一、基本知識(shí)

（一）主要數(shù)量關(guān)系

1.路程=速度×時(shí)間

2.總路程=速度和×時(shí)間

3.路程差=速度差×追擊時(shí)間

（二）行程問(wèn)題的情形

1.相向而行：相遇時(shí)間=距離÷速度和

2.相背而行：相背距離=速度×時(shí)間

3.同向而行：追及時(shí)間=追及距離÷速度差

4.追及問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：速度差×追及時(shí)間=追及路程追及問(wèn)題一般是指兩個(gè)物體同方向運(yùn)動(dòng)，由于各自的速度不同，后者追上前者的問(wèn)題。解答追及問(wèn)題，一定要懂得運(yùn)動(dòng)快的物體之所以能追上運(yùn)動(dòng)慢的物體，是因?yàn)閮烧咧g存在著速度差。抓住“追及的路程必須用速度差來(lái)追”這一道理，結(jié)合題中運(yùn)動(dòng)物體的地點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向等特點(diǎn)進(jìn)行具體分析，并借助線段圖來(lái)理解題意，就可以正確解題。

如果上述的幾種情況交織在一起，組成的應(yīng)用題將會(huì)豐富多彩、千變?nèi)f化。解答這些問(wèn)題時(shí)，我們還是要理清題中已知條件與所求問(wèn)題之間的關(guān)系，同時(shí)采用“轉(zhuǎn)化”、“假設(shè)”等方法，把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，把一復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題逐一進(jìn)行解決。

5.流水問(wèn)題就是船在水中航行的行程問(wèn)題。

順?biāo)俣?船速+水速 水速=順?biāo)俣?船速 船速=順?biāo)俣?水速

逆水速度=船速-水速 水速=船速-逆水速度 船速=逆水速度+水速

船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2

6.列車(chē)過(guò)橋

列車(chē)過(guò)橋的總路程=列車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)； 列車(chē)過(guò)樹(shù)的路程為列車(chē)長(zhǎng)； 速度即車(chē)速。

相向運(yùn)動(dòng):兩列車(chē)從相遇到相離的總路程=甲車(chē)長(zhǎng)+乙車(chē)長(zhǎng)；列車(chē)過(guò)人從相遇到相離的總路程=列車(chē)長(zhǎng)；列車(chē)過(guò)人過(guò)車(chē)的速度=甲車(chē)速+乙車(chē)速（或車(chē)速+人速）。

追及問(wèn)題：追及的時(shí)間=路程÷速度差；齊頭并進(jìn)追及路程=快車(chē)長(zhǎng)；齊尾并進(jìn)追及路程=慢車(chē)長(zhǎng)

 

二、智慧練習(xí)

1.一艘船從甲地沿水路去乙地，往返一次共需2小時(shí)。去時(shí)順?biāo)确祷貢r(shí)每小時(shí)多航行8千米，且第二小時(shí)比第一小時(shí)少航行6千米。求甲、乙兩地水路的距離。 F：XWBPXJCP73-4，10-1-23。 類(lèi)型：簡(jiǎn)易方程

解法一：順?biāo)幸恍r(shí)的路程=甲乙+逆水行3千米的時(shí)間×順?biāo)俣取Ｄ嫠幸恍r(shí)的路程=甲乙-3千米。順?biāo)幸恍r(shí)的路程-逆水行一小時(shí)的路程=8千米。由此列出方程。

設(shè)靜水速度為x,那么順?biāo)俣仁莤+4,逆水速度是x-4。

3+3÷（x-4）×（x+4)=8

3（x-4)+3×(x+4)=8(x-4)

