[奧數(shù)培訓(xùn)] 2010-06-27 13:38:57
第一章牛頓問題
解題關(guān)鍵：
牛頓問題，俗稱“牛吃草問題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長。解題環(huán)節(jié)主要有四步：
1、求出每天長草量；
2、求出牧場原有草量；
3、求出每天實際消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生長的草量= 消耗原有草量)；
4、最后求出可吃天數(shù)。
1、牧場上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均勻的速度生長。這片青草供給10頭?？梢猿?0天，供給15頭牛吃，可以吃10天。供給25頭牛吃，可以吃多少天？
分析：
如果草的總量一定，那么，牛的頭數(shù)與吃草的天數(shù)的積應(yīng)該相等?，F(xiàn)在夠10頭牛吃20天，夠15頭牛吃10天，10×20和15×10兩個積不相等，這是因為10頭牛吃的時間長，長出的草多，所以，用這兩個積的差，除以吃草的天數(shù)差，可求出每天的長草量。
①、求每天的長草量
( 10×20－15×10 )÷( 20－10 )＝ 5 ( 單位量)
說明牧場每天長出的草夠5頭牛吃一天的草量。
②、求牧場原有草量
因為牧場每天長出的草量夠5頭牛吃一天，那么，10頭牛去吃，每天只有10－5＝5 ( 頭 )牛吃原有草量，20天吃完，原有草量應(yīng)是：( 10－5 )×20＝100 ( 單位量)
或：10頭牛吃20天，一共吃草量是 10×20＝200 ( 單位量)
一共吃的草量－20天共生長的草量＝原有草量
200 － 100 ＝ 100(單位量)
③、求25頭牛吃每天實際消耗原有草量
因為牧場每天長出的草量夠5頭牛吃一天，25頭牛去吃，(吃的－ 長的 ＝ 消耗原草量 )
即：25 － 5＝ 20 ( 單位量)
④、25頭牛去吃，可吃天數(shù)
牧場原有草量 ÷ 25頭牛每天實際消耗原有草量 ＝ 可吃天數(shù)
100 ÷ 20 ＝5 ( 天)
解： ( 10×20－15×10 )÷( 20－10 )
＝50÷10
＝5 (單位量) ------- 每天長草量
( 10－5 )×20
＝5×20
＝100 ( 單位量) ------- 原有草量
100÷ ( 25－5 )
＝100÷20
＝5 (天)
答：可供給25頭牛吃 5 天。
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2、牧場上有一片青草，草每天以均勻的速度生長，這些草供給20頭牛吃，可以吃20天；供給100頭羊吃，可以吃12天。如果每頭牛每天的吃草量相當于4只羊一天的吃草量，那么20頭牛，100只羊同時吃這片草，可以吃幾天？
分析：
1頭牛每天相當于4只羊一天的吃草量，那么20頭牛就相當于4×20＝80 ( 只)羊吃草量。
每天長草量：
( 80×20 －100×12 )÷ ( 20－12 )
＝400÷8
＝50 (單位量)
原有草量：
( 80－50 )×20
＝30×20
＝600 (單位量)
20頭牛和100只羊同時吃的天數(shù)：
600÷( 80＋100－50 )
＝600÷130
＝4 (天)
答：20頭牛，100只羊同時吃這片草，可以吃4 天。
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3、有三片牧場，牧場上的草長得一樣密，一樣快。它的面積分別是 3. 3公頃、2. 8公頃和4公頃。22頭牛54天能吃完第一片牧場原有的草和新長出的草；17頭牛84天能吃完第二片牧場原有的草和新長出的草。問，多少頭牛經(jīng)過24天能吃完第三片牧場原有的草和新長出的草？
分析：
①、第一片牧場22頭牛54天吃完3. 3公頃所有的草，那么，每公頃草量是(包括生長的)：
22×54÷3. 3＝ 360 ( 單位量)
②、第二片牧場：17頭牛84天吃完2. 8公頃所有的草，那么，每公頃草量是：
17×84÷2. 8＝ 510 ( 單位量)
③、每公頃每天的長草量是：
( 510－360 )÷( 84－54 )＝5 (單位量)
④、每公頃原有草量是：
360－5×54＝90 ( 單位量)
⑤、第三片4公頃24天共有草量是：
90×4＋5×24×4＝ 840 ( 單位量)
⑥、可供多少頭牛吃24天：
840÷24＝35 (頭)
解： ( 17×84÷2.8－22×54÷3.3 )÷( 84－54 )
＝150÷30
＝5 (單位量) ------ 每公頃每天長草量
22×54÷3. 3－5×54
＝360－270
＝90 (單位量) -------- 每公頃原有草量
90×4＋5×4×24
＝360＋480
＝840 ( 單位量) -------4公頃24天共有草量
840÷24＝35 ( 頭)
答：35頭牛經(jīng)過24天能吃完第三片牧場原有的草和新長出的草。
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4、用3臺同樣的水泵抽干一個井里的泉水要40分鐘；用6臺這樣的水泵抽干它只要16分鐘。問，用9臺這樣的水泵，多少分鐘可以抽干這井里的水？
分析：
用水泵抽井里的泉水，泉水總是按一定大小不斷往上涌，這就跟牧場的草一樣均勻地生長，因此，把它當作牛吃草問題同解。
每分鐘泉水涌出量：
( 3×40－6×16 )÷( 40－16 )
＝2 4÷24
＝1 (單位量)
井里原有水量：
( 3－1 )×40
＝2×40
＝80 (單位量)
9臺幾分鐘可以抽干：
80÷( 9－1 )
＝80÷8
＝10 (分鐘)
答：用9臺這樣的水泵，10分鐘可以抽干這井里的水。
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5、火車站的售票窗口8點開始售票，但8點以前早就有人來排隊，假如每分鐘來排隊的人一樣多，開始售票后，如果開3個窗口售票，30分鐘后，不再有人排隊；如果開5個窗口售票，15分鐘后，不再有人排隊。求第一個來排隊的人是幾點鐘到的？
