RPC (Rational Polynomial Coefficients)模型的實(shí)質(zhì)是有理函數(shù)糾正模型(Rational Function Model - RFM) ,是將像點(diǎn)坐標(biāo)( r, c)表示為以相應(yīng)地面點(diǎn)空間(X, Y, Z )為自變量的多項(xiàng)式的比值:

如果直接用影像相關(guān)的算法，求出各個像素的同名點(diǎn)，再計算視差，計算量非常大，一般是先生成核線影像，把二維的相關(guān)問題變成一維的相關(guān)問題。核線在像片上是互不平行的，他們交于核點(diǎn)，如果將像片上的核線投影到一對相對水平的像片--平行于基線的像片對，則核線互相平行。根據(jù)這一原理，在水平像片上建立規(guī)則格網(wǎng)，它的行就是核線。把前面提取的同名點(diǎn)和輸入的控制點(diǎn)代入共線投影方程式：
連接點(diǎn)的提取一般先自動提取，再手工交互編輯。連接點(diǎn)的自動提取采用基于灰度的影像相關(guān)的
辦法。本文采用的是相關(guān)系數(shù)法。在3N 影像上取一個的邊長為奇數(shù)的窗口，取一個同樣大小的窗口作模板在3B 影像上以一定的步長移動窗口，求取兩個窗口的相關(guān)系數(shù)，取相關(guān)系數(shù)最大值對應(yīng)的窗口的中心像素為3N 影像上窗口中心像素的對應(yīng)點(diǎn)，以一定的步長在3N 影像上移動窗口求取各中心點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，以相關(guān)系數(shù)最大的前若干個點(diǎn)作為對應(yīng)的同名點(diǎn)。同名點(diǎn)的數(shù)目不能少于9 個，25 個以上最好。因?yàn)椴恍枰页雒恳粋€像素的同名點(diǎn)，窗口可以取得大一些，移動的步長也可以是若干個像素。自動提取以后再進(jìn)行人工編輯，剔出錯誤的連接點(diǎn)，如果點(diǎn)數(shù)太少，人工的選取一些連接點(diǎn)，保證連接點(diǎn)分布均勻。提取完連接點(diǎn)，再讀入控制點(diǎn)。

基于RPC參數(shù)的幾何模型求解

從三維模型到二維圖象是投影運(yùn)算，從二維圖象獲得三位信息是什么運(yùn)算呢？近年來，人們試圖通過有理多項(xiàng)式建立一類通用的模型來解決從二維圖象恢復(fù)三維信息的問題，稱為有理多項(xiàng)式函數(shù)模型(Rational Function Model, RFM)，其參數(shù)(Rational Polynomial Coefficient, RPC)的求解、基于RFM的三維空間坐標(biāo)解算、掃描影像核線幾何關(guān)系和近似核線影像生成、高精度DEM提取以及DOM制作等是研究的主要內(nèi)容。

張永軍張劍清丁亞洲

6.1  RPC參數(shù)的解求

6.2  基于RPC參數(shù)的三維空間坐標(biāo)解算

6.3  基于RPC參數(shù)的近似核線影像生成

6.4  高精度DEM生成及DOM制作

6.5  小結(jié)

衛(wèi)星遙感影像幾何定位模型

衛(wèi)星遙感影像在成像過程 中由于受到諸多復(fù)雜因素的影響，使各像點(diǎn)產(chǎn)生了不同程度的幾何變形。建立遙感影像幾何定位模型可以正確地描述每一個像點(diǎn)坐標(biāo)與其對應(yīng)地面點(diǎn)物方坐標(biāo)間的嚴(yán) 格幾何關(guān)系，以便對原始影像進(jìn)行高精度的幾何糾正及對地目標(biāo)定位，從而實(shí)現(xiàn)由二維影像反演實(shí)地表面的平面或空間位置，以滿足各種遙感應(yīng)用的需求。

袁修孝余俊鵬

5.1   衛(wèi)星遙感影像幾何定位模型綜述

5.2   嚴(yán)密幾何定位模型

5.3   仿射變換幾何模型

5.4   有理多項(xiàng)式函數(shù)模型

5.5   小結(jié)

 

1)  rational Polynomial
有理多項(xiàng)式
1.In this paper,an algorithm for linear programming basis iteration with continuous variable parameters is discussed,and the problem in expression in computerization of the rational polynomials appeared in the computing process is discussed.
本文討論了線性規(guī)劃基迭代中含連續(xù)可變參數(shù)的計算方法和對計算中出現(xiàn)的有理多項(xiàng)式在計算機(jī)上處理的表達(dá)方式問題。
2)  rational polynomial technique(RPT)
有理多項(xiàng)式法
3)  rational polynomial technique
有理多項(xiàng)式技術(shù)
1.Application of rational polynomial technique to reliability analysis of engineering structure;
有理多項(xiàng)式技術(shù)在工程結(jié)構(gòu)可靠度分析中的應(yīng)用
2.Application of rational polynomial technique in the analysis of slope reliability;
有理多項(xiàng)式技術(shù)在土坡可靠性分析中的應(yīng)用
4)  RPC
有理多項(xiàng)式（RPC）
5)  rational polynomial coefficients
有理多項(xiàng)式系數(shù)
 

 

 

GeoEye-1衛(wèi)星數(shù)據(jù)FAQs

1. 為什么宣傳資料上寫的GeoEye-1分辨率是0.41/1.65米，而用戶收到的數(shù)據(jù)卻是0.5/2米？

GeoEye-1全色影像星下點(diǎn)分辨率0.41m，側(cè)視25°分辨率為0.49m。受美國出口限制，提供給美國以外客戶的產(chǎn)品地面采樣間隔重采樣為0.5m。

2. 做正射影像處理的時候是否一定要用到RPC？

有理多項(xiàng)式模型代替相機(jī)模型，用以擬合內(nèi)外方位元素，這個多項(xiàng)式的系數(shù)就是RPC(Rational Polynomial Coefficient)，不同的RPC用來擬合不同的瞬時像機(jī)姿態(tài)。RPC隨影像而不同。無RPC的影像無法用于測繪。

3. 能否解釋一下GeoEye系列的星座模式?

