射影幾何的發(fā)展簡(jiǎn)況

    十七世紀(jì)，當(dāng)笛卡兒和費(fèi)爾馬創(chuàng)立的解析幾何問(wèn)世的時(shí)候，還有一門(mén)幾何學(xué)同時(shí)出現(xiàn)在人們的面前。這門(mén)幾何學(xué)和畫(huà)圖有很密切的關(guān)系，它的某些概念早在古希臘時(shí)期就曾經(jīng)引起一些學(xué)者的注意，歐洲文藝復(fù)興時(shí)期透視學(xué)的興起，給這門(mén)幾何學(xué)的產(chǎn)生和成長(zhǎng)準(zhǔn)備了充分的條件。這門(mén)幾何學(xué)就是射影幾何學(xué)。

    基于繪圖學(xué)和建筑學(xué)的需要，古希臘幾何學(xué)家就開(kāi)始研究透視法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波羅尼奧斯就曾把二次曲線作為正圓錐面的截線來(lái)研究。在4世紀(jì)帕普斯的著作中，出現(xiàn)了帕普斯定理。

   在文藝復(fù)興時(shí)期，人們?cè)诶L畫(huà)和建筑藝術(shù)方面非常注意和大力研究如何在平面上表現(xiàn)實(shí)物的圖形。那時(shí)候，人們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)畫(huà)家要把一個(gè)事物畫(huà)在一塊畫(huà)布上就好比是用自己的眼睛當(dāng)作投影中心，把實(shí)物的影子影射到畫(huà)布上去，然后再描繪出來(lái)。在這個(gè)過(guò)程中，被描繪下來(lái)的像中的各個(gè)元素的相對(duì)大小和位置關(guān)系，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數(shù)學(xué)家對(duì)圖形在中心投影下的性質(zhì)進(jìn)行研究，因而就逐漸產(chǎn)生了許多過(guò)去沒(méi)有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門(mén)學(xué)科。

    射影幾何真正成為獨(dú)立的學(xué)科、成為幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，主要是在十七世紀(jì)。在17世紀(jì)初期，開(kāi)普勒最早引進(jìn)了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)概念。稍后，為這門(mén)學(xué)科建立而做出了重要貢獻(xiàn)的是兩位法國(guó)數(shù)學(xué)家——笛沙格和帕斯卡。

    笛沙格是一個(gè)自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家，他年輕的時(shí)候當(dāng)過(guò)陸軍軍官，后來(lái)鉆研工程技術(shù)，成了一名工程師和建筑師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來(lái)證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作《試論圓錐曲線和平面的相交所得結(jié)果的初稿》，書(shū)中他引入了許多幾何學(xué)的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費(fèi)爾馬都很推崇他的著作，費(fèi)爾馬甚至認(rèn)為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。

    迪沙格在他的著作中，把直線看作是具有無(wú)窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學(xué)的基礎(chǔ)。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，那么對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。

    帕斯卡也為射影幾何學(xué)的早期工作做出了重要的貢獻(xiàn)，1641年，他發(fā)現(xiàn)了一條定理：“內(nèi)接于二次曲線的六邊形的三雙對(duì)邊的交點(diǎn)共線。”這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學(xué)中的一條重要定理。1658年，他寫(xiě)了《圓錐曲線論》一書(shū)，書(shū)中很多定理都是射影幾何方面的內(nèi)容。迪沙格和他是朋友，曾經(jīng)敦促他搞透視學(xué)方面的研究，并且建議他要把圓錐曲線的許多性質(zhì)簡(jiǎn)化成少數(shù)幾個(gè)基本命題作為目標(biāo)。帕斯卡接受了這些建議。后來(lái)他寫(xiě)了許多有關(guān)射影幾何方面的小冊(cè)子。

    不過(guò)迪沙格和帕斯卡的這些定理，只涉及關(guān)聯(lián)性質(zhì)而不涉及度量性質(zhì)(長(zhǎng)度、角度、面積)。但他們?cè)谧C明中卻用到了長(zhǎng)度概念，而不是用嚴(yán)格的射影方法，他們也沒(méi)有意識(shí)到，自己的研究方向會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生一個(gè)新的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創(chuàng)立，綜合法讓位于解析法，射影幾何的探討也中斷了。    

    射影幾何的主要奠基人是19世紀(jì)的彭賽列。他是畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人蒙日的學(xué)生。蒙日帶動(dòng)了他的許多學(xué)生用綜合法研究幾何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被長(zhǎng)期忽視了，前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。

    1822年，彭賽列發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作。他是認(rèn)識(shí)到射影幾何是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的第一個(gè)數(shù)學(xué)家。他通過(guò)幾何方法引進(jìn)無(wú)窮遠(yuǎn)虛圓點(diǎn)，研究了配極對(duì)應(yīng)并用它來(lái)確立對(duì)偶原理。稍后，施泰納研究了利用簡(jiǎn)單圖形產(chǎn)生較復(fù)雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進(jìn)的。為了擺脫坐標(biāo)系對(duì)度量概念的依賴，施陶特通過(guò)幾何作圖來(lái)建立直線上的點(diǎn)坐標(biāo)系，進(jìn)而使交比也不依賴于長(zhǎng)度概念。由于忽視了連續(xù)公理的必要性，他建立坐標(biāo)系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。

