讓探究成為數(shù)學(xué)教學(xué)的常態(tài)

作者：吳力田

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　　關(guān)注教學(xué)的有效性，追求理想的教學(xué)狀態(tài)是我們每個(gè)教學(xué)工作者的目標(biāo). 在新課標(biāo)體系下，我們應(yīng)該以一種理性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維和教學(xué)心態(tài)去引領(lǐng)學(xué)生形成新型的研究型學(xué)習(xí)氛圍，努力實(shí)現(xiàn)“充滿生命活力”的課堂文化氛圍. 根據(jù)教材特點(diǎn)，圍繞某個(gè)專題，讓學(xué)生用自我探究與合作交流的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)、體驗(yàn)過程，從而獲取知識(shí)、培養(yǎng)能力. 這樣的探究，著力于學(xué)生的學(xué)，目標(biāo)指向?qū)W生的思維能力、創(chuàng)新能力、問題意識(shí)、合作意識(shí)的培養(yǎng). 探究應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的常態(tài).
　　
　　一、局部探究，加強(qiáng)對(duì)概念的深化和理解
　　
　　對(duì)習(xí)題的局部探究過程中，學(xué)生不僅體驗(yàn)過程、感受樂趣，更重要的是加強(qiáng)對(duì)概念的深化和理解. 在解題教學(xué)中，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性的挖掘和不同解法的探求以及各種變式的討論，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)的有機(jī)整體，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通和引申拓廣，有助于學(xué)生思維的變通性、靈活性、流暢性、深刻性和發(fā)散性等多種思維品質(zhì)的提高.
　　案例1 （2008年湖南省高考題）對(duì)有n（n≥4）個(gè)元素的總體｛1，2，3，…，n｝進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝（m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2），再?gòu)拿總€(gè)子總體中各隨機(jī)抽取2個(gè)元素組成樣本，用Pij表示元素i和j同時(shí)出現(xiàn)在樣本中的概率，則P1m= ；所有Pij（1≤i＜j≤n）的和等于 .
　　1. 教學(xué)活動(dòng)的開展——解題思路的常規(guī)探求
　　這是一道有一定難度的填空題，教師先引導(dǎo)學(xué)生分析第一問的作用，再?gòu)奶厥獾揭话?，?duì)i，j的來(lái)源進(jìn)行分類討論從而得到解法一.
　　解法一：對(duì)i，j的來(lái)源進(jìn)行分類討論.
　　知哪位同學(xué)輕輕地說了這樣一句. 是呀，有沒有更好的辦法呢？索性在課堂上放手讓同學(xué)們討論探討.“好像C嗎？幾分鐘后另一個(gè)學(xué)生給出了以下解法.
　　解法二：其實(shí)只要注意到題中“從每個(gè)子總體中各隨機(jī)抽取2個(gè)元素組成樣本”這句話，在所選取的4個(gè)元受到解法二的提示，好幾個(gè)同學(xué)都很快給出了解法三.
　　解法三：在解法二的基礎(chǔ)上采用整體思路，同樣在所選取的4個(gè)元素中考慮，其實(shí)相當(dāng)于4個(gè)不同的元素中任.
　　2. 教學(xué)活動(dòng)的深入——探求結(jié)果的反思分析
　　縱觀三種解法，其實(shí)是概率研究的兩種基本思路，一個(gè)著眼于最大的樣本空間考慮，一個(gè)著眼于小樣本空間；一個(gè)是分步研究，一個(gè)是從整體考慮. 兩種思路提供了暴露思維過程的優(yōu)質(zhì)素材. 課堂上引導(dǎo)學(xué)生弄清：
　　——麻煩的思路到底麻煩在什么地方，能不能變簡(jiǎn)單些？
　　——簡(jiǎn)單的思路為什么會(huì)簡(jiǎn)單，對(duì)題設(shè)條件做了什么樣的理解和處理？
　　——題目和方法能否推廣到更一般的情況？
　　課堂上學(xué)生暢所欲言，不僅對(duì)本題有越來(lái)越清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)概率這個(gè)概念也有了更深刻的理解. 而且對(duì)題目不斷推廣引申得到了好幾個(gè)新的命題，并且得到一一解決.
