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在自然數(shù)中，一個(gè)數(shù)除1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)．例如2，3，5，7，11，……都是質(zhì)數(shù)．一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)．例如4，6，8，9，12，……都是合數(shù)．
1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)．這樣，自然數(shù)在按約數(shù)個(gè)數(shù)分類，可以分成：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1． 偶數(shù)中只有2是質(zhì)數(shù)，而且是所有質(zhì)數(shù)中最小的一個(gè)．除2以外所有的偶數(shù)都是合數(shù)，除2以外所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)． 每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個(gè)質(zhì)數(shù)就叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)．例如，因?yàn)?/font>70=2×5×7，所以2，5，7是70的質(zhì)因數(shù)． 把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60這個(gè)合數(shù)用2×2×3×5或22×3×5的形式來表示，就是把60分解質(zhì)因數(shù)． 例1 兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是46，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和． 分析：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是46，46是偶數(shù)，只能是一個(gè)奇質(zhì)數(shù)與一個(gè)偶質(zhì)數(shù)的積，而偶質(zhì)數(shù)只有2，因此很容易得出另外的質(zhì)數(shù)，從而問題得以解決． 解：因?yàn)?/font>46是偶數(shù)，因此它必是一個(gè)奇質(zhì)數(shù)與一個(gè)偶質(zhì)數(shù)的積，而偶質(zhì)數(shù)只有2，另一質(zhì)數(shù)46÷2=23，所以2與23的和為25． 例2 用2，3，4，5中的三個(gè)數(shù)能組成哪些三位質(zhì)數(shù)？ 分析：首先考慮個(gè)位數(shù)字是幾，如果個(gè)位數(shù)字是2或4，這樣的三位數(shù)必能被2整除，因此這樣的三位數(shù)不會(huì)是質(zhì)數(shù)，如果個(gè)位數(shù)字是5，這樣的三位數(shù)必能被5整除，這樣的三位數(shù)也不會(huì)是質(zhì)數(shù)，所以個(gè)位數(shù)字只能是3，再由剩下的三個(gè)數(shù)字組成百位、十位，得出個(gè)位數(shù)字是3的三位數(shù)為：243，423，253，523，453，543，最后根據(jù)質(zhì)數(shù)的判斷方法，得到所求的質(zhì)數(shù)． 解：如果組成的三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是2、4、5時(shí)，這個(gè)數(shù)必能被2或5整除，因此個(gè)位數(shù)字只能是3，而個(gè)位數(shù)字是3的三位數(shù)有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是質(zhì)數(shù)． 質(zhì)數(shù)的判斷方法是，當(dāng)一個(gè)數(shù)比較小時(shí)，用定義直接判斷，但這個(gè)數(shù)比較大時(shí)，通常采用查質(zhì)數(shù)表，最好記住100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)．在沒有質(zhì)數(shù)表的情況下，可以用質(zhì)數(shù)從小到大的順序逐個(gè)地去試除．如果能被其中某一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，就說明這個(gè)數(shù)是合數(shù)，如果除到商已比試除的質(zhì)數(shù)小，還不能被這些質(zhì)數(shù)中的任何一個(gè)整除，那么這個(gè)數(shù)一定是質(zhì)數(shù)． 例如，判斷100以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只需用2、3、5、7這四個(gè)質(zhì)數(shù)去試除，如果沒有一個(gè)能整除它，這個(gè)數(shù)一定是質(zhì)數(shù)，否則不是質(zhì)數(shù)．判斷97是不是質(zhì)數(shù)，因?yàn)?/font>97不能被2，3，5，7中的任何一個(gè)整除，因此97是質(zhì)數(shù)．為什么不必去試除比97小的所有的質(zhì)數(shù)呢？因?yàn)?/font>97不能被2，3，5，7中的任何一個(gè)整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等數(shù)（分別為2，3，5的倍數(shù)）整除，又因?yàn)?，如果?/font>11或大于11的質(zhì)數(shù)去試除， 97÷11=8…9， 97÷13=7…6，其商為8、7，比除數(shù)還小，都已試除過，因此判斷100以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)只需用2，3，5，7去試除． 判斷200以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只需用2，3，5，7，11，13，17這七個(gè)質(zhì)數(shù)去試除；判斷300以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，只需用2到17這七個(gè)質(zhì)數(shù)去試除；判斷400以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，只需用20以內(nèi)的八個(gè)質(zhì)數(shù)與去試除；判斷500以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，只需2到23的質(zhì)數(shù)去試除．