設(shè)計方法之前先討論它。

能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構(gòu)造出大問題的解，并且這些規(guī)模較小的問題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問題，并從這些更小問題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時，能直接得解。

【問題】編寫計算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第n項函數(shù)fib（n）。

斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、……，即：

fib(0)=0;

fib(1)=1;

fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當(dāng)n>1時）。

寫成遞歸函數(shù)有：

int fib(int n)

{ if (n==0) return 0;

if (n==1) return 1;

if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);

}

遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。

在回歸階段，當(dāng)獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。

在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。

由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復(fù)計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當(dāng)某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n項的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。

【問題】組合問題

問題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：（1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1

（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1

（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1

（10）3、2、1

分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、……、m中任取k個數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m-1個數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個數(shù)中取k-1個數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a[ ]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在a[k]中，當(dāng)一個組合求出后，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、……、k，函數(shù)將確定組合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。

【程序】

# include

# define MAXN 100

int a[MAXN];

void comb(int m,int k)

{ int i,j;

for (i=m;i>=k;i--)

{ a[k]=i;

if (k>1)

comb(i-1,k-1);

else

{ for (j=a[0];j>0;j--)

printf(“%4d”,a[j]);

printf(“\n”);

}

void main()

{ a[0]=3;

comb(5,3);

}

【問題】背包問題

設(shè)n件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價值最大的方案于數(shù)組option[ ]，該方案的總價值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop[ ]。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價值的期望值也小于前面方案的總價值maxv時，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個方案。因為當(dāng)方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數(shù)后找到的方案一定會比前面的方案更好。

對于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：

（1）考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。

（2）考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。

按以上思想寫出遞歸算法如下：

try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價值tv)

{ /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if(包含物品i是可以接受的)

{ 將物品i包含在當(dāng)前方案中；

if (i<n-1)

try(i+1,tw+物品i的重量,tv);

else

/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/

以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存;

恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；

}

/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if (不包含物品i僅是可男考慮的)

if (i<n-1)

try(i+1,tw,tv-物品i的價值)；

else

/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/

以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存;

}

為了理解上述算法，特舉以下實例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價值見表：

物品 0 1 2 3

重量 5 3 2 1

價值 4 4 3 1

并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個分支。

按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：

【程序】

# include

# define N 100

double limitW,totV,maxV;

int option[N],cop[N];

struct { double weight;

double value;

}a[N];

int n;

void find(int i,double tw,double tv)

{ int k;

/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if (tw+a.weight<=limitW)

{ cop=1;

if (i<n-1) ="" find(i+1,tw+a.weight,tv);=""

else

{ for (k=0;k<n;k++)

option[k]=cop[k];

maxv=tv;

}

cop=0;

}

/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

if (tv-a.value>maxV)

if (i<n-1) ="" find(i+1,tw,tv-a.value);=""

else

{ for (k=0;k<n;k++)

option[k]=cop[k];

maxv=tv-a.value;

}

void main()

{ int k;

double w,v;

printf(“輸入物品種數(shù)\n”);

scanf((“%d”,&n);

printf(“輸入各物品的重量和價值\n”);

for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)

{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v);

a[k].weight=w;

a[k].value=v;

totV+=V;

}

printf(“輸入限制重量\n”);

scanf(“%1f”,&limitV);

maxv=0.0;

for (k=0;k<n;k++) ="" cop[k]="0;"

find(0,0.0,totV);

for (k=0;k<n;k++)

if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);

printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv);

}

作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個物品。

【程序】

# include

# define N 100

double limitW;

int cop[N];

struct ele { double weight;

double value;

} a[N];

int k,n;

struct { int flg;

double tw;

double tv;

}twv[N];

void next(int i,double tw,double tv)

{ twv.flg=1;

twv.tw=tw;

twv.tv=tv;

}

double find(struct ele *a,int n)

{ int i,k,f;

double maxv,tw,tv,totv;

maxv=0;

for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)

totv+=a[k].value;

next(0,0.0,totv);

i=0;

While (i>=0)

{ f=twv.flg;

tw=twv.tw;

tv=twv.tv;

switch(f)

{ case 1: twv.flg++;

if (tw+a.weight<=limitW)

if (i<n-1)

{ next(i+1,tw+a.weight,tv);

i++;

}

else

{ maxv=tv;

for (k=0;k<n;k++)

cop[k]=twv[k].flg!=0;

}

break;

case 0: i--;

break;

default: twv.flg=0;

if (tv-a.value>maxv)

if (i<n-1)

{ next(i+1,tw,tv-a.value);

i++;

}

else

{ maxv=tv-a.value;

for (k=0;k<n;k++)

cop[k]=twv[k].flg!=0;

}

break;

}

return maxv;

}

void main()

{ double maxv;

printf(“輸入物品種數(shù)\n”);

scanf((“%d”,&n);

printf(“輸入限制重量\n”);

scanf(“%1f”,&limitW);

printf(“輸入各物品的重量和價值\n”);

for (k=0;k<n;k++)

scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);

maxv=find(a,n);

printf(“\n選中的物品為\n”);

for (k=0;k<n;k++)

if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);

printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv);

}

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[1 樓] | Posted:2006-07-27 15:52|

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QUOTE:

五、回溯法

回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。

1、回溯法的一般描述

可用回溯法求解的問題P，通常要能表達(dá)為：對于已知的由n元組（x1，x2，…，xn）組成的一個狀態(tài)空間E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，給定關(guān)于n元組中的一個分量的一個約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個解。

解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對E中的所有n元組逐一地檢測其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個解。但顯然，其計算量是相當(dāng)大的。

我們發(fā)現(xiàn)，對于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，…，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，…，xi的所有約束意味著j（jj。因此，對于約束集D具有完備性的問題P，一旦檢測斷定某個j元組（x1，x2，…，xj）違反D中僅涉及x1，x2，…，xj的一個約束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不會是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測它們?；厮莘ㄕ轻槍@類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法。

回溯法首先將問題P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T，把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造：

設(shè)Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。從根開始，讓T的第I層的每一個結(jié)點都有mi個兒子。這mi個兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi) ，i=0，1，2，…，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個n元組（x1，x2，…，xn）對應(yīng)于T中的一個葉子結(jié)點，T的根到這個葉子結(jié)點的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，對于任意的0≤i≤n-1，E中n元組（x1，x2，…，xn）的一個前綴I元組（x1，x2，…，xi）對應(yīng)于T中的一個非葉子結(jié)點，T的根到這個非葉子結(jié)點的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個n元組的空前綴（），對應(yīng)于T的根。

因而，在E中尋找問題P的一個解等價于在T中搜索一個葉子結(jié)點，要求從T的根到該葉子結(jié)點的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個權(quán)x1，x2，…，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、…，前綴I元組（x1，x2，…，xi），…，直到i=n為止。

在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個結(jié)點被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點；樹T上的任意一個葉子結(jié)點被稱為問題P的一個解狀態(tài)結(jié)點；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個葉子結(jié)點被稱為問題P的一個回答狀態(tài)結(jié)點，它對應(yīng)于問題P的一個解。

【問題】組合問題

問題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個數(shù)的所有組合。

例如n=5，r=3的所有組合為：

（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5

（4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5

（7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5

（10）3、4、5

則該問題的狀態(tài)空間為：

E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 } 其中：S={1，2，3，4，5}

約束集為： x1<x2<x3

顯然該約束集具有完備性。

2、回溯法的方法

對于具有完備約束集D的一般問題P及其相應(yīng)的狀態(tài)空間樹T，利用T的層次結(jié)構(gòu)和D的完備性，在T中搜索問題P的所有解的回溯法可以形象地描述為：

從T的根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略，系統(tǒng)地搜索以其為根的子樹中可能包含著回答結(jié)點的所有狀態(tài)結(jié)點，而跳過對肯定不含回答結(jié)點的所有子樹的搜索，以提高搜索效率。具體地說，當(dāng)搜索按深度優(yōu)先策略到達(dá)一個滿足D中所有有關(guān)約束的狀態(tài)結(jié)點時，即“激活”該狀態(tài)結(jié)點，以便繼續(xù)往深層搜索；否則跳過對以該狀態(tài)結(jié)點為根的子樹的搜索，而一邊逐層地向該狀態(tài)結(jié)點的祖先結(jié)點回溯，一邊“殺死”其兒子結(jié)點已被搜索遍的祖先結(jié)點，直到遇到其兒子結(jié)點未被搜索遍的祖先結(jié)點，即轉(zhuǎn)向其未被搜索的一個兒子結(jié)點繼續(xù)搜索。

