摘要：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的真善美，是每一位數(shù)學(xué)教師的追求，也是數(shù)學(xué)教育教學(xué)的最高境界．本文結(jié)合“平方差公式”的課堂教學(xué)，基于對數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容、對學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、對課堂教學(xué)規(guī)律的理解，探討數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“真”、“善”、“美”，以試圖尋求一種充實(shí)、生動(dòng)、和諧的數(shù)學(xué)課堂．

關(guān)鍵詞：平方差公式；數(shù)學(xué)課堂教學(xué)；真善美

“真”、“善”、“美”，是人類的追求，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的最高境界．這三個(gè)字可以引申出許多不同語境的詞組，如，真實(shí)、真相、真誠、真諦、真話等；善良、善意、友善、慈善、完善等；美好、美麗、美化、美感、美滿等．那么，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何使學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、理解數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，把握數(shù)學(xué)世界的精髓，切實(shí)感悟到“真”、“善”、“美”的無窮魅力，本文就試圖結(jié)合義務(wù)教育初中學(xué)段“平方差公式”的課堂教學(xué)，談幾點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)．

一、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“真”

真，就是要揭示事物的本來面目．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)中，強(qiáng)調(diào) “真”，主要是指數(shù)學(xué)知識(shí)的“真實(shí)性”，是指教師要通過課堂，將自己對數(shù)學(xué)知識(shí)的感受和認(rèn)識(shí)，以所教授的內(nèi)容為載體，對數(shù)學(xué)知識(shí)“真相”的一種自然的表達(dá)．

“平方差公式”，是繼“單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式”、“單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”和“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”之后的第一個(gè)乘法公式，其“本來面目”就是“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”的一個(gè)特例．將這樣的一個(gè)“特例”作為“公式”，主要是基于三方面的考慮：第一，是為符合公式特征的整式乘法的運(yùn)算帶來方便；第二，是為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，如對于學(xué)習(xí)“用公式法分解因式”、“分式的運(yùn)算與化簡”、“解一元二次方程”等，提供必要的知識(shí)儲(chǔ)備；第三，是本公式的探究過程與方法，對后面學(xué)習(xí)“完全平方公式”，從方法上，起到了一定的借鑒作用．這是對“平方差公式”本身的一個(gè)“基本”的定位．

從“平方差公式”所包含的內(nèi)容來看，用文字形式表達(dá)，是“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差”，抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)，可以概括成，同時(shí)，我們還可以借助圖形面積的方法，如圖，解釋該公式的合理性．可見，“文字描述”、“符號(hào)概括”、“圖形直觀”這三種表達(dá)數(shù)學(xué)概念的基本形式，也是對“平方差公式”的一個(gè)“真實(shí)”的刻畫．

另外，依附于“平方差公式”內(nèi)容之上的，就是數(shù)學(xué)思想方法，這牽涉到對“平方差公式”本質(zhì)的理解．

其一，是“特殊化”的想法．我們探究數(shù)學(xué)問題，一般情況下，是需要對一些“特例”進(jìn)行比較深入的研究．比如對待“幾何圖形”，我們在研究一般三角形的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)研究了“等腰三角形”，在研究了一般的四邊形的基礎(chǔ)上，比較深入地研究了“平行四邊形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”等特殊的四邊形，這主要是由于這樣的一些特殊的三角形、四邊形，在數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部或?qū)嶋H問題中有著更加廣泛的應(yīng)用．因此，建立在“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”基礎(chǔ)之上的“平方差公式”，承載的就不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)公式本身了，它反映了從“一般”到“特殊”的研究數(shù)學(xué)問題的基本策略．

其二，是“歸納”的想法．這種方法在解決數(shù)學(xué)問題中，更是隨處可見，比如，對于整式加法法則、整式乘法法則的獲得，對于一次函數(shù)、反比例函數(shù)性質(zhì)的獲得，對于概率的統(tǒng)計(jì)定義中的“用頻率估計(jì)概率”的方法，等等．那么，對于“平方差公式”，我們同樣是通過觀察一系列具有某種結(jié)構(gòu)特征的“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”的結(jié)果，“歸納”出符合這種“結(jié)構(gòu)特征”的共同“規(guī)律”，這就是平方差公式，其中的可以代表任何“數(shù)字”、“字母”、“式子”，或者你喜歡的任何其他的“事物”．

