大白話解析模擬退火算法

Posted on 2010-12-20 17:01 heaad 閱讀(299) 評論(1) 編輯 收藏

優(yōu)化算法入門系列文章目錄（更新中）：

　　1. 模擬退火算法

　　2. 遺傳算法

一. 爬山算法 ( Hill Climbing )

         介紹模擬退火前，先介紹爬山算法。爬山算法是一種簡單的貪心搜索算法，該算法每次從當(dāng)前解的臨近解空間中選擇一個最優(yōu)解作為當(dāng)前解，直到達到一個局部最優(yōu)解。

         爬山算法實現(xiàn)很簡單，其主要缺點是會陷入局部最優(yōu)解，而不一定能搜索到全局最優(yōu)解。如圖1所示：假設(shè)C點為當(dāng)前解，爬山算法搜索到A點這個局部最優(yōu)解就會停止搜索，因為在A點無論向那個方向小幅度移動都不能得到更優(yōu)的解。

圖1

二. 模擬退火(SA,Simulated Annealing)思想

         爬山法是完完全全的貪心法，每次都鼠目寸光的選擇一個當(dāng)前最優(yōu)解，因此只能搜索到局部的最優(yōu)值。模擬退火其實也是一種貪心算法，但是它的搜索過程引入了隨機因素。模擬退火算法以一定的概率來接受一個比當(dāng)前解要差的解，因此有可能會跳出這個局部的最優(yōu)解，達到全局的最優(yōu)解。以圖1為例，模擬退火算法在搜索到局部最優(yōu)解A后，會以一定的概率接受到E的移動。也許經(jīng)過幾次這樣的不是局部最優(yōu)的移動后會到達D點，于是就跳出了局部最大值A(chǔ)。

         模擬退火算法描述：

         若J( Y(k+1) )>= J( Y(k) )  (即移動后得到更優(yōu)解)，則總是接受該移動

         若J( Y(k+1) )< J( Y(k) )  (即移動后的解比當(dāng)前解要差)，則以一定的概率接受移動，而且這個概率隨著時間推移逐漸降低（逐漸降低才能趨向穩(wěn)定）

　　這里的“一定的概率”的計算參考了金屬冶煉的退火過程，這也是模擬退火算法名稱的由來。

　　根據(jù)熱力學(xué)的原理，在溫度為T時，出現(xiàn)能量差為dE的降溫的概率為P(dE)，表示為：

　　　　P(dE) = exp( dE/kT )

　　其中k是一個常數(shù)，exp表示自然指數(shù)，且dE<0。這條公式說白了就 是：溫度越高，出現(xiàn)一次能量差為dE的降溫的概率就越大；溫度越低，則出現(xiàn)降溫的概率就越小。又由于dE總是小于0（否則就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函數(shù)取值范圍是(0,1) 。

　　隨著溫度T的降低，P(dE)會逐漸降低。

　　我們將一次向較差解的移動看做一次溫度跳變過程，我們以概率P(dE)來接受這樣的移動。

　　關(guān)于爬山算法與模擬退火，有一個有趣的比喻：

　　爬山算法：兔子朝著比現(xiàn)在高的地方跳去。它找到了不遠處的最高山峰。但是這座山不一定是珠穆朗瑪峰。這就是爬山算法，它不能保證局部最優(yōu)值就是全局最優(yōu)值。

　　模擬退火：兔子喝醉了。它隨機地跳了很長時間。這期間，它可能走向高處，也可能踏入平地。但是，它漸漸清醒了并朝最高方向跳去。這就是模擬退火。

下面給出模擬退火的偽代碼表示。

三. 模擬退火算法偽代碼

代碼

/*
 *  J(y)：在狀態(tài)y時的評價函數(shù)值
 *  Y(k)：表示當(dāng)前狀態(tài)
 *  Y(k+1)：表示新的狀態(tài)
 *  r： 用于控制降溫的快慢
 *  T： 系統(tǒng)的溫度，系統(tǒng)初始應(yīng)該要處于一個高溫的狀態(tài)
 *  T_min ：溫度的下限，若溫度T達到T_min，則停止搜索
*/
while( T > T_min )
{
　　dE = J( Y(k+1) ) - J( Y(k) ) ;  

　　if ( dE >= 0 )  //表達移動后得到更優(yōu)解，則總是接受移動
        Y(k+1) = Y(k) ;  //接受從Y(k)到Y(jié)(k+1)的移動
　　else
　　{
    // 函數(shù)exp( dE/T )的取值范圍是(0,1) ，dE/T越大，則exp( dE/T )也
        if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
            Y(k+1) = Y(k) ;  //接受從Y(k)到Y(jié)(k+1)的移動
　　}
　　T = r * T ;  //降溫退火 ，0<r<1 。r越大，降溫越慢；r越小，降溫越快
　　/*
　　* 若r過大，則搜索到全局最優(yōu)解的可能會較高，但搜索的過程也就較長。若r過小，則搜索的過程會很快，但最終可能會達到一個局部最優(yōu)值
　　*/
　　k ++ ;
}

四. 使用模擬退火算法解決旅行商問題

　　旅行商問題 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N個城市，要求從其中某個問題出發(fā)，唯一遍歷所有城市，再回到出發(fā)的城市，求最短的路線。

　　旅行商問題屬于所謂的NP完全問題，精確的解決TSP只能通過窮舉所有的路徑組合，其時間復(fù)雜度是O(N!) 。

　　使用模擬退火算法可以比較快的求出TSP的一條近似最優(yōu)路徑。（使用遺傳算法也是可以的，我將在下一篇文章中介紹）模擬退火解決TSP的思路：

1. 產(chǎn)生一條新的遍歷路徑P(k+1)，計算路徑P(k+1)的長度L( P(k+1) )

2. 若L(P(k+1)) < L(P(k))，則接受P(k+1)為新的路徑，否則以模擬退火的那個概率接受P(k+1) ，然后降溫

3. 重復(fù)步驟1，2直到滿足退出條件

　　產(chǎn)生新的遍歷路徑的方法有很多，下面列舉其中3種：

1. 隨機選擇2個節(jié)點，交換路徑中的這2個節(jié)點的順序。

2. 隨機選擇2個節(jié)點，將路徑中這2個節(jié)點間的節(jié)點順序逆轉(zhuǎn)。

3. 隨機選擇3個節(jié)點i，j，k，然后將節(jié)點i與j間的節(jié)點移位到節(jié)點k后面。

五. 算法評價

        模擬退火算法是一種隨機算法，并不一定能找到全局的最優(yōu)解，可以比較快的找到問題的近似最優(yōu)解。 如果參數(shù)設(shè)置得當(dāng)，模擬退火算法搜索效率比窮舉法要高。

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