分析：
到窗口排隊售票的人，包括兩部分，一部分是8點以前已等候的人( 相似于牛吃草問題中的原有草量)，另一部分是開始售票時，逐步來的人( 相似于每天長草量)，開售票窗口多少，相似于“吃草的牛”多少，售票時間相似于“牛吃草”天數(shù)。因此，按“牛吃草問題”來解答。
每分鐘來排隊的人：
( 3×30－5×15 )÷( 30－15 )
＝15÷15
＝1 (人)
售票前已到的人數(shù)：
3×30－1×30
＝90－30
＝60 (人)
售票前已到的人共用的時間：
60÷1＝60 (分鐘)
60分鐘是1小時，即第一個來排隊的人是售票前1小時到達的，8－1＝7
答：第一個來排隊的人是7點鐘到達的。
第二章雞兔問題
解題關(guān)健：雞兔問題是我國古代著名數(shù)學(xué)問題之一，也叫“雞兔同籠”問題。解答雞兔同籠問題，一般采用假設(shè)法，假設(shè)全部是雞，算出腳數(shù)，與題中給出的腳數(shù)相比較，看差多少，每差一個(4－2)只腳，就說明有1只兔，將所差的腳數(shù)除以( 4－2 )，就可求出兔的只數(shù)。同理，假設(shè)全部是兔，可求出雞。
1、雞兔同籠共80頭，208只腳，雞和兔各有幾只？
分析：
假設(shè)這80頭全是雞，那么，腳應(yīng)是2×80＝160 (只)，比實際少 208－160＝48 (只)腳，這是因為1只兔有4只腳，把它看成是2只腳的雞了，每只兔少算了2只腳，共少算了48只腳，48里面有幾個2，就是幾只兔。
解： ( 208－2×80 )÷( 4－2 )
＝48÷2
＝24 (只) ------ 兔
80－24＝56 (只)
答：雞有56只，兔有24只。
也可以假設(shè)80只全是兔，解答如下：
解： ( 4×80－208 )÷( 4－2 )
＝112÷2
＝56 (只) ------ 雞
80－56＝24 ( 只)
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2、小明參加一次數(shù)學(xué)競賽，試題共有10道，每做對一題得10分，錯一題扣5分，小明共得了70分，他做對了幾道題？
分析：
假設(shè)他做對了10道題，那么應(yīng)得10×10＝100 (分)，而實際只得70分，少30分，這是因為每做錯一題，不但得不到10分，反而倒扣5分，這樣做錯一題就會少10＋5＝15 (分)，看30分里面有幾個15分，就錯了幾題。
解： ( 10×10－70 )÷( 10＋5 )
＝30÷15
＝2 (道) ------ 錯題
10－2＝8 (道)
答：他做對了8道題。
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3、有面值5元和10元的鈔票共100張，總值為800元。5元和10元的鈔票各是多少張？
分析：
假設(shè)100張鈔票全是5元的，那么總值就是5×100＝500 (元)，與實際相差800－500＝300 元
差的300元，是因為將10元1張的算作了5元的，每張少計算10－5＝5 (元)，差的300元里面有多少個5元，就是多少張10元的鈔票。
解： ( 800－5×10 )÷( 10－5 )
＝300÷5
＝60 (張) ------ 10元面值
100－60＝40 (張)
答：有10元的鈔票60張，5元的鈔票40張。
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4、有蜘蛛、蜻蜓和蟬三種動物共21只，共140條腿和23對翅膀，三種動物各多少只？( 蜘蛛8條腿，蜻蜓6條腿2對翅膀，蟬6條腿1對翅膀 )
分析：
假設(shè)蜘蛛、蜻蜓、蟬都是6條腿，那么總腿數(shù)是6×21＝126 (條)，比實際少140－126＝14( 條)，這是因為一只蜘蛛是8條腿，把它算作6條腿，每只蜘蛛少計算了8－6＝2 (條)，少算的14條里面有幾個2條，就是幾只蜘蛛，即14÷2＝7 (只)。從總只數(shù)里減7只蜘蛛，就得21－7＝14 (只)是蜻蜓和蟬的和。再假設(shè)這14只全是蜻蜓，那么翅膀應(yīng)是2×14＝28 (對)比實際多28－23＝5 (對)，這是因為蟬是1對翅膀，把它算成2對了，每只蟬多算了1對翅膀多出的這5對翅膀里面有幾個1對，就是幾只蟬。求出了蟬，蜻蜓可求。
解： ( 140－6×21 )÷( 8－6 )
＝14÷2
＝7 (只) ------ 蜘蛛
21－7＝14 (只)
( 2×14－23 )÷( 2－1 )
＝5÷1
＝5 (只) ------- 蟬
14－5＝9 (只) ------ 蜻蜓
答：蜘蛛7只，蜻蜓9只，蟬5只。
第三章年齡問題
解題關(guān)鍵：“年齡問題”的基本規(guī)律是：不管時間如何變化，兩人的年齡的差總是不變的，抓住“年齡差”是解答年齡問題的關(guān)鍵。分析時，可借助線段圖分析，結(jié)合和倍、差倍、和差等問題分析方法，靈活解題。
1、爸爸今年42歲，女兒今年10歲，幾年前爸爸的年齡是女兒的5倍？
分析：
要求幾年前爸爸的年齡是女兒的5倍，首先應(yīng)求出那時女兒的年齡是多少？爸爸的年齡是女兒的5倍，女兒的年齡是1倍，爸爸比女兒多5－1＝4 (倍)，年齡多42－10＝32 (歲)，對應(yīng)，可求出1 倍是多少，即女兒當時的年齡。
解： ( 42－10 )÷( 5－1 )
＝32÷4
＝8 (歲)
10－8＝2 (年)
答：2年前爸爸的年齡是女兒的5倍。
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2、父親今年比兒子大36歲，5年后父親的年齡是兒子的4倍，今年兒子幾歲？
分析：
父親今年比兒子大36歲，5年后仍然大36歲。父親年齡是兒子的4倍，說明兒子的年齡是1倍，父親比兒子大4－1＝3 (倍)，可求出1倍是多少歲，即5年后兒子的年齡，那么，現(xiàn)在幾歲可求出。
