|
共軛矩陣-共軛矩陣 共軛矩陣又稱Hermite陣。Hermite陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的共軛相等。埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角線以復共軛方式對稱,即是ai,j=a*j,i。 對于 A=\{a_{i,j}\}\inC^{n\timesn} 有： a_{i,j}=\overline{a_{j,i}}，其中\(zhòng)overline{(\cdot)}為共軛算符。 記做： A=A^H\quad 例如： \begin 3&2+i\\2-i&1\end 就是一個Hermite陣。 顯然，Hermite陣主對角線上的元素必須是實數(shù)。對于只包含實數(shù)元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關于主對角線對稱，那么它也是Hermite陣。也就是說，實對稱陣是Hermite陣的特例。 性質 若A和B是Hermite陣，那么它們的和A+B也是Hermite陣；而只有在A和B滿足交換性（即AB=BA）時，它們的積才是Hermite陣。 可逆的Hermite陣A的逆矩陣A-1仍然是Hermite陣。 如果A是Hermite陣，對于正整數(shù)n，An是Hermite陣. 方陣C與其共軛轉置的和C+C^*是Hermite陣. 方陣C與其共軛轉置的差C-C^*是skew-Hermite陣。 任意方陣C都可以用一個Hermite陣A與一個skew-Hermite陣B的和表示: C=A+B\quad\mbox\quadA=\frac(C+C^*)\quad\mbox\quadB=\frac(C-C^*). Hermite陣是正規(guī)陣，因此Hermite陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數(shù)。這意味著Hermite陣的特征值都是實的，而且不同的特征值所對應的特征向量相互正交，因此可以在這些特征向量中找出一組Cn的正交基。 n階Hermite方陣的元素構成維數(shù)為n2的實向量空間，因為主對角線上的元素有一個自由度，而主對角線之上的元素有兩個自由度。 如果Hermite陣的特征值都是正數(shù)，那么這個矩陣是正定陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定陣。 |
|
|
來自： 絕地戰(zhàn)士 > 《我的圖書館》