3x-12+3x+12=8x-32

6x=8x-32

2x=32

x=16

1（16-4）+3=15(千米）

7.小明在360米的跑道上跑步，已知前一半時(shí)間每秒跑5米，后一半時(shí)間每秒跑4米。問(wèn)他在后一半路程用了幾秒?。

Y：XX2010五上期末挑戰(zhàn) ,10-1-18。 類(lèi)型：行程問(wèn)題

解：設(shè)一共走了x秒。

0.5x×5+0.5x×4=360

4.5x=360

x=80

一共花了80秒，一半時(shí)間就是40秒，那么這些路走了40×4=160米，可是一半路程是180米，相差了20米，這就是因?yàn)檫@兩半時(shí)間速度不一樣。每秒跑5米比每秒跑4米多走了20米，那么這段路花了20÷5=4秒，40+4=44秒。

答：他在后一半路程用了44秒。

這道題應(yīng)該說(shuō)不難的，可考試的時(shí)候我還是被懵了，這次數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)考就在這里栽跟頭了。

 

8.兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1200米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時(shí)出發(fā)十分鐘，兩人與十字路口的距離相等，出發(fā)后100分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等，此時(shí)他們離十字路口多少米？
解：在題目中我們不難看出甲離十字路口的距離抵消了，這說(shuō)明甲100分鐘比乙多行1200米，一分鐘就要快12米，甲、乙同時(shí)出發(fā)十分鐘為什么相等原因就在于甲沒(méi)到十字路口的距離是乙10分鐘行的路程，也就是那段路是甲乙各行了10分鐘才走完的，1200減去甲比乙十分鐘多行的12×10就是乙20分鐘行的路程，（1200-120）÷20=54（千米/時(shí)）54×100=5400米。

答：此時(shí)他們離十字路口5400米。

 

9.小明去爬山，上山時(shí)每小時(shí)行2.5千米，下山時(shí)每小時(shí)行4千米，往返一共用了3.9小時(shí)。小明一共行了多少千米？
Y：XX08五上數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)樂(lè)園-5，20100115

解：小明下山的速度是上山的1.6倍，即4÷2.5=1.6.那么小明在上山花的時(shí)間是上山的1.6倍。3.9÷（1.6+1）=1.5，下山花了1.5時(shí)，上山花了2.4時(shí)，那么1.5×4+2.4×2.5=12千米。

 

10.從甲地到乙地的路全是上坡路和下坡路，其中上坡路的路程是下坡路的2倍。一輛汽車(chē)從甲地到乙地，行上坡路的速度是下坡路的一半，行了1.5小時(shí)。從乙地返回甲地，要行多少小時(shí)？

Y：XX08五上數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)樂(lè)園-14，20100115

解：1.5÷（4+1）=0.3（時(shí)）0.3×2+0.3+0.3=1.2（時(shí)）

答：要行1.2時(shí)。

 

 

 

 

11.張、李兩人同時(shí)從甲地出發(fā)向同一方向前進(jìn)，張每小時(shí)比李多3千米，張比李早20分鐘到途中乙地。當(dāng)李到達(dá)乙地時(shí)，張又前進(jìn)了8千米。那么甲乙兩地相距多少米?

解：張每小時(shí)速度：60÷20×8=24（千米/時(shí)）

李每小時(shí)速度：24-3=21（千米/時(shí)）

張20分鐘行的路程去除以每小時(shí)比李多的3千米就等于李到乙地的時(shí)間，再用這個(gè)時(shí)間乘以李每小時(shí)的速度就是甲地到乙地的路程了：8÷3×21=8×21÷3=56（千米）=56000（米）

答：甲乙兩地相距56000米。

 

12.甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地相向出發(fā),經(jīng)過(guò)4小時(shí)在C地相遇。如果甲車(chē)每小時(shí)加快10千米，而乙速不變，但乙提前一小時(shí)出發(fā)；或者甲車(chē)速不變,只要乙提前一小時(shí)出發(fā)并將車(chē)速每小時(shí)放慢10千米,兩車(chē)均可在C地相遇.求從A、B兩地間的路程?