解： 36÷( 4－1 )
＝36÷3
＝12 (歲)
12－5＝7 (歲)
答：今年兒子7歲。
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3、今年母女年齡和是45歲，5年后母親的年齡正好是女兒的4倍，今年媽媽和女兒各多少歲？
分析：
今年母女年齡和是45歲，五年后母女年齡和是45＋5×2＝55 (歲)，母親年齡是女兒的4倍，女兒年齡是1倍，母女年齡和的倍數(shù)是4＋1＝5 (倍)，對應(yīng)，可求出5年后女兒的年齡，今年她們的年齡可求。
解： ( 45＋5×2 )÷( 4＋1 )
＝55÷5
＝11 (歲)
11－5＝6 ( 歲) 45－6＝39 (歲)
答：媽媽今年39歲，女兒6歲。
第四章植樹問題
解題關(guān)鍵：1、要注意總距離、棵距及棵數(shù)三個量之間的關(guān)系。
2、要分清圖形是否封閉，然后確定是沿線段栽，還是沿周長栽。
3、關(guān)系式為：沿線段植樹 棵數(shù)＝總距離÷棵距＋1
沿周長植樹 棵數(shù)＝總距離÷棵距
1、在一段4 0米長的人行道一側(cè)栽樹，每隔5米栽一棵樟樹，共需要栽樟樹多少棵？
分析：
如圖： ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀
5米
從圖上可以看出，“每隔5米栽一棵”就是將40÷5＝8 ，平均分成8段，因兩端都有一棵樹，所以，沿人行道一側(cè)栽樹，屬沿線段植樹。
解： 4 0÷5＋1
＝8＋1
＝9（棵）
答：需要栽樟樹9棵。
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想一想：如果這條人行道兩側(cè)都這樣栽，需要栽多少棵？應(yīng)怎樣算？
2、沿一段公路兩旁種楊樹，每隔3米種一棵，一共種了502棵。這段公路長多少米？
分析：
沿公路兩旁共種502棵，將502÷2＝251（棵），就得到公路一旁種樹棵數(shù)（注意將兩旁總棵數(shù)除以2），它屬于沿線段植樹問題，根據(jù)關(guān)系式，將棵數(shù)減1，乘棵距，可求出總距離。
解： 502÷2＝251（棵）
3×（251－1）
＝3×250
＝750（米）
答：這段公路長750米。
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3、把一根4 8厘米的鐵棒鋸成8厘米長的短鐵棒，如果鋸一段需要4分鐘，鋸?fù)赀@根鐵棒需要多少分鐘？
分析：如圖
將4 8厘米長鐵棒鋸成8厘米長的短鐵棒，就是求4 8厘米里面有幾個8厘米，就可鋸成幾段，從圖上可以看出“鋸的次數(shù)比段數(shù)要少1 ”，鋸一段需要4分鐘，實際是鋸一次要4分鐘，求鋸?fù)赀@根鐵棒需要多少分鐘，先要求出共鋸多少次。
解： 48÷8－1＝5（次）
4×5＝20（分鐘）
答：鋸?fù)赀@根鐵棒需要20分鐘。
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4、在一個人工湖周圍每隔6米種一棵柳樹，一共種了180棵。再在相鄰的兩棵柳樹間每隔2米種一株月季，問，一共需要多少株月季？
分析：
在人工湖周圍種樹，屬于在封閉圖形上栽樹問題，即沿周長植樹，根據(jù)關(guān)系式：
總距離＝棵距×棵數(shù)，人工湖周長為 6×180＝1080（米）
如果湖的周圍沒有柳樹，全是每隔2米種的月季，月季共 1080÷2＝54 0（株），而實際其中種有柳樹180棵，那么，月季株數(shù)應(yīng)為 540－180＝360（株）。
解： 6×180÷2－180
＝540－180
＝360（株）
答：一共需要360株月季。
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解法二：
人工湖周圍每隔6米種一棵柳樹，共種180棵，就是將湖的周長平均分成180段，每段長6米，因為這6米的兩頭已種柳樹，所以這中間只能種6÷2－1＝2（株）月季，共需月季列式為：
（6÷2－1）×180
＝2×180
＝360（株）
第五章盈虧問題
解答公式： 兩次分配的結(jié)果差÷兩次分配數(shù)差＝人數(shù)
或，由于參加分配的總?cè)藬?shù)不變，參加分配的物品總數(shù)不變，因此，可根據(jù)
第一種分法的人數(shù)＝第二種分法的人數(shù)
第一種分法物品總數(shù)＝第二種分法物品總數(shù)，列出方程來解。
1、一批樹苗，如果每人種樹苗8棵，則缺少3棵；如果每人種7棵，則有4棵沒人種。求參加種樹的人數(shù)是多少？這批樹苗共有多少棵？
分析：
每人種8棵，則缺少3棵，也就是少3棵。每人種7棵，則有4棵沒人種，也就是多4棵。
那么兩次分配的結(jié)果差是3＋4＝7， 兩次分配的數(shù)差是 8－7＝1
種樹人數(shù)是：7÷1＝7（人） 樹苗總數(shù)是：8×7－3＝53（人）
解法一： （3＋4）÷（8－7）
＝7÷1
＝7（人）
8×7－3＝53（棵）
答：參加種樹的人數(shù)是7人，這批樹苗共有53棵。
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解法二：
這道題種樹人數(shù)不變，樹苗總棵數(shù)不變，若設(shè)種樹人數(shù)為X人，根據(jù)第一種分法的樹苗總棵數(shù)＝第二種分法的樹苗總棵數(shù)，列方程解。
解： 設(shè)種樹人數(shù)為X人，列方程得
8X－3＝7X＋4
8X－7X＝4＋3
X＝7
8×7－3＝53（棵）
答：（略）
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2、幼兒園老師把一堆蘋果分給小朋友，如果每人分6個，則少10個，每人分4個，還少2個。有多少小朋友？有多少個蘋果？
分析：
兩次分配都不足，則兩次不足數(shù)量差就是兩次分配的結(jié)果差，結(jié)果差÷分配差＝人數(shù)
