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前言：

    第二篇的文章中談到，和部門(mén)老大一寧出去outing的時(shí)候，他給了我相當(dāng)多的機(jī)器學(xué)習(xí)的建議，里面涉及到很多的算法的意義、學(xué)習(xí)方法等等。一寧上次給我提到，如果學(xué)習(xí)分類(lèi)算法，最好從線(xiàn)性的入手，線(xiàn)性分類(lèi)器最簡(jiǎn)單的就是LDA，它可以看做是簡(jiǎn)化版的SVM，如果想理解SVM這種分類(lèi)器，那理解LDA就是很有必要的了。

   談到LDA，就不得不談?wù)凱CA，PCA是一個(gè)和LDA非常相關(guān)的算法，從推導(dǎo)、求解、到算法最終的結(jié)果，都有著相當(dāng)?shù)南嗨啤?/P>

   本次的內(nèi)容主要是以推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式為主，都是從算法的物理意義出發(fā)，然后一步一步最終推導(dǎo)到最終的式子，LDA和PCA最終的表現(xiàn)都是解一個(gè)矩陣特征值的問(wèn)題，但是理解了如何推導(dǎo)，才能更深刻的理解其中的含義。本次內(nèi)容要求讀者有一些基本的線(xiàn)性代數(shù)基礎(chǔ)，比如說(shuō)特征值、特征向量的概念，空間投影，點(diǎn)乘等的一些基本知識(shí)等。除此之外的其他公式、我都盡量講得更簡(jiǎn)單清楚。

LDA：

    LDA的全稱(chēng)是Linear Discriminant Analysis（線(xiàn)性判別分析），是一種supervised learning。有些資料上也稱(chēng)為是Fisher’s Linear Discriminant，因?yàn)樗籖onald Fisher發(fā)明自1936年，Discriminant這次詞我個(gè)人的理解是，一個(gè)模型，不需要去通過(guò)概率的方法來(lái)訓(xùn)練、預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，比如說(shuō)各種貝葉斯方法，就需要獲取數(shù)據(jù)的先驗(yàn)、后驗(yàn)概率等等。LDA是在目前機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域經(jīng)典且熱門(mén)的一個(gè)算法，據(jù)我所知，百度的商務(wù)搜索部里面就用了不少這方面的算法。

    LDA的原理是，將帶上標(biāo)簽的數(shù)據(jù)（點(diǎn)），通過(guò)投影的方法，投影到維度更低的空間中，使得投影后的點(diǎn)，會(huì)形成按類(lèi)別區(qū)分，一簇一簇的情況，相同類(lèi)別的點(diǎn)，將會(huì)在投影后的空間中更接近。要說(shuō)明白LDA，首先得弄明白線(xiàn)性分類(lèi)器(Linear Classifier)：因?yàn)長(zhǎng)DA是一種線(xiàn)性分類(lèi)器。對(duì)于K-分類(lèi)的一個(gè)分類(lèi)問(wèn)題，會(huì)有K個(gè)線(xiàn)性函數(shù)：

     當(dāng)滿(mǎn)足條件：對(duì)于所有的j，都有Yk > Yj,的時(shí)候，我們就說(shuō)x屬于類(lèi)別k。對(duì)于每一個(gè)分類(lèi)，都有一個(gè)公式去算一個(gè)分值，在所有的公式得到的分值中，找一個(gè)最大的，就是所屬的分類(lèi)了。

    上式實(shí)際上就是一種投影，是將一個(gè)高維的點(diǎn)投影到一條高維的直線(xiàn)上，LDA最求的目標(biāo)是，給出一個(gè)標(biāo)注了類(lèi)別的數(shù)據(jù)集，投影到了一條直線(xiàn)之后，能夠使得點(diǎn)盡量的按類(lèi)別區(qū)分開(kāi)，當(dāng)k=2即二分類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候，如下圖所示：

     紅色的方形的點(diǎn)為0類(lèi)的原始點(diǎn)、藍(lán)色的方形點(diǎn)為1類(lèi)的原始點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的那條線(xiàn)就是投影的直線(xiàn)，從圖上可以清楚的看到，紅色的點(diǎn)和藍(lán)色的點(diǎn)被原點(diǎn)明顯的分開(kāi)了，這個(gè)數(shù)據(jù)只是隨便畫(huà)的，如果在高維的情況下，看起來(lái)會(huì)更好一點(diǎn)。下面我來(lái)推導(dǎo)一下二分類(lèi)LDA問(wèn)題的公式：

     假設(shè)用來(lái)區(qū)分二分類(lèi)的直線(xiàn)（投影函數(shù))為：

    LDA分類(lèi)的一個(gè)目標(biāo)是使得不同類(lèi)別之間的距離越遠(yuǎn)越好，同一類(lèi)別之中的距離越近越好，所以我們需要定義幾個(gè)關(guān)鍵的值。

    類(lèi)別i的原始中心點(diǎn)為：（Di表示屬于類(lèi)別i的點(diǎn))

