1. 數(shù)學(xué)的抽象美、自由美[①]

談到數(shù)學(xué)的抽象美、自由美，不能不提及音樂，也不能不提及19世紀(jì)德國著名哲學(xué)家叔本華的音樂哲學(xué)思想。叔本華生于1788年，死于1860年。他有幸耳聞目睹了德國音樂文化兩大高峰——古典音樂和19世紀(jì)浪漫派音樂——的崛起。當(dāng)貝多芬創(chuàng)作《第九交響曲》的時(shí)候，叔本華正好30歲；德國浪漫派音樂大師舒伯特、韋伯、門德爾松、舒曼等都是叔本華的同時(shí)代偉大人物。叔本華的音樂哲學(xué)實(shí)質(zhì)就是他對德國音樂文化這兩大高峰的反思和界說。他的基本見解是：音樂是旋律，它的歌詞是整個(gè)世界；或者說，德國音樂的外殼是優(yōu)美加壯美的旋律，它的豐富深刻的內(nèi)容則以整個(gè)世界為念。音樂不是表現(xiàn)這個(gè)或那個(gè)個(gè)別的、具體的、一定的歡樂，這個(gè)或那個(gè)個(gè)別的、具體的、一定的抑郁、痛苦和心靈靈靜，而是表現(xiàn)歡樂、抑郁、痛苦和心靈靈靜本身。這種表現(xiàn)是抽象的、普遍的表現(xiàn)。音樂（旋律）語言是普遍程度最高的語言。另一方面，音樂語言又是最具體、最豐富的一種語言。因?yàn)橐魳肥潜憩F(xiàn)事物最內(nèi)在的核心，是表現(xiàn)自在之物的，當(dāng)它回到現(xiàn)實(shí)世界，同每個(gè)人的心靈律動(dòng)相遇，就會(huì)顯示出最大的內(nèi)涵和容量，因而最豐富，最具體，也最能震撼人心。這正是西方古典音樂中“無標(biāo)題音樂”具有巨大魅力的秘密所在?？档乱舱f過：無標(biāo)題音樂是充滿自由美的東西。

數(shù)學(xué)也是充滿抽象美、自由美的東西。大數(shù)學(xué)家克蘭納克曾說過：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的一切皆是人的勞作。”當(dāng)然，上帝是沒有的，與其說“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)”，不如說“人類智能創(chuàng)造了自然數(shù)”。睜開你的眼睛去看世界，你只能看到三片秋葉、三頭黃牛和三顆星星……你絕對看不到數(shù)“3”，數(shù)“3”是人類性靈從現(xiàn)實(shí)世界所有包含三個(gè)東西的集合中抽象出來的產(chǎn)物，它同對象的特有性質(zhì)無關(guān)。當(dāng)天高氣肅，月照當(dāng)空，目際無垠之時(shí)，你仔細(xì)想想“3”這個(gè)抽象的東西，你定會(huì)贊嘆人類智能的偉大創(chuàng)造，驚異數(shù)學(xué)的抽象美。“2+3=5”，它最抽象，最普遍，但同時(shí)又最豐富，最具體。兩頭豬+三頭豬=五頭豬，兩顆星星+三顆星星=五顆星星，兩個(gè)原子+三個(gè)原子=五個(gè)原子……

歷史上不少著名人物都迷戀音樂，大數(shù)學(xué)家克蘭納克就是一例。一位數(shù)學(xué)王子何以如此迷戀音樂？原因也許是多方面的，依我看，最重要的一點(diǎn)就是數(shù)學(xué)和音樂均為一種抽象語言，它們都充滿了抽象美、自由美。而且，數(shù)學(xué)和音樂還是兩個(gè)人造的金碧輝煌的世界，前者僅用十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和若干符號(hào)便造出了一個(gè)無限的、絕對真的世界，后者僅用五條線和一些蝌蚪狀的音符就造出了一個(gè)無限的、絕對美的世界。如果說，音樂是人類感情活動(dòng)最優(yōu)美的表現(xiàn)，那么數(shù)學(xué)便是人類理性活動(dòng)最驚人的產(chǎn)品。