在搜索過程中，只要所激活的狀態(tài)結(jié)點又滿足終結(jié)條件，那么它就是回答結(jié)點，應(yīng)該把它輸出或保存。由于在回溯法求解問題時，一般要求出問題的所有解，因此在得到回答結(jié)點后，同時也要進(jìn)行回溯，以便得到問題的其他解，直至回溯到T的根且根的所有兒子結(jié)點均已被搜索過為止。

例如在組合問題中，從T的根出發(fā)深度優(yōu)先遍歷該樹。當(dāng)遍歷到結(jié)點（1，2）時，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結(jié)點，則應(yīng)繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到葉子結(jié)點（1，2，5）時，由于它已是一個回答結(jié)點，則保存（或輸出）該結(jié)點，并回溯到其雙親結(jié)點，繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到結(jié)點（1，5）時，由于它已是葉子結(jié)點，但不滿足約束條件，故也需回溯。

3、回溯法的一般流程和技術(shù)

在用回溯法求解有關(guān)問題的過程中，一般是一邊建樹，一邊遍歷該樹。在回溯法中我們一般采用非遞歸方法。下面，我們給出回溯法的非遞歸算法的一般流程：

在用回溯法求解問題，也即在遍歷狀態(tài)空間樹的過程中，如果采用非遞歸方法，則我們一般要用到棧的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這時，不僅可以用棧來表示正在遍歷的樹的結(jié)點，而且可以很方便地表示建立孩子結(jié)點和回溯過程。

例如在組合問題中，我們用一個一維數(shù)組Stack[ ]表示棧。開始棧空，則表示了樹的根結(jié)點。如果元素1進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1）結(jié)點；這時如果元素2進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2）結(jié)點；元素3再進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2，3）結(jié)點。這時可以判斷它滿足所有約束條件，是問題的一個解，輸出（或保存）。這時只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)點（1，2，3）回溯到結(jié)點（1，2）。

【問題】組合問題

問題描述：找出從自然數(shù)1，2，…，n中任取r個數(shù)的所有組合。

采用回溯法找問題的解，將找到的組合以從小到大順序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，組合的元素滿足以下性質(zhì)：

（1） a[i+1]>a，后一個數(shù)字比前一個大；

（2） a-i<=n-r+1。

按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下：

首先放棄組合數(shù)個數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個候選解，因a[2]上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對5不能再作調(diào)整，就要從a[2]回溯到a[1]，這時，a[1]=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a[0]再回溯時，說明已經(jīng)找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下：

【程序】

# define MAXN 100

int a[MAXN];

void comb(int m,int r)

{ int i,j;

i=0;

a=1;

do {

if (a-i<=m-r+1

{ if (i==r-1)

{ for (j=0;j<r;j++)

printf(“%4d”,a[j]);

printf(“\n”);

}

a++;

continue;

}

else

{ if (i==0)

return;

a[--i]++;

}

} while (1)

}

main()

{ comb(5,3);

}

【問題】填字游戲

問題描述：在3×3個方格的方陣中要填入數(shù)字1到N（N≥10）內(nèi)的某9個數(shù)字，每個方格填一個整數(shù)，似的所有相鄰兩個方格內(nèi)的兩個整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個要求的各種數(shù)字填法。

可用試探發(fā)找到問題的解，即從第一個方格開始，為當(dāng)前方格尋找一個合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前方格找到一個合理的可填證書，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個解，將該解輸出，并調(diào)整第九個的填入的整數(shù)，尋找下一個解。

為找到一個滿足要求的9個數(shù)的填法，從還未填一個數(shù)開始，按某種順序（如從小到大的順序）每次在當(dāng)前位置填入一個整數(shù)，然后檢查當(dāng)前填入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整數(shù)。如對當(dāng)前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能滿足要求，就得回退到前一方格，并調(diào)整前一方格填入的整數(shù)。如此重復(fù)執(zhí)行擴(kuò)展、檢查或調(diào)整、檢查，直到找到一個滿足問題要求的解，將解輸出。

回溯法找一個解的算法：

{ int m=0,ok=1;

int n=8;

do{

if (ok) 擴(kuò)展;

else 調(diào)整;

ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性;

} while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))

if (m!=0) 輸出解;

else 輸出無解報告；

}

如果程序要找全部解，則在將找到的解輸出后，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整最后位置上填放的整數(shù)，試圖去找下一個解。相應(yīng)的算法如下：

回溯法找全部解的算法：

{ int m=0,ok=1;

int n=8;

do{

if (ok)

{ if (m==n)

{ 輸出解；

調(diào)整；

}

else 擴(kuò)展;

}

else 調(diào)整;

ok=檢查前m個整數(shù)填放的合理性;

} while (m!=0);

}

為了確保程序能夠終止，調(diào)整時必須保證曾被放棄過的填數(shù)序列不會再次實驗，即要求按某種有許模型生成填數(shù)序列。給解的候選者設(shè)定一個被檢驗的順序，按這個順序逐一形成候選者并檢驗。從小到大或從大到小，都是可以采用的方法。如擴(kuò)展時，先在新位置填入整數(shù)1，調(diào)整時，找當(dāng)前候選解中下一個還未被使用過的整數(shù)。將上述擴(kuò)展、調(diào)整、檢驗都編寫成程序，細(xì)節(jié)見以下找全部解的程序。

【程序】

# include

# define N 12

void write(int a[ ])

{ int i,j;

for (i=0;i<3;i++)

{ for (j=0;j<3;j++)

printf(“%3d”,a[3*i+j]);

printf(“\n”);

}

scanf(“%*c”);

}

int b[N+1];

int a[10];

int isprime(int m)

{ int i;

int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};

if (m==1||m%2=0) return 0;

for (i=0;primes>0;i++)

if (m==primes) return 1;

for (i=3;i*i<=m;)

{ if (m%i==0) return 0;

i+=2;

}

return 1;

}

int checkmatrix[ ][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},

{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};

int selectnum(int start)

{ int j;

for (j=start;j<=N;j++)

if (b[j]) return j

return 0;

}

int check(int pos)

{ int i,j;

if (pos<0) return 0;

for (i=0;(j=checkmatrix[pos])>=0;i++)

if (!isprime(a[pos]+a[j])

return 0;

return 1;

}

int extend(int pos)

{ a[++pos]=selectnum(1);

b[a][pos]]=0;

return pos;

}

int change(int pos)

{ int j;

while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)

b[a[pos--]]=1;

if (pos<0) return –1

b[a[pos]]=1;

a[pos]=j;

b[j]=0;

return pos;

}

void find()

{ int ok=0,pos=0;

a[pos]=1;

b[a[pos]]=0;

do {

if (ok)

if (pos==8)

{ write(a);

pos=change(pos);

}

else pos=extend(pos);

else pos=change(pos);

ok=check(pos);

} while (pos>=0)

}

void main()

{ int i;

for (i=1;i<=N;i++)

b=1;

find();

}

【問題】 n皇后問題

問題描述：求出在一個n×n的棋盤上，放置n個不能互相捕捉的國際象棋“皇后”的所有布局。

這是來源于國際象棋的一個問題?；屎罂梢匝刂v橫和兩條斜線4個方向相互捕捉。如圖所示，一個皇后放在棋盤的第4行第3列位置上，則棋盤上凡打“×”的位置上的皇后就能與這個皇后相互捕捉。

1 2 3 4 5 6 7 8

× ×

× × ×

× × Q × × × × ×

× × ×

× ×

從圖中可以得到以下啟示：一個合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個皇后，且一條斜線上也只有一個皇后。

求解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理時，就找到了一個解。接著改變第n列配置，希望獲得下一個解。另外，在任一列上，可能有n種配置。開始時配置在第1行，以后改變時，順次選擇第2行、第3行、…、直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也找不到一個合理的配置時，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問題的算法如下：

{ 輸入棋盤大小值n；

m=0;

good=1;

do {

if (good)

if (m==n)

