9.6乘法公式再認(rèn)識(shí)——因式分解（二）

第1課時(shí)

云用平方差公式進(jìn)行分解因式

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生進(jìn)一步理解因式分解的意義。

2、使學(xué)生理解平方差公式的意義，弄清公式的形式和特征。

3、會(huì)運(yùn)用平方差公式分解因式。

4、通過(guò)對(duì)比整式乘法和分解因式的關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力。

5、感受整式乘法和分解因式矛盾的對(duì)立統(tǒng)一觀(guān)點(diǎn)。

6、培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)參與探索的意識(shí)以及觀(guān)察能力。

7、感悟換元的思想方法。

說(shuō)明  現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)因式分解，如果要分解因式的多項(xiàng)式能寫(xiě)成乘法公式的右邊形式，那么，我們就可以反過(guò)來(lái)運(yùn)用乘法公式將它分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法，“反過(guò)來(lái)”指的是把公式左右兩邊換過(guò)來(lái)，這樣就可以利用這三個(gè)公式將某些多項(xiàng)式寫(xiě)成因式的積的形式，即進(jìn)行因式分解。這正是運(yùn)用公式法的依據(jù)。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1、理解平方差公式的意義，弄清公式的形式和特征。

2.會(huì)運(yùn)用平方差公式對(duì)某些多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式

三、教具、學(xué)具：

投影儀、條件較好的使用多媒體演示

四、教學(xué)過(guò)程：

（一）設(shè)置情景：

情景1、(x+5)(x-5)=（    ）     (a+b)(a-b)=(     )        (1)

        x² -25=(x+5)(     )      a² -b² =(a+b)(     )       (2)

情景2：計(jì)算圖中的陰影部分面積（用a、b的代數(shù)式表示）

問(wèn)題一：整體計(jì)算可以怎樣表示？

問(wèn)題二：分割成如圖兩部分可以怎樣計(jì)算？

問(wèn)題三：比較兩種計(jì)算的結(jié)果你有什么發(fā)現(xiàn)？

說(shuō)明：學(xué)生可能先分割再整體得出：(a+b)(a－b)=a²－b²    (1)

也有的是先整體再分割得出 a²－b²=(a+b)(a－b)           (2)

兩種形式加以比較進(jìn)一步明確整式乘法和因式分解的關(guān)系。

思考：

1.對(duì)于（1）式從左邊到右邊的變形叫什么？

2.對(duì)于（2）式從左邊到右邊的變形叫什么？

3.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)提公因式法分解因式。在（2）式的左邊有公因式嗎？但它寫(xiě)成右邊的形式是分解因式嗎？可見(jiàn)，沒(méi)有公因式的某些多項(xiàng)式也可以用別的方法分解。

（二）平方差公式的特征辨析：

把乘法公式(a+b)(a－b)=a²－b²反過(guò)來(lái)得：a²－b²=(a+b)(a－b)

我們可以運(yùn)用這個(gè)公式對(duì)某些多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式。這種方法叫運(yùn)用平方差公式法。

[議一議]：

下列多項(xiàng)式可以用平方差公式分解嗎？

（1）x²－y²    （2）x²+y²    （3）－x²－y²

（4）－x²+y²   （5）64－a²   （6）4x²－9y²

說(shuō)明：這里是學(xué)生自主辨析公式特點(diǎn)的好機(jī)會(huì)，一定讓學(xué)生自己討論，只要能辨別哪些能用公式就可以，教師在具體使用時(shí)，可以先出示前面4道題，為了降低難度可以先把第5題寫(xiě)為8²－a²然后改寫(xiě)成64－a²形式，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。對(duì)于最后一題若學(xué)生對(duì)冪的運(yùn)算較生疏，可以適當(dāng)補(bǔ)充練習(xí)，如：填空：4a²=(  )²  b²=(  )²   x²y²=(  )²。進(jìn)而讓學(xué)生自己體會(huì)公式中的a與b可以表示一個(gè)數(shù)，也可以表示一個(gè)式子，滲透換元的思想方法。最后，教師可以用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言總結(jié)平方差公式的特點(diǎn)：

1.左邊特征是：二項(xiàng)式，每項(xiàng)都是平方的形式，兩項(xiàng)的符號(hào)相反。

2.右邊特征是：兩個(gè)二項(xiàng)式的積，一個(gè)是左邊兩項(xiàng)的底數(shù)之和，另一個(gè)是這兩個(gè)底數(shù)之差。

3.在乘法公式中，平方差是指計(jì)算的結(jié)果，在分解因式時(shí)，平方差是指要分解的多項(xiàng)式。

（三）例題教學(xué)