GeoEye-1和IKONOS相位軌道，可以實(shí)現(xiàn)每天重訪。GeoEye-1、前期的IKONOS衛(wèi)星及計劃中的GeoEye-2衛(wèi)星將構(gòu)成星座模式，向全球用戶提供高分影像服務(wù)。

4. GeoEye-1的無控定位精度是多少？

單片產(chǎn)品無控定位精度CE90：5m。立體產(chǎn)品無控定位精度CE90：4m，LE90：6米。

5. GeoEye-1和IKONOS的成圖比例尺可以達(dá)到多少？

6. GeoEye-1每景的面積是多少？

GeoEye-1衛(wèi)星單景覆蓋15.2x15.2=231Km2，條帶覆蓋15.2x100=1520 Km2。

7. Geo與GeoProfessional產(chǎn)品的區(qū)別?

Geo是經(jīng)過輻射校正的預(yù)正射產(chǎn)品，為用戶提供RPC，用戶可以進(jìn)行區(qū)域網(wǎng)平差、正射糾正以及其它攝影測量處理。GeoProfessional是經(jīng)過精確地形校正的正射產(chǎn)品，可以進(jìn)行影像拼接與調(diào)色、特征提取、變化監(jiān)測、基礎(chǔ)制圖等應(yīng)用。

8. GeoEye-1的立體產(chǎn)品有哪些優(yōu)勢?

GeoStereo立體產(chǎn)品為同一軌道影像提供立體像對，具有高分辨率和彩色兩大特點(diǎn)，可用于高精度DEM提取、3D地物要素提取、地貌可視化等等

 

 

 

ENVI4.5目前支持的正射校正包括兩種模型：嚴(yán)格軌道模型（Pushbroom Sensor）和RPC有理多項(xiàng)式系數(shù)（Rational Polynomial Coefficient），如表1所示。

 

 

ENVI4.5中的正射校正說明

在 ENVI 中能對絕大多數(shù)的高分辨率影像通過嚴(yán)格物理模型進(jìn)行正射校正。 1 、概述 ENVI4.5 目前支持的正射校正包括兩種模型：嚴(yán)格軌道模型（ Pushbroom Sensor ）和 RPC 有理多項(xiàng)式系數(shù)（ Rational Polynomial Coefficient ），如表 1 所示。包括 ALOS/PRISM

在ENVI中能對絕大多數(shù)的高分辨率影像通過嚴(yán)格物理模型進(jìn)行正射校正。

1、概述

ENVI4.5目前支持 的正射校正包括兩種模型：嚴(yán)格軌道模型（Pushbroom Sensor）和RPC有理多項(xiàng)式系數(shù)（Rational Polynomial Coefficient），如表1所示。包括ALOS/PRISM、ASTER、IKONOS、OrbView-3、QuickBird、 SPOT1-5、CARTOSAT-1（P5）、FORMOSAT-2、worldview-1校正模型,即將推出的ENVI4.6還將增加 GeoEye-1、RADARSAT-2、KOMPSAT-2、TerraSAR-X傳感器模型。

傳感器

  模型

  文件

 
ALOS/PRISM
  RPC
  RPC文件
 
ASTER
  RPC
  RPC文件
 
CARTOSAT-1(P5)
  RPC
  RPC文件
 
FORMOSAT-2
  Pushbroom Sensor
  星歷參數(shù)文件(METADATA.DIM)
 
IKONOS
  RPC
  RPC文件（_rpc.txt）
 
OrbView-3
  RPC
  RPC文件(_metadata.pvl)
 
QuickBird
  RPC
  RPC文件(.rpb)
 
WorldView-1
  RPC
  RPC文件(.rpb)
 
SPOT5 Level 1A and 1B
  Pushbroom Sensor
  星歷參數(shù)文件(METADATA.DIM)

 
表 1 傳感器模型 ENVI 還具有根據(jù)星歷表參數(shù)建立 RPC 文件來正射校正數(shù)據(jù)的功能（ Map-Build RPCs ）。也可以根據(jù)地面控制點(diǎn)（ GCP ）或者外方位元素（ XS, YS, ZS, Omega, Phi, and Kappa ）建立 RPC 文件，校正一

表1傳感器模型

    ENVI還具有根據(jù)星歷表參數(shù)建立RPC文件來正射校正數(shù)據(jù)的功能（Map->Build RPCs）。也可以根據(jù)地面控制點(diǎn)（GCP）或者外方位元素（XS, YS, ZS, Omega, Phi, and Kappa）建立RPC文件，校正一般的推掃式衛(wèi)星傳感器、框幅式航空相片和數(shù)碼航空相片。如圖1為生成RPC文件面板。當(dāng)獲得的衛(wèi)星數(shù)據(jù)提供的是軌道參數(shù)，諸如ALOS PRISM and AVINIR, ASTER, CARTOSAT-1,, IKONOS, IRS-C, MOMS, QuickBird, WorldView-1，也可以利用這個功能來生成RPC文件做正射校正。

 

 

 

圖1生成RPC文件面板

 

2、正射校正簡單操作說明

第一步、打開顯示數(shù)據(jù)

   在主界面中，選擇File-> Open External File，選擇對應(yīng)的傳感器類型和文件格式。這里需要注意，當(dāng)對SPOT5數(shù)據(jù)做正射校正時，數(shù)據(jù)格式要選擇DIMAP格式。 QuickBird和WorldView-1數(shù)據(jù)很多時候提供的是Tile形式的數(shù)據(jù)，這個時候可以選擇Mosiic Tiled QuickBird Product。如果需要從影像或者矢量數(shù)據(jù)中選擇控制點(diǎn)，還需要一并將參考數(shù)據(jù)源打開。