解： （10－2）÷（6－4）
＝8÷2
＝4（人）
6×4－10＝14（個）
答：有4個小朋友，有14個蘋果。
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3、學(xué)校安排新生住宿，若每間宿舍住6人，則多出34人；若每間宿舍住7人，則多出4間宿舍，求住宿的學(xué)生和宿舍各有多少？
分析：
每間住6人，多出34人，就是不足34張床位；每間住7人，多出4間宿舍，就是多出7×4＝28張床位。兩次分配的結(jié)果差就是（34＋28），結(jié)果差÷分配差＝宿舍
解： （34＋28）÷（7－6）
＝62÷1
＝62（間）
6×62＋34＝406（人）
答：住宿的學(xué)生共406人，宿舍有62間。
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4、學(xué)生分練習(xí)本，其中兩個人每人分6本，其余每人分4本，則多2本；如果有一個學(xué)生分8本，其余每人分6本，則不足18本。學(xué)生有多少人？練習(xí)本有多少本？
分析：
1、有兩人分6本，其余每人分4本，余2本，若將分6本的這兩人也分4本，那么這兩人又每人余2本，共余2×2＋2＝6（本）。
2、一個學(xué)生分8本，其余分6本，不足18本。若將分8本這個學(xué)生也同樣分6本，則不足應(yīng)是18－2＝16（本）。
那么，兩次分配的結(jié)果差是16＋6＝22（本），分配差是6－4＝2（本）
結(jié)果差÷分配差＝人數(shù)
解： 6－4＝2（本） 2×2＋2＝6（本） 8－6＝2（本） 18－2＝16（本）
（16＋6）÷（6－4）
＝22÷2
＝11（人）
4×11＋6＝50（本）
答：學(xué)生有11人，練習(xí)本有50本。
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5、一工人加工一批機器零件，限期完成，他計劃每小時做10個，還差3個零件完成任務(wù)，每小時做11個，恰好限期內(nèi)完成了任務(wù)。他加工的零件是多少個？限幾小時完成？
分析：
每小時做10個，差3個，每小時做11個，恰好完成，那么，兩次分配的結(jié)果差是3個，兩次分配的數(shù)差是11－10＝1（個）。根據(jù)，結(jié)果差÷分配差＝限時數(shù)
解： 3÷（11－10）
＝3÷1
＝3（小時）
10×3＋3＝33（個）
答：他加工的零件是33個，限3小時完成。
解法二：
設(shè)限X小時完成，根據(jù)第一種分法和第二種分法零件個數(shù)相等，列方程得
11X＝10X＋3
11X－10X＝3
X＝3
11×3＝33（個）
第六章流水問題
解題關(guān)鍵：船速：船在靜水中航行速度； 水速：水流動的速度；
順水速度：順水而下的速度＝船速＋水速；
逆水速度：逆流而上的速度＝船速－水速。
流水問題具有行程問題的一般性質(zhì)，即 速度、時間、路程?？蓞⒄招谐虇栴}解法。
1、一只油輪，逆流而行，每小時行12千米，7小時可以到達乙港。從乙港返航需要6小時，求船在靜水中的速度和水流速度？
分析：
逆流而行每小時行12千米，7小時時到達乙港，可求出甲乙兩港路程：12×7＝84（千米），返航是順水，要6小時，可求出順水速度是：84÷6＝14（千米），順速－逆速＝2個水速，可求出水流速度（14－12）÷2＝1（千米），因而可求出船的靜水速度。
解： （12×7÷6－12）÷2
＝2÷2
＝1（千米）
12＋1＝13（千米）
答：船在靜水中的速度是每小時13千米，水流速度是每小時1千米。
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2、某船在靜水中的速度是每小時15千米，河水流速為每小時5千米。這只船在甲、乙兩港之間往返一次，共用去6小時。求甲、乙兩港之間的航程是多少千米？
分析：
1、知道船在靜水中速度和水流速度，可求船逆水速度 15－5＝10（千米），順水速度15＋5＝20（千米）。
2、甲、乙兩港路程一定，往返的時間比與速度成反比。即速度比 是 10÷20＝1：2，那么所用時間比為2：1 。
3、根據(jù)往返共用6小時，按比例分配可求往返各用的時間，逆水時間為 6÷（2＋1）×2＝4（小時），再根據(jù)速度乘以時間求出路程。
解： （15－5）：（15＋5）＝1：2
6÷（2＋1）×2
＝6÷3×2
＝4（小時）
（15－5）×4
＝10×4
＝40（千米）
答：甲、乙兩港之間的航程是40千米。
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3、一只船從甲地開往乙地，逆水航行，每小時行24千米，到達乙地后，又從乙地返回甲地，比逆水航行提前2. 5小時到達。已知水流速度是每小時3千米，甲、乙兩地間的距離是多少千米？
分析：
逆水每小時行24千米，水速每小時3千米，那么順水速度是每小時 24＋3×2＝30（千米），比逆水提前2. 5小時，若行逆水那么多時間，就可多行 30×2. 5＝75（千米），因每小時多行3×2＝6（千米），幾小時才多行75千米，這就是逆水時間。
解： 24＋3×2＝30（千米）
24×[ 30×2. 5÷（3×2）]
＝24× [ 30×2. 5÷6 ]
＝24×12. 5
＝300（千米）
答：甲、乙兩地間的距離是300千米。
==============================
4、一輪船在甲、乙兩個碼頭之間航行，順水航行要8小時行完全程，逆水航行要10小時行完全程。已知水流速度是每小時3千米，求甲、乙兩碼頭之間的距離？
分析：
順水航行8小時，比逆水航行8小時可多行 6×8＝48（千米），而這48千米正好是逆水（10－8）小時所行的路程，可求出逆水速度 4 8÷2＝24 （千米），進而可求出距離。
解： 3×2×8÷（10－8）
＝3×2×8÷2
＝24（千米）
24×10＝240（千米）