    類(lèi)別i投影后的中心點(diǎn)為：

    衡量類(lèi)別i投影后，類(lèi)別點(diǎn)之間的分散程度（方差）為：

    最終我們可以得到一個(gè)下面的公式，表示LDA投影到w后的損失函數(shù)：

   我們分類(lèi)的目標(biāo)是，使得類(lèi)別內(nèi)的點(diǎn)距離越近越好（集中），類(lèi)別間的點(diǎn)越遠(yuǎn)越好。分母表示每一個(gè)類(lèi)別內(nèi)的方差之和，方差越大表示一個(gè)類(lèi)別內(nèi)的點(diǎn)越分散，分子為兩個(gè)類(lèi)別各自的中心點(diǎn)的距離的平方，我們最大化J(w)就可以求出最優(yōu)的w了。想要求出最優(yōu)的w，可以使用拉格朗日乘子法，但是現(xiàn)在我們得到的J(w)里面，w是不能被單獨(dú)提出來(lái)的，我們就得想辦法將w單獨(dú)提出來(lái)。

   我們定義一個(gè)投影前的各類(lèi)別分散程度的矩陣，這個(gè)矩陣看起來(lái)有一點(diǎn)麻煩，其實(shí)意思是，如果某一個(gè)分類(lèi)的輸入點(diǎn)集Di里面的點(diǎn)距離這個(gè)分類(lèi)的中心店mi越近，則Si里面元素的值就越小，如果分類(lèi)的點(diǎn)都緊緊地圍繞著mi，則Si里面的元素值越更接近0.

   帶入Si，將J(w)分母化為：

   同樣的將J(w)分子化為：

   這樣損失函數(shù)可以化成下面的形式：

   這樣就可以用最喜歡的拉格朗日乘子法了，但是還有一個(gè)問(wèn)題，如果分子、分母是都可以取任意值的，那就會(huì)使得有無(wú)窮解，我們將分母限制為長(zhǎng)度為1（這是用拉格朗日乘子法一個(gè)很重要的技巧，在下面將說(shuō)的PCA里面也會(huì)用到，如果忘記了，請(qǐng)復(fù)習(xí)一下高數(shù)），并作為拉格朗日乘子法的限制條件，帶入得到：

   這樣的式子就是一個(gè)求特征值的問(wèn)題了。

   對(duì)于N(N>2)分類(lèi)的問(wèn)題，我就直接寫(xiě)出下面的結(jié)論了：

   這同樣是一個(gè)求特征值的問(wèn)題，我們求出的第i大的特征向量，就是對(duì)應(yīng)的Wi了。

   這里想多談?wù)勌卣髦担卣髦翟诩償?shù)學(xué)、量子力學(xué)、固體力學(xué)、計(jì)算機(jī)等等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，特征值表示的是矩陣的性質(zhì)，當(dāng)我們?nèi)〉骄仃嚨那癗個(gè)最大的特征值的時(shí)候，我們可以說(shuō)提取到的矩陣主要的成分（這個(gè)和之后的PCA相關(guān)，但是不是完全一樣的概念）。在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，不少的地方都要用到特征值的計(jì)算，比如說(shuō)圖像識(shí)別、pagerank、LDA、還有之后將會(huì)提到的PCA等等。

   下圖是圖像識(shí)別中廣泛用到的特征臉（eigen face），提取出特征臉有兩個(gè)目的，首先是為了壓縮數(shù)據(jù)，對(duì)于一張圖片，只需要保存其最重要的部分就是了，然后是為了使得程序更容易處理，在提取主要特征的時(shí)候，很多的噪聲都被過(guò)濾掉了。跟下面將談到的PCA的作用非常相關(guān)。

    特征值的求法有很多，求一個(gè)D * D的矩陣的時(shí)間復(fù)雜度是O(D^3), 也有一些求Top M的方法，比如說(shuō)power method，它的時(shí)間復(fù)雜度是O(D^2 * M), 總體來(lái)說(shuō)，求特征值是一個(gè)很費(fèi)時(shí)間的操作，如果是單機(jī)環(huán)境下，是很局限的。

PCA：

    主成分分析（PCA）與LDA有著非常近似的意思，LDA的輸入數(shù)據(jù)是帶標(biāo)簽的，而PCA的輸入數(shù)據(jù)是不帶標(biāo)簽的，所以PCA是一種unsupervised learning。LDA通常來(lái)說(shuō)是作為一個(gè)獨(dú)立的算法存在，給定了訓(xùn)練數(shù)據(jù)后，將會(huì)得到一系列的判別函數(shù)（discriminate function），之后對(duì)于新的輸入，就可以進(jìn)行預(yù)測(cè)了。而PCA更像是一個(gè)預(yù)處理的方法，它可以將原本的數(shù)據(jù)降低維度，而使得降低了維度的數(shù)據(jù)之間的方差最大（也可以說(shuō)投影誤差最小，具體在之后的推導(dǎo)里面會(huì)談到）。

