我國的大學(xué)數(shù)學(xué)教材，通常把“費(fèi)爾瑪引理”的證明夾在洛爾定理的證明中，使得證明顯得冗長。我先把它分離出來。（畫外音：這可是個(gè)難得的好習(xí)題。）

    費(fèi)爾瑪引理    若可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)取得最值，則函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 0

    分析   已知或討論函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，不仿先寫出導(dǎo)數(shù)定義算式。這是基本思路。

    “老老實(shí)實(shí)”地寫：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)x0取得最大值。寫出增量商

                                (f（x）－f（x0）)/（x－x0）

    “實(shí)實(shí)在在”地想：它有什么特點(diǎn)呢？ f（x0）最大，分子函數(shù)增量恒負(fù)，分母自變量增量左負(fù)右正。這樣一來，分別在兩側(cè)觀察，增量商在x0左側(cè)恒正，（負(fù)負(fù)得正）。右側(cè)恒負(fù)。其左極限非負(fù)而右極限非正。函數(shù)可導(dǎo)，左，右極限存在且相等，導(dǎo)數(shù)只能為 0

    導(dǎo)數(shù)為 0 ，不是直接算出來，而是由邏輯推理判斷得到的。你能否由此體會到一點(diǎn)數(shù)學(xué)美呢 。

    洛爾定理    若 函數(shù)在閉區(qū)間 [a，b] 連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且端值相等。則必在（a，b）內(nèi)一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0

    分析    函數(shù)在閉區(qū)間 [a，b] 連續(xù) → 函數(shù)必有最大最小值

    端值相等 → 只要函數(shù)不是常數(shù)，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在區(qū)間內(nèi)。

    函數(shù)在（a，b）內(nèi)可導(dǎo) → 內(nèi)部的最值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為 0

    請看看，分離證明，前段運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義，符號推理非常典型。后段邏輯有夾逼味道，十分簡明。

    運(yùn)用洛爾定理，關(guān)鍵在于要對各種說法的“端值相等”有敏感性。

    例    設(shè)函數(shù) f（x）二階可導(dǎo)，且函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)。試證明二階導(dǎo)數(shù)f "（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)。

    分析   任意兩個(gè)零點(diǎn)，不就意味著兩個(gè)函數(shù)值相等嗎！它倆組成一個(gè)區(qū)間，就滿足“端值相等”?？梢詰?yīng)用洛爾定理得到函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。

    設(shè)函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)由小到大依次為  x1，x2 ，x3

    順次取區(qū)間 [x1，x2]，[x2 ，x3]，分別在每個(gè)區(qū)間上對函數(shù)用洛爾定理，得到其一階導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)， ξ1，ξ2，且ξ1＜ξ2

    ξ1，ξ2客觀存在。它們組成區(qū)間[ξ1，ξ2]，且f ′(x) 在此區(qū)間上端值相等。已知二階導(dǎo)數(shù)f "（x）存在，即f ′(x)可導(dǎo)。對函數(shù)f ′(x)用洛爾定理就得本題結(jié)論。

    本例同時(shí)展示了“逐階運(yùn)用洛爾定理”的思路。

    不要怕“點(diǎn)ξ ” ，不要去想它有多抽象。客觀存在，為我所用。只是要留心它的范例。

        (畫外音：怕啥子嘛，你不是學(xué)了哲學(xué)，學(xué)了辯證法嗎。)

    如果函數(shù) n 階可導(dǎo)，且函數(shù)有n +1個(gè)互不相同的零點(diǎn)。由此可以得到什么信息？

,   我們可以象上例那樣，先把這n +1個(gè)零點(diǎn)由小到大排序編號，順次組成n個(gè)區(qū)間。分別在每個(gè)區(qū)間上對函數(shù)用洛爾定理，得到其一階導(dǎo)數(shù)的n－1個(gè)零點(diǎn)。再一次次逐階運(yùn)用洛爾定理，最后可以得到結(jié)論：函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)。

    這是微分學(xué)的一個(gè)經(jīng)典題目，結(jié)論好似一個(gè)倒置的“楊輝三角形”。就當(dāng)是做游戲吧。一個(gè)“壘寶塔” 游戲。

    考研數(shù)學(xué)有時(shí)在這個(gè)考點(diǎn)上出大題，基本模式為

     “ 已知-----，證明區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)的等式成立 。”

    例   設(shè) f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）= 0，試證（0，1）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得    f（ξ）+ ξ f ′(ξ) =  0

    分析（綜合法）  ξ 只是一個(gè)特殊點(diǎn)。ξ 就是方程的根。方程的根轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)討論。（潛臺詞：我們有兩件兵器哦。）

    由于關(guān)系式中有含導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，可以猜想，ξ 應(yīng)當(dāng)是我們對某個(gè)函數(shù)運(yùn)用洛爾定理后，得到的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。（畫外音：在ξ 沒代入之前，導(dǎo)數(shù)表達(dá)式是啥樣？?。?/font>