| 數(shù)學(xué)建模在軍事問題上的應(yīng)用 |
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| 戰(zhàn)爭是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，涉及因素很多，如兵員的數(shù)量和質(zhì)量，武器的先進(jìn)與落后，地理位置的有利與不利，指揮員的藝術(shù)、后勤供應(yīng)、氣候條件等。因此，如果把戰(zhàn)爭所涉及的因素都考慮進(jìn)去，這樣的模型是既難建立又難解決。但是對(duì)于一個(gè)通常情況下的局部戰(zhàn)爭，在合理的假設(shè)下選擇主要因素建立一個(gè)作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型，我們將會(huì)看到得出的結(jié)論是具有普遍意義的。 |
| 在第一次世界大戰(zhàn)期間，F(xiàn)·W·Lanchester就投身于作戰(zhàn)模型的研究，并得到了一些可以從中得到交戰(zhàn)結(jié)果的數(shù)學(xué)模型。 |
| 對(duì)于一次局部戰(zhàn)斗，有些因素可以不考慮，如氣候、后勤供應(yīng)、士氣等，而有些因素可認(rèn)為是雙方是相同的，如武器配備、指揮藝術(shù)等。 |
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模型1 正規(guī)戰(zhàn)爭模型 |
| 令x(t)表示t時(shí)刻甲軍人數(shù)，y(t)表示t時(shí)刻乙軍人數(shù)，假設(shè) |
| (1) 每一方人數(shù)減員率與另一方人數(shù)成正比； |
| (2) 兩軍士兵都處于雙方火力范圍內(nèi)； |
| (3) 不考慮雙方支援部隊(duì)； |
(4) 雙方的初始兵力分別是 和 。 |
| 由以上假設(shè)可得正規(guī)部隊(duì)的作戰(zhàn)模型為 |
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| 其中a>0，b>0均為常數(shù)，表示戰(zhàn)斗系數(shù)。 |
| 積分（2.2.16），得 |
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| 這就是著名的“Lanchester平方定律”。（2.2.17）式在 x-y 平面上是一簇雙曲線，如圖2.2.4所示。雙曲線上箭頭表示戰(zhàn)斗力隨著時(shí)間而變化的方向。 |
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可以看出，如果 c > 0，軌線將與y軸相交，這就是說存在 ，使 ， ，即當(dāng)甲方兵力為零時(shí)乙方兵力為正值，表明乙軍獲勝。同理可知c<0時(shí)甲軍獲勝。當(dāng)c=0時(shí)雙方戰(zhàn)平。 |
進(jìn)一步分析可知，乙軍要想獲勝，既要使 > 成立?？刹捎脙煞N方式：（1）增加 a，即配備更先進(jìn)的武器。（2）增加最初投入戰(zhàn)斗的人數(shù) 。但是值得注意的是：在（2.2.17）中，a 增大兩倍，結(jié)果也增大兩倍，但增大兩倍則會(huì)使增大四倍。這正是兩軍擺開戰(zhàn)場作正規(guī)戰(zhàn)時(shí)Lanchester平方定律的意義，說明兵員增加戰(zhàn)斗力將大大增加。 |
| 為此我們考慮有增援情況的戰(zhàn)爭模型。即除了模型1的基本假定之外，進(jìn)一步假設(shè)f(t) 和g(t)分別表示甲軍和乙軍t時(shí)刻的增援率。（所謂增援率，就是增援戰(zhàn)士投入戰(zhàn)斗或戰(zhàn)士撤離戰(zhàn)斗的速度）。此時(shí)正規(guī)作戰(zhàn)模型為： |
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模型2 混合戰(zhàn)爭模型 |
| 如果甲軍是游擊隊(duì)，乙軍是正規(guī)部隊(duì)，由于游擊隊(duì)對(duì)當(dāng)?shù)氐匦问欤３Ｎ挥诓灰装l(fā)現(xiàn)的有利地形。設(shè)游擊隊(duì)占據(jù)區(qū)域R，由于乙軍看不清楚甲軍，只好向區(qū)域R射擊，但不知道殺傷情況。為此，我們假設(shè)： |
| 游擊隊(duì)x(t)的戰(zhàn)斗減員率應(yīng)當(dāng)與x(t)成正比，（因?yàn)閤(t)越大，目標(biāo)越大；被敵方子彈命中的可能性越大）。 |
| 游擊隊(duì)x(t)的戰(zhàn)斗減員率還與y(t)成正比，（因?yàn)閥(t)越大，火力越強(qiáng)，x(t)的傷亡人數(shù)也就越大）。 |
| 游擊隊(duì)和正規(guī)部隊(duì)的增援率分別為f(t)和g(t)。 |
| 由以上假設(shè)可知，游擊隊(duì)的戰(zhàn)斗減員率等于cx(t)y(t)，作戰(zhàn)模型為 |
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| 其中c稱為敵方y(tǒng)的戰(zhàn)斗有效系數(shù)。 |
| 若無增援f(t)和g(t)，則 |
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| 積分（2.2.20）式得 |
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| （2.2.21）式在x-y平面上定義了一簇拋物線，如圖2.2.5。 |
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| 如果M>0，則正規(guī)部隊(duì)勝。因?yàn)楫?dāng)y(t)減小到，游擊隊(duì)x(t)已被消滅。同樣，如果M<0，則游擊隊(duì)勝。 |
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幾點(diǎn)說明 |
| (1) 在模型（2.2.18）中，如果a，b，f(t)和g(t)已知，則可用顯示求解。在模型（2.2.19）中，因方程組是非線性的，求解困難，可利用計(jì)算機(jī)求解。 |
| (2) 事前確定戰(zhàn)斗系數(shù)a、b、c和d的數(shù)值通常是不可能的。但是如果對(duì)已有的戰(zhàn)役資料確定a和b（或者c和d）的適當(dāng)系數(shù)值，那么對(duì)于其它類似于同樣條件下進(jìn)行的戰(zhàn)斗，a和b（或c和d）這些系數(shù)可認(rèn)為是已知的。 |
| (3) 由（2.2.20）式有 |
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| 利用上式可以估計(jì)出正規(guī)部隊(duì)要取得勝利需投入多少初始兵力。美國人曾用這個(gè)模型分析越南戰(zhàn)爭，以及二戰(zhàn)時(shí)美國和日本硫黃島戰(zhàn)役，發(fā)現(xiàn)模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合的很好，這就說明Lanchester作戰(zhàn)模型是能夠用來描述戰(zhàn)爭的。有興趣的讀者可參考有關(guān)文獻(xiàn)。 |
| (4) 上述模型沒有考慮交戰(zhàn)雙方的政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)以及自然環(huán)境等因素，因而僅靠戰(zhàn)場上兵力的優(yōu)劣是很難估計(jì)戰(zhàn)爭勝負(fù)的，所以我們認(rèn)為用這些模型判斷整個(gè)戰(zhàn)爭的結(jié)局是不可能的，但是對(duì)于局部戰(zhàn)役來說或許還有參考價(jià)值。更重要的是，建模的思路和方法為我們借助數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)科學(xué)問題提供了可借鑒的示例。 |
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