解：設(shè)甲的速度為x，那么3×（x+10）=4X，3x+30=4X，x=30（千米/小時(shí)）

設(shè)乙的速度為y，那么4y=5×（y-10）），y=50（千米/小時(shí)）

（50+30）×4=320（千米）

答：A、B兩地間的距離為320千米。

 

13.一條河沿岸依次有甲、乙、丙三個(gè)碼頭。甲、乙相距12000米，乙、丙相距24000米。小明在8點(diǎn)鐘從甲碼頭劃船到乙碼頭。8點(diǎn)40分時(shí)，他來(lái)到乙碼頭，搭乘輪船去丙碼頭。9點(diǎn)鐘到達(dá)丙碼頭，到達(dá)后，他又立刻乘輪船返回乙碼頭，到達(dá)乙碼頭的時(shí)間是9點(diǎn)24分，然后他又劃著自己的小船返回甲碼頭。問(wèn)（1）河水流速是多少？（2）回到甲碼頭是幾點(diǎn)？

解：（1）在乙、丙之間輪船的順?biāo)俣龋?4000÷20=1200（米/分鐘）

在乙、丙之間輪船的逆水速度：24000÷24=1000（米/分鐘）

水流速度：（1200-1000）÷2=100（米/分鐘）

（2）在甲、乙之間小船的順?biāo)俣龋?2000÷40=300（米/分鐘）

在甲、乙之間小船的逆水速度：300-100×2=100（米/分鐘）

小船從乙到甲逆水航行所需的時(shí)間：12000÷100=120（分鐘）

回到甲碼頭的時(shí)間：9：24加2個(gè)小時(shí)，為11點(diǎn)24分。

答：河水流速是100分/米，回到甲碼頭是11點(diǎn)24分。

 

14.張波每天早上步行上學(xué)，如果每分鐘走65米，就要遲到4分鐘，如果每分鐘走75米，則可以提前2分鐘，問(wèn)張波家到學(xué)校的距離是多少米？

Y：XX五上每日一題，2010-1-15

解：65×4=260（米）

75×2=150（米）

（260+150）÷（75-65）=41（分）

41×75-2×75=2925（米）

答：張波家到學(xué)校的距離是2925米。

 

15.東西兩城相距87.5千米，小東從東向西走，每小時(shí)走6.5千米。小希從西向東走，每小時(shí)走6千米。小輝騎自行車(chē)從東向西走，每小時(shí)走14.5千米。三人同時(shí)動(dòng)身，途中小輝遇見(jiàn)小希即折向東走，遇見(jiàn)了小東又折回向西走。再遇見(jiàn)小希又折向東走，這樣往返，一直到三人途中相遇為止。小輝共走了多少千米？

Y：XX五上每日一題，2010-1-15

解：87.5÷(6.5+6)=7.5（時(shí)）

7×14.5=101.5(千米)

答:小輝共走了101.5千米。

 

16.快車(chē)和慢車(chē)同時(shí)從東、西兩站相對(duì)開(kāi)出，第一次在中點(diǎn)西側(cè)10千米處相遇，相遇后兩車(chē)以原速前進(jìn)，到達(dá)對(duì)方出發(fā)地后，兩車(chē)立即返回，在途中第二次相遇，這時(shí)相遇點(diǎn)距東站40千米。東、西兩站相距多少米？

17.小東、小青兩人同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)相向而行。兩人在離甲地40米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速度繼續(xù)行駛，并且在各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回；途中兩人在距乙地15米處第二次相遇，問(wèn)甲、乙兩地相距多遠(yuǎn)？

18.上午8：08小明騎車(chē)從家出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車(chē)去追小明，在離家4千米的地方追上了小明，然后爸爸回家，回家后又立即回頭去追小明，在離家8千米處又追上了小明。問(wèn)這時(shí)是幾時(shí)幾分？

19.一條河上有A、B、C三個(gè)碼頭，C碼頭與A、B兩碼頭距離相等，水流速度是2千米每小時(shí)。一只船從上游的A碼頭順流而下，到達(dá)下游的B碼頭，然后又調(diào)頭逆流而上到達(dá)中游的C碼頭，共用時(shí)6小時(shí)。已知這條船的順?biāo)俣仁悄嫠俣鹊?倍，求A、B兩碼頭的距離？

20.趙伯伯為鍛煉身體，每天步行3小時(shí)，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。假設(shè)趙伯伯在平路上每小時(shí)行4千米，上山每小時(shí)行3千米，下山每小時(shí)行6千米，在每天鍛煉中，他共行走多少米?

