1832年的某個清晨，革命中的法國見證了又一次決斗。在某個瞬間，某位青年被對手的槍射中腹部，隨后去世。在當時狂熱的政治斗爭中，只有寥寥數(shù)人意識到，法國，甚至世界，又失去了另一個偉大的頭腦。這位青年姓伽羅華，他的最大遺產(chǎn)圍繞著一個數(shù)學概念：群。

在接下來的一百多年后，一群在世界各地的數(shù)學家，沿著這位青年開辟的路徑，對有限群的結構進行了徹底的分析。其中的發(fā)現(xiàn)，可能出乎所有人的意料。

這是一個關于群的故事，這是一個關于單群的故事。

高度抽象的對稱

什么是群？一個數(shù)學家可能會給你這樣的回答：

一個群是一個集合G以及在G上的一個運算·，滿足以下三個條件：
1. 存在一個G中的元素e，使得對于G中的任意元素x，有x=x·e=e·x。這樣的e叫做群的單位元
2. 對于G中的任意元素x,y,z，有(x·y)·z=x·(y·z)，這是結合律
3. 對于G中的任意元素x，存在G中的一個元素y，使得e=x·y=y·x。這樣的y被稱為x的逆元

這樣的定義，即使是對一名剛進大學的數(shù)學系學生來說也稍顯抽象。但數(shù)學的力量就在于它的抽象。它什么都不是，所以它什么都是。

整數(shù)和加法就構成一個群。什么數(shù)加上0都不變，所以0是單位元；a+(b+c)=(a+b)+c，這是小學的加法結合律；一個數(shù)加上它的相反數(shù)是單位元0，所以相反數(shù)就是逆元。正實數(shù)和乘法也構成一個群，1是它的單位元，乘法有結合律，倒數(shù)是逆元。如果我們認為9點+5點相當于9點的5個小時后，也就是2點的話，就連時鐘也構成一個群。寶石的晶體構造，電腦的壓縮校驗算法，以至于魔方的還原，無不牽涉“群”這個概念。而對于自然界的各種對稱性，群也是對其最自然的描述方式。難怪有人會說，群就是對稱，研究群，就是研究各種對稱性。

正是由于放棄了與現(xiàn)實的對應，像群這樣的抽象數(shù)學概念才能在現(xiàn)實中獲得廣泛的對應。我們研究群，并不關心它的具體元素是什么，是x,y,z還是姬十三、猛犸、桔子都無所謂，只要知道元素通過運算產(chǎn)生的關系就夠了，這就是群的全部。只要符合群的公理，能應用到x,y,z上的結論就能應用到姬十三、猛犸、桔子上，這就是抽象的力量。

超越時代的孤獨

也正由于這種抽象，群的概念在一開始并沒有很快地被接受。

伽羅華是在研究一元五次方程的根式解時開始觸及群的概念的。對于一元二次方程來說，我們可以將方程的所有解寫成有關方程系數(shù)的一個根式（允許四則運算和開常數(shù)次方運算組成的式子），這稱為方程的根式解。對于三次以及四次方程，也有這樣的公式，可以直接從方程的系數(shù)得到方程的所有解。然而，對于五次以及更高次的方程來說，此前阿貝爾已經(jīng)證明一般的公式并不存在。伽羅華要解決的，是判斷何時存在這樣的根式表達。

為了解決這個問題，他首次定義了群這種代數(shù)結構，仔細地研究了群的各種性質，以及它與更高級的一種代數(shù)結構——域——的關系，并以此發(fā)展了一套理論，完整地解決了這個問題。他寫下了關于這套理論與高次方程根式解的備忘錄，并將其遞交到法蘭西科學院。

他的不幸從此開始。

這份備忘錄的評審人是柯西。雖然認識到了伽羅華工作的重要性，柯西卻沒有接受這份備忘錄，而是建議伽羅華修改這份備忘錄以競逐科學院的數(shù)學獎。

伽羅華接受了這個建議，第二次提交了備忘錄。

天意弄人，評審人傅里葉之后不久就逝世了，伽羅華的備忘錄不知所蹤。

伽羅華決定最后一搏，但這也被泊松駁回，理由是“無法理解”。當消息傳到伽羅華耳中時，他早已因為政治斗爭而身陷囹圄，此時離他的決斗只有半年時間。

沒有人理解他的理論，或者說沒有人愿意去理解他的理論。

就是這套理論，使伽羅華的名聲流芳百世。盡管他無法發(fā)表他的備忘錄，但他此前發(fā)表的論文講述了這個理論的一些基礎。泊松的駁回理由，使他更認真地打磨他的理論，以冀數(shù)學界的認同。