這樣，基于上述的關(guān)于“平方差公式”的感受和理解，我們的教學(xué)設(shè)計(jì)以及課堂實(shí)施，才有可能給學(xué)生帶來一些“真實(shí)”的幫助．

二、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“善”

善，針對內(nèi)容，應(yīng)該反映了一種價(jià)值取向，表達(dá)的是“可欲之謂善”，即“己欲立而立人；己欲達(dá)而達(dá)人；己所不欲，勿施于人”的意境．

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師將自己理解到的“真實(shí)”的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過設(shè)置一系列的問題，讓學(xué)生也能理解數(shù)學(xué)，也能達(dá)到了解數(shù)學(xué)知識(shí)“真相”的目的，就應(yīng)該是一種“善”了．

對于“平方差公式”，如果以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)為起點(diǎn)，就應(yīng)該從“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”開始．人民教育出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊（以下簡稱教材），為學(xué)生呈現(xiàn)“平方差公式”時(shí)，就是采用承接上一節(jié)“多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則”，以一個(gè)“探究”欄目開始的．

教材在“探究”欄目中，設(shè)置了三個(gè)特殊形式的“多項(xiàng)式相乘”的問題，對于（1），是“”，這里的兩個(gè)多項(xiàng)式“”與“”，均含有一個(gè)字母“”，常數(shù)項(xiàng)為“1”和“-1”；對于（2），是“”，它的兩個(gè)多項(xiàng)式“”與“”，含有的一個(gè)字母變?yōu)?#8220;”，常數(shù)項(xiàng)變?yōu)?#8220;2”和“-2”；對于（3），“”，它的兩個(gè)多項(xiàng)式“”與“”，均含有字母“”，但與（1）不同的是，增加了字母的系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)為“1”和“-1”．

該“探究”欄目的問題指向是“你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律”，這就將學(xué)生的思維自然地導(dǎo)向了“結(jié)構(gòu)特征”，與接下來的“再來計(jì)算”上下呼應(yīng)，在突出結(jié)構(gòu)特征的同時(shí)，揭示了“平方差公式”與“一般多項(xiàng)式乘法”之間的內(nèi)在聯(lián)系．

這樣的設(shè)計(jì)，層層遞進(jìn)，又相互關(guān)聯(lián)，使“平方差公式”的生成非常的自然、順暢．

當(dāng)學(xué)生知道了“平方差公式”，就應(yīng)該以應(yīng)用這個(gè)公式解決相關(guān)的問題為落點(diǎn)．其中，重要的是幫助學(xué)生理解公式中字母的廣泛含義．

教材在例1的分析中，采用“”，比較直觀地指出了公式中的字母可以代表“”和“”，事實(shí)上，推而廣之，可以向?qū)W生指明，公式中的字母可以表示任何“具體的數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)）”、任何“單項(xiàng)式或多項(xiàng)式”，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，都可以運(yùn)用這一公式．這是一種非常“善意”的注釋，是可以應(yīng)用“平方差公式”進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵．

教材的例2，設(shè)置了兩個(gè)問題，對于（1），“”，需要變形成符合“平方差公式”結(jié)構(gòu)的形式；對于（2），“”，其中的“”可以應(yīng)用“平方差公式”，而“”仍然按照“多項(xiàng)式相乘”的計(jì)算方法．兩個(gè)問題，從不同的側(cè)面，將“平方差公式”納入到學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，應(yīng)用于（1）中，可以使學(xué)生確認(rèn)“平方差公式”為運(yùn)算所帶來的方便，應(yīng)用于（2）中，表明了“平方差公式”的局限性，即它只能解決具有特殊形式的多項(xiàng)式相乘的問題．

