|
非線性動(dòng)力學(xué)渾沌（I） 此為1993年稿，北大方正注解小樣 [KMB][AM] 〖SM(〗非線性動(dòng)力學(xué)渾沌〖SM)〗 〖HT3,2H〗〖STHZ〗非線性動(dòng)力學(xué)渾沌〖STBZ〗〖HT〗[ML] 〖HK22〗 〖HT4LB〗以卡姆定理為代表的渾沌理論揭示了決定論和隨機(jī)論之間、牛頓力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)之間沒(méi)有不可逾越的界線。渾沌理論宣告了玻爾茲曼在這方面比愛(ài)因斯坦高明些。〖HT〗 〖JY，1〗——朱照宣 〖HK〗 [LM] 〖DS(2。2W〗〖HT2SS〗宏〖DS)〗[HT]觀上粗略地看，非線性動(dòng)力學(xué)渾沌好象是突然涌現(xiàn)于當(dāng)代科學(xué)界的，一切好象從零做起。但是只要稍接觸渾沌研究史，就會(huì)發(fā)現(xiàn)不是這樣。如果拿“放大鏡”去考察科學(xué)史，會(huì)找到一種奇妙的、幾乎連續(xù)的思想發(fā)展過(guò)程。這又會(huì)使人走向另一個(gè)極端：以為所謂的渾沌新科學(xué)不過(guò)是諸多舊知識(shí)的整理或再發(fā)現(xiàn)。這兩種認(rèn)識(shí)目前在學(xué)界都大有支持者，否定它們的唯一辦法是研究科學(xué)史中被忽視的部分，清楚地展示哪些思想“古已有之”，哪些思想“平地崛起”。 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.0〓世紀(jì)之交的非線性動(dòng)力學(xué)渾沌思想〖STBZ〗[HTSS]〖ML〗 渾沌語(yǔ)義問(wèn)題的討論包括從科學(xué)史角度對(duì)渾沌概念作歷史性的考察，這部分工作不是一般語(yǔ)言學(xué)家能做的。渾沌概念科學(xué)的、歷史的語(yǔ)義學(xué)考察對(duì)于渾沌研究，特別是渾沌理論向其它學(xué)科的滲透，以及對(duì)渾沌理論作哲學(xué)概括，有著關(guān)鍵性的意義。這里首先開(kāi)列一張人物清單，作者考慮，清單上的人物至少應(yīng)包括：阿達(dá)馬(J.S.Hadamard,1865-1963)、迪昂(P.M.M.Duhem,1861-1916)、麥克斯韋(J.C.Maxwell,1831-1879)、龐加萊、李亞普諾夫(?。瘰岌濮擐唰?1857-1918)、克雷洛夫(Nikolaǐ Sergeevich Krylov,1917-1947)、伯克霍夫、范德坡(B.von der Pol)和范德馬克(J.von der Mark)、杜芬(G.Duffing)、莫爾斯(H.M.Morse,1892-1977)、卡特賴特(M.L.Cartwright,1900-?)、李特爾伍德(J.E.Littlewood,1885-1977)、萊溫松(N.Levinson)、玻恩、布里淵(L.N.Brillouin,1889-1969)、麥堡(P. J.Myrberg)、KAM三人、薩可夫斯基(A.N.Sarkovskii)、埃農(nóng)(M.Henon)和海爾斯(C.Heils)、上田〖HT5,7SS〗目[KG-*4][HT5,7SS]完[HT]亮(Y.Ueda,1936-)、洛侖茲(E.N.Lorenz,1921-)、福特、梅、芒德勃羅(B.B.Mandelbrot,1924-)、李天巖和約克、費(fèi)根鮑姆(M.Feigenbaum) …… 。 這張表還可以接下去寫(xiě)很長(zhǎng)，不過(guò)列到費(fèi)根鮑姆就足夠了，后面的故事人們一般較熟悉些。我們?cè)谄渌胤接懻撨^(guò)的，〖ZW(B〗參見(jiàn)苗東升、劉華杰，《渾沌學(xué)縱橫論》第二章，中國(guó)人民大學(xué)出版社1993年。〖ZW)〗這里不再涉及；幾位尚未找到詳實(shí)材料的，暫時(shí)也不討論。由于研究難度非常大，我們的考察是相當(dāng)初步的。 [HS2]〓〓〖STHZ〗〖WTHZ〗〖HTK〗1)麥克斯韋〖WTBZ〗〖STBZ〗〖HTSS〗 世人都熟悉麥克斯韋在電磁理論中的貢獻(xiàn)，其實(shí)在動(dòng)力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)中他也有不少杰出的工作。對(duì)傳統(tǒng)力學(xué)的缺點(diǎn)，他有清醒的認(rèn)識(shí)。早在1873年就說(shuō)過(guò)從渾沌學(xué)角度看十分精辟的話，通過(guò)朱照宣先生在一本書(shū)中偶然找到如下一段論述。為了明晰起見(jiàn)，多處給出英文原文。 〖GK2!〗〖HTK〗 從〖ZZ(Q〗同樣的〖ZZ)〗(same)前件得出〖ZZ(Q〗同樣的〖ZZ)〗后件，這是一個(gè)形而上學(xué)教條。沒(méi)有人能否定這一點(diǎn)。但是，實(shí)質(zhì)上它并無(wú)很大用處，在這個(gè)世界上，同樣的前件從不再次出現(xiàn)，任何事物也不發(fā)生兩次，…… 物理學(xué)公設(shè)與此有類(lèi)似之處：“從[ZZ(Q]類(lèi)似的[ZZ)](like)的前提得出〖ZZ(Q〗類(lèi)似的〖ZZ)〗的結(jié)果?！比欢?，在這里我們從〖ZZ(Q〗相同〖ZZ)〗(samness)過(guò)渡到了〖ZZ(Q〗相似〖ZZ)〗(likeness)，從絕對(duì)的精確性(absolute accuracy)過(guò)渡到了多少有些粗糙的近似(rough approximation)。對(duì)于某些類(lèi)現(xiàn)象，數(shù)據(jù)中小的誤差在結(jié)果中只引起小的誤差。在這些情形中，事件的進(jìn)程是穩(wěn)定的(stable)。也存在其它一些類(lèi)型的現(xiàn)象，它們是很復(fù)雜的，在此諸情況下，可以出現(xiàn)不穩(wěn)定性(instability)，隨著變量數(shù)目的增加，這些情形的數(shù)量以極其快速的方式增長(zhǎng)。［１］〖HT〗〖HK〗 〖HS2〗〓〓〖STHZ〗〖WTHZ〗〖HTK〗2)法國(guó)傳統(tǒng)：阿達(dá)馬、迪昂和龐加萊〖WTBZ〗〖STBZ 〗〖HTSS〗 在感性認(rèn)識(shí)的層次，甚至幾千年前人們就知道，小的原因可以產(chǎn)生大的后果，系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為不可預(yù)測(cè)，但那與實(shí)證科學(xué)無(wú)關(guān)。事情的關(guān)鍵在于對(duì)于具體系統(tǒng)給出嚴(yán)格的證明，清楚地顯示初始條件的微小偏差使得隨后的演化極其不同，預(yù)測(cè)變得無(wú)用。 法國(guó)著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)馬于1898年發(fā)表劃時(shí)代的論文“負(fù)曲率曲面上的測(cè)地流”(Les surface s à courbures opposées et leurs lignes géodésiques)，［２］當(dāng)時(shí)他30歲。阿達(dá)馬考慮，在無(wú)摩擦情況下，質(zhì)點(diǎn)在扭曲的負(fù)曲率曲面上如何運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)的軌跡形成所謂的“測(cè)地流”。從數(shù)學(xué)角度看，測(cè)地流還是比較好研究的，阿達(dá)馬證明負(fù)曲率曲面上的測(cè)地流存在“對(duì)初始條件的敏感依賴性”(具體含義見(jiàn)后文)。形象點(diǎn)說(shuō)，阿達(dá)馬研究的具有定常負(fù)曲率的曲面的樣子為，剪一片羅巴切夫斯基平面，把它折起來(lái)，然后將邊緣用膠水粘上。70年代蘇聯(lián)學(xué)者西奈(Ya.G.Sinai)就凸障礙物的“臺(tái)球”系統(tǒng)給出類(lèi)似定理的證明。相對(duì)比，阿達(dá)馬的證明難度要小得多。 法國(guó)科學(xué)史家、科學(xué)哲學(xué)家迪昂是較早領(lǐng)悟阿達(dá)馬上述結(jié)果的哲學(xué)含義的人物之一。在1906年出版的寫(xiě)給普通讀者的書(shū)中，迪昂把其中一節(jié)的標(biāo)題設(shè)為：“一個(gè)數(shù)學(xué)推演永遠(yuǎn)失效的實(shí)例”，［３］他指的數(shù)學(xué)推演是，計(jì)算阿達(dá)馬曲面上臺(tái)球的一條軌線。“永遠(yuǎn)失效”的意思是在初始條件中出現(xiàn)的微小不確定性，將導(dǎo)致很大的不確定性，使得對(duì)于足夠長(zhǎng)時(shí)間的軌道預(yù)測(cè)來(lái)說(shuō)，預(yù)測(cè)失去了根本意義。他說(shuō)，考慮阿達(dá)馬曲面上的一質(zhì)點(diǎn)，給定它運(yùn)動(dòng)的速度，〖ZZ(Q〗從數(shù)學(xué)角度〖ZZ)〗思考，我們能夠確定這一點(diǎn)的軌跡，但是〖ZZ(Q〗物理上〖ZZ)〗則做不到，所以這種數(shù)學(xué)推斷沒(méi)用?！皩?duì)于物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，這樣的推斷法永遠(yuǎn)是無(wú)用的。因?yàn)?，?dāng)已知數(shù)不再?gòu)膸缀螌W(xué)的角度來(lái)考慮，而是由人們所需要的那樣精確的物理學(xué)的手段來(lái)確定，那么所提出的問(wèn)題，現(xiàn)在和將來(lái)永遠(yuǎn)沒(méi)有答案。”［４］所謂“幾何學(xué)的角度”指“點(diǎn)”是無(wú)大小的，點(diǎn)的位置是無(wú)限精確的，刻畫(huà)該點(diǎn)一般至少需要一個(gè)無(wú)理數(shù)(因?yàn)殡S便抓一點(diǎn)幾乎都是無(wú)理數(shù)!)。 龐加萊對(duì)渾沌研究的貢獻(xiàn)無(wú)論怎樣夸講都不算過(guò)分。杰克遜(E.Atlee Jackson)撰寫(xiě)的兩卷本名著《非線性動(dòng)力學(xué)展望》第一章標(biāo)題為“〖ZZ(Q〗起初……〖ZZ)〗”，次級(jí)標(biāo)題是“〖ZZ(Q〗……有個(gè)龐加萊〖ZZ)〗”，第一句為“現(xiàn)代非線性動(dòng)力學(xué)倘若有位圣父，那就是龐加萊。”［５］作者杰克遜分明仿照《圣經(jīng)·創(chuàng)世紀(jì)》的語(yǔ)句，將龐加萊置于“上帝”的位置。定語(yǔ)“現(xiàn)代非線性”很重要，是絕對(duì)不能省略的。 龐加萊的遺產(chǎn)是多方面的，魏特曼(A.S.Wightman)認(rèn)為至少包括四個(gè)方面：(1)定性動(dòng)力學(xué)，整體上流的通有行為，相圖的分類(lèi)；(2)遍歷理論，概率思想，回復(fù)性定理；(3)周期軌道的存在性，近周期軌處流的結(jié)構(gòu)的詳細(xì)分析；(4)分岔理論。