一、標(biāo)準(zhǔn)理論

1、原碼的定義

①小數(shù)原碼的定義

例如： X=+0.1011 , [X]原= 01011
         X=－0.1011   [X]原= 11011

②整數(shù)原碼的定義

2、補(bǔ)碼的定義

①小數(shù)補(bǔ)碼的定義

例如：   X=+0.1011,    [X]_補(bǔ)= 01011
         X=－0.1011,   [X]_補(bǔ)= 10101

②整數(shù)補(bǔ)碼的定義  

 3、反碼的定義

①小數(shù)反碼的定義

 例如：    X=+0.1011       [X]_反= 01011
          X=－0.1011      [X]_反= 10100

②整數(shù)反碼的定義

4.移碼：移碼只用于表示浮點數(shù)的階碼，所以只用于整數(shù)。

①移碼的定義：設(shè)由1位符號位和n位數(shù)值位組成的階碼，則 [X]_移=2ⁿ + X      -2ⁿ≤X ≤ 2ⁿ
例如： X=＋1011      [X]_移=11011      符號位“1”表示正號
               X=－1011      [X]_移=00101      符號位“0”表示負(fù)號

②移碼與補(bǔ)碼的關(guān)系： [X]移與[X]補(bǔ)的關(guān)系是符號位互為反碼，
例如： X=＋1011      [X]_移=11011      [X]_補(bǔ)=01011
               X=－1011      [X]_移=00101      [X]_補(bǔ)=10101  

③移碼運(yùn)算應(yīng)注意的問題：
◎?qū)σ拼a運(yùn)算的結(jié)果需要加以修正，修正量為2ⁿ ，即對結(jié)果的符號位取反后才是移碼形式的正確結(jié)果。
◎移碼表示中，0有唯一的編碼——1000…00，當(dāng)出現(xiàn)000…00時（表示－2ⁿ），屬于浮點數(shù)下溢。

二、補(bǔ)碼加、減運(yùn)算規(guī)則

1、運(yùn)算規(guī)則

[X＋Y]_補(bǔ)= [X]_補(bǔ)＋ [Y]_補(bǔ)
[X－Y]_補(bǔ)= [X]_補(bǔ)＋ [－Y]_補(bǔ)

若已知[Y]_補(bǔ)，求[－Y]_補(bǔ)的方法是：將[Y]_補(bǔ)的各位（包括符號位）逐位取反再在最低位加1即可。
例如：[Y]_補(bǔ)= 101101 [－Y]_補(bǔ)= 010011

2、溢出判斷，一般用雙符號位進(jìn)行判斷：

符號位00 表示正數(shù) 11 表示負(fù)數(shù)
結(jié)果的符號位為01時，稱為上溢；為10時，稱為下溢

例題：設(shè)x=0.1101，y=－0.0111，符號位為雙符號位
用補(bǔ)碼求x+y，x－y
[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=00 1101+11 1001=00 0110
[x－y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)+[－y]補(bǔ)=00 1101+00 0111=01 0100
結(jié)果錯誤，正溢出

三、原碼一位乘的實現(xiàn)：

設(shè)X=0.1101，Y=－0. 1011，求X*Y
解：符號位單獨處理， x_符＋ y_符
數(shù)值部分用原碼進(jìn)行一位乘，如下圖所示：
 

 四、原碼一位除的實現(xiàn)：一般用不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法）

§2.5 浮點運(yùn)算與浮點運(yùn)算器

一、浮點數(shù)的運(yùn)算規(guī)則

1、浮點加減法的運(yùn)算步驟

設(shè)兩個浮點數(shù) X=Mx※2Ex Y=My※2Ey
實現(xiàn)X±Y要用如下5步完成：
①對階操作：小階向大階看齊
②進(jìn)行尾數(shù)加減運(yùn)算
③規(guī)格化處理：尾數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的結(jié)果必須變成規(guī)格化的浮點數(shù)，對于雙符號位的補(bǔ)碼尾數(shù)來說，就必須是
001×××…×× 或110×××…××的形式
若不符合上述形式要進(jìn)行左規(guī)或右規(guī)處理。