詩人們在吟誦：“大漠孤煙直，長河落日圓。”數(shù)學(xué)家們的心中也有：

但誰的煙有數(shù)學(xué)家心中的“煙”直呢？誰的圓有數(shù)學(xué)家心中的“圓”圓呢？

2. 數(shù)學(xué)的公理美

想起曾經(jīng)讀過的一則故事，說牛頓告訴人們，只要給他一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹c(diǎn)，他就能撬動(dòng)地球。那么，在理論體系的建立中，這個(gè)支點(diǎn)又是什么呢？這個(gè)支點(diǎn)就是不定義概念加公理，也只能是不定義概念加公理。試想，你要說明甲概念，就需要借助乙概念，要說明乙概念，又需要借助丙概念……如此等等，總有一個(gè)概念是不能用別的概念來說明的；相反，它是用來說明別的概念的邏輯基礎(chǔ)。這個(gè)概念就是不定義概念。數(shù)學(xué)中的“集合”、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“偏好”就是這樣的概念。“點(diǎn)”、“線”、“面”也是這樣的概念。誰能說清“點(diǎn)”是什么？啊，“點(diǎn)”，沒有大小，無限可分。但究竟“點(diǎn)”是什么呢？還是沒有說清楚。歐幾里德本人說：“面”就是當(dāng)沒有一絲風(fēng)的時(shí)候，池塘中水面的無限延伸。我們明白“面”是什么了嗎？似乎明白些什么，但又并不十分清楚。

對于理論體系的建立，僅有不定義概念是不夠的，我們還要有一些基本的命題。同樣的道理，這些基本命題是不可以證明的；相反，它們是用來證明別的命題的邏輯基礎(chǔ)。這些基本命題就是公理。“兩點(diǎn)決定一條直線”、“不在同一直線上的三點(diǎn)決定一個(gè)平面”、“在平面上，過直線外一點(diǎn)能且只能引一條直線與這直線平行”、等等，這些就是歐幾里德幾何的公理。“人是理性的，所謂理性就是追求約束條件下的最大化”、“消費(fèi)者的偏好滿足完備性、自反性和傳遞性”、“消費(fèi)者的偏好具有連續(xù)性、單調(diào)性和凸性”、等等，這些就是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)消費(fèi)者理論的公理。

實(shí)際上，從根本上來講一切科學(xué)的理論都是公理體系。歐氏幾何是這樣，消費(fèi)者理論是這樣，相對論也是這樣……一切科學(xué)的理論也只能是公理體系。

在西方哲學(xué)文獻(xiàn)中，探尋無法觀察、不可實(shí)證對象的那部分哲學(xué)即“形而上學(xué)”。“自在之物”便屬于“形而上學(xué)”范疇。自然科學(xué)所取得的一些最偉大的成就正是源于堅(jiān)持消除“形而上學(xué)”?，F(xiàn)代科學(xué)方法的要義就是放棄對“自在之物”的領(lǐng)悟和對世界最終本質(zhì)的闡明。這對于質(zhì)樸的熱誠者來說，可能會(huì)帶來心理上的痛苦，但事實(shí)上這轉(zhuǎn)變卻是近代思想史上最有成效的一種轉(zhuǎn)變。

世世代代的人們都試圖回答世界是什么這樣一些本原問題，但不可能找到答案。找來找去，只能去找上帝。到了近代，西方人不再問世界是什么這樣一些“形而上學(xué)”的問題，轉(zhuǎn)而去研究摩擦生熱、石頭拋向空中某個(gè)瞬間的速度這樣一些具體的問題。然而，恰恰是對于這些具體問題的研究導(dǎo)致了近現(xiàn)代西方的文明。數(shù)學(xué)中這類情況更為突出。世世代代的數(shù)學(xué)家一直把他們的研究對象看成是“自在之物”。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才開始懂得，追問“數(shù)”是什么，“點(diǎn)”是什么并不屬于數(shù)學(xué)討論的范圍，而是一種沒有實(shí)際意義的“形而上學(xué)”問題。故必須拋棄。數(shù)學(xué)家所能做的工作只是說明“不加定義的對象之間的相互關(guān)系以及它們所遵循的運(yùn)算法則”。