但死神的鐮刀沒有給他這個時間，上天不打算給他安排生前的榮耀。1832年5月30日，年方二十的伽羅華，迎來了他第一次也是最后一次的決斗。這場決斗的細節(jié)已經(jīng)被時間之砂打磨掩蓋，什么對手，什么原因，有人說是為了愛情，有人說對手背后有政治陰謀，眾家各執(zhí)一詞。我們只知道，在這場決斗中，伽羅華腹部中槍，不久后魂歸天國。

“不要哭，阿爾弗雷德！在二十歲死去，我需要我的全部勇氣。”這就是他對弟弟說的最后一句話。

而決斗前夕給他的朋友Chevalier的信，可以算是他對世界的遺言。信中密密麻麻地寫著他的數(shù)學理論，他正在思考的問題，他腦中的一切。他大概冀圖某天，世界能夠通過這封信，理解他。

幸而，Chevalier實現(xiàn)了他摯友的意愿。伽羅華的理論，現(xiàn)在以他的名字命名：伽羅華理論。

也就是這封信，吹響了一場百年戰(zhàn)役的號角。

構筑對稱的磚塊

在伽羅華理論，乃至于更廣泛的群的理論中，有一個很重要的概念：正規(guī)子群。

我們以下只討論那些只有有限個元素的群，它們被稱為有限群。例如，魔方操作組成的群就是有限群，因為變化的可能性是有限的。而整數(shù)與加法組成的群則不是有限群，因為整數(shù)有無限個。

在一個群里，有些元素自己會組成一個小圈子。它們并非不與外界交流，但無疑它們喜歡抱團：小圈子內的元素經(jīng)過運算得到的結果仍然在這個小圈子里，而它們的逆元也在小圈子里。簡而言之，這個小圈子對于原來的運算也組成一個群。這樣的小圈子，叫做群的子群。

有些子群比別的子群更特別，它們不僅自己是一個群，如果“除”原來的群，得到的也是一個群。這樣的子群叫做正規(guī)子群，而它們對原來的群作“除法”得到的群叫商群。首先觀察到并提出正規(guī)子群這個概念的，正是伽羅華。

通過研究更簡單的正規(guī)子群和商群，我們可以得到群的很多性質。這就是數(shù)學家特別鐘愛正規(guī)子群的原因。

如果我們將正規(guī)子群和商群看成群的一種分解的話，那么必定有著不能被繼續(xù)分解的群，我們將之稱為單群。

對于任意的有限群，我們可以將其分解成一串單群，而且這樣的分解是唯一的。單群在有限群論中的地位，跟素數(shù)在數(shù)論中的地位，還有原子在化學中的地位一樣：它們都是構建它們所在世界的磚塊。通過研究這些“磚塊”，我們可以知道它們組成的各種結構的性質。如果能列出所有有限單群，就能從一個側面了解所有離散的對稱性的性質。

有限單群就是這個故事的主角。

與化學家當年尋找新元素的動機一樣，數(shù)學家也開始了對有限單群的尋找。他們想做的跟化學家做的差不多：列一個單群的“元素周期表”。不過數(shù)學家要做的任務多了一項：證明這個“周期表”包含了所有的單群。

這看起來不太容易，事實正是如此。

轉眼百年的長征

伽羅華是尋找有限單群當之無愧的第一人。是他首先發(fā)現(xiàn)所謂的交錯群A_n對于所有n>=5都是單群，從而不是可解群。正是從這個結果出發(fā)，他證明了高于五次的方程一般而言沒有根式解。而數(shù)學家此前對數(shù)論的研究也容易導出另一族的單群：素數(shù)階的循環(huán)群Z_p。它們也是唯一的交換單群，也就是說運算滿足交換律（a·b = b·a）的單群。