其余可用類似的方法推出，你可以思考一下1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)如何判斷？ 例3 將40，44，45，63，65，78，99，105這八個(gè)數(shù)平分成兩組，使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等． 分析：如果采用觀察、計(jì)算調(diào)整的方法是比較麻煩的．要使兩組數(shù)的乘積相等，只有兩組數(shù)中的質(zhì)因數(shù)相同，而且質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)也相同，就可以了，所以從這八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)入手，根據(jù)各質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇钆?，便能找出問題的答案． 解：將八個(gè)數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)： 40=23×5 44=22×11 45=32×5 63=32×7 65=5×13 78=2×3×13 99=32×11 105=3×5×7 這八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后一共有6個(gè)2，8個(gè)3，4個(gè)5，2個(gè)7，2個(gè)11，2個(gè)13．因此，這八個(gè)數(shù)被分成兩組后，每一組應(yīng)含有3個(gè)2，4個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7，1個(gè)11，1個(gè)13，這樣可以得到兩組分別為：40，63，65，99和44，45，78，105． 例4 360有多少個(gè)約數(shù)？ 分析：如果先求360的所有約數(shù)，再數(shù)出它們的個(gè)數(shù)，顯然比較麻煩．為此，先將360分解質(zhì)因數(shù)：360=23×32×5，360的任意一個(gè)約數(shù)均由若干個(gè)2或3或5組成，我們將360的所有約數(shù)列成下面的數(shù)陣： 1 2 22 23 3 2×3 22×3 23×3 32 2×32 22×32 23×32 5 2×5 22×5 23×5 3×5 2×3×5 22×3×5 23×3×5 32×5 2×32×5 22×32×5 23×32×5 這個(gè)數(shù)陣共6行，每行4個(gè)約數(shù)，所以360共有4×6=24個(gè)，而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），這里3，2，1恰好是360分解質(zhì)數(shù)式子中2，3，5的個(gè)數(shù)，從而得到下面關(guān)于約數(shù)個(gè)數(shù)的一個(gè)重要結(jié)論： 一個(gè)大于1的整數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)加1的連乘積．用數(shù)字式子表示為： 如果A分解質(zhì)因數(shù)為： 則A的全體約數(shù)的個(gè)數(shù)為： ?。?/font>r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1） 例5 有30個(gè)約數(shù)的最小自然數(shù)是多少？ 分析：設(shè)所求的數(shù)為A，則A有30個(gè)約數(shù)，因?yàn)?/font>30= 30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，要使A最小，一般使A的質(zhì)因數(shù)的冪指數(shù)盡可能小，質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)盡可能少， 所以A必為下列形式： 其中a1，a2，a3為互不相同的質(zhì)數(shù)． 要使A最小，a1，a2，a3盡可能小，顯然a3=2，a2=3，a1=5，這樣 A=24×32×5=720 解：因?yàn)?/font>30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，而且題中要求 a2、a3為互不相等的質(zhì)數(shù)，為了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24×32×5=720． 例6 九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中至多有四個(gè)質(zhì)數(shù)，例如1至9中有2、3、5、7四個(gè)質(zhì)數(shù)．請(qǐng)?jiān)?/font>200以內(nèi)再找出五組這樣的質(zhì)數(shù)． 分析：9個(gè)連續(xù)自然數(shù)中至多有5個(gè)奇數(shù)．在兩位數(shù)中，個(gè)位是5的數(shù)必能被5整除，而且三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)必有一個(gè)能被3整除，所以只有當(dāng)個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)又能被3整除時(shí)，其余的四個(gè)奇數(shù)才有可能是質(zhì)數(shù)．當(dāng)找到一組這樣的兩位以上的質(zhì)數(shù)時(shí)，另一組與這組對(duì)應(yīng)的數(shù)的差必定是30的倍數(shù)．按照上述辦法找出后，再根據(jù)質(zhì)數(shù)的判斷方法去篩選就可得出結(jié)果． 首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在兩位數(shù)中，按照上面的方法可得出以下各組數(shù)： 11，13，15，17，19； 41，43，45，47，49； 71，73，75，77，79； 101，103，105，107，109； 131，133，135，137，139； 161，163，165，167，169； 191，193，195，197，199； 根據(jù)質(zhì)數(shù)的判斷方法可以得出兩位數(shù)中還有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199這三組符合條件． 解：200以內(nèi)另外五組這樣的質(zhì)數(shù)為：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199． |
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