 

 

圖2 打開數(shù)據(jù)文件

 

第二步、選擇傳感器校正模型

在主菜單中，選擇 Map-> Orthorectification，選擇對應(yīng)的傳感器模型。這里有兩種正射校正方式供選擇，一是只利用數(shù)據(jù)自帶星歷參數(shù)而無地面控制點(diǎn)方式，二是利用 地面控制點(diǎn)增加校正精度的方式。如果選擇第一種方式，直接可以跳到第四步。如果選擇第二種方式，在選擇完正射校正的數(shù)據(jù)文件之后，進(jìn)入第三步。

選擇校正模型第三步、選擇控制點(diǎn) ENVI 提供選擇控制點(diǎn)的方式很靈活，有三種方式供選擇，默認(rèn)的為鍵盤輸入?yún)⒖键c(diǎn)，如圖 4 所示。這種方式是在有基礎(chǔ)測繪控制點(diǎn)或者野外實(shí)地測量條件下采用。 圖 4 鍵盤輸入地面控制

選擇校正模型

第三步、選擇控制點(diǎn)

   ENVI提供選擇控制點(diǎn)的方式很靈活，有三種方式供選擇，默認(rèn)的為鍵盤輸入?yún)⒖键c(diǎn)，如圖4所示。這種方式是在有基礎(chǔ)測繪控制點(diǎn)或者野外實(shí)地測量條件下采用。

 

 

圖4 鍵盤輸入地面控制點(diǎn)

第二種方式是從影像上或者控制點(diǎn)，即在覆蓋同一地區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)影像上選擇同名點(diǎn)。在選擇3個點(diǎn)以上時，ENVI提供了預(yù)測點(diǎn)功能和自動尋找同名點(diǎn)的功能。如圖5所示，利用自動尋找同名點(diǎn)的功能效率高，點(diǎn)的分布也很均勻。

 

 

圖5參考影像上選擇控制點(diǎn)

第三種方法是從矢量數(shù)據(jù)中獲得控制點(diǎn)，如圖6所示。

 

 

圖6矢量數(shù)據(jù)上獲取控制點(diǎn)

由于有了RPC或者嚴(yán)格的軌道模型，

 

第四步、輸出結(jié)果

    在Ground Control Points Selection工具面板中，選擇Options->Orthorectify File 輸出校正結(jié)果。

 

    在輸入結(jié)果的參數(shù)設(shè)置面板中，需要選擇采樣方法，DEM數(shù)據(jù)，投影參數(shù)，像元大小，輸出文件。其中在DEM一欄中，有一個參數(shù)Geoid offset需要說明一下，DEM的高程值是絕對高程（地面點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的距離），用于正射校正的RPC高程是位勢高度geopotential height)，這種高度之間相差不大，填寫這個參數(shù)可以提高一定的正射校正精度。

 

 

 

圖7 輸出正射校正結(jié)果參數(shù)設(shè)置面板

3、總結(jié)

ENVI 的正射校正功能具有操作簡單、靈活和支持的傳感器多等特點(diǎn)。 在校正精度方面，由于使用是嚴(yán)格軌道模型和 RPC 參數(shù)，從校正算法上和理論上講，精度是很高的。但是，影響校正精度的因素很多，比如控制點(diǎn)（ GPCs

ENVI的正射校正功能具有操作簡單、靈活和支持的傳感器多等特點(diǎn)。

    在校正精度方面，由于使用是嚴(yán)格軌道模型和RPC參數(shù)，從校正算法上和理論上講，精度是很高的。但是，影響校正精度的因素很多，比如控制點(diǎn)（GPCs）的精度，控制點(diǎn)分布情況以及DEM的精度。要想給精度一個定量的評價，是比較困難的

 

http://wenku.baidu.com/view/4e0f2d28915f804d2b16c1cb.html

 

 

 

 

有理函數(shù)

亞純函數(shù)

擴(kuò)展閱讀：

• 阿爾福斯《復(fù)變函數(shù)論》

 

http://wenku.baidu.com/view/73b51a67f5335a8102d2209e.html

 

 

有理函數(shù)是指由兩個多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，即：

n＜m時，稱為真分式

n≥m時，稱為假分式

利用多項(xiàng)式除法，總能將一個假分式化成一個多項(xiàng)式和一個真分式之和的形式。

真分式又可以化為部分分式之和。

即：P（x）/Q（x）=（多項(xiàng)式）+（有理真分式）=（多項(xiàng)式）+（部分分式之和）

 

<多項(xiàng)式除法>

例1：

例2：

 

求有理函數(shù)R（x）的積分：

∫R(x)dx=多項(xiàng)式積分 + 部分分式積分之和

多項(xiàng)式積分不解釋了。

本篇關(guān)鍵在如何求部分分式的積分：

總共四類：

 

 

下面分別來求：

①

②

③

二次質(zhì)因式，即在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式的二次多項(xiàng)式。

④

 

有理系數(shù)多項(xiàng)式

---

　

設(shè) . 類似與前節(jié)的討論,我們現(xiàn)在來看以下多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的因式分解問題. 情況較實(shí)數(shù)域,復(fù)數(shù)域要復(fù)雜.

 

 

 

 

 

 

一般的結(jié)論是：

 

 

證明： 設(shè) ,其中是有理多項(xiàng)式.令:

 

 

其中為本原多項(xiàng)式.此時必有 .故 .

這個結(jié)論無助于判斷有理系數(shù)多項(xiàng)式是否可約？如何分解？這兩個問題得的解決. 但是,對一些特殊的情況,還是有一些相應(yīng)的方法來處理的.

