1. 何謂假設(shè)檢定？

解：所謂假設(shè)檢定(hypothesis testing)是對(duì)母體參數(shù)設(shè)定一假設(shè)或主 

張，再利用由樣本所獲得之樣本統(tǒng)計(jì)量，以檢定母體參數(shù)是否符合假設(shè)，而後對(duì)此假設(shè)作出決策，也就是接受或拒絕此假設(shè)。

2. 何謂虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)？

解：在進(jìn)行假設(shè)檢定時(shí)，必須先要建立統(tǒng)計(jì)假設(shè)，而統(tǒng)計(jì)假設(shè)一般

採(cǎi)兩種型式：虛無(wú)假設(shè)(null hypothesis: )與對(duì)立假設(shè)(alternative hypothesis: )，其中虛無(wú)假設(shè)為我們建立而欲拒絕的假設(shè)，而對(duì)立假設(shè)則為我們建立而欲接受的假設(shè)。

3. 何謂型Ⅰ誤差與型Ⅱ誤差？

解：在進(jìn)行假設(shè)檢定時(shí)，原則上我們希望在 為真時(shí)接受 ，

為偽時(shí)拒絕 ，然而如果 為真但作出的決策是拒絕 ，則產(chǎn)生型Ⅰ誤差(type Ⅰ error)；相反地，如果 為偽但作出的決策卻是接受 ，即產(chǎn)生了型Ⅱ誤差(type Ⅱ error)。

4. 在進(jìn)行假設(shè)檢定時(shí)，α與β的發(fā)生時(shí)機(jī)分別出現(xiàn)在何時(shí)？

解：當(dāng) 為真時(shí)卻拒絕 ，稱為型Ⅰ誤差，而犯型Ⅰ誤差的機(jī)率以α表示：

α=P（拒絕 ∣ 為真）

當(dāng) 為真（ 為偽）時(shí)卻接受 ，稱為型Ⅱ誤差，而犯型Ⅱ誤差的機(jī)率以β表示：

β=P（接受 ∣ 為真）

α與β發(fā)生的時(shí)機(jī)如下表所示。

5. 市售某廠牌之礦泉水標(biāo)示其內(nèi)含鐵(Fe)離子為0.06mg，今欲測(cè)試其標(biāo)示是否屬實(shí)，隨機(jī)抽取40罐礦泉水，得樣本平均數(shù) =0.058，樣本標(biāo)準(zhǔn)差 =0.02，試在α=0.05下，應(yīng)用臨界值檢定法檢定該廠牌礦泉水之標(biāo)示是否準(zhǔn)確。

解：n=40為大樣本，樣本平均數(shù) =0.058，樣本標(biāo)準(zhǔn)差 =0.02， ，建立虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為

：μ=0.06

：μ 0.06

由於母體標(biāo)準(zhǔn)差未知，因此以樣本標(biāo)準(zhǔn)差 來(lái)估計(jì)母體標(biāo)準(zhǔn)差 ，得 = = =0.00316，而 ， = =1.96

，因此臨界值為

= =0.06+(1.96)(0.00316)=0.066

= =0.06-(1.96)(0.00316)=0.054

決策法則為：若0.054 0.066，則接受 ，

若 0.066或 0.054，則拒絕 。

已知 =0.058，與臨界值相比較發(fā)現(xiàn)0.054 0.066，根據(jù)決策法則得知應(yīng)接受 ，因此判斷樣本資料足以支持該廠牌礦泉水之標(biāo)示。

6. 在習(xí)題5中，應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)量檢定法，在α=0.05下，檢定該廠牌礦泉水之標(biāo)示是否準(zhǔn)確。