④舍入操作：在執(zhí)行對階或右規(guī)操作時常用“0”舍“1”入法將右移出去的尾數(shù)數(shù)值進(jìn)行舍入，以確保精度。
⑤判結(jié)果的正確性：即檢查階碼是否溢出
若階碼下溢（移碼表示是00…0），要置結(jié)果為機(jī)器0；
若階碼上溢（超過了階碼表示的最大值）置溢出標(biāo)志。

例題：假定X=0 .0110011*2¹¹，Y=0.1101101*2^-10（此處的數(shù)均為二進(jìn)制） ?? 計算X+Y；
解：[X]_浮： 0 1 010 1100110
     [Y]_浮： 0 0 110 1101101
             符號位 階碼 尾數(shù)

第一步：求階差： │ΔE│=|1010-0110|=0100
第二步：對階：Y的階碼小， Y的尾數(shù)右移4位
         [Y]_浮變?yōu)?0 1 010 0000110 1101暫時保存
第三步：尾數(shù)相加，采用雙符號位的補(bǔ)碼運(yùn)算
     00 1100110
    +00 0000110
     00 1101100
第四步規(guī)格化：滿足規(guī)格化要求
第五步：舍入處理，采用0舍1入法處理
故最終運(yùn)算結(jié)果的浮點數(shù)格式為： 0 1 010 1101101，
即X+Y=+0. 1101101*2¹⁰

2、浮點乘除法的運(yùn)算步驟

①階碼運(yùn)算：階碼求和（乘法）或階碼求差（除法）
     即   [Ex+Ey]移= [Ex]移+ [Ey]補(bǔ)
         [Ex－Ey]移= [Ex]移+ [－Ey]補(bǔ)

②浮點數(shù)的尾數(shù)處理：浮點數(shù)中尾數(shù)乘除法運(yùn)算結(jié)果要進(jìn)行舍入處理
例題：X=0 .0110011*2¹¹，Y=0.1101101*2^-10
求X※Y
解：[X]_浮： 0 1 010 1100110
     [Y]_浮： 0 0 110 1101101
第一步：階碼相加
[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]補(bǔ)=1 010+1 110=1 000
1 000為移碼表示的0
第二步：原碼尾數(shù)相乘的結(jié)果為：
0 10101101101110
第三步：規(guī)格化處理：已滿足規(guī)格化要求，不需左規(guī)，尾數(shù)不變，階碼不變。
第四步：舍入處理：按舍入規(guī)則，加1進(jìn)行修正
所以 X※Y= 0.1010111※2⁺⁰⁰⁰