{ 輸出解；

改變之，形成下一個候選解;

}

else 擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列；

else 改變之，形成下一個候選解；

good=檢查當(dāng)前候選解的合理性；

} while (m!=0);

}

在編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個二維數(shù)組，但仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對于本題來說，“常用信息”并不是皇后的具體位置，而是“一個皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一個皇后，引入一個一維數(shù)組（col[ ]），值col表示在棋盤第i列、col行有一個皇后。例如：col[3]=4，就表示在棋盤的第3列、第4行上有一個皇后。另外，為了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，設(shè)定col[0]的初值為0當(dāng)回溯到第0列時，說明程序已求得全部解，結(jié)束程序運行。

為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡易方便，引入以下三個工作數(shù)組：

（1）數(shù)組a[ ]，a[k]表示第k行上還沒有皇后；

（2）數(shù)組b[ ]，b[k]表示第k列右高左低斜線上沒有皇后；

（3）數(shù)組 c[ ]，c[k]表示第k列左高右低斜線上沒有皇后；

棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號與列號之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號與列號之差均相同。

初始時，所有行和斜線上均沒有皇后，從第1列的第1行配置第一個皇后開始，在第m列col[m]行放置了一個合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第m+1列時，在數(shù)組a[ ]、b[ ]和c[ ]中為第m列，col[m]行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第m列回溯到第m-1列，并準(zhǔn)備調(diào)整第m-1列的皇后配置時，清除在數(shù)組a[ ]、b[ ]和c[ ]中設(shè)置的關(guān)于第m-1列，col[m-1]行有皇后的標(biāo)志。一個皇后在m列，col[m]行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組a[ ]、b[ ]和c[ ]對應(yīng)位置的值都為1來確定。細(xì)節(jié)見以下程序：

【程序】

# include

# define MAXN 20

int n,m,good;

int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

void main()

{ int j;

char awn;

printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);

for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;

for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;

m=1; col[1]=1; good=1; col[0]=0;

do {

if (good)

if (m==n)

{ printf(“列\(zhòng)t行”);

for (j=1;j<=n;j++)

printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);

printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);

scanf(“%c”,&awn);

if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);

while (col[m]==n)

{ m--;

a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;

}

col[m]++;

}

else

{ a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;

col[++m]=1;

}

else

{ while (col[m]==n)

{ m--;

a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;

}

col[m]++;

}

good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];

} while (m!=0);

}

試探法找解算法也常常被編寫成遞歸函數(shù)，下面兩程序中的函數(shù)queen_all()和函數(shù)queen_one()能分別用來解皇后問題的全部解和一個解。

【程序】

# include

# define MAXN 20

int n;

int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

void main()

{ int j;

printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);

for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;

for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;

queen_all(1,n);

}

void queen_all(int k,int n)

{ int i,j;

char awn;

for (i=1;i<=n;i++)

if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i])

{ col[k]=i;

a=b[k+i]=c[n+k-i]=0;

if (k==n)

{ printf(“列\(zhòng)t行”);

for (j=1;j<=n;j++)

printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);

printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);

scanf(“%c”,&awn);

if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);

}

queen_all(k+1,n);

a=b[k+i]=c[n+k-i];

}

采用遞歸方法找一個解與找全部解稍有不同，在找一個解的算法中，遞歸算法要對當(dāng)前候選解最終是否能成為解要有回答。當(dāng)它成為最終解時，遞歸函數(shù)就不再遞歸試探，立即返回；若不能成為解，就得繼續(xù)試探。設(shè)函數(shù)queen_one()返回1表示找到解，返回0表示當(dāng)前候選解不能成為解。細(xì)節(jié)見以下函數(shù)。

【程序】

# define MAXN 20

int n;

int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

int queen_one(int k,int n)

{ int i,found;

i=found=0;

While (!found&&i<n)

{ i++;

if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i])

{ col[k]=i;

a=b[k+i]=c[n+k-i]=0;

if (k==n) return 1;

else

found=queen_one(k+1,n);

a=b[k+i]=c[n+k-i]=1;

}

return found;

}

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[2 樓] | Posted:2006-07-27 15:53|

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QUOTE:

六、貪婪法

貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因為它省去了為找最優(yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費的大量時間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。

例如平時購物找錢時，為使找回的零錢的硬幣數(shù)最少，不考慮找零錢的所有各種發(fā)表方案，而是從最大面值的幣種開始，按遞減的順序考慮各幣種，先盡量用大面值的幣種，當(dāng)不足大面值幣種的金額時才去考慮下一種較小面值的幣種。這就是在使用貪婪法。這種方法在這里總是最優(yōu)，是因為銀行對其發(fā)行的硬幣種類和硬幣面值的巧妙安排。如只有面值分別為1、5和11單位的硬幣，而希望找回總額為15單位的硬幣。按貪婪算法，應(yīng)找1個11單位面值的硬幣和4個1單位面值的硬幣，共找回5個硬幣。但最優(yōu)的解應(yīng)是3個5單位面值的硬幣。

【問題】裝箱問題

問題描述：裝箱問題可簡述如下：設(shè)有編號為0、1、…、n-1的n種物品，體積分別為v0、v1、…、vn-1。將這n種物品裝到容量都為V的若干箱子里。約定這n種物品的體積均不超過V，即對于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的裝箱方案所需要的箱子數(shù)目可能不同。裝箱問題要求使裝盡這n種物品的箱子數(shù)要少。

若考察將n種物品的集合分劃成n個或小于n個物品的所有子集，最優(yōu)解就可以找到。但所有可能劃分的總數(shù)太大。對適當(dāng)大的n，找出所有可能的劃分要花費的時間是無法承受的。為此，對裝箱問題采用非常簡單的近似算法，即貪婪法。該算法依次將物品放到它第一個能放進(jìn)去的箱子中，該算法雖不能保證找到最優(yōu)解，但還是能找到非常好的解。不失一般性，設(shè)n件物品的體積是按從大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不滿足上述要求，只要先對這n件物品按它們的體積從大到小排序，然后按排序結(jié)果對物品重新編號即可。裝箱算法簡單描述如下：

{ 輸入箱子的容積；

輸入物品種數(shù)n；

按體積從大到小順序，輸入各物品的體積；

預(yù)置已用箱子鏈為空；

預(yù)置已用箱子計數(shù)器box_count為0；

for (i=0;i<n;i++)

{ 從已用的第一只箱子開始順序?qū)ふ夷芊湃胛锲穒的箱子j；

if （已用箱子都不能再放物品i）

{ 另用一個箱子，并將物品i放入該箱子；

box_count++；

}

else

將物品i放入箱子j；

}

上述算法能求出需要的箱子數(shù)box_count，并能求出各箱子所裝物品。下面的例子說明該算法不一定能找到最優(yōu)解，設(shè)有6種物品，它們的體積分別為：60、45、35、20、20和20單位體積，箱子的容積為100個單位體積。按上述算法計算，需三只箱子，各箱子所裝物品分別為：第一只箱子裝物品1、3；第二只箱子裝物品2、4、5；第三只箱子裝物品6。而最優(yōu)解為兩只箱子，分別裝物品1、4、5和2、3、6。

若每只箱子所裝物品用鏈表來表示，鏈表首結(jié)點指針存于一個結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)記錄尚剩余的空間量和該箱子所裝物品鏈表的首指針。另將全部箱子的信息也構(gòu)成鏈表。以下是按以上算法編寫的程序。

【程序】

# include

typedef struct ele

{ int vno;

struct ele *link;

} ELE;

typedef struct hnode

{ int remainder;

ELE *head;

Struct hnode *next;

} HNODE;

void main()

{ int n, i, box_count, box_volume, *a;

HNODE *box_h, *box_t, *j;

ELE *p, *q;

Printf(“輸入箱子容積\n”);

Scanf(“%d”,&box_volume);

Printf(“輸入物品種數(shù)\n”);

Scanf(“%d”,&n);

A=(int *)malloc(sizeof(int)*n);

Printf(“請按體積從大到小順序輸入各物品的體積：”);

For (i=0;i<n;i++) ="" scanf(“%d”,a+i);=""

Box_h=box_t=NULL;

Box_count=0;

For (i=0;i<n;i++)

