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數(shù)學專題一：集合與常用邏輯用語
發(fā)布：徐雄 時間：2009-3-19 20:50:27 來源：興慶區(qū)教育局信息中心
一、考綱解讀
1、考綱要求
（1）集合的含義與表示
①了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關系。 ②能用自然語言、圖形語言、符號語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題。
（2）集合間的基本關系
①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。②在具體情境中，了解全集與空集的含義。
（3）集合的基本運算
①理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集。③能使用韋恩圖表達集合的關系及運算。
（4）命題及其關系
①理解命題的概念。②了解“若p,則q”形式的命題的逆命題、否命題、逆否命題，會分析四種命題的相互關系。③理解必要條件、充分條件與充要條件的意義。
（5）簡單的邏輯聯(lián)結詞
了解邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義。
（6）全稱量詞與存在量詞
①理解全稱量詞與存在量詞的意義。②能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。
2、考綱解讀
集合與常用邏輯用語是高中數(shù)學的重要重要基礎知識，是高考的必考內(nèi)容。本章知識的高考命題熱點有以下兩個方面：一是對集合的運算、集合的有關術語和符號、集合的簡單應用、命題的真假判斷、四種命題的關系、充要條件的判定、邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞等作基礎性知識的考查，題型多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言為表現(xiàn)形式，結合邏輯知識考查數(shù)學思想、數(shù)學方法和數(shù)學能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn)。
二、要點知識分析
1、集合的概念：
（1）集合中元素特征：確定性，互異性，無序性；
（2）集合的分類：
①按元素個數(shù)分：有限集，無限集；
②按元素特征分；數(shù)集，點集。如數(shù)集{y|y=x2}，表示非負實數(shù)集，點集{(x，y)|y=x2}表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；
（1） 集合的表示法：
①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N={0，1，2，3，…}；
②描述法。
2、兩類關系：
（1）元素與集合的關系，用
 或 表示； （2）集合與集合的關系，用
 ， ，=表示，當AB時，稱A是B的子集；當AB時，稱A是B的真子集。3、集合運算
(1)交，并，補，定義：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，
CUA=｛x|x∈U，且x
A｝，集合U表示全集；(2)運算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），
CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。
4、命題：
(1)命題分類：真命題與假命題，簡單命題與復合命題；
(2)復合命題的形式：p且q，p或q，非p；
(3)復合命題的真假：對p且q而言，當q、p為真時，其為真；當p、q中有一個為假時，其為假。對p或q而言，當p、q均為假時，其為假；當p、q中有一個為真時，其為真；當p為真時，非p為假；當p為假時，非p為真。
(4)四種命題：記“若p則q”為原命題，則否命題為“若非p則非q”，逆命題為“若q則p“，逆否命題為”若非q則非p“。其中互為逆否的兩個命題同真假，即等價。因此，四種命題為真的個數(shù)只能是偶數(shù)個。
5、充分條件與必要條件
(1)定義：對命題“若p則q”而言，當它是真命題時，p是q的充分條件，q是p的必要條件，當它的逆命題為真時，q是p的充分條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時，稱p是q的充要條件；
(2)在判斷充分條件及必要條件時，首先要分清哪個命題是條件，哪個命題是結論，其次，結論要分四種情況說明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，若記滿足條件p的所有對象組成集合A，滿足條件q的所有對象組成集合
 ，則當AB 時，p是q的充分條件.BA時， q是p的充分條件.A=B時，p是q的充要條件；(3)當p和q互為充要條件時，體現(xiàn)了命題等價轉(zhuǎn)換的思想。
6、全稱量詞和存在量詞
(1)常見的全稱量詞有：“任意一個”、“一切”、“每一個”、“任給”、“所有的”等。
(2)常見的存在量詞有：“存在一個”、“至少有一個”、“有些”、“有一個”、“某個”、“有的”等。
(3)全稱量詞用符號“
 ”表示，存在量詞用符號“”表示。7、全稱命題和特稱命題及其否定
(1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題。
(2)含有存在量詞的命題叫特稱命題。
(3)全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。
(4)
的否定為：非；的否定為：。三、重點、難點、易錯點分析
重點是集合的運算、充要條件的判定、四種命題的關系以及對 “或”、“且”、“非”命題的否定及其真假判定；難點是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言為表現(xiàn)形式，結合邏輯知識,考查數(shù)學思想、數(shù)學方法和數(shù)學能力的題型解答；易錯點是將否命題和命題的否定混淆，對全稱命題與特稱命題的否定易出錯,充要條件的判定易出錯。
四、典型例題
例1、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。
例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求實數(shù)m范圍。
例3、已知命題①
②使，寫出這兩個命題的否定。例4、若A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件，判斷D是A的什么條件。
例5、已知命題
；命題，求使 為真命題的的取值范圍。五、同步練習
（一） 選擇題
1、設M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，則{a}與M的關系是
A、{a}=M B、M
{a} C、{a}M D、M{a}2、已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，則a的取值范圍是
A、[0，2] B、（-2，2） C、（0，2） D、（0，2）
3、設全集為