　　問題的推廣：
　?。?）對(duì)有n（n≥4）個(gè)元素的總體｛1，2，3，…，n｝進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝（m是給定的正整數(shù)，且x≤m≤n-y），若從兩個(gè)子總體中分別取出x個(gè)和y個(gè)元素，則（2）對(duì)有n（n≥4）個(gè)元素的總體｛1，2，3，…，n｝進(jìn)行抽樣，先將總體分成三個(gè)子總體｛1，2，…，s｝、｛s+1，s+2，…，t｝和｛t+1，t+2，…，n｝（s，t是給定的正整數(shù)，且s≥x，t-s≥y，n-t≥z），若從3. 解題經(jīng)驗(yàn)的自覺積累
　　解法三有一種高屋建瓴之勢(shì)，對(duì)解題思路看得更透徹了，對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系看得更清楚了，課堂上講一題多解目標(biāo)并不只滿足于多找出幾個(gè)解法，而是通過解題過程的分析，引領(lǐng)學(xué)生去領(lǐng)悟：怎樣解題？怎樣學(xué)會(huì)解題？ 在教學(xué)中我們不僅要引導(dǎo)學(xué)生不斷暴露自己的思維過程，加深對(duì)概念的理解，更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)探究分析自己的解題過程和結(jié)果.
　　二、深入探究，挖掘知識(shí)更廣泛聯(lián)系
　　解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心內(nèi)容，解題要溝通知識(shí)的邏輯聯(lián)系或轉(zhuǎn)化關(guān)系，這是比較清楚的. 而解題本身是在挖掘知識(shí)的更廣泛聯(lián)系，也是在發(fā)生數(shù)學(xué)，在深入理解數(shù)學(xué). 事實(shí)上，數(shù)學(xué)解題的實(shí)質(zhì)就是發(fā)生數(shù)學(xué)；解題活動(dòng)的核心價(jià)值是掌握數(shù)學(xué). 深入探究數(shù)學(xué)解題思路和過程具有溝通知識(shí)更廣泛聯(lián)系的功能.
　　案例2 從A到B，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一1. 常規(guī)解法的探求
　　這是一次單元測(cè)驗(yàn)中的試題，試題本身沒什么難度，正確率也比較高，學(xué)生只反映運(yùn)算量有點(diǎn)大.
　　2. 深入探究——從特殊到一般，從一般到特殊
　　試卷講評(píng)結(jié)束下課后，一個(gè)學(xué)生來(lái)找我了：“老師，我已經(jīng)弄明白了這道題該怎么做，但是把路線A→C→F→. ” “真的？老師也沒考慮過這個(gè)問題，姑且就把它作為一個(gè)猜想吧，能給出證明嗎？就以三段為例試試看吧. ”旁邊另一位同學(xué)聽了也很感興趣，兩個(gè)人一起討論去了. 一會(huì)兩人就拿來(lái)了證好了的結(jié)果. 設(shè)三段上的堵車概率分別為a，b，c，ξ表示遇到堵車的次數(shù)，則分布列如下：
　　Eξ=a（1-b）（1-c）+b（1-a）（1-c）+c（1-a）（1-b）
　　 +2[ab（1-c）+ac（1-b）+bc（1-a）]+3abc=a+b+c.
　　生1：“我還驗(yàn)證了兩段的也是成立的. 證明是完成了，但我還是不明白為什么. ”
　　師： “問得好，為什么呀？”
　　生2：“我好像有點(diǎn)知道了，二項(xiàng)分布期望Eξ=nP，現(xiàn)在不是n=3，P1，P2，P3不相等的情況嗎？”
　　生1：“這有什么關(guān)系，又不是二項(xiàng)分布. ”
　　師： “老師提供一個(gè)公式，若ξ=X1+X2+…+Xn，則Eξ=EX1+EX2+…+EXn，再想一想吧. ”
　　第二天，兩位同學(xué)興高采烈地來(lái)找我，“老師，我們終于解決問題了”.
