親愛的朋友：
進(jìn)入高二，相信你已接觸排列與組合了，作為高中的重點(diǎn)，一直也是個難點(diǎn)！
近幾年來，高考一直未涉及這方面的題，尤其09高考山東一個沒考，但幾乎所有的老師都預(yù)測10年高考一定考，而百科中又很少?。∠旅嫖揖图?xì)講一下，希望覺得好就頂一下?。∥?！
1．排列及計算公式
從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號 p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).
2．組合及計算公式
從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);
3．其他排列與組合公式
從n個元素中取出r個元素的循環(huán)排列數(shù)＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n個元素被分成k類，每類的個數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數(shù)為
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k類元素,每類的個數(shù)無限,從中取出m個元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m).
原理及應(yīng)用
兩個基本計數(shù)原理及應(yīng)用
(1)加法原理和分類計數(shù)法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分類的要求
每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)
(2)乘法原理和分步計數(shù)法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同
如果你還有點(diǎn)疑惑！我就講點(diǎn)例題（很經(jīng)典的）
[例題分析]排列組合思維方法選講
1．首先明確任務(wù)的意義
例1. 從1、2、3、……、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有________個。
分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個明確的排列組合問題。
設(shè)a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定，
又∵ 2b是偶數(shù)，∴ a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，因而本題為2=180。
例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法?
分析：對實(shí)際背景的分析可以逐層深入
?。ㄒ唬腗到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。
?。ǘ┟恳徊绞窍蛏线€是向右，決定了不同的走法。
?。ㄈ┦聦?shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。
從而，任務(wù)可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)，
∴ 本題答案為：=56。
2．注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合
例3．在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。
分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。
第一類：A在第一壟，B有3種選擇；
第二類：A在第二壟，B有2種選擇；
第三類：A在第三壟，B有一種選擇，
同理A、B位置互換 ，共12種。
例4．從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：顯然本題應(yīng)分步解決。
?。ㄒ唬?雙中選出一雙同色的手套，有種方法；
?。ǘ氖Ｏ碌氖皇痔字腥芜x一只，有種方法。
?。ㄈ某八婕暗膬呻p手套之外的八只手套中任選一只，有種方法；
?。ㄋ模┯捎谶x取與順序無關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種。
例5．身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_______。
分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有=90種。
例6．在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工。現(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法?
分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。
以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當(dāng)中有幾個去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。
第一類：這兩個人都去當(dāng)鉗工，有種；
第二類：這兩人有一個去當(dāng)鉗工，有種；
第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有種。
因而共有185種。
例7．現(xiàn)有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數(shù)?
分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0，l，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三個數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。
抽出的三數(shù)含0，含9，有種方法；
抽出的三數(shù)含0不含9，有種方法；
抽出的三數(shù)含9不含0，有種方法；
抽出的三數(shù)不含9也不含0，有種方法。
又因?yàn)閿?shù)字9可以當(dāng)6用，因此共有2×(+)++=144種方法。
例8．停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是________種。
分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有種停車方法。
3．特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮
例9．六人站成一排，求
(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)
(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)
分析：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。
第一類：乙在排頭，有種站法。
第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法，
共+種站法。
（2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。
第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。
第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。
第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。
共+2+=312種。
例10．對某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能?
分析：本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次測試的有種可能；
第二步：前四次有一件正品有中可能。
第三步：前四次有種可能。
∴ 共有種可能。
以下內(nèi)容為很渴望的朋友準(zhǔn)備，別閑煩??！
捆綁與插空
例11. 8人排成一隊
(1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰
(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰
(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰
分析：（1）有種方法。
?。?）有種方法。
?。?）有種方法。
?。?）有種方法。
?。?）本題不能用插空法，不能連續(xù)進(jìn)行插空。
用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共--+=23040種方法。
例12. 某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?
分析：∵ 連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即。
例13. 馬路上有編號為l，2，3，……，10 十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?
分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。
∴ 共=20種方法。
4．間接計數(shù)法.(1)排除法
例14. 三行三列共九個點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個三角形?
分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。
所求問題的方法數(shù)=任意三個點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)，
∴ 共種。
例15．正方體8個頂點(diǎn)中取出4個，可組成多少個四面體?
分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，
∴ 共-12=70-12=58個。
例16. l，2，3，……，9中取出兩個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個不同數(shù)值的對數(shù)?
分析：由于底數(shù)不能為1。
（1）當(dāng)1選上時，1必為真數(shù)，∴ 有一種情況。
?。?）當(dāng)不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中l(wèi)og24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有53個。
(3)補(bǔ)上一個階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題
例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?
分析：（一）實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。
?。ǘ┫瓤紤]六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種， ∴ 共=120種。
例18．5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?
分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有=9×8×7×6=3024種。
若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。
例19. 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?
分析：先認(rèn)為三個紅球互不相同，共種方法。而由于三個紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。
5．擋板的使用
例20．10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法?
分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。
6．注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題。
例21. 從0，l，2，……，9中取出2個偶數(shù)數(shù)字，3個奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?
分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。
?。ㄒ唬﹥蓚€選出的偶數(shù)含0，則有種。
?。ǘ﹥蓚€選出的偶數(shù)字不含0，則有種。
例22. 電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?
分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。
（二）選擇10層中的四層下樓有種。
∴ 共有種。
例23. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，
(1)可組成多少個不同的四位數(shù)?
(2)可組成多少個不同的四位偶數(shù)?
(3)可組成多少個能被3整除的四位數(shù)?
(4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項是什么?
分析：（1）有個。
?。?）分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。
∴ 共+種。
?。?）先把四個相加能被3整除的四個數(shù)從小到大列舉出來，即先選
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96種。
?。?）首位為1的有=60個。
前兩位為20的有=12個。
前兩位為21的有=12個。
因而第85項是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。
7．分組問題
例24. 6本不同的書
(1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法?
(2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？
(4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法?
(5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法?
分析：（1）有中。
?。?）即在（1）的基礎(chǔ)上除去順序，有種。
?。?）有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。
?。?）有種。同（3），原因是甲，乙，丙持有量確定。
（5）有種。
例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為_______。
分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。
第一類：平均分成3人一組，有種方法。
第二類：分成2人，4人各一組，有種方法。
（二）再考慮分別上兩輛不同的車。
綜合（一）（二），有種。
例26. 5名學(xué)生分配到4個不同的科技小組參加活動，每個科技小組至少有一名學(xué)生參加，則分配方法共有________種.
分析：（一）先把5個學(xué)生分成二人，一人，一人，一人各一組。
其中涉及到平均分成四組，有=種分組方法。
?。ǘ┰倏紤]分配到四個不同的科技小組，有種，
由（一）（二）可知，共=240種。
有點(diǎn)小多，但希望大家能長補(bǔ)短！
依自己的情況而選做研究