［６］1887年布倫斯(Heinrich Bruns,1848-1919)證明，三體問(wèn)題的9個(gè)二階微分方程只有10個(gè)代數(shù)積分，即3個(gè)動(dòng)量積分、3個(gè)角動(dòng)量積分、3個(gè)關(guān)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的積分和1個(gè)能量積分。龐加萊1890年將上述定理推廣到有攝動(dòng)參數(shù)的情形，證明了下述定理： 若系統(tǒng)的哈密頓量H用作用角度變量(J，θ)表示成如下形式 〓〓H(J，θ，λ)=H0(J)+λH1(J，θ)，〖JY〗(3.1.1) 其中H1(J，θ)是θi(i=1,…，N)的周期函數(shù)，并且海賽行列式不恒等于0，即 〓〓[JB(｜][SX(]ο2H0[]οJiοJk[SX)][JB)｜]0,〖JY〗(3.1.2) 則除了哈密頓量H(J，θ，λ)以外，不存在作為θ之周期函數(shù)的形如 〓〓I(J，θ，λ)=∑〖DD(X〗n〖DD)〗λnIn(J，θ)[JY](3.1.3) 的解析、單值運(yùn)動(dòng)積分。1892年，在三卷本《天體力學(xué)的新方法》(Méthodes nouvelles d e la mécanique céleste)的第一卷第四章里，他把這一定理作了一般表述： 在通常的保守問(wèn)題中，經(jīng)典力學(xué)正則方程除了滿足能量積分外，不滿足其它任何解析、一致 的積分。［７］ 此定理的重要性在于，它從一般原理的層次明確指出，可積系統(tǒng)是很少的；并且，許多行為 很規(guī)則的系統(tǒng)當(dāng)受到擾動(dòng)后，也可能出現(xiàn)不連續(xù)性，即參數(shù)或初始條件只要有微小的變化， 就可能引起復(fù)雜的、定性上的變化。龐加萊對(duì)渾沌其它有關(guān)研究的具體闡述見(jiàn)《渾沌學(xué)縱橫 論》一書(shū)，這里只引述龐加萊關(guān)于“對(duì)初始條件的敏感依賴性”的一段精彩論斷： 〖HTK〗 〖GK2!〗我們覺(jué)察不到的極其輕微的原因決定著我們不能不看到的顯著結(jié)果，于是我們說(shuō)這 個(gè)結(jié)果是由于偶然性。如果我們可以正確地了解自然定律以及宇宙在初始時(shí)刻的狀態(tài)，那么 我們就能夠正確地預(yù)言這個(gè)宇宙在后繼時(shí)刻的狀態(tài)。不過(guò)，即使自然定律對(duì)我們已無(wú)秘密可 言，我們也只能〖ZZ(Q〗近似地〖ZZ)〗知道初始狀態(tài)。如果情況容許我們〖ZZ(Q〗以同樣 近似度〖ZZ)〗預(yù)見(jiàn)后繼的狀態(tài)，這就是我們所要求的一切，那我們便說(shuō)該現(xiàn)象被預(yù)言到了 ，它受規(guī)律支配。但是，情況并非總是如此；可以發(fā)生這樣的情況：初始條件的微小差別在 最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生了極大的差別；前者的微小誤差促成了后者的巨大誤差。預(yù)言變得不可能 了，我們有的是偶然發(fā)生的現(xiàn)象。［８］〖HK〗〖HTSS〗 〖DM(〗3.1〓玻恩和布里淵對(duì)動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性的認(rèn)識(shí)〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖WTHZ〗〖HTH〗3.1〓玻恩和布里淵對(duì)動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性的認(rèn)識(shí)〖WTBZ 〗〖STBZ〗〖HTSS〗〖ML〗 玻恩對(duì)量子力學(xué)的研究作出了巨大貢獻(xiàn)，他最有說(shuō)服力地證明，在量子力學(xué)里概率統(tǒng)計(jì) 的觀點(diǎn)具有根本意義。他將態(tài)函數(shù)ψ的模平方｜ψ｜2解釋為系統(tǒng)處于某態(tài)的概率(幾率) ，這一詮釋廓清了迷霧重重的量子力學(xué)，已成為正統(tǒng)解釋。這些情況人們一般是熟悉的，但 許多人并不曉得它們與“決定論”之間的關(guān)系。 玻恩有句名言：“粒子運(yùn)動(dòng)遵循幾率定律，而幾率本身按照因果律傳播。”［９］這 里的“因果律”相當(dāng)于科學(xué)中的“決定論”(具體含義見(jiàn)第5章)。玻恩進(jìn)一步思考經(jīng)典力學(xué) 中是否真的總是決定論的?！敖?jīng)典力學(xué)真的在所有情況下都使得預(yù)測(cè)可以進(jìn)行嗎?當(dāng)我將天 文學(xué)時(shí)間尺度與原子物理學(xué)的時(shí)間尺度相對(duì)比時(shí)，我的懷疑增加了。”［１０］這是 玻恩在“經(jīng)典力學(xué)果真是決定論的嗎?”一文中說(shuō)的話。我們將以此文為根據(jù)，闡述玻恩對(duì) 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)“對(duì)初始條件的敏感依賴性”的認(rèn)識(shí)。 文中也使用了“chaos”這個(gè)詞，不過(guò)是在一般意義上：“古人和中世紀(jì)的人看到的只是天 界的秩序和預(yù)定性，而在地上則發(fā)現(xiàn)充斥了任性和渾沌?！?玻恩堅(jiān)信經(jīng)典力學(xué)有若干局限 性，表現(xiàn)出來(lái)的似乎無(wú)疑問(wèn)的完全決定性是個(gè)假象，實(shí)際上它容許了非決定性，理由有三個(gè) ： (1)牛頓力學(xué)并不足以解釋所有觀測(cè)事實(shí)，特別是原子物理學(xué)的事實(shí)。 (2)牛頓力學(xué)來(lái)自宏觀領(lǐng)域，如果對(duì)比天文學(xué)與原子物理學(xué)的時(shí)間尺度，會(huì)看到星體世界是 “短命的”，原子世界是“長(zhǎng)命的”。由前者得到的經(jīng)驗(yàn)定律，試圖使之對(duì)于后者永遠(yuǎn)有效 ，這可能是危險(xiǎn)的。 (3)動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性使得小偏差可以產(chǎn)生意想不到的大偏差，只要對(duì)系統(tǒng)的初始條件測(cè)量稍 有誤差，系統(tǒng)演化就可能違反決定論。 人們通常宣稱，在氣體動(dòng)理論的討論中，系統(tǒng)原則上都是決定論的，之所以要引入統(tǒng)計(jì)學(xué)， 只是因?yàn)槿藗儾恢来罅繑?shù)目分子的確切初始位置。玻恩認(rèn)為，這一斷言極其可疑?？紤]一 運(yùn)動(dòng)的球形分子與其它數(shù)目眾多的固定的分子發(fā)生彈性碰撞。不難想象，初始速度的方向只 要有小小的變化就會(huì)導(dǎo)致方向的巨大改變，產(chǎn)生完全不同的曲曲折折的運(yùn)動(dòng)路徑。角度有小 小的偏差就將使得本該與某分子碰撞而錯(cuò)過(guò)了機(jī)會(huì)。對(duì)于這類(lèi)系統(tǒng)，若要維持決定論，就必 須要求對(duì)初始條件的測(cè)量誤差完全避免。這顯然不大可能，因而過(guò)程實(shí)際上是非決定論的。 為了進(jìn)一步證明這一點(diǎn)，玻恩又討論了三個(gè)問(wèn)題：(1)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定和不穩(wěn)定的區(qū)別；(2)決定 論(determinism)的含義；(3)數(shù)學(xué)連續(xù)統(tǒng)(continnum)的意義。進(jìn)入80年代，玻恩的討論已 被福特和則比黑里大大改進(jìn)了，但回顧一下玻恩當(dāng)年的分析還是值得的。 設(shè)x和v分別代表位置向量和速度向量。玻恩定義道，在初始狀態(tài)中小的偏差Δx0、Δv 0在終態(tài)中若僅僅引起小的變化Δx、Δv，則運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的；否則運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。上面 提到的分子碰撞系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的，這類(lèi)系統(tǒng)顯然很多。那么行星運(yùn)動(dòng)是否穩(wěn)定呢?玻恩提 到了三體理論和多體問(wèn)題。他說(shuō)：“我不曉得現(xiàn)代研究的進(jìn)展怎樣?！?“關(guān)鍵之處在于 ，存在一些系統(tǒng)(它們可以用作物理過(guò)程的模型)，首先它們是空間有界的，其次所有的運(yùn)動(dòng) 都是不穩(wěn)定的。容器中具有彈性壁的彈性球形氣體分子模型就是這類(lèi)系統(tǒng)，但它太復(fù)雜了， 難以嚴(yán)格研究?！蔽覀冎篮髞?lái)西奈對(duì)此嚴(yán)格證明了一個(gè)定理，證明過(guò)程極為復(fù)雜。 在闡述動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性的意義時(shí)他說(shuō)，如果我們希望保留決定論，即初始狀態(tài)決定了所有 其它狀態(tài)，那么我們不得不需要x0、v0的絕對(duì)確切值，禁止有任何偏差Δx0、Δv0 。我們可以講“弱”決定性和“強(qiáng)”決定性。后者對(duì)應(yīng)于動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，對(duì)其預(yù)測(cè)是實(shí)際 可行的，不幸的是這僅僅是例外情形?？疾煲粋€(gè)簡(jiǎn)單的例子，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在兩端有彈性壁的區(qū) 間［0，1］上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，假設(shè)不受任何外來(lái)作用。實(shí)際情況是，到達(dá)某一臨界時(shí)間tc=1/ Δv0，不確定性Δx＞1。 于是幾乎可以在區(qū)間［0，1］的任何位置找見(jiàn)質(zhì)點(diǎn)，即質(zhì)點(diǎn)的 最終位置不確定。的確，當(dāng)Δv0減小時(shí)，臨界時(shí)間tc增大，但只要Δv0不是無(wú)窮小， tc就僅僅是被推遲而已。只有Δv0=0時(shí)，tc才變得無(wú)窮大。這里已涉及到了連續(xù)統(tǒng)的 測(cè)量問(wèn)題。玻恩正確地指出，類(lèi)似于“量x有一完全確定的值(用一實(shí)數(shù)表示，或用數(shù)學(xué)連 續(xù)統(tǒng)的一點(diǎn)表示)”的陳述，“對(duì)我來(lái)說(shuō)沒(méi)有物理意義”。他贊同布里奇曼(P.W.Bridgman) 的操作主義的方法論。順便一提，郝柏林提出的“自然科學(xué)的有限性原則”很類(lèi)似于這種方 法論。