在幾何證明中除常見(jiàn)的連接、延長(zhǎng)、作平行、作垂直等輔助線之外，還有一種作輔助線的思路，就是通過(guò)巧妙的幾何變換構(gòu)造出全等或是特殊圖形。這種作輔助線方法我們通常稱為構(gòu)造性輔助線。

一、翻折構(gòu)造

例1　如圖1，在等腰直角△ABC的斜邊AB上，取兩點(diǎn)M、N，使∠MCN=45°，記AM=m，MN=x，BN=n。則以x、m、n為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是（     ）

A.銳角三角形；    B.直角三角形；

C.鈍角三角形；    D.隨x、m、n變化而變化

分析：⑴要判斷以x、m、n為邊長(zhǎng)的三角形的形狀，關(guān)鍵是要設(shè)法將這三條線段長(zhǎng)集中到同一個(gè)三角形中；

⑵如何用好已知條件中的∠MCN=45°，應(yīng)同時(shí)考慮∠ACM+∠BCN=45°。

⑶為將長(zhǎng)為x、m、n的三條線段集中，可考慮將△ACM沿CM翻折（如圖），這樣可將m、x兩條線段集中。再連接PN，若能證明PN=BN，則長(zhǎng)為x、m、n的三條線段就集中到了△PMN中。

由∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°∴∠BCN=∠PCN，

可證△BCN≌△PCN，PN=BN=n。

∴∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45°  ∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°

∴以x、m、n為邊長(zhǎng)的三角形的形狀直角三角形。

提示：當(dāng)要證的結(jié)論需集中某些線段，且圖形中出現(xiàn)了等量角的關(guān)系、角的平分線等條件時(shí)，可考慮翻折構(gòu)造。

二、旋轉(zhuǎn)構(gòu)造

例2　如圖2，已知O是等邊三角形△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度數(shù)之比為6∶5∶4，在以OA、OB、OC為邊的三角形中，求此三邊所對(duì)的度數(shù)。

分析：⑴解決此題的關(guān)鍵依然是要將OA、OB、OC三條線段集中到同一個(gè)三角形中。

⑵考慮到等邊三角形的的特點(diǎn)，若將△AOB繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°到△AMC，因?yàn)椤?/SPAN>AOM為等邊三角形，MO=AO，又OB=MC，則OA、OB、OC就集中到了△COM中。OA、OB、OC為三邊所對(duì)的角即為求△COM的三個(gè)內(nèi)角。

由∠AOB、∠BOC、∠AOC的度數(shù)之比為6∶5∶4，設(shè)∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x

則有6x+5x+4x=360°，x=24°，

∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96°  由∠AOM=∠AMO=60°

∴∠MOC=∠AOC-∠AOM=36°；∠OMC=∠AMC-∠AMO=84°

∠ACM=180°-（∠MOC+∠OMC）=60°

∴以OA、OB、OC為邊的三角形三邊所對(duì)的度數(shù)分別為：60°、36°、84°。

提示：旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一般多用于等邊三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是應(yīng)同時(shí)考慮到旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)邊能夠重合，旋轉(zhuǎn)角度能構(gòu)成特殊角等兩個(gè)條件。

三、軸對(duì)稱構(gòu)造

例3　如圖3，∠AOB=45°，角內(nèi)有點(diǎn)P，PO=10，在兩邊上有點(diǎn)Q、R（均不同于O），則△PQR的周長(zhǎng)的最小值是            。

分析：⑴要確定△PQR的周長(zhǎng)最小，關(guān)鍵是如何確定Q、R的位置。而只有利用軸對(duì)稱將折線段化為直線段才能求出最小值。

⑵已知條件中∠AOB=45°，如果分別作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連OM、ON，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)則有∠MON=90°，可構(gòu)造出直角三角形。

作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連MN與OA、OB的交點(diǎn)Q、R，由軸對(duì)稱性質(zhì)，此時(shí)△PQR的周長(zhǎng)的最小，最小周長(zhǎng)等于線段MN的長(zhǎng)度。

連OM、ON。由軸對(duì)稱性質(zhì)，OM=OP=ON=10，∠MON=90°，MN=10

提示：一般地，求證幾條折線段之和的問(wèn)題通?？紤]作軸對(duì)稱，將折線段轉(zhuǎn)化為直線段。

四、特殊構(gòu)造

例4　如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD。求證：BD²=AB²+BC²。

分析：⑴所求證的關(guān)系為平方形式，聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理求證?！?/SPAN>ABC=30°，已BC為邊向外作等邊三角形△BCE，則可得到∠ABE=90°，BC=BE，可將AB²+BC²轉(zhuǎn)化為直角三角形△ABE中AB²+BE²。這樣只需證明AE=BD即可。

⑵由∠ADC=60°，AD=CD，連接AC，則△ADC為等邊三角形。易觀察到易證△DCB≌△ACE，于是AE=BD。

提示：根據(jù)題設(shè)條件中的特殊角構(gòu)造特殊圖形（等邊三角形、直角三角形、正方形等），也是幾何證明中常用的輔助線。

作者簡(jiǎn)介：宋毓彬，男，42歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《數(shù)理天地》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類文章40多篇。主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究。

（發(fā)表于《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2010年1月第1期）