{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE));

p->vno=i;

for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next)

if (j->remainder>=a) break;

if (j==NULL)

{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE));

j->remainder=box_volume-a;

j->head=NULL;

if (box_h==NULL) box_h=box_t=j;

else box_t=boix_t->next=j;

j->next=NULL;

box_count++;

}

else j->remainder-=a;

for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link);

if (q==NULL)

{ p->link=j->head;

j->head=p;

}

else

{ p->link=NULL;

q->link=p;

}

printf(“共使用了%d只箱子”，box_count);

printf(“各箱子裝物品情況如下：”);

for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++)

{ printf(“第%2d只箱子，還剩余容積%4d，所裝物品有；\n”,I,j->remainder);

for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link)

printf(“%4d”,p->vno+1);

printf(“\n”);

}

【問題】馬的遍歷

問題描述：在8×8方格的棋盤上，從任意指定的方格出發(fā)，為馬尋找一條走遍棋盤每一格并且只經(jīng)過一次的一條路徑。

馬在某個方格，可以在一步內(nèi)到達(dá)的不同位置最多有8個，如圖所示。如用二維數(shù)組board[ ][ ]表示棋盤，其元素記錄馬經(jīng)過該位置時的步驟號。另對馬的8種可能走法（稱為著法）設(shè)定一個順序，如當(dāng)前位置在棋盤的（i，j）方格，下一個可能的位置依次為（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），實際可以走的位置盡限于還未走過的和不越出邊界的那些位置。為便于程序的同意處理，可以引入兩個數(shù)組，分別存儲各種可能走法對當(dāng)前位置的縱橫增量。

4 3

5 2

馬

6 1

7 0

對于本題，一般可以采用回溯法，這里采用Warnsdoff策略求解，這也是一種貪婪法，其選擇下一出口的貪婪標(biāo)準(zhǔn)是在那些允許走的位置中，選擇出口最少的那個位置。如馬的當(dāng)前位置（i，j）只有三個出口，他們是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分別走到這些位置，這三個位置又分別會有不同的出口，假定這三個位置的出口個數(shù)分別為4、2、3，則程序就選擇讓馬走向（i-2，j+1）位置。

由于程序采用的是一種貪婪法，整個找解過程是一直向前，沒有回溯，所以能非常快地找到解。但是，對于某些開始位置，實際上有解，而該算法不能找到解。對于找不到解的情況，程序只要改變8種可能出口的選擇順序，就能找到解。改變出口選擇順序，就是改變有相同出口時的選擇標(biāo)準(zhǔn)。以下程序考慮到這種情況，引入變量start，用于控制8種可能著法的選擇順序。開始時為0，當(dāng)不能找到解時，就讓start增1，重新找解。細(xì)節(jié)以下程序。

【程序】

# include

int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};

int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};

int board[8][8];

int exitn(int i,int j,int s,int a[ ])

{ int i1,j1,k,count;

for (count=k=0;k<8;k++)

{ i1=i+delta_i[(s+k)%8];

j1=i+delta_j[(s+k)%8];

if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0)

a[count++]=(s+k)%8;

}

return count;

}

int next(int i,int j,int s)

{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp;

m=exitn(i,j,s,a);

if (m==0) return –1;

for (min=9,k=0;k<m;k++)

{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b);

if (temp<min)

{ min=temp;

kk=a[k];

}

return kk;

}

void main()

{ int sx,sy,i,j,step,no,start;

for (sx=0;sx<8;sx++)

for (sy=0;sy<8;sy++)

{ start=0;

do {

for (i=0;i<8;i++)

for (j=0;j<8;j++)

board[j]=0;

board[sx][sy]=1;

I=sx; j=sy;

For (step=2;step<64;step++)

{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break;

I+=delta_i[no];

j+=delta_j[no];

board[j]=step;

}

if (step>64) break;

start++;

} while(step<=64)

for (i=0;i<8;i++)

{ for (j=0;j<8;j++)

printf(“%4d”,board[j]);

printf(“\n\n”);

}

scanf(“%*c”);

}

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[3 樓] | Posted:2006-07-27 15:54|

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QUOTE:

七、分治法

1、分治法的基本思想

任何一個可以用計算機(jī)求解的問題所需的計算時間都與其規(guī)模N有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對于n個元素的排序問題，當(dāng)n=1時，不需任何計算；n=2時，只要作一次比較即可排好序；n=3時只要作3次比較即可，…。而當(dāng)n較大時，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個規(guī)模較大的問題，有時是相當(dāng)困難的。

分治法的設(shè)計思想是，將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。

如果原問題可分割成k個子問題（1<k≤n），且這些子問題都可解，并可利用這些子問題的解求出原問題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產(chǎn)生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術(shù)提供了方便。在這種情況下，反復(fù)應(yīng)用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規(guī)模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過程的產(chǎn)生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經(jīng)常同時應(yīng)用在算法設(shè)計之中，并由此產(chǎn)生許多高效算法。

2、分治法的適用條件

分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：

（1）該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決；

（2）該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；

（3）利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；

（4）該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。

上述的第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的，因為問題的計算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加；第二條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮貪心法或動態(tài)規(guī)劃法。第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態(tài)規(guī)劃法較好。

3、分治法的基本步驟

分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：

（1）分解：將原問題分解為若干個規(guī)模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；

（2）解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題；

（3）合并：將各個子問題的解合并為原問題的解。

它的一般的算法設(shè)計模式如下：

Divide_and_Conquer（P）

if |P|≤n0

then return（ADHOC（P））

將P分解為較小的子問題P1、P2、…、Pk

for i←1 to k

yi ← Divide-and-Conquer（Pi） △ 遞歸解決Pi

T ← MERGE（y1，y2，…，yk） △ 合并子問題

Return（T）

其中 |P| 表示問題P的規(guī)模；n0為一閾值，表示當(dāng)問題P的規(guī)模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續(xù)分解。ADHOC（P）是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規(guī)模的問題P。因此，當(dāng)P的規(guī)模不超過n0時，直接用算法ADHOC（P）求解。

算法MERGE（y1，y2，…，yk）是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問題P1、P2、…、Pk的相應(yīng)的解y1、y2、…、yk合并為P的解。

根據(jù)分治法的分割原則，原問題應(yīng)該分為多少個子問題才較適宜？各個子問題的規(guī)模應(yīng)該怎樣才為適當(dāng)？這些問題很難予以肯定的回答。但人們從大量實踐中發(fā)現(xiàn)，在用分治法設(shè)計算法時，最好使子問題的規(guī)模大致相同。換句話說，將一個問題分成大小相等的k個子問題的處理方法是行之有效的。許多問題可以取k=2。這種使子問題規(guī)模大致相等的做法是出自一種平衡子問題的思想，它幾乎總是比子問題規(guī)模不等的做法要好。

分治法的合并步驟是算法的關(guān)鍵所在。有些問題的合并方法比較明顯，有些問題合并方法比較復(fù)雜，或者是有多種合并方案；或者是合并方案不明顯。究竟應(yīng)該怎樣合并，沒有統(tǒng)一的模式，需要具體問題具體分析。

【問題】大整數(shù)乘法

問題描述：

通常，在分析一個算法的計算復(fù)雜性時，都將加法和乘法運算當(dāng)作是基本運算來處理，即將執(zhí)行一次加法或乘法運算所需的計算時間當(dāng)作一個僅取決于計算機(jī)硬件處理速度的常數(shù)。

這個假定僅在計算機(jī)硬件能對參加運算的整數(shù)直接表示和處理時才是合理的。然而，在某些情況下，我們要處理很大的整數(shù)，它無法在計算機(jī)硬件能直接表示的范圍內(nèi)進(jìn)行處理。若用浮點數(shù)來表示它，則只能近似地表示它的大小，計算結(jié)果中的有效數(shù)字也受到限制。若要精確地表示大整數(shù)并在計算結(jié)果中要求精確地得到所有位數(shù)上的數(shù)字，就必須用軟件的方法來實現(xiàn)大整數(shù)的算術(shù)運算。