玻恩并無(wú)意從物理學(xué)中清除實(shí)數(shù)概念，“實(shí)數(shù)概念對(duì)于分析的運(yùn)用是必不可少的”。 他的意思是，在用實(shí)數(shù)描述物理過(guò)程時(shí)，必須考慮所有觀測(cè)中存在的天生的不確定性。玻恩 特別指出，在量子力學(xué)中，除了海森伯不確定性外，仍然存在剛才提到的動(dòng)力學(xué)不確定性或 非決定性，否則量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)不會(huì)誕生。玻恩的論斷為當(dāng)今量子渾沌研究打下了伏筆。 布里淵熟悉龐加萊的動(dòng)力學(xué)研究，也看過(guò)玻恩的眾多論述，1964年專門(mén)寫(xiě)過(guò)一本書(shū)《科學(xué)的 不確定性與信息》。他從信息論的角度出發(fā)，天才地厘定了數(shù)學(xué)與物理科學(xué)之間必要的區(qū)別 ，“物理科學(xué)”在這里泛指所有經(jīng)驗(yàn)科學(xué)。這種區(qū)分并不困難和費(fèi)解，但在現(xiàn)在看來(lái)的確高 明。數(shù)學(xué)馳騁天界，物理則駐足人世。天界并不實(shí)存，只是人的構(gòu)想，數(shù)學(xué)就處于這樣的地 位。但正因?yàn)樗菈m世中人的構(gòu)造，它必根植于現(xiàn)實(shí)，并抽象地、理想化地反映現(xiàn)實(shí)。 布里淵追隨龐加萊和玻恩關(guān)于經(jīng)典力學(xué)的看法，關(guān)于測(cè)量的極限，他舉過(guò)一個(gè)很有說(shuō)服力的 例子。他斷言，我們絕對(duì)沒(méi)有辦法精確測(cè)量比10-15厘米更短的距離，僅僅因?yàn)闆](méi)有 合適的衡量標(biāo)準(zhǔn)(“尺子”)。如果人們硬要測(cè)量10-50厘米左右的距離，唯一可用的 “尺子”是波長(zhǎng)與這個(gè)距離相當(dāng)?shù)哪撤N光波或德·布羅意波(λ≈10-50厘米)。 可以估算一下單個(gè)量子的能量大約為 〓〓E〖ZK(〗=hυ=hc/λ =6.63×10-34×3×108／10-52 =2×1027(焦?fàn)?。〖JY〗(3.1.4)[ZK)] 這個(gè)能量E大得驚人，足以把實(shí)驗(yàn)室炸得粉碎。再利用愛(ài)因斯坦的質(zhì)能關(guān)系，可以估算 出瞬間湮滅掉的質(zhì)量為 〓〓〓〓M〖ZK(〗=E/c2 =2×1027/(9×1016) =2×1010(千克) =2000 (萬(wàn)噸)。〖JY〗(3.1.5)[ZK)] 我們知道，為了進(jìn)行測(cè)量，“尺子”(光波或物質(zhì)波)與物理系統(tǒng)之間的相互作用至少需要一 個(gè)這樣的量子，而此量子如此大的能量必然引起一場(chǎng)災(zāi)難。因此，測(cè)量10-50厘米左 右的距離是不可想象的。既然如此，物理學(xué)家就不要侈談它!數(shù)學(xué)家并不受此限制，他們并 不在乎實(shí)際上能測(cè)量到何種水平。數(shù)學(xué)家可以很好地定義無(wú)理數(shù)，但物理學(xué)家從未遇見(jiàn)過(guò)這 種數(shù)(在嚴(yán)格意義上)。布里淵切中要害地說(shuō)：“翻開(kāi)一本純數(shù)學(xué)書(shū)，看一個(gè)定理，總會(huì)見(jiàn)到 這樣的敘述：給定某些條件A、B、C，假定它們被確切地滿足，則可以嚴(yán)格證明結(jié)論Q正確 。物理學(xué)家不禁要問(wèn)，我們?cè)趺粗罈l件A、B、C已被確切地滿足?” “我們所知道的唯一 東西是，A、B、C可以在一定范圍內(nèi)被近似地滿足。那么，定理證明了什么呢? 或者A、B、C 的很小的誤差可以導(dǎo)致結(jié)果Q的很小的偏差；或者不然，可能完全破壞了Q?！豹б虼宋锢韺W(xué) 家不但要看數(shù)學(xué)定理“形式上”說(shuō)了些什么，還要了解“定理的穩(wěn)定性”狀況。 在《科學(xué)的不確定性與信息》一書(shū)第10章，布里淵討論了“經(jīng)典力學(xué)中不確定性的實(shí)例”， 開(kāi)篇就引用龐加萊《天體力學(xué)的新方法》第1卷中的著名定理(詳見(jiàn)上節(jié))，并闡述它的意義 。他認(rèn)為，對(duì)于多數(shù)保守的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)，在用哈密頓雅可比方法表示中，除了能量積分 外不存在其它任何解析的、一致的積分這一結(jié)論，對(duì)應(yīng)于實(shí)際的不穩(wěn)定性，將導(dǎo)致不確定 性。 當(dāng)時(shí)已有了KAM定理(1954年首次提出KAM定理，60年代初給出嚴(yán)格證明)，他可能還不知 道。不過(guò)，他的討論在定性上與KAM定理一致。布里淵特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)討論是一回事，物理學(xué) 事實(shí)是另一回事。在用哈密頓雅可比方法討論時(shí)，總是假定規(guī)律已知，初始條件完全給定 ，運(yùn)動(dòng)軌跡是單一的無(wú)厚度的數(shù)學(xué)曲線，涉及共振時(shí)采用數(shù)論區(qū)分一下“通約性”，把問(wèn)題 進(jìn)一步區(qū)分為“一般的”和“退化的”。而在物理學(xué)家看來(lái)，初始條件沒(méi)有“給定”，運(yùn)動(dòng) 定律也不確切知道?！盁o(wú)理數(shù)”和“可通約性”都不是物理概念；物理上不可能研究單個(gè)數(shù) 學(xué)軌道的性質(zhì)，物理學(xué)家只知道“軌道叢”。布里淵在書(shū)中還提到波萊爾在1944年作出的類(lèi) 似見(jiàn)解及其關(guān)于不可預(yù)測(cè)性的估算。 〖DM(〗3.2〓由歐洲大陸到美國(guó)：莫爾斯與伯克霍夫的杰出工作〖DM)〗 [HS3]〓〓〖HTH〗〖STHZ〗3.2〖STBZ〗〓由歐洲大陸到美國(guó)：莫爾斯與伯克霍夫的杰出工 作〖ML〗 〖HTSS〗 眾所周知，現(xiàn)代科學(xué)的中心在世紀(jì)之交由歐洲舊大陸轉(zhuǎn)移到了美洲新大陸。由阿達(dá)馬、龐加 萊開(kāi)創(chuàng)的法國(guó)動(dòng)力系統(tǒng)研究傳統(tǒng)也傳到了美國(guó)，并在美國(guó)生根，最終結(jié)出豐碩的果實(shí)，令整 個(gè)世界為之驚嘆。 1921年美國(guó)哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)家莫爾斯(Harold Marston Morse,1892-1977)在《美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)匯 報(bào)》上發(fā)表重要論文“負(fù)曲率曲面上的回復(fù)測(cè)地流”(論文寫(xiě)于1917年)，［１１］全 面論述了阿達(dá)馬(1898年)、伯克霍夫(1912年)和他本人(1920年)對(duì)“測(cè)地流”的研究。在文 章的導(dǎo)言里他特別強(qiáng)調(diào)，該文證明存在“〖ZZ(Q〗不連續(xù)型的回復(fù)性測(cè)地流〖ZZ)〗”(recu rrent geodesics of the discontinuous type，莫爾斯說(shuō)這個(gè)詞組是伯克霍夫給出的)。這 種“不連續(xù)”流就是當(dāng)今的渾沌曲線。如果要指出歷史上誰(shuí)最先發(fā)現(xiàn)渾沌的話，莫爾斯肯定 要?jiǎng)澣肟紤]的人選之一。遺憾的是現(xiàn)在人們差不多把他忘記了。 我們仔細(xì)讀了莫爾斯的論文，還發(fā)現(xiàn)他很自然地把“有序符號(hào)集合”與“流”(運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的 運(yùn)動(dòng))對(duì)應(yīng)起來(lái)。他已經(jīng)相當(dāng)自如地使用了“符號(hào)動(dòng)力學(xué)”方法，而符號(hào)動(dòng)力學(xué)被認(rèn)為是研 究渾沌的少有的、最嚴(yán)格的工具之一。在第14小節(jié)里，莫爾斯在一個(gè)引理中嚴(yán)格構(gòu)造了一個(gè) “非周期回復(fù)性測(cè)地流”：〖ZZ(Q〗存在由符號(hào)“1”和“2”組成的無(wú)窮集合，它構(gòu)成一個(gè) 非周期的回復(fù)集合〖ZZ)〗(The exists an unending set of symbols each of which is e ither 1 or 2, which forms a set that is recurrent without being periodic.)。 令n是正整數(shù)，引入下述定義： 〓〓a0=1,〓b0=2, 〓〓a1=a0b0,〓b1=b0a0， ……[JY](3.2.1) 〓〓an+1=anbn,〓bn+1=bnan. 可以看出，an若展成a0和b0，有2n項(xiàng)。設(shè)符號(hào)序列d0d1d2d3d4…d 2n-1表示an的展開(kāi)式(有2n項(xiàng))?，F(xiàn)在考慮無(wú)限序列 〓〓… d-2d-1d0d1d2 … .[JY](3.2.2) 上式的右半部分含義已經(jīng)清楚了，只需把n推廣到無(wú)限即可。左半部分可定義為：d-m =dm-1(其中m為正整數(shù))。可以證明(3.2.2)式所定義的集合是回復(fù)的且沒(méi)有周期性 。由d0開(kāi)始的(3.2.2)式一部分可以確切寫(xiě)作： 〓1221〓2112〓2112〓1221〓2112〓1221…〖JY〗(3.2.3) 周期運(yùn)動(dòng)是回復(fù)運(yùn)動(dòng)，這是毫無(wú)疑問(wèn)的，那么是否存在非周期的回復(fù)運(yùn)動(dòng)呢?如果存在，則 它必是一種非常奇特的運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)期以來(lái)人們并未注意到這種可能性。莫爾斯所舉的實(shí)例有力 地回答了這個(gè)問(wèn)題。莫爾斯進(jìn)一步證明，與非閉合(非周期)測(cè)地流相對(duì)應(yīng)的有序符號(hào)集合的 “勢(shì)”(power)，是無(wú)窮大的，等于實(shí)數(shù)“連續(xù)統(tǒng)”的“勢(shì)”。 伯克霍夫是20世紀(jì)初少數(shù)幾個(gè)認(rèn)識(shí)到龐加萊動(dòng)力系統(tǒng)研究工作的重要性的人物之一。他仔細(xì) 研究過(guò)龐加萊的著作，正如數(shù)學(xué)家莫爾斯所說(shuō)，“龐加萊是伯克霍夫的真正老師”，盡管他 并未師從于龐氏(龐氏去世時(shí)，伯氏28歲)。