chapter two

計算機(jī)內(nèi)部，數(shù)是用二進(jìn)制表示的。二進(jìn)制數(shù)的編碼方式有補(bǔ)碼、原碼、反碼   
   和增碼。二進(jìn)制數(shù)的表示形式有定點表示(整數(shù)INTEGER和20到2-1之間的數(shù))和浮點   
   表示兩種。   
   無論什么數(shù)，它總是由符號和數(shù)值兩部分組成。在計算機(jī)中數(shù)值和符號用某種   
   編碼的形式表示。為明確起見，把原來的數(shù)值叫做真值，而把機(jī)器中對符號和數(shù)值   
   進(jìn)行編碼之后的數(shù)值叫做機(jī)器數(shù)。   
   1.原碼   
   ▲n位二進(jìn)制定點小數(shù)X=x0x1x2...xn-1的原碼[X]原定義為:   
   ┌X    當(dāng)1>X>=0時   
   [X]原=┤   
   └1-X=1+│X│    當(dāng)0>=X>-1時   
   其特點有:   
   (1)0的原碼有兩種,即0.0000...0和1.0000...0。   
   n個    n個   
   (2)數(shù)的表示范圍[-(1-2-n+1),(1-2-n+1)]   
   (3)最高位為符號位.若負(fù)數(shù)時符號位為1;正數(shù)則符號位為0.   
   (4)作乘除運(yùn)算時較為方便,但作加減運(yùn)算時較為復(fù)雜.   
   例:    若X=0.0101101.則[X]原=0.0101101   
   若X=-0.1010010,則[X]原=1.1010010   
   ▲n位整數(shù)X的原碼定義如下:   
   ┌X    當(dāng)2n-1>X>=0時   
   [X]原=┤   
   └2n-1-x=2n-1+│X│    當(dāng)0>=X>-2-n-1時   
   2.補(bǔ)碼     
   ▲n位二進(jìn)制定點小數(shù)X=x0x1x2...xn-1的補(bǔ)碼[X]補(bǔ)定義為:   
   ┌X    當(dāng)1>X>=0時   
   [X]補(bǔ)=┤   
   └2+X=2-│X│    當(dāng)0>X>=-1時   
   其特點有:   
   (1)0的補(bǔ)碼有只有一種形式,即0.0000...0   
   n個     
   (2)數(shù)的表示范圍[-1,(1-2-n+1)]   
   (3)最高位為符號位.若負(fù)數(shù)時符號位為1;正數(shù)則符號位為0.   
   (4)對于兩個數(shù)X,Y,且X+Y不溢出,則有[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ).   
   (5)補(bǔ)碼加法的溢出判別,若兩數(shù)均為負(fù)數(shù)相加,則最高位進(jìn)位是0為下溢;若   
   兩數(shù)均為正數(shù)相加,則最高位是1為上溢;若一正數(shù)和一負(fù)數(shù)相加,則不會發(fā)生溢出.   
   (6)作加減運(yùn)算時較為方便,但作乘除運(yùn)算時要比原碼復(fù)雜.   
   例:若    X=-0.1000100,    則[X]補(bǔ)=10-0.1000100=1.0111100   
   若    X=0.1000001,    則[X]補(bǔ)=X=0.1000001   
   注:負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的求法:按位求反末位加1   
   如:求-0.1000100的補(bǔ)碼   
   (1)按位求反:1.0111011   
   (2)末位加1:    1.0111100   
   1.0111100即為-0.1000100的補(bǔ)碼。   
   ▲n位整數(shù)X的補(bǔ)碼定義如下:   
   ┌X    當(dāng)2n-1>X>=0時   
   [X]補(bǔ)=┤   
   └2n+X=2n-│X│    當(dāng)0>X>=-2n-1時   
   3.反碼   
   ▲n位二進(jìn)制定點小數(shù)X=x0x1x2...xn-1的反碼[X]反定義為:   
   ┌X    當(dāng)1>X>=0時   
   [X]反=┤   
   2-2-n+1+X    當(dāng)-1<X<=0時   
    
   其特點有:   
   (1)0的反碼有兩種,即0.0000...0和1.1111...1。   
   n個    n個   
   (2)數(shù)的表示范圍[-(1-2-n+1),(1-2-n+1)]   
   (3)最高位為符號位.若負(fù)數(shù)時符號位為1;正數(shù)則符號位為0.   
   (4)反碼和補(bǔ)碼的關(guān)系:[X]補(bǔ)=[X]反+2-n+1.   
   (5)反碼加法:[X+Y]反=[X]反+[Y]反+Ψ(Ψ為[X]反+[Y]反的最高位進(jìn)位).   
   (6)反碼加法的溢出判別和補(bǔ)碼相同.   
   例:    若X=-0.1011    則[X]反=10-0.0001-0.1011=1.0100   
   若[X]補(bǔ)=1.0110,    求[X]反.   
   因為    [X]補(bǔ)=[X]反+0.0001   
   所以    [X]反=[X]補(bǔ)-0.0001=1.0101   
   或者:X=-10+1.0110=-0.1010   
   則[X]反=(10-0.0001)-0.1010=1.0101   
   ▲n位整數(shù)X的反碼定義如下:   
   ┌X    當(dāng)2n-1>X>=0時   
   [X]反=┤   
   └(2n-1)+X    當(dāng)0>=X>-2n-1時   
   總之,一個正數(shù)X的原碼、補(bǔ)碼、反碼均為其本身。一個二進(jìn)制負(fù)數(shù)的原碼、補(bǔ)   
   碼、反碼可用公式求得；一個負(fù)數(shù)的原碼只要將符號位變?yōu)椋?，而其它都不變，?nbsp;  
   個負(fù)數(shù)的反碼只要將原碼除符號位外其它位按位求反即可，一個負(fù)數(shù)Ｘ的補(bǔ)碼可用   
   列方法求得：寫出Ｘ的原碼，將其按位求反，再在末尾加上１即可。  