答：甲、乙兩碼頭之間的距離是240千米。
==============================
解法二：
設(shè)兩碼頭的距離為“1”，順水每小時行 1/8，逆水每小時行1/10，順水比逆水每小時快1/8－1/10，快6千米，對應(yīng)。
3×2÷（1/8－1/10）
＝6÷1/40
＝24 0（千米）
答：（略）
==============================
5、某河有相距12 0千米的上下兩個碼頭，每天定時有甲、乙兩艘同樣速度的客船從上、下兩個碼頭同時相對開出。這天，從甲船上落下一個漂浮物，此物順水漂浮而下，5分鐘后，與甲船相距2千米，預(yù)計乙船出發(fā)幾小時后，可與漂浮物相遇？
分析：
從甲船落下的漂浮物，順水而下，速度是“水速”，甲順水而下，速度是“船速＋水速”，船每分鐘與物相距：（船速＋水速）－水速＝船速。所以5分鐘相距2千米是甲的船速5÷60＝1/12（小時），2÷1/12＝24（千米）。因為，乙船速與甲船速相等，乙船逆流而行，速度為24－水速，乙船與漂浮物相遇，求相遇時間，是相遇路程120千米，除以它們的速度和（24－水速）＋水速＝24（千米）。
解： 120÷[ 2÷（5÷60）]
＝120÷24
＝5（小時）
答：乙船出發(fā)5小時后，可與漂浮物相遇。
第七章、平均問題
解題關(guān)鍵：根據(jù)已知條件確定“總數(shù)量”和“總份數(shù)”而且必須使“總數(shù)量”和“總份數(shù)”相對應(yīng)。然后用
總數(shù)量÷總份數(shù)＝平均數(shù)
1、小明從甲地到乙地辦事，去時由于上山，每小時走3千米，回來時下山，每小時走5千米，他往返甲乙兩地的平均速度是多少千米？
分析：求平均速度應(yīng)是“總路程÷總時間＝平均速度”。這道題沒有告訴甲乙兩地路程，我們假設(shè)它“1”，那么，去時走的時間應(yīng)為1÷3＝ 1/3，回來時用的時間應(yīng)為1÷5＝1/5
，往返甲乙兩地的總路程應(yīng)為1×2，總時間為( 1/3 + 1/5 )。
解：設(shè)甲乙兩地的路程為“1”
2÷( 1/3 + 1/5 )
＝2 ÷ 8/15
＝3.75 (千米)
答：他往返甲乙兩地的平均速度是3.75 千米。
2、某班有40名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試，有2名同學(xué)因故缺考 ，這時班級平均分數(shù)是88分，缺考的兩名同學(xué)補考各得98分，這個班這次考試平均分數(shù)是多少？
分析：求這個班這次考試平均分數(shù)，就是求全班40名同學(xué)的平均分。根據(jù)題意，考試時40名同學(xué)，有2個缺考，就是38名同學(xué)的平均分88分，他們的總分是88×( 40－2 )，缺考的2名同學(xué)補考各得98分，他倆的總分是98×2，那么全班40名同學(xué)的總分應(yīng)是88×( 40－2 )＋98×2，
根據(jù)
總數(shù)量÷總份數(shù)＝平均數(shù)
解： [ 88×( 40－2 )＋98×2 ]÷40
＝ [ 3344＋916 ]÷40
＝3540÷40
＝88.5 ( 分)
答：這個班這次考試平均分數(shù)是88.5分。
3、有六個數(shù)，其平均數(shù)是8. 5，前四個數(shù)的平均數(shù)是9. 25，后三個數(shù)的平均數(shù)是10，第四個數(shù)是多少？
分析：六個數(shù)的平均數(shù)是8. 5，那么，六個數(shù)的總和是8. 5×6＝51
前四個數(shù)的平均數(shù)9.25，那么，前四個數(shù)的總和是9.25×4＝37
后三個數(shù)的平均數(shù)是10，那么后三個數(shù)的總和是10×3＝30
如果將前四個數(shù)的總和＋后三個數(shù)的總和，恰 好重疊了第四個數(shù)，比六個數(shù)的總和多第四個數(shù)。
解 ： ( 9.25×4＋10×3 )－8.5×6
＝67－51
＝16
答：第四個數(shù)是16。
4、有紅、黃、白三種 顏色的乒乓球，已知紅、黃兩種球平均11個；黃、白兩種球平均8個；紅、白兩種球平均9個。三種球各多少個？
分析：由紅、黃兩種球平均11個，得紅、黃兩種球和為 11×2＝22 ( 個 )
由黃、白兩種球平均8個，得黃、白兩種球和為 8×2＝16 ( 個)
由紅、白兩種球平均9個，得紅、白兩種球和為 9×2＝18 ( 個)
那么，22＋16＋18＝56 ( 個)是三種球總和的2倍，將56÷2＝28 ( 個)就得到紅、黃、白三種球的和，再將這三種球的和減去任意兩種球的和，可得得到第三種球的個數(shù)。
解： ( 11×2＋8×2＋9×2 )÷2
＝56÷2
＝28 ( 個)
白球： 28－11×2＝6 ( 個)
紅球： 28－8×2＝12 ( 個)
黃球： 28－9×2＝10 ( 個)
答：紅球12個，黃球10個，白球6個。
第八章、相遇問題
解題指導(dǎo)：
“相遇問題”( 或相背問題)是兩個物體以不同的速度從兩地同時出發(fā)，( 或從一地同時相背而行)，經(jīng)若干小時上遇( 或相離)。我們?nèi)舭褍晌矬w速度之和稱之為“速度和”，從同時出發(fā)到相遇( 或相距)時止，這段時間叫“相遇時間”；兩物體同時走的這段路程 叫“相遇路程”，那么，它們的關(guān)系式是：
速度和×相遇時間＝相遇路程
相遇路程÷速度和＝相遇時間
相遇路程÷相遇時間＝速度和
1、甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時行42.5千米，乙車每小時行38千米，4小時后，兩車還相距35. 5千米，求A、B兩地的距離？
分析：
從題中已知甲乙兩車的速度，它們速度和是42.5＋38＝80.5 ( 千米)
相遇時間是4小時，相遇路程可。
A、B兩地的距離是：相遇路程 ＋還相距的35.5千米
解： ( 42.5＋38 )×4＋35.5