伯克霍夫的確不凡，真正繼承并發(fā)展了龐加萊開(kāi) 創(chuàng)的事業(yè)。美國(guó)普林斯頓大學(xué)教授魏特曼評(píng)論道：“在龐加萊去世后的20幾年里，伯克霍夫 對(duì)于龐加萊開(kāi)辟的動(dòng)力學(xué)研究綱領(lǐng)，做出了最重要的貢獻(xiàn)，這樣講一點(diǎn)不過(guò)分?！豹郏?BR> ２］ 伯克霍夫?qū)?dòng)力系統(tǒng)研究的具體貢獻(xiàn)是多方面的，還需要做許多深入的考察才能作出好的總 結(jié)。首先，他于1913年證明了“龐加萊幾何定理”，名聲大震。不過(guò)，對(duì)他來(lái)說(shuō)這只是一個(gè) 開(kāi)端。此幾何定理不難理解，但它是其后續(xù)工作的起點(diǎn)。定理說(shuō)：對(duì)于圓環(huán)的一個(gè)保面積映 射F，假設(shè)F在外環(huán)上角度增加，在內(nèi)環(huán)上角度減小，則此圓環(huán)內(nèi)至少存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。 這種映射習(xí)慣上稱“扭曲映射”(twist mapping)。伯克霍夫研究動(dòng)力系統(tǒng)是有明確動(dòng)機(jī)的 ，即用以解決經(jīng)典力學(xué)中的困難問(wèn)題。他把龐加萊截面法(由龐加萊和他本人共同發(fā)展的)用 于探索哈密頓系統(tǒng)的一般行為。他發(fā)現(xiàn)微分方程解的性質(zhì)取決于正則級(jí)數(shù)的收斂性。如果收 斂，解位于N維不變環(huán)面(torus,復(fù)數(shù)tori)上。但是情況卻是，級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散與否 取決于振幅的大小。當(dāng)考慮非線性作用時(shí)，橢圓不動(dòng)點(diǎn)周?chē)牟蛔儹h(huán)面有些遭到破壞，有些 繼續(xù)存在但有點(diǎn)變形。 伯克霍夫花大精力分析不變環(huán)面的“生存”問(wèn)題，特別是對(duì)于兩自由度的哈密頓系統(tǒng)。1932 年他證明，對(duì)應(yīng)于不變環(huán)面的消失，存在不穩(wěn)定區(qū)域。這樣的一個(gè)不穩(wěn)定區(qū)可以被一條扭曲 映射下的不變曲線所包攏，但區(qū)域內(nèi)并無(wú)環(huán)繞原點(diǎn)的不變曲線。事實(shí)上他已證明，任意接近 外邊界的點(diǎn)在映射作用下可以任意接近內(nèi)邊界，反之亦然。 在研究不穩(wěn)定區(qū)結(jié)構(gòu)時(shí)他找到了我們今天稱之為“奇怪吸引子”的實(shí)例，當(dāng)時(shí)他叫它“奇特 曲線”(remarkable curve)。他讓一個(gè)收縮性的扭曲映射作用于兩條不變曲線之間的不穩(wěn)定 區(qū)域，結(jié)果不穩(wěn)定區(qū)域被映射到了更小的一個(gè)子區(qū)域中去了。此映射的迭代，最終把原區(qū)域 變成了一個(gè)面積為零，結(jié)構(gòu)極其復(fù)雜的極限集合。位于原區(qū)域中的點(diǎn)的軌跡都收斂到這個(gè)集 合中去，結(jié)果展示出我們今天所說(shuō)的“渾沌行為”，更為不平凡的是，他已意識(shí)到這種渾沌 行為是動(dòng)力系統(tǒng)的通有行為。1922年伯克霍夫在《數(shù)學(xué)行傳》([WTHX]Acta Mathmatica[WTB Z])上發(fā)表長(zhǎng)達(dá)119頁(yè)的論文“面變換及其動(dòng)力學(xué)應(yīng)用”，較詳細(xì)地闡述了自己采用映射法對(duì) 兩自由度動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)類(lèi)型的研究。文中指出，他的研究已深深觸及可積性、穩(wěn)定性、各種 運(yùn)動(dòng)的分類(lèi)以及相互關(guān)系等艱難問(wèn)題。論文的第5章是“回復(fù)點(diǎn)群”，與渾沌有密切關(guān)系。 他使用了帶有“recurrent”字樣的一系列術(shù)語(yǔ)，如： 連續(xù)性回復(fù)點(diǎn)群(continous recurrent point groups)； 不連續(xù)性回復(fù)點(diǎn)群； 不穩(wěn)定的回復(fù)點(diǎn)群(unstable recurrent point groups)； 回復(fù)性的非周期點(diǎn)群(recurrent nonperiodic point groups)； 不連續(xù)型回復(fù)運(yùn)動(dòng)(recurrent motions of discontinous type)。 其中所說(shuō)的“不連續(xù)”情形正好對(duì)應(yīng)于今日廣泛研究的“渾沌”。這里的“連續(xù)”是從集合 的“連通性”來(lái)定義的，與直觀的理解不同，這是需要特別注意的。設(shè)Σ表示任意完備 點(diǎn)群集合的閉包，連續(xù)性的含義如下：對(duì)于Σ中的一點(diǎn)P，若Σ中所有充分接近P的點(diǎn)通過(guò) Σ連通于P，則P是連續(xù)型的，反之P是不連續(xù)型的。最后，伯克霍夫把動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的類(lèi) 型按由簡(jiǎn)單到復(fù)雜順序劃分出7個(gè)大的類(lèi)型，在現(xiàn)在看來(lái)也是相當(dāng)高明的，值得轉(zhuǎn)述出來(lái)。 這7個(gè)類(lèi)型是：［１３］ (1)通常的周期運(yùn)動(dòng)；雙周期運(yùn)動(dòng)(可通過(guò)兩個(gè)自變量的收斂三角級(jí)數(shù)解析表示)；三周 期運(yùn)動(dòng)(可通過(guò)三個(gè)自變量的收斂三角級(jí)數(shù)解析表示)； (2)漸近于雙曲型周期運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)；漸近于橢圓型周期運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)；漸近于(1)和(2)中 提到的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)； (3)雙周期或三周期型回復(fù)運(yùn)動(dòng)(不可能用收斂三角級(jí)數(shù)表示)； (4)不連續(xù)型回復(fù)運(yùn)動(dòng)； (5)漸近于上述這些回復(fù)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)(或漸近于同胚回復(fù)運(yùn)動(dòng)集合的運(yùn)動(dòng))； (6)特殊的運(yùn)動(dòng)(即當(dāng)時(shí)間趨于正、負(fù)無(wú)窮大時(shí)，不接近所有相的運(yùn)動(dòng))； (7)一般的運(yùn)動(dòng)(general motions)。 這7類(lèi)實(shí)際上還可以進(jìn)一步約化成3類(lèi)或4類(lèi)。他把最復(fù)雜的一類(lèi)運(yùn)動(dòng)稱為“一般的運(yùn)動(dòng)”， 我們想他是有特別考慮的。由(1)到(7)，除個(gè)別特殊的之外(如(6))，運(yùn)動(dòng)越來(lái)越復(fù)雜，“ 測(cè)度”越來(lái)越大，物理上的“真實(shí)性程度”越來(lái)越大，數(shù)學(xué)上研究的難度也越來(lái)越大。數(shù)學(xué) 上人們總是先研究周期運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而到回復(fù)運(yùn)動(dòng)、渾沌運(yùn)動(dòng)，最后是各種具體的、 與任何一種理想化的運(yùn)動(dòng)都不同但利用它們又都可以部分得到解釋的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。伯克霍夫并 不由此而認(rèn)為已大功告成，他說(shuō)，“許多最致命的問(wèn)題仍然未有答案”，工作的進(jìn)展很大程 度上取決于能否找到新的解析工具。 伯克霍夫第二個(gè)與渾沌有關(guān)的貢獻(xiàn)在于遍歷理論。1931年他和史密斯(P.Smith)共同引進(jìn) “度規(guī)傳遞性”(metric transitivity)概念，從而使遍歷理論有了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，遍歷 問(wèn)題有了統(tǒng)一的提法，即遍歷性指相平均等于時(shí)間平均，等價(jià)于度規(guī)傳遞性。與度規(guī)傳遞性 相對(duì)應(yīng)還發(fā)展出拓?fù)鋫鬟f性(topological transitivity)概念。如今，人們正在采用拓?fù)鋫?BR> 遞性來(lái)精確定義渾沌，比如迪萬(wàn)尼(R.L.Devaney,1948-)1986年的定義(見(jiàn)3.10節(jié))。 〖DM(〗3.3〓受迫范德坡方程：從物理現(xiàn)象到KLL的數(shù)學(xué)定理〖DM)〗 [HS3]〓〓〖HTH〗〖WTBZ〗〖STHZ〗3.3〓受迫范德坡方程：從物理現(xiàn)象到CLL的數(shù)學(xué)定理 〖HTSS〗〖STBZ〗〖WTBZ〗〖ML〗 早在本世紀(jì)20年代，德國(guó)物理學(xué)家范德坡(Balth.von der Pol)就已開(kāi)始研究非線性電路的 弛豫振蕩(relaxation oscillations)問(wèn)題，得出以他的名字命名的范德坡方程及受迫范德 坡方程。1927年范德坡與范德馬克發(fā)現(xiàn)了著名的“分頻”現(xiàn)象，論文刊登在英國(guó)的《自然》 雜志上，題目是“頻分”(Frequency Demultiplication)，［１４］全文包括兩個(gè)插 圖，一共只占了不到兩頁(yè)的篇幅(其實(shí)合起來(lái)正好是一頁(yè)!)。然而他們?cè)谶@里卻報(bào)告了科學(xué) 史上的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)，半個(gè)世紀(jì)后的70年代中、后期，數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯恳痪S的邏輯斯蒂映射 時(shí)以無(wú)比激動(dòng)的心情再次發(fā)現(xiàn)類(lèi)似現(xiàn)象。