【原】函數(shù)概念知多少？

昵稱75938435 2021-06-24

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函數(shù)是中學(xué)階段最為重要、應(yīng)用最為廣泛的核心概念，函數(shù)的思想貫穿于高中數(shù)學(xué)始終，函數(shù)的內(nèi)容歷來(lái)是高考命題的必考點(diǎn)和熱點(diǎn)，占據(jù)最重要的組成成分。在初中階段，同學(xué)們只掌握最為基本的三類基本初等函數(shù)——一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，從運(yùn)動(dòng)變化的角度了解函數(shù)的概念，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象性質(zhì)解決問(wèn)題?；诤瘮?shù)的高度綜合性，雖然在初中教學(xué)的要求上不是太高，但仍是中考命題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，掌握好對(duì)于高中的學(xué)習(xí)大有裨益。下面對(duì)于函數(shù)概念的發(fā)展給同學(xué)們作簡(jiǎn)要的介紹，幫助同學(xué)們以發(fā)展的眼光了解函數(shù)的概念。

1.早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)

　　十七世紀(jì)伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但因當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時(shí)還沒(méi)有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來(lái)研究的。

1673年，萊布尼茲首次使用“function” （函數(shù)）表示“冪”，后來(lái)他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量。與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來(lái)表示變量間的關(guān)系。

2.十八世紀(jì)函數(shù)概念──代數(shù)觀念下的函數(shù)

1718年約翰·貝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。”他的意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來(lái)表示。

1755，歐拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。”

18世紀(jì)中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)給出了定義：“一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。”他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了“隨意函數(shù)”。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

3.十九世紀(jì)函數(shù)概念──對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)

1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時(shí)指出對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)不一定要有解析表達(dá)式。不過(guò)他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來(lái)表示，這是一個(gè)很大的局限。

1822年傅里葉（Fourier，法國(guó)，1768——1830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新層次。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)突破了這一局限，認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。”這個(gè)定義避免了函數(shù)定義中對(duì)依賴關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受。這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義。

　　等到康托(Cantor，德，1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象。

4.現(xiàn)代函數(shù)概念──集合論下的函數(shù)

1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來(lái)定義函數(shù)，其避開(kāi)了意義不明確的“變量”、“對(duì)應(yīng)”概念。庫(kù)拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來(lái)定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。