反函數(shù)
一般地，如果x與y關于某種對應關系f（x）相對應，y=f（x），則y=f（x）的反函數(shù)為y= f ‘（x）。存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對應的(不一定是整個數(shù)域內(nèi)的)。
反函數(shù)定義
一般地，設函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對于y在C中的任何一個值，通過x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x= f(y)就表示y是自變量，x是因變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x= f(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f^-1(y). 反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.
反函數(shù)性質(zhì)
?。?）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線y＝x對稱；
?。?）函數(shù)存在反函數(shù)的必要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；
?。?）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應區(qū)間上單調(diào)性一致；
?。?）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（唯一有反函數(shù)的偶函數(shù)是f(x)=a,x∈{0}）。奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數(shù)。若一個奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。
(5）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對應區(qū)間內(nèi)具有一致性；
?。?）反函數(shù)是相互的
?。?）定義域、值域相反對應法則互逆（三反）
(8)原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定（三定）
例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函數(shù)是y=log2 x
例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù)
解：y=3x-2的定義域為R，值域為R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數(shù)是
y=1/3(x+2)（x屬于R）
?。?1）反函數(shù)的導數(shù)關系：如果X=F(X）在區(qū)間I上單調(diào)，可導，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函數(shù)Y=F’（X）在區(qū)間S={X|X=F(Y),Y屬于I }內(nèi)也可導，且[F‘（X)]'=1\F’（Y）。
反函數(shù)說明
?、旁诤瘮?shù)x=f’(y)中，y是自變量，x是函數(shù)，但習慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數(shù)，為此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f‘(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f’(x)，今后凡無特別說明，函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過改寫的形式。
?、品春瘮?shù)也是函數(shù)，因為它符合函數(shù)的定義. 從反函數(shù)的定義可知，對于任意一個函數(shù)y=f(x)來說，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f‘(x)，那么函數(shù)y=f’(x)的反函數(shù)就是y=f(x)，這就是說，函數(shù)y=f(x)與y=f‘(x)互為反函數(shù)?！?/strong>
?、菑挠成涞亩x可知，函數(shù)y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)y=f‘(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)y=f(x)的定義域正好是它的反函數(shù)y=f’(x)的值域；函數(shù)y=f(x)的值域正好是它的反函數(shù)y=f’(x)的定義域（如下表）：
函數(shù)：y=f(x)
反函數(shù)：y=f’(x)
定義域： A C
值域： C A
?、壬鲜龆x用“逆”映射概念可敘述為：
若確定函數(shù)y=f(x)的映射f是函數(shù)的定義域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所確定的函數(shù)x=f’(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù). 反函數(shù)x=f‘(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域. 開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數(shù)就可以寫為f’(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數(shù)為：f‘(x)=x/2-3.
有時是反函數(shù)需要進行分類討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進行分類討論：在X大于0時的情況，X小于0的情況，多是要注意的。一般分數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
反函數(shù)應用
直接求原函數(shù)的值域困難時，可以通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域，求反函數(shù)的步驟是這樣的：
1、先求出反函數(shù)的定義域，因為原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域；
?。ㄎ覀冎篮瘮?shù)的三要素是定義域、值域、對應法則，所以先求反函數(shù)的定義域是求反函數(shù)的第一步）
2、反解x，也就是用y來表示x；
3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x；
4、寫出原函數(shù)及其值域。
實例：y=2x+1（值域：任意實數(shù)）
x=(y+1)/2
y=(x+1)/2（x取任意實數(shù)）
特別地，形如kx+ky=b的直線方程和任意一個反比例函數(shù)，它的反函數(shù)都是它本身。
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