1.有理根的判斷

 

 

2.Eisenstein判別法解決了另外一類情況；

 

 

證明：如果在有理數(shù)域上可約,那么必有 兩個整系數(shù)多項(xiàng)式 , ,使得

 

 

因此

 

 

由已知且 ,則 或者 .不妨設(shè) .因?yàn)?,也就是 ,因此必存在一個 正整數(shù),使得

 

 

比較 與的的系數(shù),可得

 

 

可推出,因?yàn)?img doc360img-src='http://jpkcdx./ec2006/C34/Course/Content/N41/img1097.png' alt="$ p$" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" title="影像有理函數(shù)糾正RFM/RPC" align="middle" border="0" height="33" width="14">是素數(shù),則,產(chǎn)生矛盾.同理可證, 也不成立. 故原命題錯誤.

 

二次型與矩陣

---

 

 

二次型可以用矩陣乘積來表示,而且方式不唯一.

 

 

為研究方便,需給出二次型的唯一表示

 

 

由這個定義給出的二次型的矩陣表示是唯一的

 

 

為了判斷二次型的類型,我們需要非退化的線性替換的概念

 

 

非退化的線性替換的一個性質(zhì)是：將二次型變?yōu)槎涡?

 

 

此時我們看到前后兩個二次型所對應(yīng)的矩陣也有了變化.

 

 

合同關(guān)系是矩陣?yán)碚摰牡诙€等價關(guān)系.

至此問題便可歸結(jié)為

 

http://jpkcdx./ec2006/C34/Course/Content/N41/node37.html

 

 

 

有理域上的多項(xiàng)式

 

上節(jié)中我們看到，復(fù)數(shù)域上只有一次式是質(zhì)式，實(shí)數(shù)域上只有一次式和一部分二次式是質(zhì)式。本節(jié)將說明，和上述兩個數(shù)域不同，有理域R₀上有任意高次的質(zhì)式，此外，我們附帶討論求有理根的問題。

設(shè)ƒ（х）是任意有理系數(shù)多項(xiàng)式，以適當(dāng)?shù)姆?整數(shù)C來乘，可使cƒ（х）成為整系數(shù)多項(xiàng)式。因此，任意有理系數(shù)多項(xiàng)式和一個整系數(shù)多項(xiàng)式相通。

定義7.4.1   設(shè)

     ƒ（х）= a₀хⁿ+a₁х^n-1+…+a_n

是一個整系數(shù)多項(xiàng)式，若系數(shù)a₀，a₁，…，a_n互質(zhì)，即若這些系數(shù)除±1外無公因數(shù)，則稱ƒ（х）是一個本原多項(xiàng)式。

設(shè)ƒ（х）是一個整系數(shù)多項(xiàng)式，其系數(shù)之最高公因?yàn)閐，由系數(shù)中提出此最高公因d，ƒ（х）可以寫成dg（х）的形式。g（х）顯然是一個本原多項(xiàng)式，由此可見，任意有理系數(shù)多項(xiàng)式和一個本原多項(xiàng)式相通。

動畫演示

定理7.4.1  設(shè)p是一個質(zhì)數(shù)，

          ƒ（х）= a₀хⁿ+a₁х^n-1+…+a_n

g（х） = b₀х^m+b₁х^m-1+…+b_m

是兩整系數(shù)多項(xiàng)式。若 p整除ƒ（х）g（х）的所有系數(shù)，則p或整除ƒ（х）的所有系數(shù)或整除g（х）的所有系數(shù)。

證明： 假定p不整除ƒ（х）的所有系數(shù)也不整除g（х）的所有系數(shù)。從后往前看ƒ（х）和g（х），設(shè)a_i ，b_j是ƒ（х），g（x）的系數(shù)中第一個不為p整除者。于是，

             p不整除a_i，p∣a_i+1，…，p∣a_n         （1）

                 p不整除b_j，p∣b_j+1，…，p∣b_m        （2）

ƒ（χ）g（χ）中χ^n-i+m-j的系數(shù)是

a_ib_j + a_i+1b_j-1 + a_i+2b_j-2 + … +

+ a_i-1b_j+1 + a_i-2b_j+2 + …

此式中，除a_ib_j外，其余各項(xiàng)由（1）及（2）都為p整除，而由p不整除a_i，p不整除b_j，有p不整除a_ib_j，故p不整除х^n-i+m-j的系數(shù)，與題設(shè)p整除ƒ（х）g（х）的所有系數(shù)矛盾。                  

定理7.4.2  設(shè)ƒ（х）是本原多項(xiàng)式，g（х）是整系數(shù)多項(xiàng)式。若ƒ（х）∣g（х），則以ƒ（х）除g（х）所得之商式必是整系數(shù)多項(xiàng)式。

證明：由ƒ（х）∣g（х）知，有

             g（х） = ƒ（х）h（х）                 （3）

不論h（х）是否為整系數(shù)多項(xiàng)式，我們總可以取一個正整數(shù)c使k（х）=ch（х）是整系數(shù)多項(xiàng)式，由（3）有

cg（х） = ƒ（х）k（х）                （4）

此式表示以c乘g（х）的所有系數(shù)就是ƒ（х）k（х）的所有系數(shù)，從而c整除ƒ（х）k（х）的所有系數(shù)。設(shè)

c = p₁p₂…p_r

是c的質(zhì)因數(shù)分解式。因?yàn)閜₁∣c，故p₁整除ƒ（х）k（х）的所有系數(shù)，但ƒ（х）是本原多項(xiàng)式，故由定理7.4.1，p₁整除k（х）的所有系數(shù)，從而k（х） = p₁k₁（х），其中k₁（х）是整系數(shù)多項(xiàng)式。由（4）有

c₁g（х） = ƒ（х）k₁（х）           （5）

其中c₁ = p₂…p_r，仿上有k₁（х）=p₂k₂（х），其中k₂（х）是整系數(shù)多項(xiàng)式。由（5）有

 c₂g（х）=ƒ（х）k₂（х）

其中c₂=p₃…p_r。這樣，（4）左邊c的質(zhì)因數(shù)可以一一消去，最后得

        g（х）=ƒ（х）k_r（х）             （6）

其中k_r（х）是整系數(shù)多項(xiàng)式。但由（3）及（6）有h（х）=k_r（х），故h（х）是整系數(shù)多項(xiàng)式。

 

http://trp./software/net/lssx/7/7.9.htm

 