所不同的除了時(shí)間相差50年外，還有兩個(gè)方面：(1 ) 20年代時(shí)的順序是由物理到數(shù)學(xué)，70年代時(shí)是由數(shù)學(xué)到物理，盡管在兩個(gè)時(shí)代那些科學(xué)“ 團(tuán)伙”對(duì)于物理和數(shù)學(xué)都有興趣；(2)20年代時(shí)的研究只是個(gè)別“先知”人物進(jìn)行的，論文 發(fā)表后也未引起強(qiáng)烈反響，70年代后期則不然，結(jié)果一經(jīng)報(bào)導(dǎo)，不用振臂高呼，應(yīng)者已云集 矣。 “頻分”一文對(duì)后來(lái)的渾沌學(xué)研究有兩個(gè)貢獻(xiàn)。第一，在物理系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔。論 文明確指出，對(duì)于由電阻(在實(shí)驗(yàn)中可用一只二級(jí)管代替)、可變電容、激勵(lì)源組成的非線電 路，當(dāng)策動(dòng)項(xiàng)為E0sinω[KG*6]t時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生倍頻2ω、3ω等并不奇怪，這已是 人們熟知的事實(shí)。但是，他們發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)設(shè)計(jì)的此類(lèi)電路還能產(chǎn)生分頻現(xiàn)象，比如系統(tǒng)可以 出現(xiàn)ω/2、ω/3、ω/4以及ω/40分頻，這是人們以前不知道的。分頻過(guò)程進(jìn)行的結(jié)果是出 現(xiàn)“不規(guī)則噪聲”，即渾沌。第二，首次繪出“魔鬼階梯”圖象。范德坡和范德馬克測(cè)試了 響應(yīng)頻率與電容值的關(guān)系，以測(cè)試到的時(shí)間周期T為縱軸，以可變電容值C為橫軸，繪出 了寬度參差不齊的階梯狀圖象。70年代末、80年初以來(lái)，人們?cè)谠S多不同領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了同樣類(lèi) 型的魔鬼階梯，可以統(tǒng)一用分形(fractal)等理論研究階梯的結(jié)構(gòu)。 英國(guó)數(shù)學(xué)家卡特萊特(女)和李特爾伍德(簡(jiǎn)稱CL)1945年在《倫敦?cái)?shù)學(xué)協(xié)會(huì)雜志》上發(fā)表論文 ，［１５］報(bào)告了他們對(duì)受迫范德坡方程研究的一些重要結(jié)果。論文在腳注中提到了 1927年范德坡和范德馬克在《自然》雜志上的文章。CL研究這些方程的動(dòng)機(jī)在于，他們看到 了1938年科學(xué)與工業(yè)研究學(xué)部(DSIR)的無(wú)線電處(RS)所提交的一份備忘錄。［１６］ 備忘錄呼吁純數(shù)學(xué)家伸出援助之手，幫助解決某些電路中出現(xiàn)的困難問(wèn)題，如確定可能的定 態(tài)(或穩(wěn)定振蕩)與頻率，并搞清頻率如何隨參數(shù)而變化。CL的興趣被喚起，于是花了大量時(shí) 間研究受迫振動(dòng)。CL所研究的方程為 〓〓〖SX(〗d2x[]dt2[SX)]+k(x2-1)[SX(]dx[]dt[SX)]+x=bλkc os(λt),[JY](3.3.1) 其中k，λ和b為參數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)系統(tǒng)為非耦合的，參數(shù)k可以引起弛豫振蕩。兩位數(shù)學(xué)家的 高明之處在于沒(méi)有直接去解這個(gè)方程(也解不出來(lái)!)，當(dāng)時(shí)也沒(méi)有實(shí)用的計(jì)算機(jī)，不可能象 今天這樣方便地采用數(shù)值計(jì)算，卻得出了非常深刻的結(jié)論。當(dāng)然在現(xiàn)在看來(lái)論文中有些部分 寫(xiě)得不夠簡(jiǎn)練，或者不能切中要害。 論文在第一部分的結(jié)尾指出，從一般拓?fù)淅碚搧?lái)看，極限集合K除了不動(dòng)點(diǎn)、周期軌線，確 實(shí)還有其它可能性，即存在非?！皦摹钡那€，必須仔細(xì)研究。注意，原文中“bad”是 加了引號(hào)的，伯克霍夫1932年就用過(guò)“bad curve”這樣的描述語(yǔ)。在第三部分中指出， 當(dāng)參數(shù)b處于某個(gè)區(qū)間時(shí)，存在由無(wú)窮多個(gè)周期構(gòu)成的集合Σ，此外還有一種集合X，它由非 周期的極限軌線構(gòu)成，具有連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)。作者已認(rèn)識(shí)到這就是伯克霍夫所說(shuō)的“不連續(xù)型回 復(fù)運(yùn)動(dòng)”。 CL證明了當(dāng)b屬于不同區(qū)間時(shí)，方程(3.3.1)的解具有不同的性質(zhì)。當(dāng)b＞2/3時(shí)，所有解都 趨于穩(wěn)定的極限環(huán)；較有趣的是當(dāng)0＜b＜2/3時(shí)，解的性態(tài)很復(fù)雜，可以把(0，2/3)開(kāi)區(qū)間 分出兩類(lèi)小的開(kāi)區(qū)間來(lái)討論。兩類(lèi)小區(qū)間是Ai和Bi(i=1,2,… )，它們分別被一些小的 間隙Gi所分隔。 (1)當(dāng)b∈Ai時(shí)，存在一對(duì)周期解，一個(gè)穩(wěn)定一個(gè)不穩(wěn)定，它們的周期是(2ni±1)T，T 是策動(dòng)力的周期。 (2)當(dāng)b∈Bi時(shí)，存在三類(lèi)軌線：1)存在一對(duì)穩(wěn)定的周期解，周期為(2ni±1)T；2)存在 周期為T(mén)的不穩(wěn)定極限環(huán)；3)存在解的一個(gè)“渾沌族”F (杰克遜的用語(yǔ))，F(xiàn)的性質(zhì)見(jiàn)下文。 CL是熟悉伯克霍夫等人所做的先驅(qū)工作的，上述論文提到伯氏1922年、1927年和1932年的文 章和專著。另外還提到萊溫松(簡(jiǎn)稱L)1945年的論文。 萊溫松在CL工作的基礎(chǔ)上研究了受迫范德坡方程，1949年他在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文“具 有奇異解的二階微分方程”。［１７］開(kāi)篇就說(shuō)，CL得出驚人的結(jié)果，但只給出了所 用方法的框架。他將討論如下方程 〓〓[SX(]d2y[]dt2[SX)]+p(y)[SX(]dy[]dt[SX)]+y=csint [JY ](3.3.2) 其中p(y)是y的多項(xiàng)式，c為常數(shù)。為了研究方便，他分析的是(3.3.1)的等價(jià)形式 〓〓ε[SX(]d2x[]dt2[SX)]+φ(x)[SX(]dx[]dt[SX)]+εx=bsin t [JY](3.3.3) 其中ε＞0，是小的常數(shù)，φ(x)的取值情況為 〓〓φ(x)=1, 當(dāng)｜x｜＞1時(shí)；[JY](3.3.4) 〓〓φ(x)=-1, 當(dāng)｜x｜＜1時(shí)。[JY](3.3.5) 其中b也是常數(shù)，取值范圍是(0，1)。萊溫松認(rèn)為(3.3.2)式或(3.3.3)式比CL研究的( 3.3.1)式要簡(jiǎn)單，但能出現(xiàn)同樣的奇異行為：方程(3.3.2)或(3.3.3)存在一個(gè)具有奇 異性的解族F。 他的研究方法是考察解曲線穿過(guò)x=±1截面的情況，即對(duì)t進(jìn)行分類(lèi)，分出“ 偶截點(diǎn)”和“奇截點(diǎn)”。設(shè)x(t)為解族F中一個(gè)解，x(t)從其最大值(約為3，每次是不同的) 遞減并首次穿過(guò)x=1截面的截點(diǎn)記為“偶截點(diǎn)”，從其最小值(約為-3，每次是不同的)遞增 并首次穿過(guò)x=-1截面的截點(diǎn)記為“奇截點(diǎn)”。隨著t增加，解曲線一次又一次從不同方向交 替地穿越x=1截面和x=-1截面。這樣，由所有偶截點(diǎn)形成一些小的區(qū)間，設(shè)其中的一個(gè)用M表 示，M=τ (mod2π)，τ＜τ1＜0.1，稱之為偶基區(qū)間(even base interval)； 所有奇截點(diǎn)也形成一些小的區(qū)間，其中的一個(gè)可用N表示，N=π+τ (mod2π)，τ＜τ 1＜0.1，稱之為奇基區(qū)間(odd ～)。 L經(jīng)過(guò)復(fù)雜的論證，得出結(jié)論：對(duì)于適當(dāng)選擇的參數(shù)b，由一個(gè)奇基區(qū)間(比如說(shuō)N)出發(fā)的 一族解曲線，在方程(3.3.2)的作用下，先增加然后減小，最后被映射到偶基區(qū)間上。要點(diǎn) 是，對(duì)于不同的初始值，映射后所落入的偶基區(qū)間可能有兩個(gè)，一個(gè)離N較近，一個(gè)離N較遠(yuǎn) ，更準(zhǔn)確地說(shuō)一個(gè)區(qū)間始于(2n-1)π，另一個(gè)區(qū)間始于(2n+1)π，這里n是某個(gè)正整數(shù)，只 由b和ε決定。 N中的一個(gè)點(diǎn)究竟被映射到哪一個(gè)偶基區(qū)間雖然是確定的，但非常不好判 斷。對(duì)于由偶基區(qū)間出發(fā)的解族，有類(lèi)似的結(jié)論。上述論證顯然可以適用于未來(lái)所有時(shí)間的 解曲線演化。由奇基區(qū)間出發(fā)的軌道在演化中被移位到了(2n-1)π或(2n+1)π(可以分 別簡(jiǎn)記為0和1)，這樣，任一軌道都對(duì)應(yīng)于一條由“0”和“1”構(gòu)成的序列。反過(guò)來(lái)看，任 取一條由0和1組成的序列，也都能找到一條軌道與之對(duì)應(yīng)。軌道的演化相當(dāng)于伯努利移位。 由此可得出結(jié)論：存在解的一個(gè)渾沌族F，F(xiàn)具有連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)，F(xiàn)之中還有一些是不穩(wěn)定的 周期軌道。由伯努利序列的周期性還不能立即得到軌道的周期性。還需要證明一種“連續(xù)性 ”，即當(dāng)初始條件連續(xù)改變時(shí)，映射后的點(diǎn)也連續(xù)跨過(guò)相應(yīng)的區(qū)間。L證明了這種連續(xù) 性，因而證明存在周期軌道。這些周期軌因?yàn)殍偳对跍嗐缱錐中，小的攝動(dòng)就可以使軌道喪 失周期性，因而它們是不穩(wěn)定的。 L文章另一個(gè)出色工作是，證明方程的多數(shù)軌道都“收斂”于解族F，這是一個(gè)關(guān)鍵，如 果在相空間中解很快就遠(yuǎn)離F，那么F在實(shí)際物理過(guò)程中不起什么作用。L最終找到一個(gè) 奇特的集合K0，其中FK0。 若T是龐加萊映射，則K0在T作用下不變。K0是具有0 面積的閉集。K0中包含兩個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)，在龐氏截面上分別對(duì)應(yīng)于(2n-1)和(2n+1)個(gè)點(diǎn)。 