無需太糾結為何這些群取這樣的名字。對于數(shù)學家而言，群就像是寵物，給寵物取的名字可能反映了寵物的性格，也可能是純粹的趣味。但名字畢竟只是名字，只是稱呼這些群的一種方式而已。

像這樣整個家族出現(xiàn)的單群，還有16族所謂的有限李群，它們可以看作離散域上的矩陣組成的群。對它們的系統(tǒng)化研究是由挪威數(shù)學家Sophus Lie開始的，所以后人以此命名。而其中首先被發(fā)現(xiàn)的是所謂的射影特殊線性群PSL_n(q)，其中q是一個素數(shù)的冪。在伽羅華生命最后的那封信上，就已經(jīng)提到PSL_2(p)對于大于3的素數(shù)p是單群。后來Chevalley對其進行了更深入的研究，將其推廣到一般的素數(shù)的冪。對于其余的15族有限李群，Chevalley也功不可沒。

除了這一共18個有限單群家族之外，還有26個單獨存在的有限單群。它們不屬于任何一個家族，而它們之間也沒有一個統(tǒng)一的聯(lián)系，三三兩兩各自放浪于數(shù)學天地之間。數(shù)學家給他們起了個相當適合的名字：散在單群。它們是單群中自成一派的例外。成家族出現(xiàn)的單群結構總是相似的，而散在單群卻各有各的美麗。

同時進行的則是證明這就是所有的有限單群，這就是所謂的有限單群分類定理。如果將尋找單群比作在森林里抓兔子的話，有限單群分類定理的證明則是確保森林里所有的兔子都被抓光了。這就要求數(shù)學家對森林的地形——也就是有限群的結構——有一定的了解。

從某種意義上，整個證明可以追溯到1872年的Sylow定理。這個定理不僅使數(shù)學家開始明白有限群更深層的結構，也為后來對各種群的分類討論提供了武器。而真正明確提出對有限單群分類的，則是1892年的Hölder。他同時也證明了，每一個非交換有限單群的元素個數(shù)，是至少四個不同素數(shù)的乘積。

從此開始便是百年的征程，對數(shù)學家更不利的一面是，出發(fā)的時候還不知道森林里有多少兔子要抓。事實上，分類定理的證明和對有限單群的尋找，很大程度上是交錯疊積的。有時是證明的途中，忽然找到了又一個新的有限單群；有時是對于已有的單群的研究啟發(fā)了證明。這也是可以理解的，畢竟這是研究同一件事物的兩條路徑。

所以，當1983年Gorenstein宣稱有限單群分類定理被證明之時，群論學界可是歡呼雀躍。整個證明散落在各期刊的500多篇論文之中，合計過萬頁，每篇論文都對某種特殊情況進行了處理。將這些特殊情況合起來，覆蓋了絕大多數(shù)的有限群類別，而Gorenstein認為，他的新論文恰好補上了仍未處理的那些有限群，從而完成了整個分類定理的證明。

問題是，他弄錯了。他以為一類名為“擬薄群”（quasi-thin group）的類別已經(jīng)被處理好了，但事實上沒有。直到2004年，由Aschbacher和Smith撰寫的一篇一千多頁的論文才將這個情況完全處理妥當，從而填補了這個漏洞。此時，有限單群分類定理，這個有限群理論的圣杯，才正式被圓滿證明。

18個有限單群家族，再加上26個散在單群，這就是所有的有限單群。從伽羅華開始歷時一個多世紀，跨越兩次世界大戰(zhàn)的搜索，隨著1976年最后一個散在單群被發(fā)現(xiàn)，2004年有限單群分類定理的最終證明，這場數(shù)學家和有限單群之間的捉迷藏游戲才告結束。這個列表，包含著數(shù)代數(shù)學家辛勤的汗水，大概還有不少的咖啡、粉筆、墨水和紙。

故事仍未結束。在所有有限單群中，那些散在單群特別令人在意。成它們的出現(xiàn)看似無章可循，沒有什么必然的規(guī)律。但是，盡管有著“散在單群”這個名字，它們并非與世隔絕之徒。最有名的例子，莫過于那個最大的散在單群——魔群（Monster Group）。