＝80.5×4＋35.5
＝322＋35. 5
＝357.5 ( 千米)
答：A、B兩地的距離是357.5千米。
2、一輛貨車和一輛客車同時從相距299千米的兩地相向而行，貨車每小時行40千米，客車每小時行52千米，問：幾小時后兩車第一次相距69千米？再過多少時間兩車再次相距69千米？
分析：
從題意可知，第一次相距69千米，就是兩車還沒有相遇，還差69千米，相遇路程應(yīng)是299－69，
根據(jù)相遇路程÷速度和＝相遇時間， 即 230÷( 40＋52 )＝2.5 ( 小時)。
第二次相距69千米，是在行完第一次相距的69千米相遇后，到再相離69千米，實際共行2個69千米。
根據(jù)：路程÷速度和＝時間
可解。
解： ( 299－69 )÷( 40＋52 )
＝230÷92
＝ 2.5 ( 小時)
( 69×2 )÷( 40＋52 )
＝138÷92
＝1.5 ( 小時)
答：2.5小時后兩車第一次相距69千米，再過1.5小時兩車再次相距69千米。
第九章、追及問題
解題關(guān)鍵：追及問題是兩物體速度不同向同一方向運動，兩物體同時運動，一個在前，一個在后，前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一個的時間叫“追及時間”。
關(guān)系式是：
追及的路程÷速度差＝追及時間
1、A、B兩地相距28千米，甲乙兩車同時分別從A、B兩地同一方向開出，甲車每小時行32千米，乙車每小時行25千米，乙車在前，甲車在后，幾小時后甲車能追上乙車？
分析：如圖
根據(jù)題意可知要追及的路程是28千米，每行1小時，甲車可追上 32－25＝7 千米
即速度差?？?8千里面有幾個7千米，就要幾小時追上。
也就是 ：
追及的路程÷速度差＝追及時間
解： 28÷( 32－25 )
＝28÷7
＝4 ( 小時)
答：4小時后甲車能追上乙車。
2、兩輛汽車都從甲地開往乙地，第一輛車以每小時30千米的速度從甲地開出，第二輛車晚開12分鐘，以每小時40千米的速度從甲地開出，結(jié)果兩車同時到達乙地。求甲乙兩地的路程？
分析： 從題意可知兩車從同一地出發(fā)，第二輛車晚開12分鐘，也就是第一輛車出發(fā)12分鐘后，第二輛車才出發(fā)，那么，追及的路程是第一輛12分鐘所行的路程，即 30× ＝6 (千米)。兩車同時到達乙地，也就是第二輛車剛好追上第一輛車，追及的時間就是第二輛車從甲地到乙地行駛的時間。即6÷(40－30)＝0.6(小時)，已知速度和時間，甲乙兩地的距離可求。
解：30×12/60
＝ 6 (千米 ) 6 ÷( 40 －30 )＝0.6 (小時)
40×0.6＝24 ( 千米)
答：甲乙兩地的路程是24千米。
3、甲乙二人在周長600米的水池邊上玩，兩人從一點出發(fā)，同向而行30分鐘后又走到一起，背向而行4分鐘相遇。求兩人每分鐘各行多少米？
分析：
兩人從一點出發(fā)同向而行，速度有快、有慢，形成前后，從出發(fā)到再次走到一起，看作追及問題，追及的路程是600米，追及的時間30分鐘，根據(jù)“追及的路程÷追及的時間＝速度差 ”，可求出速度差是 600÷30＝20 (米)。又背向而行4分鐘相遇，屬相遇問題，相遇的路程是600米，相遇時間是4分分鐘，根據(jù)“相遇路程÷相遇時間＝速度和”，可求出速度和是 600÷4＝150 (米)。然后根據(jù)“和差問題”(和＋差)÷2＝大數(shù)，(和－差)÷2＝小數(shù)，可求出兩人的速度。
解： 600÷30＝20 (米) 600÷4＝150 (米)
(20＋150)÷2＝85 (米) (150－20)÷2＝65 (米)
答：甲每分鐘行85米，乙每分鐘行65米。
4、甲騎自行車行12分鐘后，乙騎摩托車去追他，在距出發(fā)點9千米處追上了甲。乙立即返回出發(fā)點拿東西，后又立即返回去追甲，再追上甲時恰好離出發(fā)點18千米。求甲、乙的速度？
分析：如圖
從圖中可知，甲行9千米，乙則行了9＋18＝27 (千米)，即 乙的速度是甲的27÷9＝3 (倍)
那么，從乙出發(fā)到第一次追上甲時，乙行9千米，甲應(yīng)只行9÷3＝3 (千米)，可求出甲先行12分鐘的路程應(yīng)是 9－3＝6 (千米)，從而可求出甲速度是 6÷12＝0.5 (千米)，由此可求出乙速度。
解： (9＋18)÷9＝3 (倍) 9÷3＝3 (千米) 9－3＝6 (千米)
6÷12＝0.5 (千米) 甲每分鐘行的路程
0.5×3＝1.5 (千米) 乙每分鐘行的路程
答：甲每分鐘行0.5 千米，乙每分鐘行1.5千米。
第十章、時鐘問題
解題關(guān)鍵：時鐘問題屬于行程問題中的追及問題。鐘面上按“時”分為12大格，按“分”分為60小格。每小時，時針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時針的轉(zhuǎn)速是分針的1/12，兩針速度差是分針的速度的11/12，分針每小時可追及11/12。
1、二點到三點鐘之間，分針與時針什么時候重合？
分析：兩點鐘的時候，分針指向12，時針指向2，分針在時針后5×2＝10（小格）。而分針每分鐘可追及1－1/12＝11/12（小格），要兩針重合，分針必須追上10小格，這樣所需要時間應(yīng)為（10÷11/12）分鐘。
解：
（5×2）÷（1－1/12）＝10÷11/12＝10+10/11（分）
答：2點10+10/11分時，兩針重合。
2、在4點鐘至5點鐘之間，分針和時針在什么時候在同一條直線上？
分析：分針與時針成一條直線時，兩針之間相差30小格。在4點鐘的時候，分針指向12，時針指向4，分針在時針后5×4＝20（小格）。因分針比時針速度快，要成直線，分針必須追上時針（20小格）并超過時針（30小格）后，才能成一條直線。因此，需追及（20＋30）小格。
解：
（5×4＋30）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54+4/11（分）
答：在4點54+4/11分時，分針和時針在同一條直線上。