除了單個(gè)不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)外，K0是一個(gè)“吸引”集合。由于它包含了F，K0又是“奇怪” 集合。合起來(lái)K0就是后來(lái)所說(shuō)的“奇怪吸引子”! K0中的點(diǎn)也恰好是伯克霍夫定義的 “不連續(xù)型回復(fù)點(diǎn)群”。 大數(shù)學(xué)家斯美爾受CLL文章的影響，于1959年抽象出“馬蹄”概念。［１８］如今馬 蹄已成了出現(xiàn)渾沌的重要判據(jù)。 〖DM(〗3.4〓近可積保守系統(tǒng)的一般行為〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.4〓近可積保守系統(tǒng)的一般行為〖STBZ〗〖HTSS〗〖ML〗 保守經(jīng)典力學(xué)中真正可解的可積問(wèn)題并不多，但許多情況可用攝動(dòng)理論圓滿地處理。在天體 力學(xué)中，攝動(dòng)理論發(fā)展得尤為成熟。比如要計(jì)算太陽(yáng)系行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道，用攝動(dòng)理論 考察1000年內(nèi)的行為，不會(huì)產(chǎn)生根本性的困難。龐加萊的《天體力學(xué)的新方法》討論了各種 各樣的攝動(dòng)方法，是攝動(dòng)理論的一個(gè)光輝的典范。但是要想確知系統(tǒng)的長(zhǎng)期的、定性的行為 特征，攝動(dòng)理論就不靈了。因?yàn)殡S著時(shí)間的增加，擾動(dòng)量可以累積到很大，足以產(chǎn)生定性性 質(zhì)的變化。比如說(shuō)，行星可能落到太陽(yáng)上，可能逃離太陽(yáng)系，也可能彼此相撞。而且非常長(zhǎng) 的時(shí)間后，運(yùn)動(dòng)方程的解的行為，也許并不能很好地說(shuō)明真正的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，因?yàn)樵趲装偃f(wàn)年 的間隔里，非保守的效應(yīng)可能變得更加重要。人們真正感興趣的是時(shí)間比較長(zhǎng)，但不是無(wú)限 長(zhǎng)的情況。采用計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬是必然的選擇，但也有一定的局限性，它并不是十分嚴(yán)格的 方法。 攝動(dòng)方法遇到的一個(gè)致命問(wèn)題是級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題。一旦級(jí)數(shù)發(fā)散，整體上就不知道運(yùn)動(dòng)的 長(zhǎng)期行為如何。級(jí)數(shù)發(fā)散性問(wèn)題也叫“小分母”問(wèn)題。當(dāng)未攝動(dòng)時(shí)的頻率可通約時(shí)，對(duì)應(yīng)于 精確共振，有些級(jí)數(shù)的分母為0，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為無(wú)窮大。在接近共振處，級(jí)數(shù)的這些項(xiàng)也很大 。小分母問(wèn)題是本質(zhì)性的，因?yàn)橛欣頂?shù)集合是稠密集，在一個(gè)未擾動(dòng)問(wèn)題的相空間里，滿足 共振條件的初始值，構(gòu)成一稠密集合，因而使小分母為0的初始值形成稠密集合。于是由攝 動(dòng)理論的級(jí)數(shù)給出的函數(shù)含有的奇點(diǎn)數(shù)構(gòu)成稠集。而且事情并不僅限于天體力學(xué)，凡涉及近 可積的問(wèn)題都面臨著同一個(gè)困難。龐加萊自己稱研究條件周期運(yùn)動(dòng)的攝動(dòng)是“動(dòng)力學(xué)的基本 問(wèn)題”。 用作用角度變量表示的哈密頓函數(shù)經(jīng)過(guò)某種變換，若能化成只依賴于作用變量，與角度變 量無(wú)關(guān)，即 〓〓H(I,φ)=K(I)[JY](3.4.1) 則系統(tǒng)是可積的。設(shè)初值為I0,φ0∈[WTHX]R[WTBZ]N, 則方程的解可立即求 出為 〓〓Ik(t)=I0k;〓φk(t)=ωkt+φ0k〓(k=1,…，N)[JY](3.4.2) 如果找不到一種變換，使得哈密頓方程只包含作用變量，則系統(tǒng)是不可積的。事實(shí)上，對(duì)于 多數(shù)保守系統(tǒng)，無(wú)法找到這樣的(正則)變換，因而是不可積的。直觀上容易理解這一點(diǎn)， 因?yàn)橐坏┱业竭@樣的正則變換，就意味著系統(tǒng)的行為可以化簡(jiǎn)，歸約為N維環(huán)面上的條 件周期(conditionally periodic)運(yùn)動(dòng)。條件周期運(yùn)動(dòng)包括周期運(yùn)動(dòng)和準(zhǔn)周期(quasiperi odic)運(yùn)動(dòng)。設(shè)N個(gè)自由度近可積攝動(dòng)系統(tǒng)的哈密頓量是 〓〓H=H0+εH1(I,φ),〓ε1,[JY](3.4.3) I和φ是作用變量和角度變量，H0是未攝動(dòng)時(shí)的哈密頓量，εH1是小的擾動(dòng)(攝動(dòng))， 它為角變量φ1,…，φn的2π周期函數(shù)。哈密頓方程為 〓〓〖AKI·〗k=-〖SX(〗οH〖〗οφk〖SX)〗； 〖AKφ·〗k=〖SX(〗ο H〖〗οIk〖SX)〗〓(k=1,…，N) [JY](3.4.4) 近可積意味著ε很小，且在一定條件下可以保證有關(guān)的級(jí)數(shù)收斂。著名的KAM定理就是 關(guān)于近可積系統(tǒng)的一個(gè)重要的、一般性的結(jié)論。此定理是自牛頓以來(lái)物理學(xué)、數(shù)學(xué)領(lǐng)域最大 的突破之一，有十分重要的意義。KAM指證明此定理的三個(gè)人，K是柯?tīng)柲缏宸?，B是前者 的大弟子阿諾德(В．Я．Арнолд, V.I.Arnold或Arnold，1937- ），C是莫澤(J. Moser,1928-)。1954年在阿姆斯特丹舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上，K宣讀了論文“在具有小改變 量的哈密頓函數(shù)中條件周期運(yùn)動(dòng)的保持性”，［１９］正是在這篇簡(jiǎn)短的論文里，K 提出了最早形式的KAM定理，后來(lái)A(1961，1963)和M(1962，1966)嚴(yán)格證明了此定理。根據(jù) 阿諾德(1974，1978，1989)，［２０］KAM定理的非形式化敘述為： 〖ZZ(Q〗〖WTHZ〗KAM定理〖WTBZ〗〖ZZ)〗〓如果一個(gè)未攝動(dòng)的系統(tǒng)是非退化的，則對(duì)于 充分小的保守哈密頓攝動(dòng)，多數(shù)非共振不變環(huán)面不消失，只是有輕微變形，以致于在攝動(dòng)了 的系統(tǒng)相空間中仍然有不變環(huán)面，它們被相曲線稠密地充滿著，相曲線條件周期地環(huán)繞著環(huán) 面。環(huán)面的獨(dú)立頻率的個(gè)數(shù)等于自由度的數(shù)目。當(dāng)攝動(dòng)很小時(shí)，這些環(huán)面的測(cè)度很大，而它 們的并集的補(bǔ)集的測(cè)度很小。 KAM定理的比較形式化的敘述為：［２１］ 令Q是〖WTHX〗R〖WTBX〗N〖WTBZ〗的一個(gè)開(kāi)集，令H(I，φ，ε)是(I，φ，ε)的實(shí) 解析函數(shù)，對(duì)于所有I∈Q,0≤φ≤2π,和接近ε=0的ε。再假設(shè)H(I，φ，ε)是φ1，… ，φN的2π周期函數(shù)，并且H0(I)≡H(I,φ,0)獨(dú)立于φ。進(jìn)一步假定對(duì)于所有I∈Q , 〓〓[JB(｜]〖SX(〗ο2H0(I)[]οIkοIl〖SX)〗[JB)｜]≠0[JY](3.4. 5) 并且對(duì)應(yīng)的頻率ω(I)≡οH0/οI滿足｜k·ω｜≥C｜k｜-N，對(duì)于所有整向 量｜k｜=｜k1｜+…+｜kN｜≥1. 則對(duì)于充分小的ε，方程 〓〓 H=H0+εH1(I,φ)[JY](3.4.6) 在不變環(huán)面上存在解，不變環(huán)面的定義為 〓〓 φ′=φ+F(φ，ε)，[JY](3.4.7) 〓〓I′=I+G(φ，ε)，[JY](3.4.8) 其中F和G是φ和ε的實(shí)解析函數(shù)，并且是φ1，…，φN的2π周期函數(shù)，當(dāng)ε=0時(shí)二 者都為0。 進(jìn)而，在這些環(huán)面上的流滿足于 〓〓〖AKφ·〗k=ωk≡〖SX(〗οH0〖〗οIk〖SX)〗〓(k=1,…，N).[JY]( 3.4.9) 最后，當(dāng)ε→0時(shí)，位于這些不變環(huán)面上的、能量面上的狀態(tài)的測(cè)度，趨于1。換句話說(shuō)， 對(duì)于充分小的ε，不變環(huán)面上的狀態(tài)的測(cè)度很大。 總括起來(lái)看，KAM定理有三個(gè)條件：(1)H解析；(2)系統(tǒng)非退化，并且離開(kāi)共振一定距離 ；(3)擾動(dòng)ε足夠小。正如上面所見(jiàn)，每一條都有明確的數(shù)學(xué)含義。后來(lái)證明，其中第一 條的“解析”要求過(guò)強(qiáng)，可以用一定程度的“可微性”來(lái)代替，定理仍成立。 自覺(jué)運(yùn)用KAM定理是后來(lái)的事，在70年代以前很少有人曉得它。不過(guò)時(shí)代的發(fā)展已到了必須 尋找和使用這樣的理論的時(shí)候了。1964年法國(guó)天文學(xué)家埃農(nóng)和他的學(xué)生海爾斯通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù) 值計(jì)算，作出了重要發(fā)現(xiàn)。論文發(fā)表在《天體物理學(xué)雜志》上，題目為“第三運(yùn)動(dòng)積分的適 用性：一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)”。［２２］他們研究問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是，出于天文學(xué)的考慮，對(duì) 于某個(gè) 哈密頓系統(tǒng)，尋找可能存在的第三個(gè)孤立、光滑、整體運(yùn)動(dòng)積分。已經(jīng)知道第一個(gè)積分是哈 密頓量本身，相當(dāng)于能量；第二個(gè)積分是角動(dòng)量。一個(gè)系統(tǒng)存在的整體積分越多，運(yùn)動(dòng)受到 的約束越多，規(guī)則性也就越強(qiáng)。因此能否找到新的運(yùn)動(dòng)積分不變量，是天文學(xué)中一直有人在 研究的問(wèn)題，前文已提到龐加萊早已從定性上研究清楚，對(duì)于多數(shù)不可積系統(tǒng)，除了能量積 分外不存在其它的不變積分。