21.小羽和小曼分別住在一座山兩側(cè)的山腳下。一天，小羽在上午9：00從家里出發(fā)到小曼家做客，小羽在小曼家玩 2個(gè)半小時(shí)后回家，到家時(shí)是下午14：00，若小羽上山每小時(shí)走2里地，下山每小時(shí)走3里地，則小羽家和小曼家之間的山路長(zhǎng)__3___里。

F：七屆五年級(jí)1試-10，10-1-10 。 【收藏】

解：設(shè)小羽家和小曼家之間的山路x里。

x/2+x/3=2.5

x=3

 

22.甲、乙兩人分別從小路兩端A，B兩處同時(shí)出發(fā)相向散步.第一次相遇在距B處80米的地方，然后兩人繼續(xù)按原速向前行走，分別到B，A處后再立即返回，第二次相遇在距A處30米的地方.照上面的走法，兩人第三次相遇在距A處______米的地方。

 

23.李經(jīng)理的司機(jī)每天早上7點(diǎn)30分到達(dá)李經(jīng)理家接他去公司。有一天李經(jīng)理7點(diǎn)從家里出發(fā)去公司，路上遇到從公司按時(shí)來(lái)接他的車(chē)，再乘車(chē)去公司，結(jié)果比平常早到5分鐘。則李經(jīng)理乘車(chē)的速度是步行速度的11 倍。（假設(shè)車(chē)速、步行速度保持不變，汽車(chē)掉頭與上下車(chē)時(shí)間忽略不計(jì)）【已分】

F：五屆五年級(jí)1試-17，2010-2-18 。

解：李經(jīng)理提早了7：30-7：00=30分

汽車(chē)單程所需時(shí)間：5÷2=2.5分

相遇時(shí)李經(jīng)理走了：30-2.5=27.5分

27.5÷2.5=11

 

24.兩名旅客分別由A、B兩鎮(zhèn)同時(shí)相向而行，甲的速度為120米/分，乙的速度為80米/分，行了一段時(shí)間，甲距全程中點(diǎn)560米，乙距全程中點(diǎn)1040米，則這兩名旅客從出發(fā)到相遇共需_____分鐘。

F：五希2模P41-12，10-2-9。 類(lèi)型：行程問(wèn)題

解：這道題有兩種答案，第一種是甲乙均未到達(dá)中點(diǎn)，（1040-560）÷（120-80）=12（分）（1040+560）÷（120+80）=8（分）8+12=20（分）。

第二種甲過(guò)中點(diǎn)距全程中點(diǎn)560米，乙還未到達(dá)中點(diǎn)。（560+1040）÷（120-80）=40分，（1040-560）÷（120+80）=2.4（分）2.4+40=42.4（分）

 

25.A，B兩輛汽車(chē)同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開(kāi)出，兩車(chē)第一次在距甲站32千米處相遇。相遇后兩車(chē)?yán)^續(xù)行駛，各自抵乙、甲兩站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64千米處相遇，則甲、乙兩站相距_________米。

F：五希2模P47，10-02-10。

解：A、B兩輛汽車(chē)到第二次相遇時(shí)，一共行了3個(gè)全程。在第一次相遇時(shí)，共行了一個(gè)全程，三個(gè)全程就是3×32千米，這是距離兩個(gè)全程還差64千米，（3×32+64）÷2=80。

 

26.在周長(zhǎng)為200米的圓形跑道的一條直徑的兩端，甲乙兩人騎自行車(chē)分別以6米/秒和5米/秒的速度同時(shí)相向出發(fā)（即一個(gè)順時(shí)針一個(gè)逆時(shí)針），沿跑道行駛，問(wèn)16分鐘內(nèi)甲乙相遇多少次？