初中數(shù)形結(jié)合的教學(xué)體會(huì)
函數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中重、難點(diǎn)之一，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候往往面臨各種困難，如學(xué)習(xí)方式不對(duì)，學(xué)的內(nèi)容繁多，便無(wú)法融會(huì)貫通，也就達(dá)不到教學(xué)目的，還會(huì)影響到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。根據(jù)初中學(xué)生的心理和思維特點(diǎn)，采取從感性到理性、從形象到抽象的教學(xué)方式，就可培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。
1.借助模型，弄清概念，明白學(xué)習(xí)的目的與意義
教材給出函數(shù)的定義是：存在一個(gè)自變量與一個(gè)因變量，當(dāng)任給自變量一個(gè)值時(shí)，因變量都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，那么這個(gè)因變量就叫做這個(gè)自變量的函數(shù)。函數(shù)的定義揭示了自變量與函數(shù)之間的關(guān)系，但是太抽象了，對(duì)于將學(xué)習(xí)建立在感性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上的初中學(xué)生而言，無(wú)法真正地理解函數(shù)的意義。所以可以借助教具，幫助學(xué)生直觀地理解函數(shù)的實(shí)際意義。在法國(guó)人把函數(shù)稱為BLACKBOX———黑匣子。“函數(shù)=黑匣子”是什么意思呢？我們看完以下的分析后就更易把握住函數(shù)的實(shí)質(zhì)。教具：一個(gè)黑色盒子，盒子的兩側(cè)分別設(shè)置兩個(gè)口，一個(gè)出口，一個(gè)入口，再制作幾個(gè)圓形的卡片，卡片的正面寫1、2表示一元錢、兩元錢等各種不同的幣值，在卡片的背面畫(huà)上相應(yīng)的物品，如漢堡、可樂(lè)等。試驗(yàn)：把一元錢的自制卡片從入口輸入后，它會(huì)從出口滾出來(lái)，可是當(dāng)它出來(lái)時(shí)顯示的是卡片背面的物品，例如一瓶可樂(lè)。教具的演示引起了學(xué)生極大的興趣。再取一張3元卡片輸入黑匣子，從里面滾出來(lái)另一件物品，學(xué)生很好奇，想搞明白黑匣子里究竟藏了什么秘密。提問(wèn)：如果再投入一個(gè)5元的卡片，會(huì)出來(lái)什么物品？之后老師總結(jié)：在沒(méi)有看到出來(lái)是什么物品時(shí)誰(shuí)也不知道會(huì)發(fā)生怎樣的變化，但是可以確定的是：必須投入一張卡片，才會(huì)有一個(gè)物品出來(lái)；如果投入不同的卡片會(huì)得到不同的物品。因此物品是隨著卡片的變化而不同的。這一實(shí)驗(yàn)揭示出出口與入口的“變”性，而且出口會(huì)因入口的變而變。
再演示另一試驗(yàn)：在另一組硬幣卡片的正反面分別寫上1，2；2，4；3，6等數(shù)組。老師演示兩次后學(xué)生很快就猜出投入正面是3的硬幣時(shí)出來(lái)的結(jié)果一定是6了。這一試驗(yàn)揭示，有些變化我們知道它是怎樣發(fā)生的，因此，可以控制它。通過(guò)兩次試驗(yàn)的對(duì)比，讓學(xué)生明白生活中存在許許多多因變而變的例子，就像函數(shù)中的自變量與因變量，自變量是輸入的數(shù)，因變量是輸出的數(shù)，因變量隨自變量而變，而且輸入一個(gè)自變量只能得到一個(gè)因變量，它們之間的這種關(guān)系就是函數(shù)。因此，函數(shù)就是“關(guān)系”。學(xué)生通過(guò)教具的模擬很感性地意識(shí)到函數(shù)就是關(guān)系的本質(zhì)。在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生還舉出了許許多多的“黑匣子”的例子。其次，借助教具的演示也讓學(xué)生明白自變量與因變量的關(guān)系有些是明確的，如試驗(yàn)2中的2倍關(guān)系，而更多的關(guān)系卻是不明確的，有待我們?nèi)パ芯堪l(fā)現(xiàn)。理解了函數(shù)的定義，對(duì)于函數(shù)的三種表示形式：解析式、列表、圖像，用不同的方式去表現(xiàn)，就不難理解了。
2.數(shù)形結(jié)合，體會(huì)代數(shù)與幾何的相互統(tǒng)一
形成函數(shù)概念后，要能形象理解概念并解決函數(shù)問(wèn)題，就要借助笛卡爾的平面直角坐標(biāo)系。笛卡爾把物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的概念作為自己科學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)后，把運(yùn)動(dòng)也帶進(jìn)了數(shù)學(xué)。在“幾何學(xué)”里，笛卡爾給出了字母符號(hào)的代數(shù)和解析幾何的原理，那就是通過(guò)引進(jìn)坐標(biāo)系，使得能用方程表示幾何形狀和解析的依賴關(guān)系。