意料之外的聯(lián)系

魔群是在1973年被Fischer和Griess分別獨立發(fā)現(xiàn)的。雖然它是最大的散在單群，但它并不是最后一個被發(fā)現(xiàn)的。實際上，“魔群”這個名字就源于它龐大的體積。魔群的準確元素個數(shù)是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，也就是大概8*10^53個。與之相比，太陽系的原子個數(shù)也就是大約10^57個，僅僅高了兩個數(shù)量級。如果我們用線性空間和矩陣變換來表示魔群的話，我們至少需要一個196883維的線性空間，才能忠實表達魔群的整體結構。這種表達方式又被稱為群的線性表示。

也正是由于魔群如此龐大，所以一開始數(shù)學家們并沒有直接將它構造出來，而只能指出它的存在性。發(fā)現(xiàn)魔群的Griess，也要幾個月后，才最終把魔群的元素個數(shù)計算出來。而魔群的直接構造，要等到9年后的1982年。那年，Griess提出了一個名為Griess代數(shù)的代數(shù)結構，而魔群恰好就是這個代數(shù)結構的自同構群。換句話說，魔群恰好刻畫了Griess代數(shù)的所有對稱性。值得一提的是，Griess代數(shù)的維度是196884，比196883多1。

如果說每一族單群和每一個散在單群代表一種對稱性的話，那么魔群一定有著非同尋常的對稱性。體積如此龐大的群，卻仍然是一個不可分解的單群，這本來就是個奇跡；而且與那些成系列的量產(chǎn)型單群不同，它的結構和對稱性還是獨一無二的。用個物理上不太恰當?shù)谋扔?，如果第二大的散在單群是一顆無暇的鉆石的話，按照比例，魔群大概就是一顆完全由鉆石組成的星球，而且透明得能從一邊看到另一邊的星空。

如果說如此瑰麗的魔群，僅僅是數(shù)學中的一個與世隔絕的孤島的話，那數(shù)學之神未免太浪費了。

而此時，在數(shù)學的另一個領域——數(shù)論，另一群數(shù)學家正在研究一些完全不同的東西。

模形式理論是數(shù)論的一個分支，它研究的正是模形式。模形式是復平面上滿足一定性質的函數(shù)，它們跟一類叫“橢圓曲線”的數(shù)學對象密切相關。橢圓曲線是平面上的一類曲線，它經(jīng)過的整點有一種自然的群的結構，而對這些群的結構的研究可以獲得整數(shù)的很多性質，包括轟動一時的費馬大定理的證明。

在模形式理論中，有一個特殊的函數(shù)占據(jù)著相當重要的地位，它叫j不變量。它的歷史也不短，各種性質已經(jīng)被數(shù)學家們研究得相當透徹了，也為模形式理論的發(fā)展立下過汗馬功勞。它可以干凈利落地展開成如下的傅立葉級數(shù)，其中每個系數(shù)都是整數(shù)：

其中是不是有個數(shù)字很眼熟？對，就是第二個傅立葉系數(shù)196884，正好是Griess代數(shù)的維數(shù)，也就是魔群的最小忠實線性表示的維數(shù)加1。這僅僅是個巧合，還是有某種內在的聯(lián)系？

當John McKay在上個世紀七十年代末將這個發(fā)現(xiàn)告訴Conway時（順帶一提，這位就是發(fā)明“生命游戲”的那個Conway），他們并不認為這是一個單純的巧合。如果是3或者5這種小數(shù)字，那巧合或許還能解釋，但196884的話，說是巧合未免過于牽強，“有某種尚未發(fā)現(xiàn)的內在聯(lián)系”這個解釋聽起來更加合理。Conway和另一位數(shù)學家Norton隨后發(fā)現(xiàn)，j不變量的其它傅立葉系數(shù)也與魔群的所謂不可約表示的維數(shù)有著緊密的聯(lián)系：這些傅立葉系數(shù)恰好可以表示成不可約表示維數(shù)的一些簡單的線性組合。這就遠遠不是巧合能夠解釋的問題了。

在這些基礎上，Conway和Norton提出了他們的所謂“魔群月光猜想”。他們猜想，存在一個基于魔群的無限維代數(shù)結構，通過魔群的不可約線性表示，它恰好給出了j不變量的所有傅立葉系數(shù)，而魔群每一個元素在這個代數(shù)結構上的作用，都自然地給出了與某個群相關的模形式。這其中牽涉到的數(shù)學，即使筆者也無從駕馭，需要長時間的學習，方能領會個中美妙滋味。