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為

：μ=0.06

：μ 0.06

=40為大樣本，因此以常態(tài)分配檢定，檢定統(tǒng)計(jì)量為：

          = =－0.632

因採(cǎi)雙尾檢定，而 ， = =1.96，故決策法則為：

若 ，則接受 ，

若 >1.96或 <-1.96，則拒絕 。

而 ，因此接受 ，即根據(jù)樣本所提供的資訊顯示該廠牌礦泉水之標(biāo)示準(zhǔn)確。

7. 在習(xí)題5中，應(yīng)用p值檢定法，在α=0.05下，檢定該廠牌礦泉水之標(biāo)示是否準(zhǔn)確。

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為

：μ=0.06

：μ 0.06

=40為大樣本，因此以常態(tài)分配檢定母體平均數(shù)，檢定統(tǒng)計(jì)量觀察值 ，由於是雙尾檢定時(shí)，故 值為：

p值 =2P( ∣μ= )

=2P( 0.058∣μ=0.06)

=2P( )

=2P( -0.632)= 2(0.2643)=0.5286

由於p值=0.5286>0.05，因此接受 ，即根據(jù)樣本所提供的資訊顯示該廠牌礦泉水之標(biāo)示準(zhǔn)確。

8. 某廠牌之平版衛(wèi)生紙包裝上標(biāo)示內(nèi)含260張，已知張數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差 為3張，今隨機(jī)抽取50包該廠牌衛(wèi)生紙，得其樣本平均數(shù) 259張，在α=0.01下，應(yīng)用臨界值檢定法檢定該廠牌之衛(wèi)生紙包裝上標(biāo)示是否正確？

解：樣本數(shù)n=50為大樣本，樣本平均數(shù) =259，建立虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為

：μ=260

：μ 260

母體標(biāo)準(zhǔn)差已知且為雙尾檢定，而α=0.01， = =2.58，因此臨界值為

        = =260-(2.58)(3/ )=258.905

= =260+(2.58)(3/ )=261.095

決策法則為：若 ，則接受 ，

若 或 ，則拒絕 。

已知樣本平均數(shù) =259，與臨界值相比較發(fā)現(xiàn) ，因此根據(jù)決策法則得知應(yīng)接受 ，判斷樣本資料支持該廠牌衛(wèi)生紙包裝上之標(biāo)示。

9. 在習(xí)題8中，應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)量檢定法，在α=0.01下，該廠牌之衛(wèi)生紙包裝上標(biāo)示是否正確？

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為

：μ=260

：μ 260

因母體標(biāo)準(zhǔn)差已知且n=50為大樣本，故以常態(tài)分配作此假設(shè)檢定，檢定統(tǒng)計(jì)量為：

=－2.357

此假設(shè)檢定為雙尾檢定，而α=0.01， = =2.58，故決策法則為：

若 ，則接受 ，

若z>2.58或z<-2.58，則拒絕 。

而檢定統(tǒng)計(jì)量z=-2.357，因此 ，故接受 ，即根據(jù)樣本樣本資料支持該廠牌衛(wèi)生紙包裝上之標(biāo)示。

10. 在習(xí)題8中，應(yīng)用p值檢定法，在α=0.01下，該廠牌之衛(wèi)生紙包裝上標(biāo)示是否正確？

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為

：μ=260

：μ 260

因母體標(biāo)準(zhǔn)差已知且n=50為大樣本，故以常態(tài)分配檢定母體平均數(shù)，檢定統(tǒng)計(jì)量觀察值 ，此假設(shè)檢定為雙尾檢定，故p值為：

p值=2P( ∣μ= )

=2P( 259∣μ=260)

=2P( )

=2P(z -2.357)= 2P(z＞2.357)=2(0.0091)=0.0182

由於p值=0.00182>0.01，因此接受 ，即根據(jù)樣本樣本資料支持該廠牌衛(wèi)生紙包裝上之標(biāo)示。

11. 某國(guó)小保健室欲調(diào)查三年級(jí)學(xué)生之平均體重是否低於40公斤，於是隨機(jī)抽取15位學(xué)生其體重分別為

35 42 41 39 37 46 32 44 40 41 39 36 45 32 38

，假設(shè)母體為常態(tài)分配，試在α=0.05下，檢定該國(guó)小三年級(jí)學(xué)生之平均體重是否低於40公斤。

解：樣本數(shù)n=15，樣本平均數(shù) =39.133，樣本標(biāo)準(zhǔn)差

s= 4.274，建立虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為

：μ 40

：μ<40

樣本數(shù)為小樣本，且母體為常態(tài)分配，又母體標(biāo)準(zhǔn)差未知，故採(cǎi)用t分配檢定，自由度d.f.為15-1=14，檢定方式為左尾檢定，因此