人類最光輝的思想之一就是公理思想。這一思想在歐幾里德幾何里得到了最完美的表現(xiàn)。“點(diǎn)”、“線”、“面”幾個(gè)不定義概念外加幾條公理，瑰麗壯觀的歐幾里德大廈建立起來了。羅巴切夫斯基只將平行公理“在平面上，過直線外一點(diǎn)能且只能引一條直線與這直線平行”改為“過直線外一點(diǎn)可以引兩條直線與這直線平行”，瑰麗壯觀的非歐大廈也建立起來了。在歐幾里德大廈里，我們看到“三角形三內(nèi)角之和等于180度”。在羅巴切夫斯基的非歐大廈里，我們看到“三角形三內(nèi)角之和大于180度”。走出兩個(gè)大廈，世界之大，竟都正確。它們都反映了現(xiàn)實(shí)空間的相對真理。

是的，世界之大，不是一個(gè)或幾個(gè)公理體系所能刻畫和反映得了。幸好，公理體系的要害不在于公理假設(shè)本身是否正確（與現(xiàn)實(shí)相符），而在于它們之間是否滿足相容性、獨(dú)立性和完備性；也不在于這個(gè)體系的邏輯結(jié)論是否正確（與現(xiàn)實(shí)相符），而在于從公理假設(shè)到邏輯結(jié)論的推導(dǎo)是否嚴(yán)謹(jǐn)可信。當(dāng)然，人們不會(huì)憑空建立公理體系，并且，當(dāng)公理體系的邏輯結(jié)論被檢驗(yàn)為不正確（與現(xiàn)實(shí)不相符）的時(shí)候，人們就會(huì)修改這個(gè)理論體系的公理假設(shè)，或者拋棄這個(gè)理論體系。但這并不否定人們可以用錯(cuò)誤（與現(xiàn)實(shí)不相符）的公理假設(shè)構(gòu)造出“完美”的公理體系。盡管由錯(cuò)誤（與現(xiàn)實(shí)不相符）的公理假設(shè)所構(gòu)造出的公理體系的邏輯結(jié)論是錯(cuò)誤（與現(xiàn)實(shí)不相符）的，但這個(gè)公理體系仍然是“完美”的。

公理體系的一個(gè)意外的好處就是當(dāng)其邏輯結(jié)果被檢驗(yàn)為不正確的時(shí)候，人們知道錯(cuò)在哪里，知道從哪里著手進(jìn)行修正。而且，只有一個(gè)結(jié)果是公理體系的邏輯結(jié)果時(shí)，不同結(jié)果之間才具有可比的基礎(chǔ)，不同公理體系的結(jié)果之間也才具有可比的基礎(chǔ)。這是非常重要的，因?yàn)槲覀冎澜?jīng)驗(yàn)證明是有局限的，僅僅根據(jù)經(jīng)驗(yàn)證明進(jìn)行比較是不夠的。這恐怕是經(jīng)濟(jì)模型在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中大為流行的緣故吧。一個(gè)經(jīng)濟(jì)模型其實(shí)就是一個(gè)子公理體系。

世間的事情就是這么有趣，所有的東西最終要靠建立在無法說清、不能證明的不定義概念和公理假設(shè)基礎(chǔ)上的公理體系來得到說明，而最以結(jié)論的精確性和確定性而著稱的數(shù)學(xué)，它的基礎(chǔ)竟是一些說不清的、朦朧的東西！

3. 數(shù)學(xué)的辯證美

我們來計(jì)算由拋物線 ， 軸以及直線 所圍成的面積。如圖，讓我們用下列各點(diǎn)                                                                               