可見，教材對“平方差公式”內(nèi)容的安排，簡捷流暢，在傳達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)“真相”的過程中，又不失深刻的“數(shù)學(xué)味道”，為我們的教學(xué)設(shè)計(jì)以及課堂實(shí)施提供了很好的“示范性”．如果運(yùn)用得當(dāng)，將這種“友善”的呈現(xiàn)方式，在課堂教學(xué)中得以實(shí)現(xiàn)，才有可能對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生積極的影響．

三、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“美”

美，是使人愉悅，使人感動(dòng)，使人升華，使人奮進(jìn)的東西．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“美”，應(yīng)包括數(shù)學(xué)教師的親和力、數(shù)學(xué)內(nèi)容的感染力以及師生共同營造的和諧狀態(tài)等．

“親其師，才能信其道”，數(shù)學(xué)教師的親和力，是教師的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)、自身人格魅力的綜合體現(xiàn)．首先，還是要求教師對數(shù)學(xué)知識(shí)“真實(shí)”的理解，比如，對“用面積說明平方差公式”，教材的用意是用它來說明“平方差公式”具有直觀的幾何意義，如果在這里“大做文章”，甚至將其作為推導(dǎo)“平方差公式”的依據(jù)，實(shí)為不妥，而且勢必會(huì)人為地造成學(xué)生對“平方差公式”的誤解，那么，再“美好”的創(chuàng)意，也是徒勞的，“親和力”也只能是徒有其表；其次，基于學(xué)生對教師數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)的信服（這需要一個(gè)長期的過程），教師課堂上的“一招一式”，也應(yīng)從學(xué)生的接受能力出發(fā)，循序漸進(jìn)，娓娓道來，使數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)可以在一種輕松愉悅的狀態(tài)下“達(dá)成”．

數(shù)學(xué)內(nèi)容的感染力，主要呈現(xiàn)的是一種數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯性、系統(tǒng)性，以及數(shù)學(xué)思維方式的“可遷移性”．應(yīng)該說，“平方差公式”并不難，沒有“平方差公式”，按照“多項(xiàng)式相乘”的計(jì)算方法，同樣可以解決問題．那么，學(xué)習(xí)“平方差公式”的意義何在呢？筆者以為，本課要關(guān)注的一個(gè)重要方面，應(yīng)該是它的“思想性”．如從“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”的一般到“平方差公式”的特殊，從觀察一系列特殊的“多項(xiàng)式相乘”的結(jié)果到得到一般的“平方差公式”；再如，公式的“結(jié)構(gòu)特征”所表現(xiàn)的“模式化”的思想，以及分析解決數(shù)學(xué)問題的“基本套路”等等．這樣的提煉，學(xué)生從中獲取的就不僅僅是簡單的“平方差公式”了，其“感染力”可以融合到數(shù)學(xué)內(nèi)部或者數(shù)學(xué)之外的任何方面．

課堂教學(xué)的和諧狀態(tài)，應(yīng)該是“真”、“善”、“美”的和諧統(tǒng)一．如果說，學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)美、認(rèn)識(shí)美、追求美、創(chuàng)造美的過程，也一定是基于了教師對數(shù)學(xué)知識(shí)“真誠”的表達(dá)，基于了教師對數(shù)學(xué)內(nèi)容“友善”的呈現(xiàn)，有了“真”和“善”，才會(huì)有“美”．同樣，學(xué)生如果通過我們的課堂，感知到了數(shù)學(xué)所帶給他們的“美感”，獲得了“善學(xué)”的方法，也一定會(huì)形成“真知”，奠定賦有創(chuàng)造力的豐厚的數(shù)學(xué)知識(shí)底蘊(yùn)．

有人認(rèn)為“真是指認(rèn)識(shí)符合客觀實(shí)際；善是指善行，是指人的行為對群體的價(jià)值；美是客體作用于主體，使主體產(chǎn)生一種精神上愉悅的體驗(yàn)”．也有人認(rèn)為“真者智力之理想，善者意志之理想，美者感情之理想”．我們的追求，是可以看到充實(shí)、生動(dòng)、和諧的數(shù)學(xué)課堂，縱然不能完全做到，然心向往之，教師盡力為之，數(shù)學(xué)課堂也才有可能真正成為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的“真善美”的源泉．