伽羅華（Évariste Galois，公元1811年~公元1832年）是法國對函數(shù)論、方程式論和數(shù)論作出重要貢獻的數(shù)學家，他的工作為群論（一個他引進的名詞）奠定了基礎；所有這些進展都源自他尚在校就讀時欲證明五次多項式方程根數(shù)解（Solution by Radicals）的不可能性（其實當時已為阿貝爾（Abel）所證明，只不過伽羅華并不知道），和描述任意多項式方程可解性的一般條件的打算。雖然他已經發(fā)表了一些論文，但當他于1829年將論文送交法蘭西科學院時，第一次所交論文卻被柯西（Cauchy）遺失了，第二次則被傅立葉（Fourier）所遺失；他還與巴黎綜合理工大學（école Polytechnique）的口試主考人發(fā)生頂撞而被拒絕給予一個職位。在父親自殺后，他放棄投身于數(shù)學生涯，注冊擔任輔導教師，結果因撰寫反君主制的文章而被開除，且因信仰共和體制而兩次下獄。他第三次送交科學院的論文均被泊松（Poisson）所拒絕。伽羅華死于一次決斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，時年21歲。他被公認為數(shù)學史上兩個最具浪漫主義色彩的人物之一。
1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞爾湖附近躺著一個昏迷的年輕人，過路的農民從槍傷判斷他是決斗后受了重傷，就把這個不知名的青年抬到醫(yī)院。第二天早晨十點，這個可憐的年輕人離開了人世，數(shù)學史上最年輕、最富有創(chuàng)造性的頭腦停止了思考。后來的一些著名數(shù)學家們說，他的死使數(shù)學的發(fā)展被推遲了幾十年，他就是伽羅華。
天才的童年
  1811年10月25日，伽羅華出生于法國巴黎郊區(qū)拉賴因堡伽羅瓦街的第54號房屋內?，F(xiàn)在這所房屋的正面有一塊紀念牌，上面寫著：“法國著名數(shù)學家埃瓦里斯特•伽羅瓦生于此，卒年20歲，1811～1832年”。紀念牌是小鎮(zhèn)的居民為了對全世界學者迄今公認的、曾有特殊功績的、卓越的數(shù)學家——伽羅瓦表示敬意，于1909年6月設置的。
   伽羅瓦的雙親都受過良好的教育。在父母的熏陶下，伽羅瓦童年時代就表現(xiàn)出有才能、認真、熱心等良好的品格。其父尼古拉•加布里埃爾•伽羅瓦參與政界活動屬自由黨人，是拿破侖的積極支持者。主持過供少年就學的學校，任該校校長。又擔任拉賴因堡15年常任市長，深受市民的擁戴。伽羅瓦曾向同監(jiān)的難友勒斯拜——法國著名的政治家、化學家和醫(yī)生說過：“父親是他的一切”?？梢姼赣H的政治態(tài)度和當時法國的革命熱潮對伽羅瓦的成長和處事有較大的影響。
   伽羅瓦的母親瑪利亞•阿代累達•伽羅瓦曾積極參與兒子的啟蒙教育。作為古代文化的熱烈愛好者，她把從拉丁和希臘文學中汲取來的英勇典范介紹給她兒子。1848年發(fā)表在《皮托雷斯克畫報》上有關伽羅瓦的傳記中，特別談到“伽羅瓦的第一位教師是他的母親，一個聰明兼有好教養(yǎng)的婦女，當他還在童稚時，她一直給他上課”。這就為伽羅瓦在中學階段的學習和以后攀登數(shù)學高峰打下了堅實的基礎。
   1823年l0月伽羅瓦年滿12歲時，離開了雙親，考入有名的路易•勒•格蘭皇家中學。從他的老師們保存的有關他在中學生活的回憶錄和筆記中，記載著伽羅瓦是位具有“杰出的才干”，“舉止不凡”，但又“為人乖僻、古怪、過分多嘴”性格的人。我們認為這種性格說明他有個性，而且早已顯露出強烈的求知欲的標志。
伽羅瓦在路易•勒•格蘭皇家中學領獎學金，完全靠公費生活。在第四、第三和第二年級時他都是優(yōu)等生，在希臘語作文總比賽中也獲得好評，并且在1826年l0月轉到修辭班學習。
