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都說A股是賭場，但是賭也是有學(xué)問的。凱利公式就是這樣一種學(xué)問。這個公式要解決的是賭博者多次下注時每次投入本金的最佳百分比。利用這個最佳百分比，賭博者可以獲得最大的財富增長。
假設(shè)用投擲硬幣的方式賭博。正面贏，獲得下注的等額回報。反面輸，損失全部下注。假設(shè)正面的概率為p，反面的概率為q，每次下注占本金的比例為f，原始本金為x，每次下注則為xf。那么選取什么樣的f值能讓n次投注后的財富增長最多呢？這就是凱利公式要解決的問題。
 從上圖可以看出經(jīng)過n次投注后賭博者所剩的財富的公式。而我們需要找到一個最佳的f值，讓這個n次投注后的終值與最初的x值的比例最大。這個比例可以稍加變換：  實際上就變成了求下面這個公式的最大值：
  根據(jù)大數(shù)定律，可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為：
 取一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，則可以得出最佳的投注比例：   為了數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性，我們還要看二階導(dǎo)數(shù)：
 由于二階導(dǎo)數(shù)小于零，所以一階導(dǎo)數(shù)在[0，1）區(qū)間是嚴(yán)格單調(diào)下降的。由于在原點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)大于零，在f趨近1時一階導(dǎo)數(shù)趨近負(fù)無窮。由于一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，當(dāng)f = p - q 的最佳投注比例時，財富增長存在一個唯一的最大值。
上面的情況是最簡單的，賠率為1。另外，還可以有更復(fù)雜的，如賠率為b的情況（輸?shù)羧客蹲ⅲA得投注的b倍的獎金）。另外，如果輸?shù)臅r候不輸?shù)羧客蹲?，只輸?shù)鬰倍的投注，贏的時候贏得投注的b倍的獎金。這些都是凱利公式的變種。  值得注意的是，當(dāng)輸?shù)臅r候只輸?shù)粢恍〔糠?，即c是很小的百分?jǐn)?shù)，而贏的回報非常高，即b是一個大于1的數(shù)時，f值可以大于1，也就是說借錢賭才是最理性的。而且在這種情況下，即使贏的幾率很小，遠(yuǎn)低于輸?shù)膸茁室矝]關(guān)系，借錢賭也是合理的，因為贏的回報遠(yuǎn)高于輸?shù)膿p失。這其實就是泡沫的一個內(nèi)在原因之一。當(dāng)輸?shù)膿p失不大，而贏的回報非常高，借錢去賭是一種理性的選擇。雖然大家都知道泡沫不可持續(xù)，泡沫繼續(xù)上漲的幾率遠(yuǎn)低于下跌的幾率，但是只要輸?shù)膿p失不大（如銀行買單），贏的回報足夠大，大家還是會趨之若鶩，瘋狂推高泡沫。這其實是非理性中的理性選擇。 雖然凱利公式非常有意義，但應(yīng)用在股票中還要更復(fù)雜的計算，涉及到協(xié)方差。凱利公式的條件是各次投注是獨(dú)立的事件，而股票市場的投資很難做到獨(dú)立。而且，當(dāng)投資的股票超過一個時，由于股票之間的相關(guān)性，就不能簡單的應(yīng)用凱利公式。對于沒有復(fù)雜模型和大型計算機(jī)的普通投資者，基本面分析還是一切的基礎(chǔ)。而且很多股票的投資回報的大小及概率還要依靠基本面分析。股票投資沒有萬能的公式。 |
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