請設(shè)計一個有效的算法，可以進(jìn)行兩個n位大整數(shù)的乘法運算。

設(shè)X和Y都是n位的二進(jìn)制整數(shù)，現(xiàn)在要計算它們的乘積XY。我們可以用小學(xué)所學(xué)的方法來設(shè)計一個計算乘積XY的算法，但是這樣做計算步驟太多，顯得效率較低。如果將每2個1位數(shù)的乘法或加法看作一步運算，那么這種方法要作O(n2)步運算才能求出乘積XY。下面我們用分治法來設(shè)計一個更有效的大整數(shù)乘積算法。

圖6-3 大整數(shù)X和Y的分段

我們將n位的二進(jìn)制整數(shù)X和Y各分為2段，每段的長為n/2位（為簡單起見，假設(shè)n是2的冪），如圖6-3所示。

由此，X=A2n/2+B，Y=C2n/2+D。這樣，X和Y的乘積為：

XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+CB)2n/2+BD （1）

如果按式（1）計算XY，則我們必須進(jìn)行4次n/2位整數(shù)的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超過n位的整數(shù)加法（分別對應(yīng)于式（1）中的加號），此外還要做2次移位（分別對應(yīng)于式（1）中乘2n和乘2n/2）。所有這些加法和移位共用O（n）步運算。設(shè)T（n）是2個n位整數(shù)相乘所需的運算總數(shù)，則由式（1），我們有：

（2）

由此可得T（n）=O（n2）。因此，用（1）式來計算X和Y的乘積并不比小學(xué)生的方法更有效。要想改進(jìn)算法的計算復(fù)雜性，必須減少乘法次數(shù)。為此我們把XY寫成另一種形式：

XY=AC2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2n/2+BD （3）

雖然，式（3）看起來比式（1）復(fù)雜些，但它僅需做3次n/2位整數(shù)的乘法（AC，BD和（A-B）（D-C）），6次加、減法和2次移位。由此可得：

（4）

用解遞歸方程的套用公式法馬上可得其解為T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)。利用式（3），并考慮到X和Y的符號對結(jié)果的影響，我們給出大整數(shù)相乘的完整算法MULT如下：

function MULT(X，Y，n); {X和Y為2個小于2n的整數(shù)，返回結(jié)果為X和Y的乘積XY}

begin

S=SIGN(X)*SIGN(Y); {S為X和Y的符號乘積}

X=ABS(X);

Y=ABS(Y); {X和Y分別取絕對值}

if n=1 then

if (X=1)and(Y=1) then return(S)

else return(0)

else begin

A=X的左邊n/2位;

B=X的右邊n/2位;

C=Y的左邊n/2位;

D=Y的右邊n/2位;

ml=MULT(A,C,n/2);

m2=MULT(A-B,D-C,n/2);

m3=MULT(B,D,n/2);

S=S*(m1*2n+(m1+m2+m3)*2n/2+m3);

return(S);

end;

上述二進(jìn)制大整數(shù)乘法同樣可應(yīng)用于十進(jìn)制大整數(shù)的乘法以提高乘法的效率減少乘法次數(shù)。

【問題】最接近點對問題

問題描述：

在應(yīng)用中，常用諸如點、圓等簡單的幾何對象代表現(xiàn)實世界中的實體。在涉及這些幾何對象的問題中，常需要了解其鄰域中其他幾何對象的信息。例如，在空中交通控制問題中，若將飛機(jī)作為空間中移動的一個點來看待，則具有最大碰撞危險的2架飛機(jī)，就是這個空間中最接近的一對點。這類問題是計算幾何學(xué)中研究的基本問題之一。下面我們著重考慮平面上的最接近點對問題。

最接近點對問題的提法是：給定平面上n個點，找其中的一對點，使得在n個點的所有點對中，該點對的距離最小。

嚴(yán)格地說，最接近點對可能多于1對。為了簡單起見，這里只限于找其中的一對。

這個問題很容易理解，似乎也不難解決。我們只要將每一點與其他n-1個點的距離算出，找出達(dá)到最小距離的兩個點即可。然而，這樣做效率太低，需要O(n2)的計算時間。我們能否找到問題的一個O (nlogn)算法。

這個問題顯然滿足分治法的第一個和第二個適用條件，我們考慮將所給的平面上n個點的集合S分成2個子集S1和S2，每個子集中約有n/2個點，然后在每個子集中遞歸地求其最接近的點對。在這里，一個關(guān)鍵的問題是如何實現(xiàn)分治法中的合并步驟，即由S1和S2的最接近點對，如何求得原集合S中的最接近點對，因為S1和S2的最接近點對未必就是S的最接近點對。如果組成S的最接近點對的2個點都在S1中或都在S2中，則問題很容易解決。但是，如果這2個點分別在S1和S2中，則對于S1中任一點p，S2中最多只有n/2個點與它構(gòu)成最接近點對的候選者，仍需做n2/4次計算和比較才能確定S的最接近點對。因此，依此思路，合并步驟耗時為O(n2)。整個算法所需計算時間T(n)應(yīng)滿足：

T(n)=2T(n/2)+O(n2)

它的解為T(n)=O(n2)，即與合并步驟的耗時同階，顯示不出比用窮舉的方法好。從解遞歸方程的套用公式法，我們看到問題出在合并步驟耗時太多。這啟發(fā)我們把注意力放在合并步驟上。

為了使問題易于理解和分析，我們先來考慮一維的情形。此時S中的n個點退化為x軸上的n個實數(shù)x1、x2、…、xn。最接近點對即為這n個實數(shù)中相差最小的2個實數(shù)。我們顯然可以先將x1、x2、…、xn排好序，然后，用一次線性掃描就可以找出最接近點對。這種方法主要計算時間花在排序上，因此如在排序算法中所證明的，耗時為O(nlogn)。然而這種方法無法直接推廣到二維的情形。因此，對這種一維的簡單情形，我們還是嘗試用分治法來求解，并希望能推廣到二維的情形。

假設(shè)我們用x軸上某個點m將S劃分為2個子集S1和S2，使得S1={x∈S | x≤m}；S2={x∈S | x>m}。這樣一來，對于所有p∈S1和q∈S2有p<q。

遞歸地在S1和S2上找出其最接近點對{p1，p2}和{q1，q2}，并設(shè)δ=min{|p1-p2|，|q1-q2|}，S中的最接近點對或者是{p1，p2}，或者是{q1，q2}，或者是某個{p3，q3}，其中p3∈S1且q3∈S2。如圖1所示。

圖1 一維情形的分治法

我們注意到，如果S的最接近點對是{p3，q3}，即 | p3-q3 | < δ，則p3和q3兩者與m的距離不超過δ，即 | p3-m | < δ，| q3-m | < δ，也就是說，p3∈(m-δ，m)，q3∈(m，m+δ)。由于在S1中，每個長度為δ的半閉區(qū)間至多包含一個點（否則必有兩點距離小于δ），并且m是S1和S2的分割點，因此(m-δ，m)中至多包含S中的一個點。同理，(m，m+δ)中也至多包含S中的一個點。由圖1可以看出，如果(m-δ，m)中有S中的點，則此點就是S1中最大點。同理，如果(m，m+δ)中有S中的點，則此點就是S2中最小點。因此，我們用線性時間就能找到區(qū)間(m-δ，m)和(m，m+δ)中所有點，即p3和q3。從而我們用線性時間就可以將S1的解和S2的解合并成為S的解。也就是說，按這種分治策略，合并步可在O(n)時間內(nèi)完成。這樣是否就可以得到一個有效的算法了呢？

還有一個問題需要認(rèn)真考慮，即分割點m的選取，及S1和S2的劃分。選取分割點m的一個基本要求是由此導(dǎo)出集合S的一個線性分割，即S=S1∪S2 ，S1∩S2=Φ，且S1 {x | x≤m}；S2 {x | x>m}。容易看出，如果選取m=[max（S）+min（S）]/2，可以滿足線性分割的要求。選取分割點后，再用O(n)時間即可將S劃分成S1={x∈S | x≤m}和S2={x∈S | x>m}。然而，這樣選取分割點m，有可能造成劃分出的子集S1和S2的不平衡。例如在最壞情況下，|S1|=1，|S2|=n-1，由此產(chǎn)生的分治法在最壞情況下所需的計算時間T（n）應(yīng)滿足遞歸方程：