   但是第二學季一開始(伽羅瓦這時剛滿15歲)，由于教師們認為他的體格不夠強壯，校長認為他的判斷力還有待“成熟”，他不得不回到二年級。重修二年級，使伽羅瓦有機會毫無阻礙地被批準去上初級數(shù)學的補充課程。自此他把大部分時間和主要精力用來研究、探討數(shù)學課本以外的高等數(shù)學。伽羅華經常到圖書館閱讀數(shù)學專著，特別對一些數(shù)學大師，如勒讓德的《幾何原理》和拉格朗日的《代數(shù)方程的解法》、《解析函數(shù)論》、《微積分學教程》進行了認真分析和研究，但他并未失去對其他科目的興趣。因此，當1827年伽羅瓦回到修辭班時，他的全面發(fā)展甚至比他的數(shù)學的天分在同學之中更加出人頭地了。但是他對其它科目的教科書的內容以及教師所采用的教學法之潦草馬虎感到憤怒。所以有的教師認為他被數(shù)學的鬼魅迷住了心竅，有的教師用七個字“平靜會使他激怒”來形容他的行為。
    這時伽羅瓦已經熟悉歐拉、高斯、雅可比的著作，這更提高了他的信心，他認為他能夠做到的，不會比這些大數(shù)學家們少。到了學年末，他不再去聽任何專業(yè)課了，而在獨立地準備參加取得升入綜合技術學校資格的競賽考試。結果盡管考試失敗，但1828年10月，他仍然從中學初級數(shù)學班跳到里夏爾的數(shù)學專業(yè)班。路易•勒•格蘭中學的數(shù)學專業(yè)班教師里夏爾，在科學史上，他作為一個很有才華的教師使人追念。里夏爾不僅講課風格優(yōu)雅，而且善于發(fā)掘天才。他遺留下的筆記中記載著：“伽羅瓦只宜在數(shù)學的尖端領域中工作”，“他大大地超過了全體同學”。里夏爾幫助伽羅瓦于1828年在法國第一個專業(yè)數(shù)學雜志《純粹與應用數(shù)學年報》三月號上，發(fā)表了他的第一篇論文—《周期連分數(shù)一個定理的證明》，并說服伽羅瓦向科學院遞送備忘錄。1829年，伽羅瓦在他中學學年快要結束時，把他研究的初步結果的論文提交給法國科學院。
   1829年，中學學年結束后，伽羅瓦剛滿18歲，他在報考巴黎綜合技術學校時，由于在口試中主考的教授比內和勒費布雷•德•富爾西對伽羅瓦闡述的見解不理解，居然嘲笑他。伽羅瓦在提及這次考試時，曾寫道，他不得不聽“主考人的狂笑聲”。據(jù)說“由于被狂笑聲所激怒”，他把黑板擦布扔到主考人頭上，或是因為他拒絕回答有關關于對數(shù)這樣的過于簡單的問題，所以再次遭到落選，伽羅瓦仍然是一個非正式的預備生。
   1829年7月2日，正當伽羅瓦準備入學考試時，他的父親由于受不了天主教牧師的攻擊、誹謗而自殺了。這給了伽羅華很大的觸動，他的思想開始傾向于共和主義。其后不久，伽羅華聽從里夏爾的勸告決定進師范大學，這使他有可能繼續(xù)深造，同時生活費用也有了著落。1829年10月25日伽羅華被作為預備生錄取入學。
   進入師范大學后的一年對伽羅瓦來說是最順利的一年，1828年他的科學研究獲得了初步成果。伽羅瓦寫了幾篇大文章，并提出自己的全部著作來應征科學院的數(shù)學特獎。但在這里，他又一次遭到了新挫折：伽羅瓦的手稿原來交給科學院常任秘書傅立葉，傅立葉收到手稿后不久就去世了。因而文章也被遺失了。這些著作的某些抄本落到數(shù)學雜志《費律薩克男爵通報》的雜志社手里，并在1830年的4月號和6月號上把它刊載了出來。
    在師范大學學習的第一年，伽羅瓦結認了奧古斯特•舍瓦利葉，舍瓦利葉直到伽羅瓦臨終前一直是他的唯一親近的朋友。1830年7月，伽羅瓦將滿19歲。他在師范大學的第一年功課行將結束。他這時寫成的數(shù)學著作，已經使人有可能對他思想的獨創(chuàng)性和敏銳性作出評價。
   19世紀初，有一些數(shù)學問題一直困擾著當時的數(shù)學家們，而如何求解高次方程就是其中之一。
   歷史上人們很早就已經知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。關于三次方程，我國在公元七世紀，也已經得到了一般的近似解法，這在唐朝數(shù)學家王孝通所編的《緝古算經》就有敘述。到了十三世紀，宋代數(shù)學家秦九韶在他所著的《數(shù)書九章》的“正負開方術”里，充分研究了數(shù)字高次方程的求正根法，也就是說，秦九韶那時候已得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世紀初的文藝復興時期，才由意大利的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的公式——卡當公式。