　　師：“快說來(lái)聽聽. ”
　　生：“把每個(gè)隨機(jī)變量Xi都看成二項(xiàng)分布，則EXi=Pi， 在二項(xiàng)分布中，EXi=P，Eξ=nP；當(dāng)不是獨(dú)立重復(fù)事件時(shí)Eξ=P1+P2+…+Pn. 二項(xiàng)分布只是其特殊情況，是這樣吧？”
　　師：“太棒了！明天上課給同學(xué)們講講吧，讓大家一起分享分享. ”
　　兩位同學(xué)在課堂上把問題的來(lái)龍去脈講得有趣又精彩. 這份精彩一方面來(lái)自數(shù)學(xué)本身的深刻內(nèi)涵，另一方面，它更來(lái)自于大家的積極參與、合作交流、主動(dòng)探究. 因?yàn)閮晌煌瑢W(xué)平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)平平，更對(duì)全班同學(xué)都有激勵(lì)作用. 第二天又有一位參加競(jìng)賽的同學(xué)拿來(lái)了數(shù)學(xué)歸納法的證明. 兩天來(lái)對(duì)一道題目的爭(zhēng)論研究，同學(xué)們經(jīng)歷了從特殊到一般，又從一般到特殊的數(shù)學(xué)研究過程. 在這個(gè)過程中學(xué)生的收獲遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出一道題的解決.
　　3. 教學(xué)反思——探究建構(gòu)激發(fā)學(xué)習(xí)激情
　　建構(gòu)主義認(rèn)為： “知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的. ”這個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不是通過教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，在課堂教學(xué)中，教師不僅要展示對(duì)題目的奇思妙解，更要讓學(xué)生有機(jī)會(huì)展示自己的解題過程. 引導(dǎo)學(xué)生探究題目的真正內(nèi)涵，尋找知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系. 教師要對(duì)學(xué)生產(chǎn)生的思想火花——即與眾不同的見解和想法及時(shí)發(fā)現(xiàn)、鼓勵(lì)，創(chuàng)造良好的學(xué)術(shù)氛圍，把學(xué)生引入熱烈的討論、爭(zhēng)辯，同時(shí)把問題引入實(shí)質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)新的方法和規(guī)律，使學(xué)生在探究的過程中體會(huì)到激動(dòng)和振奮.
　　三、探究活動(dòng)溝通教與學(xué)
　　教學(xué)活動(dòng)是一種師、生、文本之間的對(duì)話過程，這個(gè)過程是一個(gè)思想觀念不斷碰撞、精神情感不斷交流的過程，教師必須注重這種“對(duì)話活動(dòng)”的形成和發(fā)展. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)絕不是常規(guī)的簡(jiǎn)單模仿和機(jī)械操作，數(shù)學(xué)解題教學(xué)并不指向解題本身，“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考、分析問題，抓住事物的本質(zhì)，于細(xì)微處見真理”才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的. 具體而言，應(yīng)該包括：
　　1． 善于分析、總結(jié)、拓寬、應(yīng)用，這便是所謂的數(shù)學(xué)能力，其實(shí)也是每個(gè)人都應(yīng)具備的基本素質(zhì).
　　2． 善于發(fā)現(xiàn)事物的發(fā)展規(guī)律，抓住本質(zhì)，這便是數(shù)學(xué)能力發(fā)揮所至，即學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的結(jié)果.
　　3． 善于從細(xì)微處見真理，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最高境界.
　　在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探究討論，體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生過程，其實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生了解“教”的過程，在這個(gè)過程中再反思“學(xué)”的過程，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)教統(tǒng)一，使學(xué)生和老師在情感和信息交流中達(dá)到高度的協(xié)調(diào)，從而達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng)的目的.
　　在新課改背景下，我們應(yīng)該努力倡導(dǎo)一種“有意義”的教學(xué)方式，讓數(shù)學(xué)探究成為貫穿于數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)課堂始終的重要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程中的主動(dòng)性與問題性. 教師應(yīng)該重視學(xué)生自主探究的意識(shí)和習(xí)慣的培養(yǎng)，采用多方位的方法和策略，努力構(gòu)建有價(jià)值的數(shù)學(xué)探究，使之成為所有學(xué)生一種良好的學(xué)習(xí)品質(zhì).