，若，則集合可表示為A、
B、 C、 D、4、設集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，則A∪B中的元素個數(shù)
A、11 B、10 C、16 D、15
5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是
A、15 B、16 C、31 D、32
6、對于命題“正方形的四個內(nèi)角相等”，下面判斷正確的是
A、所給命題為假 B、它的逆否命題為真 C、它的逆命題為真 D、它的否命題為真
7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的
A、充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件
8、已知集合
，則A、
B、 C、 D、9、方程mx2+2x+1=0至少有一個負根的充要條件是
A、0<m≤1或m<0 B、0<m≤1 C、m<1 D、m≤1
10、已知命題
，則A、
B、 C、
D、（二）填空題
11、已知M={
}，N={x|，則M∩N=__________。12、在100個學生中，有乒乓球愛好者60人，排球愛好者65人，則兩者都愛好的人數(shù)最是___人。
13、命題“若ab=0，則a、b中至少有一個為零”的逆否命題為____________。
14、非空集合p滿足下列兩個條件：（1）p
{1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈p，則6-a∈p，則集合p的個數(shù)是__________。15、命題
，則成立的 條件。16、若集合
，則 。六、考題回放
（一）選擇題：
1.（全國二2）設集合
，( )A．
B． C． D．2.(安徽卷1)若
為全體正實數(shù)的集合，則下列結論正確的是（ ）A．
B. C． D．3.（安徽卷4）
是方程至少有一個負數(shù)根的（ ）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
A．
B． C． D．5.（福建卷1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},則A∩B等于( )
A.{x|0＜x＜1} B.{x|0＜x＜3} C.{x|1＜x＜3} D.￠
6.（廣東卷1）第二十九屆夏季奧林匹克運動會于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參加北京奧運會比賽的運動員}，集合B={參加北京奧運會比賽的男運動員}。集合C={參加北京奧運會比賽的女運動員}，則下列關系正確的是( )
A.A
B B.BC C.A∩B=C D.B∪C=A7.(海南卷1)已知集合M ={ x|(x + 2)(x－1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，則M∩N =（ ）
A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2)
8.（湖北卷3）若集合
,則（ ）A.
是的充分條件，不是的必要條件B.
不是的充分條件，是的必要條件C．
是的充分條件，又是的必要條件.D.
既不是的充分條件，又不是的必要條件9.（湖南卷1）已知
，，，則( )A．
C． D. 10.（江西卷1）“
”是“”的（ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
11.（江西卷2）定義集合運算:
.設,,則集合 的所有元素之和為 （ ）A．0 B．2 C．3 D．6
A．
B． C． D．13.(山東卷1)滿足
，且的集合的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4
14.（陜西卷2）已知全集
，集合，，則集合A．
B． C． D．15.(天津卷1)設集合
，，，則=A．
B． C． D．16.（浙江卷1）已知集合
，，則A.
B. C. D.（二）填空題：
1.（福建卷16）設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、
∈P（除數(shù)b≠0）則稱P是一個數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是數(shù)域，有下列命題：①數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)；②整數(shù)集是數(shù)域；③若有理數(shù)集QM,則數(shù)集M必為數(shù)域;④數(shù)域必為無限集.其中正確的命題的序號是 .（把你認為正確的命題的序號都填上）2.（江蘇卷4）A=
，則A Z 的元素的個數(shù) ．3.（上海卷2）若集合
，滿足，則實數(shù)a = ．4.（重慶卷13）已知集合
，則 . 七、專題測試
（一）選擇題：（每小題5分，共60分）
1．當
時，下列四個集合中是空集的是（ ）A．
B． C． D.2．定義集合
，若，則的子集個數(shù)為（ ）A．
B． C． D．3．若
、均為非空集合，則的（ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知
若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A．
B． C． D．5．命題“
恒成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A．
B． C． D．6．已知
為實數(shù)集，，則（ ）A．
B． C． D．7．設集合
，則滿足的集合的個數(shù)是（ ）A．
B． C． D．8．設全集，則右圖中的陰影部分表示的集合是（ ）A．
B． C． D．9．命題“對任意的
”的否定是（ ）A．不存在
B．存在 C．存在
D．對任意的10．已知命題
.給出下列四個命題：① ②，③，④，其中真命題的個數(shù)是（ ）A．
 B． C． D． 11．集合
 ，若“ ”是“ ”的充分條件，則 的取值范圍是（ ）A．
 B． C． D． 12．命題
 的充分不必要條件；命題 的充分不必要條件，則（ ）A．
 B． C． D． （二）填空題（每小題5分，共20分）
13．若集合
 只有一個元素，則 .14.命題:
 的否命題是 .15.若集合
 ,則滿足條件的實數(shù) = .16.已知
 .(三)解答題(共70分)
17.(本大題10分)已知集合
 ,若 ,求 .18. (本大題12分)已知集合
 的定義域為 .(1)若
 ,求實數(shù) 的值;(2)若 ,求實數(shù)的取值范圍.19. (本大題12分)已知命題
  有兩個不相等的負實根;命題 的解集為 ,若 ,求 的取值范圍.20. (本大題12分)設集合
 .(1)求集合
 ; (2)若不等式 .21. (本大題12分)已知集合
 .(1)
 (2) .22. (本大題12分)已知數(shù)列
 .(1) 求證:若數(shù)列
 是等比 數(shù)列,則數(shù)列 也是等比數(shù)列是真命題;(2) 寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.
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