    方差這個(gè)東西是個(gè)很有趣的，有些時(shí)候我們會(huì)考慮減少方差（比如說(shuō)訓(xùn)練模型的時(shí)候，我們會(huì)考慮到方差-偏差的均衡），有的時(shí)候我們會(huì)盡量的增大方差。方差就像是一種信仰（強(qiáng)哥的話(huà)），不一定會(huì)有很?chē)?yán)密的證明，從實(shí)踐來(lái)說(shuō)，通過(guò)盡量增大投影方差的PCA算法，確實(shí)可以提高我們的算法質(zhì)量。

    說(shuō)了這么多，推推公式可以幫助我們理解。我下面將用兩種思路來(lái)推導(dǎo)出一個(gè)同樣的表達(dá)式。首先是最大化投影后的方差，其次是最小化投影后的損失（投影產(chǎn)生的損失最?。?。

    最大化方差法：

    假設(shè)我們還是將一個(gè)空間中的點(diǎn)投影到一個(gè)向量中去。首先，給出原空間的中心點(diǎn)：

    假設(shè)u1為投影向量，投影之后的方差為：

    上面這個(gè)式子如果看懂了之前推導(dǎo)LDA的過(guò)程，應(yīng)該比較容易理解，如果線(xiàn)性代數(shù)里面的內(nèi)容忘記了，可以再溫習(xí)一下，優(yōu)化上式等號(hào)右邊的內(nèi)容，還是用拉格朗日乘子法：

    將上式求導(dǎo)，使之為0，得到：

    這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的特征值表達(dá)式了，λ對(duì)應(yīng)的特征值，u對(duì)應(yīng)的特征向量。上式的左邊取得最大值的條件就是λ1最大，也就是取得最大的特征值的時(shí)候。假設(shè)我們是要將一個(gè)D維的數(shù)據(jù)空間投影到M維的數(shù)據(jù)空間中（M < D)， 那我們?nèi)∏癕個(gè)特征向量構(gòu)成的投影矩陣就是能夠使得方差最大的矩陣了。

    最小化損失法：

    假設(shè)輸入數(shù)據(jù)x是在D維空間中的點(diǎn)，那么，我們可以用D個(gè)正交的D維向量去完全的表示這個(gè)空間（這個(gè)空間中所有的向量都可以用這D個(gè)向量的線(xiàn)性組合得到）。在D維空間中，有無(wú)窮多種可能找這D個(gè)正交的D維向量，哪個(gè)組合是最合適的呢？

    假設(shè)我們已經(jīng)找到了這D個(gè)向量，可以得到：

    我們可以用近似法來(lái)表示投影后的點(diǎn)：

    上式表示，得到的新的x是由前M 個(gè)基的線(xiàn)性組合加上后D - M個(gè)基的線(xiàn)性組合，注意這里的z是對(duì)于每個(gè)x都不同的，而b對(duì)于每個(gè)x是相同的，這樣我們就可以用M個(gè)數(shù)來(lái)表示空間中的一個(gè)點(diǎn)，也就是使得數(shù)據(jù)降維了。但是這樣降維后的數(shù)據(jù)，必然會(huì)產(chǎn)生一些扭曲，我們用J描述這種扭曲，我們的目標(biāo)是，使得J最?。?/P>

    上式的意思很直觀，就是對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)，將降維后的點(diǎn)與原始的點(diǎn)之間的距離的平方和加起來(lái)，求平均值，我們就要使得這個(gè)平均值最小。我們令：

    將上面得到的z與b帶入降維的表達(dá)式：

    將上式帶入J的表達(dá)式得到：

      再用上拉普拉斯乘子法（此處略），可以得到，取得我們想要的投影基的表達(dá)式為：

    這里又是一個(gè)特征值的表達(dá)式，我們想要的前M個(gè)向量其實(shí)就是這里最大的M個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。證明這個(gè)還可以看看，我們J可以化為：

    也就是當(dāng)誤差J是由最小的D - M個(gè)特征值組成的時(shí)候，J取得最小值。跟上面的意思相同。

    下圖是PCA的投影的一個(gè)表示，黑色的點(diǎn)是原始的點(diǎn)，帶箭頭的虛線(xiàn)是投影的向量，Pc1表示特征值最大的特征向量，pc2表示特征值次大的特征向量，兩者是彼此正交的，因?yàn)檫@原本是一個(gè)2維的空間，所以最多有兩個(gè)投影的向量，如果空間維度更高，則投影的向量會(huì)更多。

總結(jié)：

    本次主要講了兩種方法，PCA與LDA，兩者的思想和計(jì)算方法非常類(lèi)似，但是一個(gè)是作為獨(dú)立的算法存在，另一個(gè)更多的用于數(shù)據(jù)的預(yù)處理的工作。另外對(duì)于PCA和LDA還有核方法，本次的篇幅比較大了，先不說(shuō)了，以后有時(shí)間再談：

參考資料：

    prml bishop，introduce to LDA（對(duì)不起，這個(gè)真沒(méi)有查到出處）