 

 

 

 

多項(xiàng)式

若干個單項(xiàng)式的和組成的式子叫做多項(xiàng)式（減法中有：減一個數(shù)等于加上它的相反數(shù)）。多項(xiàng)式中每個單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，這些單項(xiàng)式中的最高次數(shù)，就是這個多項(xiàng)式的次數(shù)。

數(shù)學(xué)術(shù)語
  多項(xiàng)式
多項(xiàng)式 polynomial 不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。如一式中：最高項(xiàng)的次數(shù)為5，此式有3個單項(xiàng)式組成，則稱其為：五次三項(xiàng)式。　　比較廣義的定義，1個或0個單項(xiàng)式的和也算 多項(xiàng)式。按這個定義，多項(xiàng)式就是整式。實(shí)際上，還沒有一個只對狹義多項(xiàng)式起作用，對單項(xiàng)式不起的定理：0作為多項(xiàng)式時，次數(shù)為負(fù)無窮大。
多項(xiàng)式的加法
有限個單項(xiàng)式之和稱為多元多項(xiàng)式,簡稱多項(xiàng)式。不同類的單項(xiàng)式之和表示的多項(xiàng)式，其中系數(shù)不為零的單項(xiàng)式的最高次數(shù)，稱為此多項(xiàng)式的次數(shù)?！　《囗?xiàng)式 的加法,是指多項(xiàng)式的同類項(xiàng)的系數(shù)相加(即合并同類項(xiàng))。多項(xiàng)式的乘法,是指把一個多項(xiàng)式中的每個單項(xiàng)式與另一個多項(xiàng)式中的每個單項(xiàng)式相乘之后相加，且合 并同類項(xiàng)?！　上x1，x2，…，xn的多項(xiàng)式全體所成的集合F【x1,x2，…,xn】，對于多項(xiàng)式的加法和乘法成為一個環(huán)，是具有單位元素的整環(huán)。 域上的多元多項(xiàng)式也有因式分解惟一性定理。
多項(xiàng)式函數(shù)及多項(xiàng)式的根
給出多項(xiàng)式 f∈R[x1,...,xn] 以及一個 R-代數(shù) A。對 (a1...an)∈An，我們把 f 中的 xj 都換成 aj，得出一個 A 中的元素，記作 f(a1...an)。如此， f 可看作一個由 An 到 A 的函數(shù)。 　　若然 f(a1...an)=0，則 (a1...an) 稱作 f 的根或零點(diǎn)。 　　例如 f=x^2+1。若然考慮 x 是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、或矩陣，則 f 會無根、有兩個根、及有無限個根！ 　　例如 f=x-y。若然考慮 x 是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，則 f 的零點(diǎn)集是所有 (x,x) 的集合，是一個代數(shù)曲線。事實(shí)上所有代數(shù)曲線由此而來。 　　另外，若所有系數(shù)為實(shí)數(shù)多項(xiàng)式 P(x)有復(fù)數(shù)根Z，則Z的共軌復(fù)數(shù)也是根。 　　若P（x）有n個重疊的根，則 P‘(x) 有n-1個重疊根。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x)，則有 a 是 P’(x)的重疊根且有n-1個。
代數(shù)基本定理
代數(shù)基本定理是指所有一元 n 次（復(fù)數(shù)）多項(xiàng)式都有 n 個（復(fù)數(shù)）根。
多項(xiàng)式的幾何特性
多項(xiàng)式是簡單的連續(xù)函數(shù)，它是平滑的，它的微分也必定是多項(xiàng)式?！　√├斩囗?xiàng)式的精神便在于以多項(xiàng)式逼近一個平滑函數(shù)，此外閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以寫成多項(xiàng)式的均勻極限。
任意環(huán)上的多項(xiàng)式
多項(xiàng)式可以推廣到系數(shù)在任意一個環(huán)的情形，請參閱條目多項(xiàng)式環(huán)。
帶余除法
若 ƒ(x)和g(x)是F【x】中的兩個多項(xiàng)式，且 g(x)≠0，則在F【x】中有多項(xiàng)式 q(x)和r(x)，滿足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x),其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù),且只有一對q(x)和r(x)滿足這些條件。此 時q(x) 稱為g(x)除ƒ(x)的商式,r(x)稱為余式。當(dāng)g(x)=x-α時，則r(x)=ƒ(α)稱為余元，式中的α是F的元素。此時帶余除法具有形式 ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α),稱為余元定理。g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要條件是g(x)除ƒ(x)所得余式等于零。如果g(x)是 ƒ(x)的因式，那么也稱g(x) 能整除ƒ(x),或ƒ(x)能被g(x)整除。特別地,x-α是ƒ(x)的因式的充分必要條件是ƒ(α)=0，這時稱α是ƒ(x)的一個根?！　∪绻? d(x)既是ƒ(x)的因式，又是g(x)的因式,那么稱d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個公因式。如果d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個公因式,并 且ƒ(x)與g(x)的任一個因式都是d(x)的因式,那么稱d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。如果ƒ(x)=0,那么g(x)就是 ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。當(dāng)ƒ(x)與g(x)全不為零時，可以應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法來求它們的最大公因式。