二、 民間通俗說法

對于在內(nèi)存中存有的數(shù)據(jù)都是以二進(jìn)制形式存在可是為了更好地區(qū)分正數(shù)和負(fù)數(shù)便采用了不同的編碼存儲:  
      對于正數(shù),在內(nèi)存中存在的是其原碼:  
          如:  
              int   i=1;  
              則變量i在內(nèi)存中的存大形式為:     00   00   00   00   00   00   00   01  
              一個C語言中的整型變量占有兩個字節(jié)即16位二進(jìn)制數(shù)位.最高位為符號位   "0"表示其為正.  
              原碼是將變量直接轉(zhuǎn)為二進(jìn)制存儲.  
   
          對于負(fù)數(shù)如:    
                int   i=-1;  
                首先在符號位上表征其為負(fù)即最高位為1:  10   00   00   00   00   00   00   01  
                符號位后便是1的原碼:         0   00   00   00   00   00   00   01  
                實際上負(fù)數(shù)據(jù)并非這樣存儲,而是先將符號位之后的15位每位求反:0變1,1變0.  
                則所得碼為(符號位不變,其它位求反,反碼即每原碼每位求反):                           11   11   11   11   11   11   11   10  
                補(bǔ)碼為原碼再加   1   ,則為:   
    11   11   11   11   11   11   11   11  
                負(fù)數(shù)在內(nèi)存中以補(bǔ)碼形式存儲在內(nèi)存中草存在的形式為其補(bǔ)碼形式即:   
       11   11   11   11   11   11   11   11         
                取數(shù)時系統(tǒng)先看符號位如果是"0"則直接輸出,如果為"1"   則認(rèn)為所存為負(fù)數(shù):  
                即將所存數(shù)減1先求出其反碼,若仍以"-1"為例則補(bǔ)碼減1后為:                          11   11   11   11   11   11   11   10                    
                然后符號位外每位求反得其原碼:     10   00   00   00   00   00   00   01  
                然后輸出:   -1.   
   
內(nèi)存中存的數(shù)都是以補(bǔ)碼形式存在的，原碼是正數(shù)的時候，補(bǔ)碼就是原碼，是負(fù)數(shù)的時候，補(bǔ)碼就是原碼取反加1，反碼就是原碼取反  
  主要原因是原碼和反碼在表示數(shù)的時候的不唯一性，比如表示零的時候，原碼、反碼就有兩種表示法，10000000和00000000，所以采用補(bǔ)碼。

三、總結(jié)

對一個正數(shù)X的原碼、補(bǔ)碼、反碼均為其本身

一個二進(jìn)制負(fù)數(shù)的原碼、補(bǔ)碼、反碼可用公式

反碼 = 原碼（除符號位外）每位取反；

補(bǔ)碼 = 反碼 + 1；

反碼 = 補(bǔ)碼 - 1；

移碼 = 補(bǔ)碼符號位取反

移碼與補(bǔ)碼的關(guān)系： [X]移與[X]補(bǔ)的關(guān)系是符號位互為反碼，
例如： X=＋1011      [X]_移=11011      [X]_補(bǔ)=01011