   0， ， ，…，  

                                                                          y                   y=x2

把x軸的[0，1]分成n個(gè)相等的小段，并在每一個(gè)

小段上作左上角碰到拋物線的矩形。我們得到圖中

帶陰影的一連串矩形，記其面積的總和為Sn，                          

                                                                          O  1/n 2/n 3/n  (n-1)/n 1   x

Sn=

= = 。

讓我們把Sn寫成下面的樣子

Sn= = 。

隨n而定的 ，雖然形式頗繁，卻具有一種值得注意的性質(zhì)：若n無限地增大，它將趨于零。進(jìn)而，Sn就隨之趨于 。

從圖中我們看到：若n無限地增大，則帶陰影的矩形的面積的總和Sn將趨于所求曲邊梯形的面積。由此可知所求曲邊梯形的面積等于 ，我們的問題便告解決了。

這一方法（極限方法）的觀念是簡單的，并可歸結(jié)如下：為了要確定某一個(gè)數(shù)量，我們最先加以確定的，不是這個(gè)數(shù)量本身，而是它的某些近似值。這時(shí)，我們所建立的也不僅是一個(gè)近似值，而是一連串愈來愈準(zhǔn)確的近似值。然后，從通過對這一連串近似值的考察，也就是說，通過對近似過程本身的考察，就把那數(shù)量的準(zhǔn)確值唯一地確定下來了。

穩(wěn)定不變的事物總是或總可視為運(yùn)動(dòng)變化的結(jié)果，這便是極限法的思想基礎(chǔ)。

再來看分部積分法。分部積分法的公式如

，

或

。

公式的實(shí)質(zhì)是將積分 轉(zhuǎn)化成積分 。自然，我們期望 能比u簡單，v能比 簡單。但實(shí)際題目中并沒有告訴我們誰是u，誰是v。不妨做簡單考慮，只需 比u簡單。我們來確定u。自然，v也就隨之而確定了。

計(jì)算積分 。

u            

x              1

選 ，則 ， 比u簡單；選 ，則 ， 比u簡單。很簡單，從x到1和從 到 ，后者從繁到簡的“步伐”邁得更大。“兩優(yōu)擇其重，兩劣擇其輕”，我們選 ，于是

= =

 =

 = 。

掌握了“兩優(yōu)擇其重，兩劣擇其輕”這一辯證的比較思想，我們就掌握了解這類題目的鑰匙。其實(shí)，全部數(shù)學(xué)無處不在貫徹“兩優(yōu)擇其重，兩劣擇其輕”這一原則。

數(shù)學(xué)無處不體現(xiàn)著辯證法，數(shù)學(xué)家們無時(shí)不在用辯證的眼光看問題。陳省身教授80年代在北大講學(xué)時(shí)說：“人們常說，三角形內(nèi)角和等于 ，但是，這是不對的！”……“說三角形內(nèi)角和為 不對，不是說這個(gè)事實(shí)不對，而是說這種看問題的方法不對。應(yīng)該說三角形外角和是 ！把眼光盯住內(nèi)角，只能看到：

三角形內(nèi)角和是 ；

四邊形內(nèi)角和是 ；

五邊形內(nèi)角和是 ；

……

n邊形內(nèi)角和是 。

雖然找到了一個(gè)計(jì)算內(nèi)角和的公式，但公式里包含邊數(shù)n。如果看外角呢？

三角形外角和是 ；

四邊形外角和是 ；

五邊形外角和是 ；

……

n邊形外角和是 。

這就把多種情況用一個(gè)十分簡單的結(jié)論概括起來了，用一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)代替了與n有關(guān)的公式，找到了更一般的規(guī)律。”

數(shù)學(xué)是什么？一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)。其實(shí)，數(shù)學(xué)又何嘗不是美學(xué)，不是方法論？

[①] 本節(jié)主要地吸取了趙鑫珊的論述。