3、在一點到二點之間，分針什么時候與時針構(gòu)成直角？
分析：分針與時針成直角，相差15小格（或在前或在后），一點時分針在時針后5×1＝5小格，在成直角，分針必須追及并超過時針，才能構(gòu)成直角。所以分針需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。
解：
（5×1＋15）÷（1－1/12）＝20÷11/12＝21+9/11（分）
或（5×1＋45）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54+6/11（分）
答：在1點21+9/11分和1點54+6/11分時，兩針都成直角。
4、星期天，小明在室內(nèi)陽光下看書，看書之前，小明看了一眼掛鐘，發(fā)現(xiàn)時針與分針正好處在一條直線上?？赐陼螅傻煤?，時針與分針又恰好在同一條直線上?？磿陂g，小明聽到掛鐘一共敲過三下。（每整點，是幾點敲幾下；半點敲一下）請你算一算小明從幾點開始看書？看到幾點結(jié)束的？
分析：連半點敲聲在內(nèi)，一共敲了三下，說明小明看書的時間是在中午12點以后。12點以后時針與分針：
第一次成一條直線時刻是：（0＋30）÷（1－1/12）＝30÷11/12＝32+8/11（分）
即12點32+8/11分。
第二次成一條直線時刻是：（5×1＋30）÷（1－1/12）＝35÷11/12＝38+2/11（分）
即 1點38+2/11分。
第三次成一條直線的時刻是：（5×2＋30）÷（1－1/12）＝40÷11/12＝43+7/11（分）
即 2點43+7/11分。
如果從12點32+8/11分開始，到1點38+2/11分，只敲2下，到2點43+7/11分，就共敲5下（不合題意）
如果從1點38+2/11分開始到2點43+7/11分，共敲3下。因此，小明應(yīng)從1點38+2/11分開始看書，到2點43+7/11分時結(jié)束的。
5、一只掛鐘，每小時慢5分鐘，標準時間中午12點時，把鐘與標準時間對準?，F(xiàn)在是標準時間下午5點30分，問，再經(jīng)過多長時間，該掛鐘才能走到5點30分？
分析：1、這鐘每小時慢5分鐘，也就是當標準鐘走60分時，這掛鐘只能走60－5＝55（分），即速度是標準鐘速度的55/60＝11/12。
2、因每小時慢5分，標準鐘從中午12點走到下午5點30分時，此掛鐘共慢了5×（17+1/2－12）＝27+1/2（分），也就是此掛鐘要差27+1/2分才到5點30分。
3、此掛鐘走到5點30分，按標準時間還要走27+1/2分，因它的速度是標準時鐘速度的1/12，實際走完這27+1/2分所要時間應(yīng)是（27+1/2）÷11/12。
解： 5×（17+1/2－12） ＝27+1/2 （分）
（ 27+1/2）÷11/12＝30（分）
答：再經(jīng)過30分鐘，該掛鐘才能走到5點30分。
第十一章、工程問題
解題指導(dǎo)：“工程問題”指的都是兩個人以上合作完成某一項工作，有時還將內(nèi)容延伸到相遇運動和向水池注水等等。解答工程問題時，一般都是把總工作量看作單位“1”，把單位“1”除以工作時間看成工作效率，因此，工作效率就是工作時間的倒數(shù)。
工程問題睥關(guān)系式是：工作總量÷工作效率＝工作時間
或：工作總量÷工作效率和＝合作的時間
1、加工360個零件，單獨完成這批任務(wù)，甲需要20天，乙需要30天，兩人共同工作，需要多少天能完成任務(wù)？
分析：加工360個零件，單獨完成，甲需20天，甲的工作效率是360÷20＝18 (個)，乙需要30天，乙的工作效率是360÷30＝12 (個)，兩人合作，那么工作效率和是18＋12＝30 (個)。
根據(jù)：
工作總量÷工作效率和＝合做的工作時間，即360÷30＝12 (天)
解： 360 ( 360÷20＋360÷30 )
＝360÷30
＝12 (天)
答：需要12天能完成任務(wù)。
或：如果把工作總量360個看作單位“1”，那么，甲的工作效率是1/20，乙的工作效率是1/30
他們的工作效率和是1/20＋1/30，根據(jù)：工作總量÷工作效率和＝合做的工作時間
1÷(1/20＋1/30)
＝1÷1/12
＝12 (天)
2、一項工程，由甲隊單獨工作需要15天完成，由乙隊單獨工作需要12天完成，由丙隊單獨工作需要10天完成?，F(xiàn)在由甲乙兩個工程共同工作了3天后，剩下的工程由丙隊單獨完成，丙隊還需要幾天才能完成這項工程？
分析：
這一項工程看作單位“1”，甲隊單獨工作需15天完成，工效應(yīng)是1/15，乙隊單獨工作需要12天完成，乙工效應(yīng)是1/12，丙隊單獨工作需10天完成，丙隊工效應(yīng)是1/10，現(xiàn)由甲乙兩隊先共同工作3天，可完成這項工程的(1/15＋1/12)×3＝9/20，還剩下1－9/20＝11/20，剩下的由丙隊去完成，需要的天數(shù)是11/20÷1/10
解： [ 1－（1/15＋1/12）×3 ]÷1/10
＝[ 1－9/20]÷1/10
＝11/20÷1/10
＝5.5（天）
答：丙隊還需要工作5.5（天）
3、一個水池安裝甲、乙兩個進水管和丙放水管，單開甲管4小時能把空池注滿水，單開乙管5小時能把空池注滿水，單開丙管3小時能把滿池水放完。現(xiàn)在三管同時打開，幾小時能把空池注滿？
分析：
把一池水看作單位“1”，單開甲管4小時能注滿，甲效是1/4，單開乙管5小時能注滿，乙效是1/5，單開丙管3小時能放完，丙效是1/3。三管同時打開，因甲、乙是進水管，使水增加，丙是放水管，使水減少，那么，三管齊開的工作效率和是1/4＋1/5－1/3，工作時間可求。
解： 1÷(1/4＋1/5－1/3) ＝1÷7/60＝8+4/7 (小時)
答：三管同時打開8+4/7小時能注滿水池。
4、一項工程，甲單獨干需要20天，乙單獨干需要30天，現(xiàn)在由他們兩人合干，又知甲在工作途中先請了3天事假，后因公事出差2天。求他們完成這項工程從開工到結(jié)束一共花了多少天？