輾轉(zhuǎn)相除法
已知 F【x】中兩個不等于零的多項(xiàng)式ƒ(x)與g(x)，用g(x)除ƒ(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0，則g(x)就是ƒ(x) 與g(x)的一個最大公因式。若 r1(x)≠0，則用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、余式r2(x)。若r2(x)=0,則r1就是ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。否則,如此輾轉(zhuǎn)相除下去,余式的次數(shù)不斷 降低,經(jīng)有限s次之后，必有余式為零。　　利用輾轉(zhuǎn)相除法的算法，可將ƒ(x)與g(x)的最大公因式rs(x)表成ƒ(x)和g(x)的組合,而組合的 系數(shù)是F上的多項(xiàng)式?！　∪绻?#402;(x)與g(x)的最大公因式是零次多項(xiàng)式，那么稱ƒ(x)與g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推廣到幾個多 項(xiàng)式的情形?！　∪绻鸉【x】中的一個次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式ƒ(x),不能表成 F【x】中的兩個次數(shù)較低的多項(xiàng)式的乘積，那么稱ƒ(x)是F上的一個不可約多項(xiàng)式。 任一多項(xiàng)式都可分解為不可約多項(xiàng)式的乘積。
惟一分解定理
F【x】中任一個次數(shù)不小于 1的多項(xiàng)式都可以分解為F上的不可約多項(xiàng)式的乘積,而且除去因式的次序以及常數(shù)因子外，分解的方法是惟一的。　　當(dāng)F是復(fù)數(shù)域C時，根據(jù)代數(shù)基本定理，可 證C【x】中不可約多項(xiàng)式都是一次的。因此，每個復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式都可分解成一次因式的連乘積。　　當(dāng)F是實(shí)數(shù)域R時，由于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛根是成對出現(xiàn)的， 即虛根的共軛數(shù)仍是根，因此R【x】中不可約多項(xiàng)式是一次的或二次的。所以每個實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可以分解成一些一次和二次的不可約多項(xiàng)式的乘積。實(shí)系數(shù)二次 多項(xiàng)式αx2+bx+с不可約的充分必要條件是其判別式b2-4αс<0?！　‘?dāng)F是有理數(shù)域Q時，情況復(fù)雜得多。要判斷一個有理系數(shù)多項(xiàng)式是否不 可約，就較困難。應(yīng)用本原多項(xiàng)式理論，可把有理系數(shù)多項(xiàng)式的分解問題化為整系數(shù)多項(xiàng)式的分解問題。一個整系數(shù)多項(xiàng)式如其系數(shù)是互素的,則稱之為本原多項(xiàng) 式。每個有理系數(shù)多項(xiàng)式都可表成一個有理數(shù)及一個本原多項(xiàng)式的乘積。關(guān)于本原多項(xiàng)式有下述重要性質(zhì)。
高斯引理
兩個本原多項(xiàng)式的乘積是本原多項(xiàng)式?！　?yīng)用高斯引理可證，如果一個整系數(shù)多項(xiàng)式可以分解為兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定可以分解 為兩個整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。這個結(jié)論可用來判斷有理系數(shù)多項(xiàng)式的不可約性。關(guān)于Q【x】中多項(xiàng)式的不可約性的判斷，還有艾森斯坦判別法：對于整系數(shù)多項(xiàng) 式,如果有一個素數(shù)p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0，但不能整除αn,且p2不能整除常數(shù)項(xiàng)α0,那么ƒ(x)在Q上是不可約的。由此可知， 對于任一自然數(shù)n,在有理數(shù)域上xn-2是不可約的。因而，對任一自然數(shù)n，都有n次不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式。
插值多項(xiàng)式
在實(shí)際問題中，往往通過實(shí)驗(yàn)或觀測得出表示某種規(guī)律的數(shù)量關(guān)系y＝F(x)，通常只給出了F(x)在某些點(diǎn)xi上的函數(shù)值 yi=F(xi),j=1，2，…,n+1。即使有時給出了函數(shù)F(x)的解析表達(dá)式，倘若較為復(fù)雜，也不便于計算。因此，需要根據(jù)給定點(diǎn) xi 上的函數(shù)值F(xi),求出一個既能反映F(x)的特性,又便于計算的簡單函數(shù)ƒ(x)來近似地代替F(x),此時ƒ(x)稱為F(x)的插值函 數(shù)；x1,x2,…,xn+1,稱為插值節(jié)點(diǎn)。求插值函數(shù)的方法，稱為插值法?！　《囗?xiàng)式是一類簡單的初等函數(shù)，而且任給兩組 數(shù)：b1,b2,…,bn+1和各不相同的 с1,с2,…,сn+1,總有惟一的次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式ƒ(x)滿足ƒ(сi)=bi，i=1，2，…,n+1。因此在實(shí)際應(yīng)用中常常取多項(xiàng)式作為插 值函數(shù)。作為插值函數(shù)的多項(xiàng)式，稱為插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式在計算數(shù)學(xué)插值中最常用。