2.1借助平面直角坐標(biāo)系，弄清常量與變量的作用。
例如，一次函數(shù)y=kx+b中，體現(xiàn)的是因變量y與自變量x之間的“關(guān)系”，它們之間的“關(guān)系”如何變化，由常量k與b來(lái)決定。在平面直角坐標(biāo)系中，y=kx+b的圖像就是一條直線，這條直線可以看成由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成，也可以看成由一個(gè)點(diǎn)沿著直線的方向慢慢爬動(dòng)而成，而點(diǎn)的坐標(biāo)表示成（x，y），因此，解析式中的x、y是變量，它會(huì)隨著點(diǎn)的位置的變動(dòng)而不同。在平面直角坐標(biāo)系中，可以作出許多不同位置的直線，是因?yàn)?/SPAN>k與b的不同，k決定直線的走勢(shì)，b體現(xiàn)直線與y軸的交點(diǎn)位置。又如，二次函數(shù)y=ax2+bx+c中決定y與x變化關(guān)系的常量有a、b、c三個(gè)，a決定函數(shù)的開(kāi)口方向與大小，b、c分別在橫向與縱向上決定了圖像的位置。當(dāng)對(duì)每個(gè)常量的作用都清晰時(shí)，才會(huì)在應(yīng)用中關(guān)注常量的變化，幫助問(wèn)題的解決。
2.2從不同角度看待函數(shù)，體會(huì)幾何與代數(shù)的統(tǒng)一。
函數(shù)與方程可以看成同一個(gè)式子從不同的視角去看待。例如，y=3x+2，從函數(shù)的角度看它，它是一次函數(shù)，一條穿越一、二、四象限的直線，從方程的角度看它，它是一個(gè)二元一次方程，解是滿足方程的任意一對(duì)x，y的值，這樣的值有無(wú)數(shù)對(duì)。直線是無(wú)限延伸的，由無(wú)數(shù)的點(diǎn)組成，這就與二元一次方程的無(wú)數(shù)對(duì)解統(tǒng)一在一起了。又有一式：y=-x+2，那么兩直線的交點(diǎn)（0，2）就是方程組y=3x+2y=-x+!2的解x=0y=!2所表示的點(diǎn)的坐標(biāo)，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的統(tǒng)一。又如，y=ax2+bx+c與橫軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以與方程ax2+bx+c=0的解的個(gè)數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，只要判斷△=b2-4ac的符號(hào)，就可以得出圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況。一旦這個(gè)問(wèn)題搞清楚，那么y=ax2+bx+c與任意一條平行于x軸的直線y=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況都能用方程ax2+bx+c-m=0的△=b2-4a（c-m）來(lái)判斷了。由于借助平面直角坐標(biāo)系，我們能很好地把函數(shù)問(wèn)題（解析式），通過(guò)圖形的演示加深理解，進(jìn)而解決；將幾何的問(wèn)題通過(guò)代數(shù)的方式得以解決，也就將代數(shù)與幾何問(wèn)題既相互轉(zhuǎn)化又相互統(tǒng)一了。
3.數(shù)形結(jié)合，將抽象的問(wèn)題形象化，解決實(shí)際問(wèn)題
例如一道綜合應(yīng)用題：用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S隨矩形一邊長(zhǎng)l的變化而變化。（1）當(dāng)l是多少時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大？（2）l取何值時(shí)，S>100？這是一道常規(guī)的二次函數(shù)最值問(wèn)題，矩形的長(zhǎng)是固定的60m，形狀會(huì)發(fā)生改變，形狀的改變直接影響長(zhǎng)與寬的改變。而面積隨著長(zhǎng)、寬的變化而變化。因此選定長(zhǎng)或?qū)捴兄蛔鳛樽宰兞?，面積是因變量，要知道因變量是如何隨自變量而變化的就必須建立兩者之間的函數(shù)關(guān)系。所以：第一步建立函數(shù)關(guān)系：s=l（30-l）=-l2+30l（0＜l＜30）?？梢钥闯?/SPAN>S與l是二次函數(shù)關(guān)系。第二步作出函數(shù)圖像，通過(guò)觀察得到面積在函數(shù)圖像的頂點(diǎn)取到最大值，即當(dāng)l=15時(shí)，S=225。（3）如果直接令S>100，則-l2+30l＞100，這是一個(gè)二次不等式，學(xué)生不會(huì)解，但可以借助圖像，先找到S=100的點(diǎn)，再找出S>100的圖像范圍，就能得出答案了。