在數(shù)學史上，相傳這個公式是意大利數(shù)學家塔塔里亞首先得到的,后來被米蘭地區(qū)的數(shù)學家卡爾達諾(1501～1576年)騙到了這個三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個公式為卡爾達諾公式(或稱卡當公式)，其實，它應該叫塔塔里亞公式。
    三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費拉里(1522～1560年)解出。這就很自然的促使數(shù)學家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個問題雖然耗費了許多數(shù)學家的時間和精力，但一直持續(xù)了長達三個多世紀，都沒有解決。法國數(shù)學家拉格朗日更是稱這一問題是在“向人類的智慧挑戰(zhàn)”。
    1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的結構之后，提出了方程的預解式概念，并且還進一步看出預解式和方程的各個根在排列置換下的形式不變性有關，這時他認識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。此后，挪威數(shù)學家阿貝爾利用置換群的理論，給出了高于四次的一般代數(shù)方程不存在代數(shù)解的證明。
    伽羅瓦通過改進數(shù)學大師拉格朗日的思想，即設法繞過拉氏預解式，但又從拉格朗日那里繼承了問題轉化的思想，即把預解式的構成同置換群聯(lián)系起來的思想，并在阿貝爾研究的基礎上，進一步發(fā)展了他的思想，把全部問題轉化或歸結為置換群及其子群結構的分析。
   這個理論的大意是：每個方程對應于一個域，即含有方程全部根的域，稱為這方程的伽羅華域，這個域對應一個群，即這個方程根的置換群，稱為這方程的伽羅華群。伽羅華域的子域和伽羅華群的子群有一一對應關系；當且僅當一個方程的伽羅華群是可解群時，這方程是根式可解的。
   1829年，伽羅華在他中學最后一年快要結束時，把關于群論初步研究結果的論文提交給法國科學院，科學院委托當時法國最杰出的數(shù)學家柯西作為這些論文的鑒定人。在1830年1月18日柯西曾計劃對伽羅華的研究成果在科學院舉行一次全面的意見聽取會。他在一封信中寫道：“今天我應當向科學院提交一份關于年輕的伽羅華的工作報告……但因病在家，我很遺憾未能出席今天的會議，希望你安排我參加下次會議，討論已指明的議題。”然而，第二周當柯西向科學院宣讀他自己的一篇論文時，并未介紹伽羅華的著作，這是一個非常微妙的“事故”。
    1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細地寫成論文交上去了，以參加科學院的數(shù)學大獎評選，希望能夠獲獎。論文寄給當時科學院終身秘書傅立葉，但傅立葉在當年5月去世了，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿。就這樣，伽羅華遞交的兩次數(shù)學論文都被遺失了。
   1831年1月，伽羅華在尋求確定方程的可解性這個問題上，又得到一個結論，他寫成論文提交給法國科學院。這篇論文是伽羅華關于群論的重要著作，當時負責審查的數(shù)學家泊阿松為理解這篇論文絞盡腦汁。傳說泊阿松將這篇論文看了四個月，最后結論居然是“完全不能理解”。盡管借助于拉格朗日已證明的一個結果可以表明伽羅華所要證明的論斷是正確的，但最后他還是建議科學院否定它。
   對事業(yè)必勝的信念激勵著年輕的伽羅華。雖然他的論文一再被丟失，得不到應有的支持，但他并沒有灰心，他堅持他的科研成果，不僅一次又一次地想辦法傳播出去，還進一步向更廣的領域探索。
伽羅華誕生在拿破侖帝國時代，經歷了波旁王朝的復辟時期，又趕上路易•腓力浦朝代初期，他是當時最先進的革命政治集團——共和派的秘密組織“人民之友”的成員，并發(fā)誓：“如果為了喚起人民需要我死，我愿意犧牲自己的生命”。