    另—方面，運(yùn)用解析法來(lái)研究射影幾何也有長(zhǎng)足進(jìn)展。首先是莫比烏斯創(chuàng)建一種齊次坐標(biāo)系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類(lèi)型，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進(jìn)丁另一種齊次坐標(biāo)系，得到了平面上無(wú)窮遠(yuǎn)線的方程，無(wú)窮遠(yuǎn)圓點(diǎn)的坐標(biāo)。他還引進(jìn)了線坐標(biāo)概念，于是從代數(shù)觀點(diǎn)就自然得到了對(duì)偶原理，并得到了關(guān)于一般線素曲線的一些概念。

    在19世紀(jì)前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭(zhēng)論異常激烈；有些數(shù)學(xué)家完全否定綜合法，認(rèn)為它沒(méi)有前途，而一些幾何學(xué)家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅(jiān)持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認(rèn)綜合法有其局限性，在研究過(guò)程中也難免借助于代數(shù)，但在著作中總是用綜合法來(lái)論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個(gè)優(yōu)美的體系，而且用綜合法也確實(shí)形象鮮明，有些問(wèn)題論證直接而簡(jiǎn)潔。1882年帕施建成第一個(gè)嚴(yán)格的射影幾何演繹體系。

    射影幾何學(xué)的發(fā)展和其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展有密切的關(guān)系，特別是“群”的概念產(chǎn)生以后，也被引進(jìn)了射影幾何學(xué)，對(duì)這門(mén)幾何學(xué)的研究起了促進(jìn)作用。

    把各種幾何和變換群相聯(lián)系的是克萊因，他在埃爾朗根綱領(lǐng)中提出了這個(gè)觀點(diǎn)，并把幾種經(jīng)典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關(guān)系變得十分明朗。這個(gè)綱領(lǐng)產(chǎn)生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個(gè)分類(lèi)法。后來(lái)嘉當(dāng)?shù)仍谕貜V幾何分類(lèi)的方法中作出了新的貢獻(xiàn)。

射影幾何學(xué)的內(nèi)容

    概括的說(shuō)，射影幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支學(xué)科，它是專門(mén)研究圖形的位置關(guān)系的，也是專門(mén)用來(lái)討論在把點(diǎn)投影到直線或者平面上的時(shí)候，圖形的不變性質(zhì)的科學(xué)。

    在射影幾何學(xué)中，把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作是“理想點(diǎn)”。通常的直線再加上一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)就是無(wú)窮遠(yuǎn)直線，如果一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。通過(guò)同一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有直線平行。

    在引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)直線后，原來(lái)普通點(diǎn)和普通直線的結(jié)合關(guān)系依然成立，而過(guò)去只有兩條直線不平行的時(shí)候才能求交點(diǎn)的限制就消失了。

    由于經(jīng)過(guò)同一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經(jīng)過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個(gè)圖形映成另一個(gè)圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。

    射影變換有兩個(gè)重要的性質(zhì)：首先，射影變換使點(diǎn)列變點(diǎn)列，直線變直線，線束變線束，點(diǎn)和直線的結(jié)合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說(shuō)明兩個(gè)平面點(diǎn)之間的射影對(duì)應(yīng)。

    在射影幾何里，把點(diǎn)和直線叫做對(duì)偶元素，把“過(guò)一點(diǎn)作一直線”和“在一直線上取一點(diǎn)”叫做對(duì)偶運(yùn)算。在兩個(gè)圖形中，它們?nèi)绻际怯牲c(diǎn)和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算，結(jié)果就得到另一個(gè)圖形。這兩個(gè)圖形叫做對(duì)偶圖形。在一個(gè)命題中敘述的內(nèi)容只是關(guān)于點(diǎn)、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算的時(shí)候，結(jié)果就得到另一個(gè)命題。這兩個(gè)命題叫做對(duì)偶命題。

    這就是射影幾何學(xué)所特有的對(duì)偶原則。在射影平面上，如果一個(gè)命題成立，那么它的對(duì)偶命題也成立，這叫做平面對(duì)偶原則。同樣，在射影空間里，如果一個(gè)命題成立，那么它的對(duì)偶命題也成立，叫做空間對(duì)偶原則。

    研究在射影變換下二次曲線的不變性質(zhì)，也是射影幾何學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。

    如果就幾何學(xué)內(nèi)容的多少來(lái)說(shuō)，射影幾何學(xué)< 仿射幾何學(xué)< 歐氏幾何學(xué)，這就是說(shuō)歐氏幾何學(xué)的內(nèi)容最豐富，而射影幾何學(xué)的內(nèi)容最貧乏。比如在歐氏幾何學(xué)里可以討論仿射幾何學(xué)的對(duì)象(如簡(jiǎn)比、平行性等)和射影幾何學(xué)的對(duì)象(如四點(diǎn)的交比等)，反過(guò)來(lái)，在射影幾何學(xué)里不能討論圖形的仿射性質(zhì)，而在仿射幾何學(xué)里也不能討論圖形的度量性質(zhì)。

    1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因在愛(ài)爾朗根大學(xué)提出著名的《愛(ài)爾朗根計(jì)劃書(shū)》中提出用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類(lèi)，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而在每一種幾何學(xué)里，主要研究在相應(yīng)的變換下的不變量和不變性。