“魔群月光”這個名字，奇怪地帶著些浪漫色彩，但這不過是錯覺。“月光”的原文是“moonshine”，在俚語中的意思毫不浪漫，反而是用作形容那些帶點瘋狂的主意。這就是當時Conway聽到這個巧合之時的反應。即使對于最有想象力的數(shù)學家來說，要承認數(shù)論中被研究得相當透徹的j不變量，與有限群論這個不太相關的領域中新發(fā)現(xiàn)的魔群有著這么緊密的聯(lián)系，這個主意也未免有些瘋狂。

但更瘋狂的還在后頭。

不久，數(shù)學家們構造出了一個被稱為魔群模（Monster Module）的特殊代數(shù)結構，被認為極有可能是滿足魔群月光猜想的那個代數(shù)結構。要構造這個代數(shù)結構，首先要從一個名為Leech格的代數(shù)結構開始（順帶一提，這個代數(shù)結構有著特殊的對稱性，可以構造出數(shù)個散在單群），構造一個24維的環(huán)面。在這個環(huán)面上的玻色弦理論，通過共形場論中的頂點算子來表達，就是魔群模。換句話說，聯(lián)系著有限群論中的魔群與數(shù)論中的j不變量的魔群模，實際上是一個高維空間中的弦理論，表達的是某個高維空間中的可能的物理理論。

數(shù)學的兩個不同分支，居然通過理論物理被聯(lián)系了起來。

接下來的事情，就是證明魔群模的確滿足了魔群月光猜想。這項工作在1992年由Brocherds完成，證明同時包含了數(shù)學和物理，其中用到了弦論中的No-ghost定理來構造證明中必不可少的一個代數(shù)結構，Brocherds也由于這個證明獲得了菲爾茲獎。通過這個定理架起的橋梁，數(shù)學家們也發(fā)現(xiàn)了魔群、模函數(shù)和弦理論之間更多的千絲萬縷的聯(lián)系。甚至有人過于瘋狂地設想，魔群也許就代表著我們這個宇宙終極的對稱性。

如果伽羅華仍然在世的話，會對這種柏拉圖式的設想有什么看法呢？不過毫無疑問的是，他一定會贊嘆他的后繼者在他之后，在他鋪設的地基上建起的這些晶瑩無暇的數(shù)學理論。

不應重現(xiàn)的嘆息

有限單群分類定理是有限群理論的一塊里程碑，標志了我們對所有有限對稱性的系統(tǒng)理解的開端。對于魔群的研究，也引發(fā)了數(shù)學家對散在單群的興趣。關于有限單群的各種研究，至今方興未艾。

在這個關于單群的故事中，最值得關注的就是整個故事的起點，也就是伽羅華。他的研究奠定了整個有限單群研究的基礎。超越時代的他，活著的時候是個孤獨的研究者，但現(xiàn)在，誰談到群論又能繞過他呢？

在數(shù)學的天空中，伽羅華宛如一顆匆匆劃過的璀璨流星。他的身體太單薄，無法承受時代的狂風；但他發(fā)出的光芒，照亮了整個天空，被不同的人以不同的形式記錄下來，并將長久不息。以他的名字命名的各種數(shù)學概念，已經(jīng)產(chǎn)生了深遠的影響。這使人不禁思考：如果沒有那場決斗，他將會做出多大的成就呢？然而，歷史沒有假設。

這使人不禁想起同為法國人的化學家拉瓦錫的遭遇。在拉瓦錫被構陷上斷頭臺后，數(shù)學家拉格朗日的嘆息是：“砍下這顆頭顱只需一瞬，但百年的等待可能仍不足以使其重現(xiàn)。”一根有智慧的蘆葦，需要整個社會長期的積淀產(chǎn)生的土壤，方能破土而出。但蘆葦總歸是蘆葦，命運無常，須臾即可毀去；即便是它腳下的土壤，赤炎燎原，十年亦成焦土。伽羅華的悲劇，現(xiàn)在還在很多地方，以不同的形式，或明或暗地上演著。