T（n）=T（n-1）+O（n）

它的解是T（n）=O（n2）。這種效率降低的現(xiàn)象可以通過分治法中“平衡子問題”的方法加以解決。也就是說，我們可以通過適當(dāng)選擇分割點m，使S1和S2中有大致相等個數(shù)的點。自然地，我們會想到用S的n個點的坐標(biāo)的中位數(shù)來作分割點。在選擇算法中介紹的選取中位數(shù)的線性時間算法使我們可以在O（n）時間內(nèi)確定一個平衡的分割點m。

至此，我們可以設(shè)計出一個求一維點集S中最接近點對的距離的算法pair如下。

Float pair（S）;

{ if | S | =2 δ= | x[2]－x[1] | /*x[1..n]存放的是S中n個點的坐標(biāo)*/

else

{ if ( | S | =1) δ=∞

else

{ m=S中各點的坐標(biāo)值的中位數(shù);

構(gòu)造S1和S2，使S1={x∈S | x≤m}，S2={x∈S | x＞m};

δ1=pair(S1);

δ2=pair(S2);

p=max(S1);

q=min(S2);

δ=min(δ1，δ2，q-p);

}

return(δ);

}

由以上的分析可知，該算法的分割步驟和合并步驟總共耗時O(n)。因此，算法耗費的計算時間T(n)滿足遞歸方程：

解此遞歸方程可得T(n)=O(nlogn)。

【問題】循環(huán)賽日程表

問題描述：設(shè)有n=2k個運動員要進(jìn)行網(wǎng)球循環(huán)賽。現(xiàn)要設(shè)計一個滿足以下要求的比賽日程表：

（1）每個選手必須與其他n-1個選手各賽一次；

（2）每個選手一天只能參賽一次；

（3）循環(huán)賽在n-1天內(nèi)結(jié)束。

請按此要求將比賽日程表設(shè)計成有n行和n-1列的一個表。在表中的第i行，第j列處填入第i個選手在第j天所遇到的選手。其中1≤i≤n，1≤j≤n-1。

按分治策略，我們可以將所有的選手分為兩半，則n個選手的比賽日程表可以通過n/2個選手的比賽日程表來決定。遞歸地用這種一分為二的策略對選手進(jìn)行劃分，直到只剩下兩個選手時，比賽日程表的制定就變得很簡單。這時只要讓這兩個選手進(jìn)行比賽就可以了。

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 4 3 6 7 8 5

3 4 1 2 7 8 5 6

1 2 3 4 3 2 1 8 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 3 2

1 2 1 4 3 6 5 8 7 2 1 4 3

1 2 3 4 1 2 7 8 5 6 3 2 1 4

2 1 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1

（1）（2）（3）

圖1 2個、4個和8個選手的比賽日程表

圖1所列出的正方形表（3）是8個選手的比賽日程表。其中左上角與左下角的兩小塊分別為選手1至選手4和選手5至選手8前3天的比賽日程。據(jù)此，將左上角小塊中的所有數(shù)字按其相對位置抄到右下角，又將左下角小塊中的所有數(shù)字按其相對位置抄到右上角，這樣我們就分別安排好了選手1至選手4和選手5至選手8在后4天的比賽日程。依此思想容易將這個比賽日程表推廣到具有任意多個選手的情形。

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[4 樓] | Posted:2006-07-27 15:56|

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QUOTE:

八、動態(tài)規(guī)劃法

經(jīng)常會遇到復(fù)雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題。簡單地采用把大問題分解成子問題，并綜合子問題的解導(dǎo)出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規(guī)模呈冪級數(shù)增加。

為了節(jié)約重復(fù)求相同子問題的時間，引入一個數(shù)組，不管它們是否對最終解有用，把所有子問題的解存于該數(shù)組中，這就是動態(tài)規(guī)劃法所采用的基本方法。以下先用實例說明動態(tài)規(guī)劃方法的使用。

【問題】求兩字符序列的最長公共字符子序列

問題描述：字符序列的子序列是指從給定字符序列中隨意地（不一定連續(xù)）去掉若干個字符（可能一個也不去掉）后所形成的字符序列。令給定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一個嚴(yán)格遞增下標(biāo)序列，使得對所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一個子序列。

給定兩個序列A和B，稱序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。問題要求已知兩序列A和B的最長公共子序列。

如采用列舉A的所有子序列，并一一檢查其是否又是B的子序列，并隨時記錄所發(fā)現(xiàn)的子序列，最終求出最長公共子序列。這種方法因耗時太多而不可取。

考慮最長公共子序列問題如何分解成子問題，設(shè)A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”為它們的最長公共子序列。不難證明有以下性質(zhì)：

（1）如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列；

（2）如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，蘊涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公共子序列；

（3）如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，蘊涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列。

這樣，在找A和B的公共子序列時，如有am-1=bn-1，則進(jìn)一步解決一個子問題，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一個最長公共子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個子問題，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列，再取兩者中較長者作為A和B的最長公共子序列。

定義c[j]為序列“a0，a1，…，ai-2”和“b0，b1，…，bj-1”的最長公共子序列的長度，計算c[j]可遞歸地表述如下：

（1）c[j]=0 如果i=0或j=0；

（2）c[j]= c[i-1][j-1]+1 如果I，j>0，且a[i-1]=b[j-1]；

（3）c[j]=max（c[j-1]，c[i-1][j]）如果I，j>0，且a[i-1]!=b[j-1]。

按此算式可寫出計算兩個序列的最長公共子序列的長度函數(shù)。由于c[j]的產(chǎn)生僅依賴于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[j-1]，故可以從c[m][n]開始，跟蹤c[j]的產(chǎn)生過程，逆向構(gòu)造出最長公共子序列。細(xì)節(jié)見程序。

# include

# define N 100

char a[N],b[N],str[N];

int lcs_len(char *a, char *b, int c[ ][ N])

{ int m=strlen(a), n=strlen(b), i,j;

for (i=0;i<=m;i++) c[0]=0;

for (i=0;i<=n;i++) c[0]=0;

for (i=1;i<=m;i++)

for (j=1;j<=m;j++)

if (a[i-1]==b[j-1])

c[j]=c[i-1][j-1]+1;

else if (c[i-1][j]>=c[j-1])

c[j]=c[i-1][j];

else

c[j]=c[j-1];

return c[m][n];

}

char *buile_lcs(char s[ ],char *a, char *b)

{ int k, i=strlen(a), j=strlen(b);

k=lcs_len(a,b,c);

s[k]=’\0’;

while (k>0)

if (c[j]==c[i-1][j]) i--;

else if (c[j]==c[j-1]) j--;

else { s[--k]=a[i-1];

i--; j--;

}

return s;

}

void main()

{ printf (“Enter two string（<%d）!\n”,N);

scanf(“%s%s”,a,b);

printf(“LCS=%s\n”,build_lcs(str,a,b));

}

1、動態(tài)規(guī)劃的適用條件

任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定條件，它就失去了作用。同樣，動態(tài)規(guī)劃也并不是萬能的。適用動態(tài)規(guī)劃的問題必須滿足最優(yōu)化原理和無后效性。

（1）最優(yōu)化原理（最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)）

最優(yōu)化原理可這樣闡述：一個最優(yōu)化策略具有這樣的性質(zhì)，不論過去狀態(tài)和決策如何，對前面的決策所形成的狀態(tài)而言，余下的諸決策必須構(gòu)成最優(yōu)策略。簡而言之，一個最優(yōu)化策略的子策略總是最優(yōu)的。一個問題滿足最優(yōu)化原理又稱其具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

圖2

例如圖2中，若路線I和J是A到C的最優(yōu)路徑，則根據(jù)最優(yōu)化原理，路線J必是從B到C的最優(yōu)路線。這可用反證法證明：假設(shè)有另一路徑J’是B到C的最優(yōu)路徑，則A到C的路線取I和J’比I和J更優(yōu)，矛盾。從而證明J’必是B到C的最優(yōu)路徑。

最優(yōu)化原理是動態(tài)規(guī)劃的基礎(chǔ)，任何問題，如果失去了最優(yōu)化原理的支持，就不可能用動態(tài)規(guī)劃方法計算。根據(jù)最優(yōu)化原理導(dǎo)出的動態(tài)規(guī)劃基本方程是解決一切動態(tài)規(guī)劃問題的基本方法。

