【解法 1】兩人40分鐘共行了多少米？

　　5320-1520=3800（米）

　　兩人的速度和是多少？

　　3800÷40=95（米）

　　兩人再走幾分鐘相遇？

　　1520÷95=16（分鐘）

　　綜合算式： 1520÷[（5320-1520）÷40]

　　         =1520÷[3800÷40]

　　         =1520÷95=16（分鐘）。

【分析2】先求出兩人的速度和，再求出兩人從開始行到相遇共用多少分鐘，再減去共行的40分鐘，即得再走的相遇時間。

【解法 2】兩人的速度和是多少？

　?。?320-1520）÷40=95（米）

　　兩人走全程共需多少分鐘？

　　5320÷95=56（分鐘）

　　再走幾分鐘兩人相遇？

　　56-40=16（分鐘）

　　綜合算式： 5320÷[（5320-1520）÷40]-40

　　         =5320÷[3800÷40]-40

【分析3】先求出已走的路程是再走路程的幾倍，再用40分鐘除以這個倍數(shù)，即得兩人再走所需的時間.

【解法3】兩人已走了多少米？

　　5320-1520=3800（米）

　　已走路程是再走路程的幾倍？

　　3800÷1520=2.5（倍）

　　再走幾分鐘兩人相遇？

　　40÷2.5=16（分鐘）

　　綜合算式： 40÷[（5320-1520）÷1520]

　　         =40÷[3800÷1520]

　　         =40÷2.5=16（分鐘）.

【分析4】因為兩地距離÷相遇時間=速度和，而兩人速度和不變，所以兩地距離和相遇時間成正比例.

【解法4】設(shè)再走x分鐘兩人相遇.

　　（5320-1520）∶40=1520∶x

　　         3800∶40=1520∶x

　　                x= 

　　                x=16

　　答：兩人再走16分鐘后相遇.

【評注】解法1是一般解法，易于理解和掌握，但計算較繁些.解法3的思路簡明，運(yùn)算也不繁，是本題的較好解法.同時，由解法3的思路還可推想出運(yùn)用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法，或運(yùn)用比的知識解題，讀者可試試.

 例5 甲乙兩車分別從兩城相對開出，甲車每小時行33千米，乙車每小時行28千米.甲車開出2小時后，乙車出發(fā)，經(jīng)3小時相遇.兩城相距多少千米？

【分析1】甲車先開2小時所行的路程，加上兩車同時開3小時所行的路程，所得的和就是兩城相距多少千米.

【解法1】甲車2小時行了多少千米？

　　33×2=66（千米）

　　甲乙兩車同時開3小時共行多少千米？

　?。?3+28）×3=61×3=183（千米）

　　兩城相距多少千米？

　　66+183=249（千米）

　　綜合算式： 33×2+（33+28）×3

　　         =33×2+61×3

　　         =66+183=249（千米）.

【分析2】甲車所行的路程加上乙車所行的路程，即得兩城相距多少千米.

【解法2】甲車共行了幾小時？

　　2+3=5（小時）

　　甲車共行了多少千米？

　　33×5=165（千米）

　　乙車行了多少千米？

　　28×3=84（千米）

　　兩城相距多少千米？

　　165+84=249（千米）

　　綜合算式： 33×（2+3）+28×3

【分析3】假設(shè)甲車開車時乙車也同時出發(fā)，即兩車同時行5小時相遇.這樣兩車共行的路程比兩城的實際距離多算了2個28千米.由此可求出兩城間的實際距離。

【解法3】假設(shè)兩車同時發(fā)車，共行了幾小時相遇？

　　2+3=5（小時）

　　兩車同時行5小時共行多少千米？

　?。?3+28）×5=305（千米）

　　乙車比實際多計算了多少千米？

　　28×2=56（千米）

　　兩城相距多少千米？

　　305-56=249（千米）

　　綜合算式： （33+28）×（2+3）-28×2

　　          =61×5-28×2

　　          =305-56=249（千米）

【分析4】甲車先開出2小時，可假設(shè)為比實際晚開出1小時；而乙車假設(shè)為比實際早開出1小時.這樣原題就假設(shè)為：甲乙兩車同時相向而行，經(jīng)過4小時相遇.但兩車所行路程的和比兩城實際距離少33-28=5（千米）.

【解法4】 （33+28）×（3+2÷2）+（33-28）

　　=61×4+5=244+5=249（千米）

　　答：兩城相距249千米.

【評注】解法1和解法2是一般方法，容易想到，易于理解和掌握.解法3和解法4是假設(shè)法，思路新穎，算式看起來麻煩，但運(yùn)算并不麻煩.

例6 甲、乙兩列火車同時從相距630千米的兩地相對行駛，6小時相遇.甲車每小時比乙車快5千米，問兩車的速度各是多少？

【分析1】先求甲乙兩車的速度和，再用速度和加上5千米，就等于甲車2小時的行程，再除以2，即得甲車速度.用甲車速度減去5千米，即得乙車速度.