那么，由可積到不可積，系統(tǒng)的行為是不是截然過(guò)渡的昵?回 答是二者有本質(zhì)的不同，但二者又是有密切聯(lián)系。傳統(tǒng)攝動(dòng)理論正是靠著這種聯(lián)系才獲得諸 多成功的，但也正是由于過(guò)分依賴于這種一定范圍內(nèi)的有限的聯(lián)系而失去威力的。在似是而 非的情況下，KAM定理起到了原則性的廓清作用。在科學(xué)史上，理論與實(shí)踐交叉發(fā)展，不斷 碰撞，生根、開(kāi)花以至結(jié)果，再在新的水平上交替前進(jìn)，循環(huán)往復(fù)以至無(wú)窮。 埃農(nóng)與海爾斯研究的哈密頓系統(tǒng)為 〓〓H=[SX(]1[]2[SX)](p21+p22)+[SX(]1[]2[SX)](q21+q22+2q21q 2-[SX(]2[]3[SX)]q32)[JY](3.4.10) 此系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)具有三角對(duì)稱性，用極坐標(biāo)表示，勢(shì)函數(shù)為 〓〓V=[SX(]1[]2[SX)]r2+[SX(]1[]3[SX)]r3 sin3θ， 〓〓q1=r cosθ,q2=r sinθ.〖JY〗(3.4.11) 在(q1,q2)平面上，系統(tǒng)的等勢(shì)面當(dāng)V=1/6時(shí)，是一正三角形，在此三角形內(nèi)等勢(shì)面是 一系列同心的圓環(huán)。正三角形的邊是“勢(shì)脊”，當(dāng)能量小于V=1/6,三角形內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是有界的 ；當(dāng)能量大于V=1/6，若運(yùn)動(dòng)始于三角形之外，則運(yùn)動(dòng)是無(wú)界的，將沿“勢(shì)谷”跑向無(wú)窮遠(yuǎn) 。埃農(nóng)和海爾斯取q1=0作為龐加萊截面，考察截面上的映射(取p1＞0)。研究的方法是 ，取不同的能量水平，分別在(q2,p2)面上觀察計(jì)算機(jī)運(yùn)算所投下的狀態(tài)點(diǎn)的分布。當(dāng) 能量為E=V=1/12時(shí)，所有點(diǎn)都位于一條光滑曲線上。能量稍增加一些，曲線變得復(fù)雜起來(lái)。 當(dāng)能量E=0.125＜1/6時(shí)，奇跡發(fā)生了，雖然此時(shí)能量還低于逃逸能量E=V=1/6=0.167， 但出 現(xiàn)了新的現(xiàn)象：有些軌線仍然位于光滑曲線(實(shí)際上是曲面!)上，而另外一些軌線則似乎是 無(wú)規(guī)則地運(yùn)動(dòng)。而且這些似乎隨意分布的點(diǎn)竟是一條軌線生成的。這種現(xiàn)象表明除了H之 外，系統(tǒng)并不存在新的光滑整體運(yùn)動(dòng)積分。由計(jì)算機(jī)作出的圖上可看出，一些小的由圓環(huán)包 圍著的“島嶼”，對(duì)應(yīng)于低能水平時(shí)的規(guī)則行為，這些“島嶼鏈”很象海上的環(huán)礁，每一組 實(shí)際上都是由單條軌線在映射過(guò)程中生成的。埃農(nóng)和海爾斯發(fā)現(xiàn)了多組島數(shù)不同的島嶼。當(dāng) 島數(shù)增加時(shí)，島嶼的尺度迅速減小。當(dāng)能量為0.1667(剛好小于逃逸能量E=1/6=0.167) ，由無(wú)規(guī)軌線構(gòu)成的“渾沌海”差不多把所有島嶼和其上的環(huán)礁都淹沒(méi)掉了。 采用KAM定理，可以很好地理解上述計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的一系列現(xiàn)象。所謂的島嶼對(duì)應(yīng)于近 可積哈密頓系統(tǒng)中仍然保持下來(lái)、但有稍許變形的KAM環(huán)面的二維投影(也可簡(jiǎn)稱KAM環(huán)面)。 能量增大，相當(dāng)于KAM定理中的小擾動(dòng)ε逐步增加，系統(tǒng)由近可積(當(dāng)然也是一種不可積 )到更加不可積方向的發(fā)展。不過(guò)當(dāng)時(shí)埃農(nóng)他們也許還不知道KAM定理。到了1969年，沃爾克 (G.H.Walker)與福特合著“保守非線性振子系統(tǒng)的振幅不穩(wěn)定性與遍歷行為”一文，［ ２３］才成功地利用KAM定理解釋這些計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。特別值得指出的是，福特熟悉蘇 聯(lián)科學(xué)家的研究狀況，對(duì)KAM定理意義的認(rèn)識(shí)明顯早于其他人。在1969年這篇論文里，他們 已把KAM定理與龐加萊定理、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基礎(chǔ)、簡(jiǎn)單非線性系統(tǒng)中復(fù)雜性的起源、埃農(nóng)和 海爾斯實(shí)驗(yàn)、FPU實(shí)驗(yàn)等等聯(lián)系在一起進(jìn)行思考，顯示了驚人的科學(xué)悟性。 在KAM定理首次提出的同時(shí)，在美國(guó)的洛斯阿拉莫斯，F(xiàn)PU所作的計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)也遇到了奇特的 現(xiàn)象(1952年開(kāi)始，1955年完成第一篇研究報(bào)告，提交報(bào)告時(shí)費(fèi)米已去世)，［２４］ 二者有密切聯(lián)系，但彼此都不知道對(duì)方的工作。這里F指大名鼎鼎的費(fèi)米(E.Fermi)，P指帕 斯塔(J.Pasta)，U指烏拉姆(S.M.Ulam)。他們的發(fā)現(xiàn)后來(lái)一般稱“FPU現(xiàn)象”。二戰(zhàn)后費(fèi)米 對(duì)當(dāng)時(shí)剛剛使用的電子計(jì)算機(jī)產(chǎn)生濃厚興趣，他與烏拉姆等經(jīng)常討論用計(jì)算機(jī)可以做哪些物 理學(xué)研究工作。因?yàn)樵S多非線性問(wèn)題不容易求出解析解，或者根本就不存在解析解，采用計(jì) 算機(jī)可以做些數(shù)值模擬。當(dāng)時(shí)的機(jī)器是“MANIAC I”機(jī)，比起今日的計(jì)算機(jī)要笨重得多、速 度慢得多。不過(guò)在那時(shí)它已屬于最高級(jí)的東西了。 FPU所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)直接與費(fèi)米長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)基礎(chǔ)的研究有關(guān)。1923年費(fèi)米就根據(jù)龐加 萊定理證明了費(fèi)米定理，他認(rèn)為多數(shù)攝動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)是遍歷的，這也是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)所要求的。 然而他實(shí)際上引入了不正確的光滑性假設(shè)。他誤以為相空間兩個(gè)不變集之間的分界線是光滑 的運(yùn)動(dòng)積分曲線。［２５］所以在做FPU實(shí)驗(yàn)之前，他覺(jué)得已從理論上證明了非線性 不可積系統(tǒng)的遍歷性，做這個(gè)計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)，不過(guò)是驗(yàn)證一下理論而已。然而實(shí)驗(yàn)結(jié)果是出人 意料的。他們并未觀察到所期望的“能均分性”、“混合性”、“遍歷性”、“熱力學(xué)化” 。費(fèi)米稱此為“一個(gè)小的發(fā)現(xiàn)”。 現(xiàn)在看來(lái)，F(xiàn)PU試圖觀測(cè)到系統(tǒng)弛豫到平衡態(tài)的不可逆過(guò) 程，然而所依據(jù)的卻是可逆的動(dòng)力學(xué)方程。從邏輯上看這也是不大可能做到的(可是在科學(xué) 史上一直有人在做這種似乎勞而無(wú)功的嘗試。當(dāng)然，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為他們過(guò)分固執(zhí)，愚蠢到 了極點(diǎn))。如果僅從可逆的動(dòng)力學(xué)定律出發(fā)，考慮保守的哈密頓系統(tǒng)，必然遇到KAM定理所刻 劃的圖象：有序不變環(huán)面與隨機(jī)的渾沌海洋共存于一體，二者的測(cè)度可在很大范圍內(nèi)變動(dòng)。 KAM定理一般地描繪了復(fù)雜系統(tǒng)的大致圖景，從此經(jīng)典力學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新階段，有了KAM定理 ，人們就好象在黑暗中擁有了引路的明燈。 〖DM(〗3.5〓同宿軌道與斯美爾馬蹄〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.5〓同宿軌道與斯美爾馬蹄[STBZ][HTSS]〖ML〗 同宿運(yùn)動(dòng)最早是在保守系統(tǒng)中引入的，但它同樣適合于耗散系統(tǒng)。在今日渾沌研究中，尋找 橫截同宿點(diǎn)(軌道)已成為發(fā)現(xiàn)渾沌運(yùn)動(dòng)的一種最嚴(yán)格的方法，甚至在一維邏輯斯蒂映射里 也能找到同宿軌道?！巴蕖币辉~是龐加萊在《天體力學(xué)的新方法》中引進(jìn)的，用 以說(shuō)明動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)相空間的復(fù)雜結(jié)構(gòu)?！巴蕖保櫭剂x，指軌道在演化中有共同的歸宿 。雙曲不動(dòng)點(diǎn)的不變流形可以分解出穩(wěn)定流形Ws和不穩(wěn)定流形Wu，在不動(dòng)點(diǎn)附近，當(dāng) 時(shí)間增加時(shí)，位于不穩(wěn)定流形上的點(diǎn)，一般來(lái)說(shuō)不斷遠(yuǎn)離此雙曲不動(dòng)點(diǎn)。但當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮 大時(shí)(t→+∞)，此不穩(wěn)定流形也可以返回來(lái)，又成為雙曲點(diǎn)的穩(wěn)定流形。這樣此雙曲點(diǎn)就 成了流形的共同的歸宿，叫作同宿點(diǎn)(homoclinic point)。這是一種特殊的同宿點(diǎn)，較普通 的是，同一或同一類(lèi)雙曲點(diǎn)的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形相交(又有“相切”和“交叉”(橫截) 兩種)，交點(diǎn)就是一個(gè)同宿點(diǎn)。 有趣的是，〖ZZ(Q〗有一個(gè)橫截同宿點(diǎn)則必有無(wú)窮多個(gè)同宿點(diǎn)〖ZZ)〗。