 

http://baike.baidu.com/view/613580.htm

 

 

 

 

有理系數(shù)多項(xiàng)式

作 為因式分解定理的一個特殊情形，有每個次數(shù)≥1的有理系數(shù)多項(xiàng)式都能分解成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.但是對于任何一個給定的多項(xiàng)式，要具體地作出它 的分解式卻是一個很復(fù)雜的問題，即使要判別一個有理系數(shù)多項(xiàng)式是否可約也不是一個容易解決的問題，這一點(diǎn)是有理數(shù)域與復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域不同的.在這一節(jié)主要 是指出有理系數(shù)多項(xiàng)式的兩個重要事實(shí)：第一，有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解的問題，可以歸結(jié)為整（數(shù)）系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題，并進(jìn)而解決求有理系數(shù)多項(xiàng)式 的有理根的問題.第二，在有理系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)中有任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式.

一、有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根

設(shè)

 

是一個有理系數(shù)多項(xiàng)式.選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)乘，總可以使 是一個整系數(shù)多項(xiàng)式.如果 的各項(xiàng)系數(shù)有公因子，就可以提出來，得到

,

也就是

 

其中是整系數(shù)多項(xiàng)式，且各項(xiàng)系數(shù)沒有異于±1的公因子.

如果一個非零的整系數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)沒有異于±1的公因子,也就是說它們是互素的,它就稱為一個本原多項(xiàng)式.上面的分析表明，任何一個非零的有理系數(shù)多項(xiàng)式都可以表示成一個有理數(shù)與一個本原多項(xiàng)式 的乘積，即

.

可以證明，這種表示法除了差一個正負(fù)號是唯一的.亦即，如果

,

其中都是本原多項(xiàng)式，那么必有

 

因?yàn)? 與只差一個常數(shù)倍，所以的因式分解問題，可以歸結(jié)為本原多項(xiàng)式的因式分解問題.下面進(jìn)一步指出，一個本原多項(xiàng)式能否分解成兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積與它能否分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積的問題是一致的.

定理10(Gauss 引理) 兩個本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式.

定理11 如果一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定可以分解兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.

以上定理把有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是否可約的問題歸結(jié)到整系數(shù)多項(xiàng)式能否分解成次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積的問題.

推論 設(shè) ， 是整系數(shù)多項(xiàng)式，且 是本原多項(xiàng)式，如果，其中是有理系數(shù)多項(xiàng)式，那么 一定是整系數(shù)多項(xiàng)式.

這個推論提供了一個求整系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根的方法.

定理12 設(shè)

 

是一個整系數(shù)多項(xiàng)式.而是它的一個有理根,其中互素,那么

(1) ;特別如果 的首項(xiàng)系數(shù)，那么的有理根都是整根，而且是 的因子.

(2)

其中是一個整系數(shù)多項(xiàng)式.

給了一個整系數(shù)多項(xiàng)式 ,設(shè)它的最高次項(xiàng)系數(shù)的因數(shù)是 ,常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)是 那么根據(jù)定理12,欲求的有理根,只需對有限個有理數(shù)用綜合除法來進(jìn)行試驗(yàn).

當(dāng)有理數(shù)的個數(shù)很多時,對它們逐個進(jìn)行試驗(yàn)還是比較麻煩的.下面的討論能夠簡化計算.

首先,1和-1永遠(yuǎn)在有理數(shù) 中出現(xiàn),而計算與并不困難.另一方面,若有理數(shù) 是 的根,那么由定理12,

 

而也是一個整系數(shù)多項(xiàng)式.因此商

 

都應(yīng)該是整數(shù).這樣只需對那些使商都是整數(shù)的來進(jìn)行試驗(yàn).(我們可以假定 與 都不等于零.否則可以用 或 除 而考慮所得的商.)

例1 求多項(xiàng)式

 

的有理根.

例2 證明

 

在有理數(shù)域上不可約.

二、有理數(shù)域上多項(xiàng)式的可約性

定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判別法) 設(shè)

 

是一個整系數(shù)多項(xiàng)式.若有一個素數(shù) ,使得

1. ;

2. ;

3. .

則多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約.

由艾森斯坦判斷法得到:

有理數(shù)域上存在任意次的不可約多項(xiàng)式.例如 .,其中 是任意正整數(shù).

艾森斯坦判別法的條件只是一個充分條件.

有時對于某一個多項(xiàng)式 ,艾森斯坦判斷法不能直接應(yīng)用,但把 適當(dāng)變形后,就可以應(yīng)用這個判斷法.

例3 設(shè) 是一個素數(shù),多項(xiàng)式

 

叫做一個分圓多項(xiàng)式,證明在中不可約.

證明：令 ，則由于

,

,

令 ，于是

,

由艾森斯坦判斷法，在有理數(shù)域上不可約，也在有理數(shù)域上不可約.

 

 

 

 

有理系數(shù)多項(xiàng)式

 

 

教學(xué)目的和要求  1 理解本原多項(xiàng)式的概念，會將有理系數(shù)多項(xiàng)式化為本原多項(xiàng)式。知道有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題可以轉(zhuǎn)化成整系數(shù)多項(xiàng)式問題來解決的原理。

                2 掌握高斯定理的內(nèi)容，了解它的證明方法。

                3 理解整系數(shù)多項(xiàng)式只要在有理數(shù)域上可約，就一定能分解成整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積；會用此結(jié)論來推出有理根與首項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，并會用這種關(guān)系來找有理根。

                4 熟練運(yùn)用Eisenstein判別法來判定整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的條件；知道在有理數(shù)域上存在任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式的原理。

重          點(diǎn)  1有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題可以轉(zhuǎn)化成整系數(shù)多項(xiàng)式問題來解決1 理解整系數(shù)多項(xiàng)式只要在有理數(shù)域上可約，就一定能分解成整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積；會用此結(jié)論來推出有理根與首項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，并會用這種關(guān)系來找有理根。

                2 整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法。

3 用Eisenstein判別法判定整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。

 

難          點(diǎn)  Eisenstein判別法的證明和應(yīng)用。

教  學(xué)  過  程 

 

關(guān)于有理系數(shù)多項(xiàng)式因式分解的主要結(jié)論有兩個：

  有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題可以轉(zhuǎn)化成整系數(shù)多項(xiàng)式的問題來解決；

  在有理數(shù)域上存在任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式。

本原多項(xiàng)式定義  各項(xiàng)系數(shù)沒有大于1的公因子（即它們互素）的整系數(shù)多項(xiàng)式稱為本原多項(xiàng)式。

注意本原多項(xiàng)式一定不為零。

設(shè)是一個不為零的有理系數(shù)多項(xiàng)式，先將的各項(xiàng)系數(shù)的公分母提出來，再將各項(xiàng)系數(shù)的大于1的最大公因子（如果有的話）提出來就得到 ，其中是一個不為零的有理數(shù)，是本原多項(xiàng)式。

例如 .