    伽羅瓦敢于對政治上的動搖分子和兩面派進行頑強的斗爭，年輕熱情的伽羅華對師范大學教育組織極為不滿。由于他揭發(fā)了校長吉尼奧對法國七月革命政變的兩面派行為，被吉尼奧的忠實朋友，皇家國民教育委員會顧問庫申起草報告，皇家國民教育委員會1831年1月8日批準立即將伽羅瓦開除出師范大學。之后，他進一步積極參加政治活動。1831年5月l0日，伽羅華以“企圖暗殺國王”的罪名被捕。在6月15日陪審法庭上，由于共和黨人的律師竇本的努力，伽羅瓦被宣告無罪當場獲釋。七月，被反動王朝視為危險分子的伽羅華在國慶節(jié)示威時再次被抓，被關在圣佩拉吉監(jiān)獄，在這里慶祝過他的20歲生日，渡過了他生命的最后一年的大部分時間。
    在監(jiān)獄中伽羅華一方面與官方進行不妥協(xié)的斗爭，另一面他還抓緊時間刻苦鉆研數(shù)學。盡管牢房里條件很差，生活艱苦，他仍能靜下心來在數(shù)學王國里思考。
   伽羅瓦在圣佩拉吉監(jiān)獄中寫成的研究報告中寫道：“把數(shù)學運算歸類，學會按照難易程度，而不是按照它們的外部特征加以分類，這就是我所理解的未來數(shù)學家的任務，這就是我所要走的道路。”請注意到“把數(shù)學運算歸類”這句話，道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，這句話系指點目前所稱的群論。由于其后好幾代數(shù)學家的工作，最終才實現(xiàn)了伽羅瓦的理想。正是他的著作，標志著舊數(shù)學史的結束和新數(shù)學史的開始。
   l832年3月16日伽羅華獲釋后不久，年輕氣盛的伽羅華為了一個舞女，卷入了一場他所謂的“愛情與榮譽”的決斗。伽羅華非常清楚對手的槍法很好，自己難以擺脫死亡的命運，所以連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。
   他不時的中斷，在紙邊空白處寫上“我沒有時間，我沒有時間”，然后又接著寫下一個極其潦草的大綱。他在天亮之前那最后幾個小時寫出的東西，為一個折磨了數(shù)學家們幾個世紀的問題找到了真正的答案，并且開創(chuàng)了數(shù)學的一片新的天地。
   伽羅華對自己的成果充滿自信，他在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關于方程論的；有些是關于整函數(shù)的……。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性，而是對這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)，這些對于消除所有有關的混亂是有益的。”
  第二天上午，在決斗場上，伽羅華被打穿了腸子。死之前，他對在他身邊哭泣的弟弟說：“不要哭，我需要足夠的勇氣在20歲的時候死去”。他被埋葬在公墓的普通壕溝內，所以今天他的墳墓已無蹤跡可尋。他不朽的紀念碑就是他的著作，由兩篇被拒絕的論文和他在死前那個不眠之夜寫下的潦草手稿組成。
歷史學家們曾爭論過這場決斗是一個悲慘遭的愛情事件的結局，還是出于政治動機造成的，但無論是哪一種，一位世界上最杰出的數(shù)學家在他20歲時被殺死了，他研究數(shù)學才只有五年。
  伽羅華死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評論》中。他的論文手稿過了十四年后，也就是1846年，才由法國數(shù)學家劉維爾領悟到這些演算中迸發(fā)出的天才思想，他花了幾個月的時間試圖解釋它的意義。劉維爾最后將這些論文編輯發(fā)表在他的極有影響的《純粹與應用數(shù)學雜志》上，并向數(shù)學界推薦。1870年法國數(shù)學家約當根據(jù)伽羅華的思想，寫了《論置換與代數(shù)方程》一書，在這本書里伽羅華的思想得到了進一步的闡述。
   伽羅華最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關于群和域的理論，為了紀念他，人們稱之為伽羅華理論。正是這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學，把代數(shù)學的研究推向了一個新的里程。正是這套理論為數(shù)學研究工作提供了新的數(shù)學工具—群論。它對數(shù)學分析、幾何學的發(fā)展有很大影響，并標志著數(shù)學發(fā)展現(xiàn)代階段的開始。