( -1)= (14)=1.761，因此臨界值c為

 c=40-(1.761)(4.274/ )=38.057

決策法則為：若 38.057，則接受 ，

若 <38.057，則拒絕 。

已知樣本平均數(shù) =39.133，與臨界值相比較發(fā)現(xiàn)

38.057，故接受 ，因此判斷由樣本資料支持該國(guó)小三年級(jí)學(xué)生之平均體重不低於40公斤。

12. 在習(xí)題11中，應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)量檢定法，在α=0.05下，檢定該國(guó)小三年級(jí)學(xué)生之平均體重是否低於40公斤。

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為

：μ 40

：μ<40

樣本數(shù) =15為小樣本，且母體為常態(tài)分配，又母體標(biāo)準(zhǔn)差未知，故採(cǎi)用 分配檢定，檢定統(tǒng)計(jì)量為：

=-0.786

因?yàn)榇思僭O(shè)檢定為左尾檢定，而 ( -1)= (14)=1.761，故決策法則為：

若t -1.761，則接受 ，

若t<-1.761，則拒絕 。

由計(jì)算出的檢定統(tǒng)計(jì)量 =-0.786 -1.761，故接受 ，即根據(jù)樣本所提供的資訊顯示該國(guó)小三年級(jí)學(xué)生之平均體重不低於40公斤。

13. 在習(xí)題11中，應(yīng)用p值檢定法，在α=0.05下，檢定該國(guó)小三年級(jí)學(xué)生之平均體重是否低於40公斤。

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為

：μ 40

：μ<40

採(cǎi)用 分配檢定，由於是左尾檢定，檢定統(tǒng)計(jì)量觀察值 ，故p值為：

p值=P( ∣μ= )

=P( 39.133∣μ=40)

    =P( )=P(t -0.786) =P(t＞0.786)

由查表可得知 (14)=0.537， (14)=0.868，故P(t -0.786)之值應(yīng)介於0.2與0.3之間，大於0.05，因此接受 ，即根據(jù)樣本所提供的資訊顯示該國(guó)小三年級(jí)學(xué)生之平均體重不低於40公斤。

14. 根據(jù)某民間調(diào)查機(jī)構(gòu)宣稱某位民意代表候選人在某選區(qū)之支持率高於40%，今隨機(jī)訪問(wèn)該選區(qū)之100位選民，發(fā)現(xiàn)其中有42位支持該位候選人，試在α=0.05下，應(yīng)用臨界值檢定法檢定該民間調(diào)查機(jī)構(gòu)之宣稱是否值得採(cǎi)信。

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別建立如下：

：p=0.4          

：p＞0.4

由於np=(100)(0.4)=40>5，n(1-p)=(100)(0.6)=60>5，因此視為大樣本，樣本比例 的抽樣分配近似於常態(tài)分配，以常態(tài)分配進(jìn)行此假設(shè)檢定，又為右尾檢定，而α=0.05， = =1.645，故臨界值為

= =0.4+(1.645)( )=0.481

決策法則為：

若 ，則接受 。

若 ，則拒絕 。

樣本比例 =42/100=0.42，而 ，因此接受 ，即根據(jù)樣本資訊，該民間調(diào)查機(jī)構(gòu)之宣稱不值得採(cǎi)信。

15. 在習(xí)題14中，試應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)量檢定法，在α=0.05下，檢定該民間調(diào)查機(jī)構(gòu)之宣稱是否值得採(cǎi)信。