結(jié)論1 每個不為零的有理系數(shù)多項(xiàng)式都可以表為一個有理數(shù)與一個本原多項(xiàng)式的乘積；這種表示法除了一個符號外是唯一的。

證明  只證唯一性，設(shè) ，其中 都是不為零的有理數(shù)， 與 都是本原多項(xiàng)式。我們說 ，即 ，從而 ,唯一性得證。否則，不妨設(shè)，則是真分?jǐn)?shù)，可令

，其中為互素的整數(shù)，，

比較 兩邊同次項(xiàng)的系數(shù)知，的各項(xiàng)系數(shù)能被整除。這與 是本原多項(xiàng)式矛盾。▎

定理10 （高斯（Gauss）引理）兩個本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式。

證明  設(shè)和
都是本原多項(xiàng)式，

.

如果不是本原的，那么存在一個素數(shù)能夠整除它的各項(xiàng)系數(shù)，因?yàn)? 都是本原的，所以 不能整除它們的各項(xiàng)系數(shù)，設(shè) 分別是的按下標(biāo)從小到大第一個不能被 整除的系數(shù)，則 ， .

另一方面，由

  ，

即   
知， （因?yàn)樗疫吀黜?xiàng)），從而 或 ，導(dǎo)致矛盾。▎

定理11 如果一個非零整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式 與的乘積，那么它一定能分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。

    證明  設(shè) ，其中 是整數(shù)， 都是非零有理數(shù)， 都是本原多項(xiàng)式，于是 ，由定理11和定理1得，所以和 都是整系數(shù)多項(xiàng)式，且

， .故定理得證。▎

例如， .

用定理11的證明方法容易證明下面的

推論 如果整系數(shù)多項(xiàng)式可以表為一個本原多項(xiàng)式與一個有理系數(shù)多項(xiàng)式 的乘積，那么 一定是整系數(shù)的。▎

定理12 設(shè) 是整系數(shù)多項(xiàng)式的一個有理根，與 互素，則 .特別地，當(dāng) 時， 的有理根都是整數(shù)根，而且是 的因子。

證明  因?yàn)?是 的根，所以 ，從而 .又因?yàn)?與 互素，所以 是本原多項(xiàng)式，由定理11的推論得

，其中 都是整數(shù)。

比較兩邊的系數(shù)得： .故 . ▎

例1 求 的有理根。

解 首項(xiàng)系數(shù) 的因子有 ，常數(shù)項(xiàng)的因子有，用常數(shù)項(xiàng)的因子做分子，首項(xiàng)系數(shù)的因子做分母的有理數(shù)有： ，根據(jù)定理12， 的有理根只能從這幾個數(shù)中產(chǎn)生，經(jīng)檢驗(yàn)是的有理根。

例2 證明，多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。

證明如果在有理數(shù)域上可約，那么它至少有一個一次因式，從而至少有一個有理根。由定理12， 的有理根只可能是 或 ，但經(jīng)檢驗(yàn)知 都不是的根。故在 上不可約。

注艾氏判別法是判定整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的充分條件，但不是必要條件。也就是說，當(dāng)整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約時，不一定能找到素數(shù)使艾氏判別法的條件成立。

定理13（艾森斯坦因（Eisenstein）判別法）設(shè)

是一個整系數(shù)多項(xiàng)式，如果能夠找到一個素數(shù)能夠整除首項(xiàng)系數(shù)以外的各項(xiàng)系數(shù)，但它的平方不能整除零次項(xiàng)系數(shù)（即常數(shù)項(xiàng)），那么在有理數(shù)域上不可約。

    注：艾森斯坦因判別法簡稱艾氏判別法。它是判定整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的充分條件，但不是必要條件。例如，在有理數(shù)域上不可約，但找不到素數(shù)使艾氏判別法的條件成立。

證明設(shè)在有理數(shù)域上可約，由定理11得

 （1）

其中， 都是整數(shù)， ， ， .比較（1）式兩邊同次項(xiàng)的系數(shù)得

,

因?yàn)?,所以 或 .但因 不能整除，所以不能同時整除 和 ,不妨設(shè) 只能整除 .由 不能同時整除 知它不能整除 ，設(shè) 是 中第一個不能被 整除的系數(shù)，由 及知，從而

或 .導(dǎo)致矛盾。▎

 

例3 證明下列結(jié)論：

1）對于任何正整數(shù)，多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約；

2）當(dāng) 時，是無理數(shù)。

證明  1）素數(shù) 滿足艾氏判別法的條件，所以 在有理數(shù)域上不可約。

2）顯然是的一個根，如果它還是一個有理數(shù)，那么這個根就是有理根，因此當(dāng)時，可以在有理數(shù)域上分解出一個一次因式來，這與1）的結(jié)論相矛盾。

本例說明，在有理數(shù)域上存在任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式，因此有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題遠(yuǎn)比復(fù)或?qū)嵪禂?shù)多項(xiàng)式的因式分解問題來得復(fù)雜。

例4 （當(dāng)定理使用）設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，試找出 和 是 的根的充要條件。

解  因?yàn)?/font>

                  ，

    .

所以，是的根的充要條件是它的各項(xiàng)系數(shù)之和等于零。 是 的根的充要條件是它的奇次項(xiàng)系數(shù)的和等于偶次項(xiàng)系數(shù)的和。

習(xí)題選解

26 分別在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)和實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將因式分解。

解 多項(xiàng)式的個復(fù)數(shù)根為：

                 ，

其中 ， .

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)： .

下面在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對作因式分解：

因?yàn)榈膫€根落在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為中心的單位圓上，且平分單位圓，而此單位上只有與實(shí)軸相交的兩個點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，所以的復(fù)數(shù)根中至多有兩個是實(shí)數(shù)。

若為奇數(shù)，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)根，所以由虛根成對定理知， 的其余 個根均為虛根，其中 落在上半圓周上，剩下的個虛根落在下半圓周上，它們是的共軛數(shù)。所以

   
        .

若 是偶數(shù),則 和 是的兩個實(shí)數(shù)根，其余根是虛根，落在上半圓周上的虛根有 ，而落在下半圓周上的虛根是它們的共軛數(shù)。所以

  .

http://www./shujixueyuan/jpkc/gdds/dzja/chap1/d8j.htm