例1 把下列多項(xiàng)式分解因式：

(1)    36－25x²  (2)   16a²－9b²

分析：觀(guān)察是否符合平方差公式的形式，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把36、25x²、16a²、9b²改寫(xiě)成6²、(5x)²、(4a)²和(3b)²形式，能否準(zhǔn)確的改寫(xiě)是本題的關(guān)鍵。

解：  36－25x²=6²－(5x)²

=(6+5x)(6－5x)

16a²－9b²=(4a)²－(3b)²

=(4a+3b)(4a－3b)

說(shuō)明： (1)對(duì)于多項(xiàng)式中的兩部分不是明顯的平方形式,應(yīng)先變形為平方形式,再運(yùn)用公式分解,以免出現(xiàn)16a²－9b²=(16a+9b)(16a－9b)的錯(cuò)誤。

（2）在此還要提醒防止出現(xiàn)分解后又乘開(kāi)的現(xiàn)象，這是舊知識(shí)的“倒攝作用”所引起的現(xiàn)象。

例2 如圖，求圓環(huán)形綠化區(qū)的面積。

解：   35²π－15²π

=π(35²－15²)

=(35+15)(35－15)π

=50×20π

=1000π(m²)

這個(gè)綠化區(qū)的面積是1000πm²

說(shuō)明：在這里列出算式后可以讓學(xué)生自己討論怎么計(jì)算，要讓學(xué)生解釋他的解法，可能解釋為逆運(yùn)用乘法結(jié)合律，也可能解釋為合并同類(lèi)項(xiàng)，都要予以肯定，在這兒不要怕浪費(fèi)時(shí)間，通過(guò)比較得出上述解法和前一節(jié)的提取公因式是一致的，從而為分解因式的一般步驟打下伏筆，即：先提公因式，再運(yùn)用公式。

例3 把下列多項(xiàng)式分解因式：

1. (x+p)²－(x+q)²   2. 9(a+b)²－4(a－b)²

分析：在這里，尤其要重視對(duì)運(yùn)用平方差公式前的多項(xiàng)式觀(guān)察和心算，而后是進(jìn)行變形。這一點(diǎn)在這兒尤為重要。

解： (x+p)²－(x+q)²

=[(x+p)+(x+q)][(x+p)－(x+q)]

=(2x+p+q)(p－q)

9(a+b)²－4(a－b)²

=[3(a+b)]²－[2(a－b)]²

=[3(a+b)+2(a－b)] [3(a+b)－2(a－b)]

=(5a+b)(a+5b)

說(shuō)明：設(shè)計(jì)本題的目的是讓學(xué)生加深平方差公式中的a、b不僅可以表示數(shù)字、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，進(jìn)一步滲透整體、換元的思想。

例4.（供選擇）觀(guān)察下列算式回答問(wèn)題：

3²－1=8

5²－1=24=8×3

7²－1=48=8×6

9²－1=80=8×10

………

問(wèn)：根據(jù)上述的式子，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能用自己的語(yǔ)言表達(dá)你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？你能用數(shù)學(xué)式子來(lái)說(shuō)明你的結(jié)論是正確的嗎？

解： 任意一個(gè)奇數(shù)的平方與1的差是8的整數(shù)倍。

(2n+1)²－1 =[(2n+1)+1][(2n+1)－1]

= (2n+2)·2n

=2(n+1)·2n

=4n(n+1)

因?yàn)?/span>n是整數(shù)，所以n、n+1是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，而兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)一定有一個(gè)是偶數(shù)，即n(n+1)是2的倍數(shù)，因此4n(n+1)是8的倍數(shù)。

（四）練習(xí)

1.下列分解因式是否正確：

（1）－x²－y²=(x+y)(x－y)

（2）9－25a²=(3+25a)(3+25b)

（3）－4a²+9b²=(－2a+3b)(－2a－3b)

2.把下列各式分解因式：

（1） 36－x²      （2）   a²－ b²      （3） x²－16y²

（4） x²y²－z²    （5） (x+2)²－9       （6）(x+a)²－(y+b)²

（7） 25(a+b)²－4(a－b)²                （8） 0.25(x+y)²－0.81(x－y)²

3.已知x²－y²=－1 ， x+y= ，求x－y的值。

（五）小結(jié)

學(xué)生自己說(shuō)出通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)一步理解了整式的乘法與因式分解的關(guān)系。能用自己的語(yǔ)言說(shuō)出平方差公式的特點(diǎn)。能體會(huì)出公式中的字母a、b不僅可以表示數(shù)字，而且可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。

選做

利用因式分解計(jì)算：

（1）

（2）(1－ )(1－ )(1－ )…(1－ )(1－ )

（3）已知：4m+n=90，2m－3n=10，求(m+2n)²－(3m－n)²的值。