【解法1】甲乙兩車的速度和是多少？

　　630÷6=105（千米）

　　甲車速度是多少？

　?。?05+5）÷2=110÷2=55（千米）

　　乙車速度是多少？

　　55-5=50（千米）

　　綜合算式：甲車： （630÷6+5）÷2

　　                =（105+5）÷2=110÷2=55（千米）

　　乙車：55-5=50（千米）.

【分析2】假設(shè)乙車速度與甲車速度相同，那么相遇時，甲乙兩車所行的路程和比兩地實際距離多計算了5×6=30（千米）.再用630千米加上30千米的和除以6小時，即得甲車2小時的行程.由此可先求甲車速度；再求乙車速度.

【解法2】假設(shè)乙車與甲車速度相同，共多計算多少千米？

　　5×6=30（千米）

　　甲車2小時行多少千米？

　?。?30+30）÷6=660÷6=110（千米）

　　甲車每小時行多少千米？

　　110÷2=55（千米）

　　乙車每小時行多少千米？

　　55-5=50（千米）

　　綜合算式：甲車：（630+5×6）÷6÷2

　　              =660÷6÷2=55（千米）

　　乙車：55-5=50（千米）.

【分析3】假設(shè)甲車速度與乙車速度相同，那么兩車所行路程的和比兩地的實際距離要少5×6=30（千米）.用630千米與30千米的差除以6小時，即得乙車2小時的行程.由此可先求乙車速度，再求甲車的速度.

【解法3】假設(shè)甲車與乙車速度相同，共少計算多少千米？

　　5×6=30（千米）

　　乙車2小時行多少千米？

　?。?30-30）÷6=600÷6=100（千米）

　　乙車每小時行多少千米？

　　100÷2=50（千米）

　　甲車每小時行多少千米？

　　50+5=55（千米）

　　綜合算式：乙車：（630-5×6）÷6÷2

　　               =600÷6÷2=50（千米）

　　甲車：50+5=55（千米）.

【分析4】根據(jù)“速度和×相遇時間=兩地距離”可列方程解.

【解法4】設(shè)乙車每小時行x千米，那么甲車每小時行（x+5）千米.

　?。▁+5+x）×6=630

　　       2x+5=630÷6

　　         2x=630÷6-5

　　          x=（630÷6-5）÷2

　　          x=50

　　x+5=50+5=55

　　答：甲車每小時行55千米，乙車每小時行50千米.

【評注】解法1是通常解法，易于理解和掌握.解法2和解法3是假設(shè)法，易于理解，運(yùn)算簡便，是較好的解法.解法4的方程解法還可設(shè)甲車速度為x，讀者可試試.

例7  客車和貨車同時從甲、乙兩城之間的中點向相反的方向行駛，3小時后，客車到達(dá)甲城，貨車離乙城還有30千米.已知貨車的速度是客車的，甲、乙兩城相距多少千米？

【分析1】由題意可知，3小時內(nèi)貨車比客車少行30千米，由此可求出兩車的速度差，再除以對應(yīng)分率（1-），就可求出客車的速度，再求出乙車速度，最后根據(jù)“速度和×相遇時間=兩地距離”求出甲、乙兩城相距多少千米.

【解法1】貨車每小時比客車少行多少？

　　30÷3=10（千米）

　　客車每小時行多少千米？

　　10÷（1-）=40（千米）

　　貨車每小時行多少千米？

　　40-10=30（千米）

　　甲、乙兩城相距多少千米？

　?。?0+30）×3+30=240（千米）

　　綜合算式： 30÷3÷（1-）×（1+）×3+30

　　         =30÷3÷××3+30

　　         =40××3+30=240（千米）.

【分析2】因為“路程÷速度=時間”，而時間一定，所以兩車行駛的路程和兩車的速度成正比例，即貨車和客車的速度比就是它們所行路程的比。把轉(zhuǎn)化為3∶4，即貨車和客車的路程比.又知兩車所行路程的差是30千米，由此可求出兩城相距多少千米？

【解法2】 30÷（4-3）×（3+4）+30

　　     =30÷1×7+30=240（千米）.

【分析3】根據(jù)“客車所行路程減去貨車所行路程等于30千米”這一等量關(guān)系列方程，先求出兩車的速度，再用速度和乘以相遇時間加上30千米，即得甲乙兩城相距多少千米.

【解法3】設(shè)客車每小時行x千米.

　　3x-x×=30

　?。▁-x）×3=30

　　x=10

　　x=40

　　兩城距離：（40÷+40×）×3+30=240（千米）.

　　答：甲乙兩城相距240千米.

【評注】解法1是基本解法，易于理解，但計算較繁.解法3和解法1的數(shù)量關(guān)系及思路是基本相同的.解法2的思路簡捷，運(yùn)算也簡便，是本題的最佳解法.

例8  快車從甲城開往乙城，需要6小時.慢車從乙城開往甲城，每小時行42.5千米.兩車同時開出2小時還相距132千米，快車每小時行多少千米？

【分析1】快車行全程需6小時，它已行了2小時，再剩下的路程，快車再行4小時就行完全程.也就是說，慢車2小時行駛的路程與132千米的和，快車用4小時即可行完.由此可求出快車每小時行多少千米.