（2）無后向性

將各階段按照一定的次序排列好之后，對于某個給定的階段狀態(tài)，它以前各階段的狀態(tài)無法直接影響它未來的決策，而只能通過當(dāng)前的這個狀態(tài)。換句話說，每個狀態(tài)都是過去歷史的一個完整總結(jié)。這就是無后向性，又稱為無后效性。

（3）子問題的重疊性

動態(tài)規(guī)劃算法的關(guān)鍵在于解決冗余，這是動態(tài)規(guī)劃算法的根本目的。動態(tài)規(guī)劃實質(zhì)上是一種以空間換時間的技術(shù)，它在實現(xiàn)的過程中，不得不存儲產(chǎn)生過程中的各種狀態(tài)，所以它的空間復(fù)雜度要大于其它的算法。選擇動態(tài)規(guī)劃算法是因為動態(tài)規(guī)劃算法在空間上可以承受，而搜索算法在時間上卻無法承受，所以我們舍空間而取時間。

所以，能夠用動態(tài)規(guī)劃解決的問題還有一個顯著特征：子問題的重疊性。這個性質(zhì)并不是動態(tài)規(guī)劃適用的必要條件，但是如果該性質(zhì)無法滿足，動態(tài)規(guī)劃算法同其他算法相比就不具備優(yōu)勢。

2、動態(tài)規(guī)劃的基本思想

前文主要介紹了動態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù)，我們將前文所說的具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動態(tài)規(guī)劃稱為標(biāo)準(zhǔn)動態(tài)規(guī)劃，這種標(biāo)準(zhǔn)動態(tài)規(guī)劃是在研究多階段決策問題時推導(dǎo)出來的，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，適合用于理論上的分析。在實際應(yīng)用中，許多問題的階段劃分并不明顯，這時如果刻意地劃分階段法反而麻煩。一般來說，只要該問題可以劃分成規(guī)模更小的子問題，并且原問題的最優(yōu)解中包含了子問題的最優(yōu)解（即滿足最優(yōu)子化原理），則可以考慮用動態(tài)規(guī)劃解決。

動態(tài)規(guī)劃的實質(zhì)是分治思想和解決冗余，因此，動態(tài)規(guī)劃是一種將問題實例分解為更小的、相似的子問題，并存儲子問題的解而避免計算重復(fù)的子問題，以解決最優(yōu)化問題的算法策略。

由此可知，動態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似，它們都是將問題實例歸納為更小的、相似的子問題，并通過求解子問題產(chǎn)生一個全局最優(yōu)解。其中貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有選擇，但不依賴于有待于做出的選擇和子問題。因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選擇；而分治法中的各個子問題是獨立的（即不包含公共的子子問題），因此一旦遞歸地求出各子問題的解后，便可自下而上地將子問題的解合并成問題的解。但不足的是，如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問題的解時，則難以通過局部的貪心策略達(dá)到全局最優(yōu)解；如果各子問題是不獨立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題。

解決上述問題的辦法是利用動態(tài)規(guī)劃。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問題，這類問題會有多種可能的解，每個解都有一個值，而動態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)（最大或最小）值的解。若存在若干個取最優(yōu)值的解的話，它只取其中的一個。在求解過程中，該方法也是通過求解局部子問題的解達(dá)到全局最優(yōu)解，但與分治法和貪心法不同的是，動態(tài)規(guī)劃允許這些子問題不獨立，（亦即各子問題可包含公共的子子問題）也允許其通過自身子問題的解作出選擇，該方法對每一個子問題只解一次，并將結(jié)果保存起來，避免每次碰到時都要重復(fù)計算。

因此，動態(tài)規(guī)劃法所針對的問題有一個顯著的特征，即它所對應(yīng)的子問題樹中的子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。動態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，對于重復(fù)出現(xiàn)的子問題，只在第一次遇到時加以求解，并把答案保存起來，讓以后再遇到時直接引用，不必重新求解。

3、動態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟

設(shè)計一個標(biāo)準(zhǔn)的動態(tài)規(guī)劃算法，通?？砂匆韵聨讉€步驟進(jìn)行：

（1）劃分階段：按照問題的時間或空間特征，把問題分為若干個階段。注意這若干個階段一定要是有序的或者是可排序的（即無后向性），否則問題就無法用動態(tài)規(guī)劃求解。

（2）選擇狀態(tài)：將問題發(fā)展到各個階段時所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來。當(dāng)然，狀態(tài)的選擇要滿足無后效性。

（3）確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：之所以把這兩步放在一起，是因為決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以，如果我們確定了決策，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫出來了。但事實上，我們常常是反過來做，根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來確定決策。

（4）寫出規(guī)劃方程（包括邊界條件）：動態(tài)規(guī)劃的基本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達(dá)式。

一般說來，只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了，這一步還是比較簡單的。動態(tài)規(guī)劃的主要難點在于理論上的設(shè)計，一旦設(shè)計完成，實現(xiàn)部分就會非常簡單。根據(jù)動態(tài)規(guī)劃的基本方程可以直接遞歸計算最優(yōu)值，但是一般將其改為遞推計算，實現(xiàn)的大體上的框架如下：

標(biāo)準(zhǔn)動態(tài)規(guī)劃的基本框架

1. 對fn+1(xn+1)初始化; {邊界條件}

for k:=n downto 1 do

for 每一個xk∈Xk do

for 每一個uk∈Uk(xk) do

begin

5. fk(xk):=一個極值; {∞或－∞}

6. xk+1:=Tk(xk,uk); {狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程}

7. t:=φ(fk+1(xk+1),vk(xk,uk)); {基本方程(9)式}

if t比fk(xk)更優(yōu) then fk(xk):=t; {計算fk(xk)的最優(yōu)值}

end;

9. t:=一個極值; {∞或－∞}

for 每一個x1∈X1 do

11. if f1(x1)比t更優(yōu) then t:=f1(x1); {按照10式求出最優(yōu)指標(biāo)}

12. 輸出t;

但是，實際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟設(shè)計動態(tài)規(guī)劃，而是按以下幾個步驟進(jìn)行：

（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。

（2）遞歸地定義最優(yōu)值。

（3）以自底向上的方式或自頂向下的記憶化方法（備忘錄法）計算出最優(yōu)值。

（4）根據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息，構(gòu)造一個最優(yōu)解。

步驟（1）～（3）是動態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟。在只需要求出最優(yōu)值的情形，步驟（4）可以省略，若需要求出問題的一個最優(yōu)解，則必須執(zhí)行步驟（4）。此時，在步驟（3）中計算最優(yōu)值時，通常需記錄更多的信息，以便在步驟（4）中，根據(jù)所記錄的信息，快速地構(gòu)造出一個最優(yōu)解。

【問題】凸多邊形的最優(yōu)三角剖分問題

問題描述：多邊形是平面上一條分段線性的閉曲線。也就是說，多邊形是由一系列首尾相接的直線段組成的。組成多邊形的各直線段稱為該多邊形的邊。多邊形相接兩條邊的連接點稱為多邊形的頂點。若多邊形的邊之間除了連接頂點外沒有別的公共點，則稱該多邊形為簡單多邊形。一個簡單多邊形將平面分為3個部分：被包圍在多邊形內(nèi)的所有點構(gòu)成了多邊形的內(nèi)部；多邊形本身構(gòu)成多邊形的邊界；而平面上其余的點構(gòu)成了多邊形的外部。當(dāng)一個簡單多邊形及其內(nèi)部構(gòu)成一個閉凸集時，稱該簡單多邊形為凸多邊形。也就是說凸多邊形邊界上或內(nèi)部的任意兩點所連成的直線段上所有的點均在該凸多邊形的內(nèi)部或邊界上。

通常，用多邊形頂點的逆時針序列來表示一個凸多邊形，即P=表示具有n條邊v0v1，v1v2，…，vn-1vn的一個凸多邊形，其中，約定v0=vn 。

若vi與vj是多邊形上不相鄰的兩個頂點，則線段vivj稱為多邊形的一條弦。弦將多邊形分割成凸的兩個子多邊形和。多邊形的三角剖分是一個將多邊形分割成互不重迭的三角形的弦的集合T。圖1是一個凸多邊形的兩個不同的三角剖分。