   伽羅瓦非常徹底地把全部代數(shù)方程可解性問題，轉化或歸結為置換群及其子群結構分析的問題。這是伽羅瓦工作中的第一個“突破”，他猶如劃破黑夜長空的一顆瞬間即逝的彗星，開創(chuàng)了置換群論的研究，確立了代數(shù)方程的可解性理論，即后來稱為的“伽羅瓦理論”，從而徹底解決了一般方程的根式解難題。
  作為這個理論的推論，可以得出五次以上一般代數(shù)方程根式不可解，以及用圓規(guī)、直尺(無刻度的尺)三等分任意角和作倍立方體不可能等結論。
    對伽羅華來說，他所提出并為之堅持的理論是一場對權威、對時代的挑戰(zhàn)，他的“群”完全超越了當時數(shù)學界能理解的觀念。也許正是由于年輕，他才敢于并能夠以嶄新的方式去思考，去描述他的數(shù)學世界。也正因如此，他才受到了冷遇。
  在這里，我們后人感受到的是一種孤獨與悲哀，一種來自智慧的孤獨與悲哀。但是，歷史的曲折并不能埋沒真理的光輝。今天由伽羅華開始的群論，不僅對近代數(shù)學的各個方向，而且對物理學、化學的許多分支都產生了重大的影響。
   歷史學家們曾爭論過這場決斗是一個悲慘遭的愛情事件的結局，還是出于政治動機造成的，但無論是哪一種，一位世界上最杰出的數(shù)學家在他20歲時被殺死了，他研究數(shù)學才只有5年。
在分送伽羅華的論文之前，他的兄弟和奧古斯特。謝瓦利埃將它們重寫了一遍，目的是把那些解釋整理清楚。伽羅瓦闡述他的思想時總是急于求成，不夠充分，這種習性無疑地由于他只有一個晚上的時間來概要敘述他多年的研究而更為嚴重。雖然他們很盡職地將論文抄本送交卡爾。高斯，卡爾。雅可比和其他一些人，但此后10多年，直到約瑟夫。劉維爾在1846年得到一份之前，伽羅華的工作一直未得到承認。
劉維爾領悟到這些演算中迸發(fā)出的天才思想，他花了幾個月的時間試圖解釋它的意義。最后他將這些論文編輯發(fā)表在他的極有影響的《純粹與應用數(shù)學雜志》上。其他的數(shù)學家對此作出了迅速和巨大的反響，因為事實上伽羅瓦已經對如何去尋找五次議程的解作了完整透徹的敘述……這是十九世紀數(shù)學中由一位它的最悲慘遭的英雄創(chuàng)造的一件杰作。
在對論文的介紹中，劉維爾對為什么這位年輕數(shù)學家會被他的長輩們拒絕，以及他本人的努力怎樣使伽羅瓦重新受到注意做了反思：
過分地追求簡潔是導致這一缺憾的原因。人們在處理像純粹代數(shù)這樣抽象和神秘的事物時，應該首先盡力避免這樣做。事實上，當你試圖引尋讀者遠離習以為常的思路進入較為困惑的領域時，清晰性是絕對必需的，就像笛卡爾說過的那樣：“在討論超前的問題時務必空前地清晰。”伽羅華太不把這條箴言放在心上，而我們可以理解這些杰出的數(shù)學家想必認為，通過他們審慎的忠告所表現(xiàn)的苛刻，設法使這個充滿才華但尚無經驗的初出茅廬者轉回到正確的軌道上來是合適的。
他們苛評的這位作者，在他們看來是勤奮和富有進取心的，他可以從他們的忠告中獲益。
但是現(xiàn)在一切都改變了，伽羅華再也回不來了！我們不要再過分地作無用的批評，讓我們把缺憾拋開，找一找有價值的東西……
我的熱心得到了好報。在填補了一些細小的缺陷后，我看出伽羅華用來證明這個美妙的定理的方法是完全正確的，在那個瞬間，我體驗到一種強烈的愉悅。
我請求我的愛國同胞們，我的朋友們，不要指責我不是為我的國家而死。
  我是作為一個不名譽的風騷女人和她的兩個受騙者的犧牲品而死的。我將在可恥的誹謗中結束我的生命。噢！為什么要為這么微不足道的，這么可鄙的事去死呢？我懇求蒼天為我作證，只有武力和強迫才使我在我曾想方設法避開的挑釁中倒下。
我親愛的朋友：
我已經得到分析學方面的一些新發(fā)現(xiàn)……
在我一生中，我常常敢于預言當時我還不十分有把握的一些命題。但是我在這里寫下的這一切已經清清楚楚地在我的腦海里一年多了，我不愿意使人懷疑我宣布了自己未完全證明的定理。
請公開請求雅可比或高斯就這些定理的重要性（不是就定理的正確與否）發(fā)表他們的看法。然后，我希望有人會發(fā)現(xiàn)將這一堆東西整理清楚會是很有益處的一件事。
熱烈地擁抱你
—— 伽羅華                                          
評：伽羅華的想法是有道理的，但事實這道理只是在探求新知時特別有用。
伽羅華的成就成為整個數(shù)學界的成就是一件遠比伽羅華想象的更艱難更平常的過程。