【解法1】慢車2小時行了多少千米？

　　42.5×2=85（千米）

　　快車4小時可行駛多少千米？

　　85+132=217（千米）

　　快車每小時行多少千米？

　　217÷（6-2）=54.25（千米）

　　綜合算式： （42.5×2+132）÷（6-2）

　　=（85+132）÷4

　　=217÷4=54.25（千米）.

【分析2】因為快車行全程需要6小時，已行了2小時，而快車沒行的路程是已行路程的（6-2）÷2=2（倍），由此可求出快車2小時行多少千米，再求每小時行多少千米.

【解法2】快車沒行的路程有多少千米？

　　42.5×2+132=85+132=217（千米）

　　快車沒行的路程是已行路程的幾倍？

　?。?-2）÷2=2（倍）

　　快車已行了多少千米？

　　217÷2=108.5（千米）

　　快車每小時行多少千米？

　　108.5÷2=54.25（千米）

　　綜合算式： （42.5×2+132）÷[（6-2）÷2]÷2

　　         =（85+132）÷[4÷]÷2

　　         =217÷2÷2=54.25（千米）.

【分析3】因為快車每小時行全程的，2小時就行全程的.快車沒行的路程是全程的1-=，用快車沒行的路程除以，即得全程有多少千米，再除以6小時，即得快車速度.

【解法3】快車還沒行的路程有多少？

　　42.5×2+132=85+132=217（千米）

　　甲乙兩城相距多少千米？

　　217÷（1-）=217÷=325.5（千米）

　　快車每小時行多少千米？

　　325.5÷6=54.25（千米）

　　綜合算式： （42.5×2+132）÷（1-）÷6

　　         =（85+132）÷÷6

　　        =217××=54.25（千米）.

【分析4】根據(jù)“兩城距離減去快車已行路程等于快車沒行的路程”這一等量關(guān)系列方程解.

【解法4】設(shè)快車每小時行x千米.

　　6x-2x=42.5×2+132

　　   4x=217

　　    x=54.25

　　答：快車每小時行54.25千米.

【評注】解法3是一般解法，計算較繁.解法4的等量確定恰當(dāng)，運(yùn)算也較簡便.解法1的思路更簡捷，更巧妙，運(yùn)算也更為簡便，是本題的最佳解法.

例9  一輛小汽車和一輛貨車同時從相距432千米的兩地相對開出，小時相遇.已知小汽車和貨車速度的比是9∶7，小汽車和貨車每小時各行多少千米？

【分析1】先用兩地距離除以相遇時間，即得小汽車和貨車的速度和，再運(yùn)用按比例分配的方法，把速度和按9∶7進(jìn)行分配，即可求出小汽車和貨車每小時各行多少千米.

【解法1】兩車的速度和是多少？

　　432÷=96（千米）

　　貨車每小時行多少千米？

　　96×=42（千米）

　　小汽車每小時行多少千米？

　　96×=54（千米）

　　綜合算式：小汽車： 432÷×

　　=432××（千米）

　　貨車： 432÷

　　=432×=42（千米）

　　或：54÷9×7=42（千米）

【分析2】因為“路程÷速度=時間”，而時間一定，所以兩車所行的路程和它們各自的速度成正比例.因此，兩車的速度比等于兩車所行的路程比.由此可把432千米按9∶7進(jìn)行分配，即可求出兩車的速度各是多少.

【解法2】小汽車共行了多少千米？

　　432÷（9+7）×9=432÷16×9=243（千米）

　　小汽車每小時行多少千米？

　　243÷=54（千米）

　　貨車共行了多少千米？

　　432÷（9+7）×7=189（千米）

　　貨車每小時行多少千米？

　　189÷=42（千米）

　　綜合算式：小汽車： 432×÷

　　=432×=54（千米）

　　貨車：54÷9×7=42（千米）.

【分析3】把9∶7轉(zhuǎn)化為，即貨車的速度是小汽車的，設(shè)小汽車的速度為x，那么貨車的速度為x.根據(jù)“速度和×相遇時間=兩地距離”這一等量關(guān)系，列方程求出兩車的速度各是多少.

【解法3】設(shè)汽車每小時行x千米.

　?。▁+x）×=432

　　x+x=432÷

　?。?+）x=432×

　　x=96÷（1+）

　　x=54

　　貨車：54×=42(千米）.

　　答：小汽車每小時行54千米；貨車每小時行42千米.

【評注】本題是行程和比的知識綜合運(yùn)用的應(yīng)用題.解此類題的關(guān)鍵是注意對已知條件的轉(zhuǎn)化理解.如解法3是把比轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)來理解，使解題思路進(jìn)行了轉(zhuǎn)換.同時，還要注意對知識的綜合運(yùn)用，如解法1運(yùn)用了行程應(yīng)用題和按比例分配的知識，解法2運(yùn)用了正比例的意義和按比例分配的知識.比較以上三種解法，解法1是本題最佳解法.