(a) (b)

圖1 一個凸多邊形的2個不同的三角剖分

在凸多邊形P的一個三角剖分T中，各弦互不相交且弦數(shù)已達(dá)到最大，即P的任一不在T中的弦必與T中某一弦相交。在一個有n個頂點的凸多邊形的三角刮分中，恰好有n-3條弦和n-2個三角形。

凸多邊形最優(yōu)三角剖分的問題是：給定一個凸多邊形P=以及定義在由多邊形的邊和弦組成的三角形上的權(quán)函數(shù)ω。要求確定該凸多邊形的一個三角剖分，使得該三角剖分對應(yīng)的權(quán)即剖分中諸三角形上的權(quán)之和為最小。

（1）最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)

凸多邊形的最優(yōu)三角剖分問題有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。事實上，若凸（n+1）邊形P=的一個最優(yōu)三角剖分T包含三角形v0vkvn，1≤k≤n-1，則T的權(quán)為3個部分權(quán)的和，即三角形v0vkvn的權(quán)，子多邊形的權(quán)和的權(quán)之和?？梢詳嘌杂蒚所確定的這兩個子多邊形的三角剖分也是最優(yōu)的，因為若有或的更小權(quán)的三角剖分，將會導(dǎo)致T不是最優(yōu)三角剖分的矛盾。

（2）最優(yōu)三角剖分對應(yīng)的權(quán)的遞歸結(jié)構(gòu)

首先，定義t[i，j]（1≤i<j≤n）為凸子多邊形的最優(yōu)三角剖分所對應(yīng)的權(quán)值，即最優(yōu)值。為方便起見，設(shè)退化的多邊形具有權(quán)值0。據(jù)此定義，要計算的凸（n+1）邊多邊形P對應(yīng)的權(quán)的最優(yōu)值為t[1，n]。

t[i，j]的值可以利用最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)遞歸地計算。由于退化的2頂點多邊形的權(quán)值為0，所以t[i，i]=0，i=1，2，…，n 。當(dāng)j一i≥1時，子多邊形至少有3個頂點。由最優(yōu)于結(jié)構(gòu)性質(zhì)，t[i，j]的值應(yīng)為t[i，k]的值加上t[k+1，j]的值，再加上△vi-1vkvj的權(quán)值，并在i≤k≤j-1的范圍內(nèi)取最小。由此，t[i，j]可遞歸地定義為：

（3）計算最優(yōu)值

下面描述的計算凸（n+1）邊形P=的三角剖分最優(yōu)權(quán)值的動態(tài)規(guī)劃算法MINIMUM_WEIGHT，輸入是凸多邊形P=的權(quán)函數(shù)ω，輸出是最優(yōu)值t[i，j]和使得t[i，k]+t[k+1，j]+ω（△vi-1vkvj）達(dá)到最優(yōu)的位置（k=）s[i，j]，1≤i≤j≤n 。

Procedure MINIMUM_WEIGHT(P，w)；

Begin

n=length[p]-1;

for i=1 to n do t[i,i]:=0;

for ll=2 to n do

for i=1 to n-ll+1 do

begin

j=i+ll-1;

t[i,j]=∞;

for k=i to j-1 do

begin

q=t[i,k]+t[k+1,j]+ω(△vi-1vkvj);

if q<t[i,j] then=""

begin

t[i,j]=q;

s[i,j]=k;

end;

return(t,s);

end;

算法MINIMUM_WEIGHT_占用θ(n2)空間，耗時θ(n3)。

（4）構(gòu)造最優(yōu)三角剖分

如我們所看到的，對于任意的1≤i≤j≤n ，算法MINIMUM_WEIGHT在計算每一個子多邊形的最優(yōu)三角剖分所對應(yīng)的權(quán)值t[i，j]的同時，還在s[i，j]中記錄了此最優(yōu)三角剖分中與邊（或弦）vi-1vj構(gòu)成的三角形的第三個頂點的位置。因此，利用最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)并借助于s[i，j]，1≤i≤j≤n ，凸（n+l）邊形P=的最優(yōu)三角剖分可容易地在Ο(n)時間內(nèi)構(gòu)造出來。

習(xí)題：

1、汽車加油問題：

設(shè)有路程長度為L公里的公路上，分布著m個加油站，它們的位置分別為p（i=1，2，……，m），而汽車油箱加滿油后（油箱最多可以加油k升），可以行駛n公里。設(shè)計一個方案，使汽車經(jīng)過此公路的加油次數(shù)盡量少（汽車出發(fā)時是加滿油的）。

2、最短路徑：

設(shè)有一個網(wǎng)絡(luò)，要求從某個頂點出發(fā)到其他頂點的最短路徑

3、跳馬問題：

在8*8方格的棋盤上，從任意指定的方格出發(fā)，為馬尋找一條走遍棋盤每一格并且只經(jīng)過一次的一條路徑。

4、二叉樹的遍歷

5、背包問題

6、用分治法實現(xiàn)兩個大整數(shù)相乘

7、設(shè)x1，x2，…，xn是直線上的n個點，若要用單位長度的閉區(qū)間去覆蓋這n個點，至少需要多少個這樣的單位閉區(qū)間？

8、用關(guān)系“＜”和“＝”將3個數(shù)A、B和C依次排列時，有13種不同的序關(guān)系：

A＝B＝C，A＝B＜C，A＜B＝C，A＜B＜C，A＜C＜B，A＝C＜B，B＜A＝C，

B＜A＜C，B＜C＜A，B＝C＜A，C＜A＝B，C＜A＜B，C＜A＜B。

若要將n個數(shù)依序進(jìn)行排列，試設(shè)計一個動態(tài)規(guī)劃算法，計算出有多少鐘不同的序關(guān)系。

9、有一種單人玩的游戲：設(shè)有n(2<=n<=200)堆薄片，各堆順序用0至 n-1編號，極端情況，有的堆可能沒有薄片。在游戲過程中，一次移動只能取某堆上的若干張薄片，移到該堆的相鄰堆上。如指定

I堆k張 k 移到I-1(I>0)堆，和將k 張薄片移至I+1(I<n-1)堆。所以當(dāng)有兩個堆與 i="" 堆相鄰="" 時，i堆原先至少有2k="" 張薄片；只有一個堆與="" 時，="" 堆原先至少有k張薄片。=""

游戲的目標(biāo)是對給定的堆數(shù)，和各堆上的薄片數(shù)，按上述規(guī)則移動薄片，最終使各堆的薄片數(shù)相同。為了使移動次數(shù)較少些，移動哪一堆薄片，和移多少薄片先作以下估算：

設(shè)

ci:I堆的薄片數(shù)(0<=I<n,0<=ci<=200);

v：每堆的平均薄片數(shù)；

ai:I堆的相鄰堆可以從I堆得到的薄片數(shù)。

估算方法如下：

v=c0+a1-a0 a1=v+a0-c0

v=c1+a0+a2-2a1 a2=v+2a1-a0-c1

…….. ……….

V=ci+ai-1+ai+1-2aI ai+1=v+2ai-ai-1-ci

這里并不希望準(zhǔn)確地求出A0 至an-1，而是作以下處理：若令 a0 為0，能按上述算式計算出 A1至 an-1。程序找出 a 中的最小值，并讓全部a值減去這最小值，使每堆移去的薄片數(shù)大于等于0。

實際操作采用以下貪心策略：

（1）每次從第一堆出發(fā)順序搜索每一堆，若發(fā)現(xiàn)可從 I堆移走薄片，就完成一次移動。即， I堆的相鄰堆從 I堆取走 ai片薄片?？蓮腎堆移薄片到相鄰堆取于 I堆薄片數(shù)：若I 堆是處于兩端位置( I=0 I=n-1), 要求 ci>=ai ；若 I堆是中間堆，則要求ci>=2ai。

（2）因在ai>0的所有堆中，薄片數(shù)最多的堆在平分過程中被它的相鄰堆取走的薄片數(shù)也最多。在用策略（1）搜索移動時，當(dāng)發(fā)生沒有滿足條件（1）的可移走薄片的堆時，采用本策略，讓在ai>0的所有堆中，薄片數(shù)最多的堆被它的相鄰堆取走它的全部薄片。