分析：
甲單獨干需要20天，甲的工作效率是1/20，乙單獨干需要30天，乙的工作效率1/30。又甲工作途中請了3天事假，出差2天，而乙從開工到完工一直在干，那么，甲走5天時，乙是單獨干了5天，其余天數(shù)是甲乙合干的。即從工程總量中減去乙獨干的5天工作量，余下的合干的。合干的天數(shù)＋乙單獨干的5天＝完成工程共花的天數(shù)。
解： ( 1－1/30×5)÷(1/20＋1/30)＋5
＝5/6÷1/12＋5
＝10＋5
＝15 (天)
答：他們完成這項工程一共花了15天。
5、有A、B兩項工作，王師傅獨做A項工作要9天完成，獨做B項工作要12天完成；李師傅獨做A項工作要3天完成，獨做B項工作要15天完成。如果兩人合作完成這兩項工作，最少需要多少天？
分析：
獨做A項工作天數(shù)
工效
獨做B項工作天數(shù)
工效
王師傅 9 天 1/9 12 天 1/12
李師傅 3 天 1/3 15 天 1/15
如果按兩人先共同做完A項工作，再共同去完成B項工作，那么，完成這兩項工作的天數(shù)是
1÷(1/9＋1/3 )＋1÷(1/12＋1/15 )
＝1÷4/9 ＋1÷9/60
＝（2+1/4）＋（6+2/3）
＝8+11/12(天)
而題目要求最少需要多少天，上面所求天數(shù)是最少的嗎？否，從分析中我們看到，做A項工作李師傅工效高，做B項工作王師傅工效高。要想時間最少，必須發(fā)揮各人的特長，選擇最佳分配方法。這就讓李師傅單獨去做3天完成A項工作，王師傅先單獨做B項工作，3天后，待李師傅完成了A項工作，再兩人共同做B項工作剩下的部分。
解： ( 1－1/12 ×3 )÷( 1/12 + 1/15 ) + 3
＝3/4 ÷ 9/60 + 3
＝5+3
＝8 (天)
答：完成這兩項工作最少需要8天。
最后說下抽屜原則
抽屜原則的常見形式
一，把n+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，一定存在一個抽屜中至少有兩個物體。
二，把mn+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，一定存在一個抽屜中至少有m+1個物體。
三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，那么后在一個抽屜里至少放入了m1+1個物體，或在第二個抽屜里至少放入了m2+1個物體，……，或在第n個抽屜里至少放入了mn+1個物體
四，把m個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，有兩種情況：①當n|m時（n|m表示n整除m），一定存在一個抽屜中至少放入了m/n物體；②當n不能整除m時，一定存在一個抽屜中至少放入了m/n+1個物體（[x]表示不超過x的最大整數(shù)）
五，把無窮多個元素分成有限類，則至少有一類包含無窮多個元素。
注：背下來上面的幾種形式?jīng)]有必要，但應(yīng)當清楚這些形式雖然不同，卻都表示的一個意思。理解它們的含義最重要。在各種競賽題中，往往抽屜原則考得不少，但一般不會很明顯的讓人看出來，構(gòu)造抽屜才是抽屜原則中最難的東西。一般來說，題目中一旦出現(xiàn)了“總有”“至少有”“總存在”之類的詞，就暗示著我們：要構(gòu)造抽屜了。
試卷上共有4道選擇題，每題有3個可供選擇的答案 。一群學(xué)生參加考試。結(jié)果是對于其中任何3人，都有一個題目的答案互不相同。問參加考試的學(xué)生最多有多少人？
當參加考試的人數(shù)=9時可以實現(xiàn)任何三人都有一個題目的答案互不相同。
假設(shè)每題的選擇答案是a,b,c
人 1 2 3 4 5 6 7 8 9
題
1 a a a b b b c c c
2 a b c a b c a b c
3 a b c c a b b c a
4 a b c b c a c a b
當參加考試的人數(shù)=10時,我們先看第一題，肯定有一個答案的人數(shù)小于等于3，
也就是說肯定有7個以上的人，他們第一道題的答案不超過兩種。再來看這7個
人和第二道題，肯定有一個答案的人數(shù)小于等于2，也就是說肯定有5個以上的人，
他們第二道題的答案不超過兩種。也就是說肯定有5個以上的人第一道和第二道
題的答案都不超過兩種。再來看這5個人和第三道題，肯定有一個答案的人數(shù)小
于等于1，也就是說肯定有4個以上的人，他們第三道題的答案不超過兩種。也就
是說肯定有4個以上的人第一道題、第二道題和第三道題的答案都不超過兩種。
最后再看這4個人和第四道題，肯定有一個答案的人數(shù)小于等于1，也就是說肯定
有3個以上的人，他們第四道題的答案不超過兩種。也就是說肯定有3個以上的人
第一道題、第二道題、第三道題和第四道題的答案都不超過兩種。這就跟題目的
要求矛盾了。
8個學(xué)生角8道題目
⑴若每道題至少被5人解出，請說明可以找到兩個學(xué)生，每道題至少被這兩個學(xué)生中的一個解出。
⑵如果每道題只有4個學(xué)生解出，那么⑴的結(jié)論一般不成立。試構(gòu)造一個例子說明這點。
若每道題至少被5人解出，請說明可以找到兩個學(xué)生，每道題至少被這兩個學(xué)生中的一個解出。
我們可分4種情況討論一下：
1.假設(shè)解題最多的人A解出8道題
這是我們可以選他和任意一個人都能滿足題目要求。
2.解題最多的人A解出7道題
A沒有解出的那道題至少有五個人解出，我們?nèi)芜x一個和A能滿足題目要求。
3.解題最多的人A解出6道題
A沒有解出的那兩道題每道題有五個人解出，共有10個人次解出，但只有7個人，肯定有一個人全部解出了這兩道題。
我們就選他和A能滿足題目要求。
4.解題最多的人A解出5道題
也就是說每人都解出了5道題。我們?nèi)芜x一個人設(shè)為A,A沒有解出的那三道題每道題有五個人解出，共有15個人次解出，
但只有7個人，肯定有一個人解出了三道題。我們就選他和A能滿足題目要求。