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為：

：p=0.4

：p＞0.4

由於 ， ，因此視

為大樣本，樣本比例 的抽樣分配近似於常態(tài)分配，以常態(tài)分

配進(jìn)行此假設(shè)檢定，檢定統(tǒng)計(jì)量為

     = =0.408

因採(cǎi)右尾檢定，而α=0.05， = =1.645，故決策法則為：

若 ，則接受 ，

若z>1.645，則拒絕 。

而 ，因此接受 ，即根據(jù)樣本所提供的資訊顯示該民間調(diào)查機(jī)構(gòu)之宣稱不值得採(cǎi)信。

16. 在習(xí)題14中，試應(yīng)用p值檢定法，在α=0.05下，檢定該民間調(diào)查機(jī)構(gòu)之宣稱是否值得採(cǎi)信。

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為：

：p=0.4

：p＞0.4

由於是右尾檢定，因?yàn)?/span> ，

，因此視為大樣本，樣本比例 的抽

樣分配近似於常態(tài)分配，以常態(tài)分配進(jìn)行此假設(shè)檢定，檢定統(tǒng)

計(jì)量觀察值 ，故 值為：

p值=P( ∣p= )

=P( 0.42∣p=0.4)

=P( )

=P(Z 0.408)=0.3409>0.05

值=0.3409>0.05，因此接受 ，即根據(jù)樣本所提供的資訊顯示該民間調(diào)查機(jī)構(gòu)之宣稱不值得採(cǎi)信。

17. 某公司生產(chǎn)之電腦鍵盤(pán)之使用說(shuō)明書(shū)要求此鍵盤(pán)長(zhǎng)度（單位：英吋）的變異數(shù)不超過(guò)0.0001，今隨機(jī)抽取20個(gè)鍵盤(pán)，量其長(zhǎng)度，得樣本變異數(shù)為0.0002，試在α=0.05下，應(yīng)用臨界值檢定法檢定鍵盤(pán)使用說(shuō)明書(shū)之要求是否達(dá)成。

解：n=20，樣本變異數(shù) =0.0002，虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為：

：

： >

利用 分配來(lái)檢定母體變異數(shù)，又為右尾檢定，而 ，

，臨界值為

c= ( -1)

      = (20-1)= (30.14)=0.000159

由於是右尾檢定，因此決策法則為：

若 0.000159，則接受 。

若 >0.000159，則拒絕 。

而 =0.0002>0.000159，因此拒絕 ，即根據(jù)樣本資訊顯示此鍵盤(pán)使用說(shuō)明書(shū)之要求並未達(dá)成。

18.在習(xí)題17中，試應(yīng)用 檢定，在α=0.05下，檢定鍵盤(pán)使用說(shuō)明書(shū)之要求是否達(dá)成。

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為：

：

： >

利用 分配來(lái)檢定母體變異數(shù)，檢定統(tǒng)計(jì)量為

= =38

查表六得臨界點(diǎn) (20-1)=30.14，由於是右尾檢定，因此決策法則為：

若 30.14，則接受 ，

若 >30.14，則拒絕 。

而檢定統(tǒng)計(jì)量 =38>30.14，因此拒絕 ，即根據(jù)樣本資訊顯示此鍵盤(pán)使用說(shuō)明書(shū)之要求並未達(dá)成。

19.在習(xí)題17中，試應(yīng)用p值檢定法，在α=0.05下，檢定鍵盤(pán)使用說(shuō)明書(shū)之要求是否達(dá)成。

解：虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)分別為：

：

     ： >

由於是右尾檢定， ，檢定統(tǒng)計(jì)量觀察值 ，故p值為

     p值=P[ >0.0002∣σ= ]

        =P[ > ]

        =P( >38)

經(jīng)查表六得 (19)=35.58， (19)=43.82，因此知p值介於0.001與0.005之間，小於α=0.05，因此拒絕 ，即根據(jù)樣本資訊顯示此鍵盤(pán)使用說(shuō)明書(shū)之要求並未達(dá)成。