因?yàn)橥撄c(diǎn)在映射 或流的作用下，依然能生成軌道，此軌道叫同宿軌道(不是物理上的真實(shí)軌道!)，它由同宿 點(diǎn)組成。顯然每一個(gè)同宿點(diǎn)都在雙曲點(diǎn)的不變流形上，因而同宿軌道在映射或流的作用下是 不變的。應(yīng)當(dāng)注意的是，單純有同宿軌道還不足以證明系統(tǒng)的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，同宿軌道 的直接含義是形成一個(gè)邊界線，把定性上不同的運(yùn)動(dòng)分離開(kāi)。只有當(dāng)簡(jiǎn)單的閉合的同宿軌道 受到攝動(dòng)時(shí)，才出現(xiàn)復(fù)雜現(xiàn)象：分界線不閉合，不是簡(jiǎn)單的曲線，使得定性上不同的運(yùn)動(dòng)犬 牙交錯(cuò)，這時(shí)候出現(xiàn)了橫截同宿點(diǎn)和同宿分岔(homoclinic bifurcation)。因此橫截性(tra nsversality)是十分關(guān)鍵的。 當(dāng)年龐加萊正是通過(guò)橫截同宿點(diǎn)(軌道)洞悉了動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性。在雙曲點(diǎn)附近，同宿軌道 來(lái)回穿梭，形成縱橫交錯(cuò)的相圖，連接兩個(gè)不同雙曲點(diǎn)的分界線(separatrices)在強(qiáng)攝動(dòng)系 統(tǒng)里不再是簡(jiǎn)單的光滑曲線，分界線發(fā)生分裂(splitting)。在當(dāng)時(shí)的條件下，還沒(méi)有數(shù)值 計(jì)算機(jī)，還不能象今天這樣容易地畫(huà)出來(lái)，當(dāng)時(shí)能在頭腦中構(gòu)想出這幅圖象實(shí)屬不易。龐加 萊1894年說(shuō)道，分界線的“橫截形成了一種具有無(wú)窮精細(xì)網(wǎng)絡(luò)的格子、組織或格柵的形狀。 兩條曲線中任何一支自身都不會(huì)相交，但它們又必須以很復(fù)雜的方式彎曲回來(lái)，無(wú)窮多次地 對(duì)直穿過(guò)格柵中所有的網(wǎng)格。人們必驚詫于這幅圖象的復(fù)雜性，我甚至不便于把它畫(huà)出來(lái)(O ne will be struck by the complexity of this figure, which I shall not even attem pt to draw)。”［２６］ 在現(xiàn)代微分動(dòng)力系統(tǒng)理論以及整體分析(global analysis)中，同宿點(diǎn)(軌道)是其中重要 的研究?jī)?nèi)容之一，只要翻看斯美爾、古根海姆(J.Guckenheimer)和霍姆斯(P.Holmes)、韋金 斯(Stephen Wiggins)、紐豪斯(Sheldom E.Newhouse)的著作，不難發(fā)現(xiàn)“同宿點(diǎn)(軌道)” 在研究渾沌等復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的關(guān)鍵性作用。在微分動(dòng)力系統(tǒng)中同宿點(diǎn)可作如下定義：設(shè)M是 一流形，Diff(M)表示M的所有微分同胚群。f∈Diff(M)的一個(gè)同宿點(diǎn)是橫截點(diǎn)x∈W s(p)∩Ws(q)。 其中p和q是同一類(lèi)的、同一個(gè)周期的雙曲點(diǎn)(p可以等于q)。如果p和q是 不同類(lèi)的雙曲點(diǎn)，則x是異宿點(diǎn)(heteroclinic point)。同宿點(diǎn)與下文的移位自同構(gòu)(shif t automorphisms)有密切聯(lián)系，而斯美爾構(gòu)造的馬蹄對(duì)應(yīng)于一個(gè)移位映射。因此尋找渾沌的 步驟是：同宿點(diǎn)→橫截同宿點(diǎn)→馬蹄→數(shù)學(xué)渾沌+收縮性→奇怪吸引子→耗散系統(tǒng)的物理渾 沌。正如韋金斯所說(shuō)，“我們感到，徹底領(lǐng)會(huì)斯美爾馬蹄，對(duì)于搞清“渾沌”一詞用于特別 的物理系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)過(guò)程時(shí)意味著什么，是絕對(duì)必要的?！豹郏玻罚莳?BR> 1956年斯美爾在密執(zhí)安大學(xué)完成拓?fù)鋵W(xué)方面的博士論文，那年夏天他首次出席一個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué) 會(huì)議，在會(huì)上結(jié)識(shí)了托姆(Rene Thom)和芝加哥大學(xué)的兩位研究生希爾茨(Moe Hirsch )與利馬(Elon Lima)。當(dāng)時(shí)托姆來(lái)芝加哥大學(xué)訪問(wèn)，斯美爾也開(kāi)始在那執(zhí)教。斯美爾聽(tīng)了托 姆關(guān)于橫截理論的講座，托姆和希爾茨也開(kāi)始對(duì)斯美爾的浸入理論產(chǎn)生興趣。當(dāng)時(shí)斯美爾主 要興趣還在于拓?fù)?，?duì)微分方程剛剛開(kāi)始涉獵。芝加哥大學(xué)的帕雷斯(Dick Palais)和斯滕 伯(Shlolmo Sternberg)幫助他了解了動(dòng)力系統(tǒng)理論。 大約在1958年斯美爾首次遇見(jiàn)皮克索 托(Mauricio Peixoto)。皮氏通過(guò)萊弗席茲(Solomon Lefschetz)，正在研究“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性 ”。皮克索托向斯美爾介紹了自己工作。皮克索托見(jiàn)過(guò)蘇聯(lián)振動(dòng)學(xué)派主要人物、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性 (粗狀性)概念創(chuàng)始人之一的龐特里亞金(L. Pontryagin)，聽(tīng)說(shuō)龐特里亞金不相信二維以上 系統(tǒng)有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。斯美爾得知這一情況，對(duì)微分方程很著迷，經(jīng)過(guò)一番研究，寫(xiě)了一篇關(guān) 于莫爾斯不等式的論文。這篇論文導(dǎo)致如今人們熟知的“莫爾斯斯美爾動(dòng)力系統(tǒng)”(托姆 起的名)。但該文也犯了一個(gè)過(guò)分樂(lè)觀的錯(cuò)誤?，F(xiàn)在看來(lái)多虧有那個(gè)錯(cuò)誤，否則就不會(huì)有后 來(lái)的斯美爾馬蹄!斯美爾回憶說(shuō)：“我的過(guò)分樂(lè)觀引導(dǎo)我在那篇論文里認(rèn)為，幾乎所有常微 分方程系統(tǒng)都是這樣一些(結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的)系統(tǒng)(構(gòu)成一個(gè)開(kāi)的稠集)!我若是多少熟悉些(龐加萊 、伯克霍夫、卡特賴特李特爾伍德的)文獻(xiàn)，我會(huì)發(fā)現(xiàn)這種思想是多么愚蠢。”［２ ８］ 1958年夏斯美爾從芝加哥到了普林斯頓高等研究院，皮克索托與利馬邀請(qǐng)他去秘魯?shù)睦锛s完 成第二年的NFS博士后基金項(xiàng)目，1959年12月全家4口到了里約。到里約不久(1960年)，斯美 爾的那篇論文“一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的莫爾斯不等式”，發(fā)表在《美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)刊》上。［ ２９］萊溫松寫(xiě)信告訴斯美爾，說(shuō)斯美爾的猜想是錯(cuò)誤的，并告知自己關(guān)于受迫范德坡方 程的 研究已提供了一個(gè)反例。斯美爾當(dāng)時(shí)半信半疑，他花很長(zhǎng)時(shí)間研究萊溫松的文章，最后確信 萊溫松是對(duì)的。由此導(dǎo)致斯美爾在動(dòng)力系統(tǒng)方面的第二個(gè)杰出貢獻(xiàn)：構(gòu)造斯美爾馬蹄。馬蹄 其實(shí)是萊溫松、卡特賴特李特爾伍德通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)的復(fù)雜相空間結(jié)構(gòu)的一種幾何化，因而 馬蹄可以完全定性地加以分析，斯美爾證明馬蹄是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。 馬蹄映射f是對(duì)區(qū)域D(不妨假設(shè)為正方形)的一種變換，變換的過(guò)程如下：先把D沿垂直方 向均勻拉伸α倍(α＞2)，相應(yīng)地水平方向收縮為原來(lái)的β倍(β＜1/2)。將此矩形折成U 型(即馬蹄形)，再放回原來(lái)的區(qū)域D上，所關(guān)心的是重合部分D∩f(D)，不相交部分無(wú)關(guān)緊 要。重復(fù)上述操作，可以定義D∩f2(D)，D∩f3(D)，…。類(lèi)似地還可以定義f的逆f- ，以及D∩f-2，D∩f-3，…。從動(dòng)力系統(tǒng)角度看，重要的是極限集合的特征， 經(jīng)f和f-無(wú)限次作用、每次都與D重迭一下能得到無(wú)極限集合Λ： 〓〓Λ〖WB〗=Λ-∩Λ+ 〖DW〗=( ∩[DD(]∞[]n=0[DD)] f-n(D)) ∩ ( ∩[DD(]∞[]n=0[DD)] fn(D)) 〖DW〗= ∩[DD(]+∞[]n=-∞[DD)] fn(D)[JY](3.5.1) 其中f0(D)=D. 顯然，ΛD； f(Λ)=Λ，Λ中的點(diǎn)在f作用下展示回復(fù)性或非游蕩行為， 那些不屬于Λ但屬于D的點(diǎn)，在f的作用下必跑到D的外面去了，一般不去管它們。所有關(guān)鍵 問(wèn)題都出在不變集合Λ上。 Λ中的所有點(diǎn)都可以用雙邊無(wú)窮符號(hào)序列進(jìn)行非常有效的一一編號(hào)。雙邊無(wú)窮序列s的一般 形式是 〓〓s={…a-3a-2a-1a0.a+1a+2a+3a+4…} [JY](3.5.2) 其中ai∈P={0,1}, i=0,±1，±2，…。上述類(lèi)型的雙邊無(wú)窮序列唯一確定了Λ中每一點(diǎn) 在D中的位置，ai的值定義為：對(duì)于任一點(diǎn)x∈Λ，若fi(x)落在D的上半部，則ai=1, 若落在D的下半部，則為0。這樣序列中“.”右端的符號(hào)確定了x點(diǎn)所在的“行”；“.”左 端的符號(hào)確定了x點(diǎn)所在的“列”。一旦做到動(dòng)力學(xué)過(guò)程的符號(hào)表示，f的作用就可以通過(guò)考 察符號(hào)序列的變化很容易地觀察到。給定Λ中的一點(diǎn)x，它必有唯一的雙邊無(wú)窮序列與之對(duì) 應(yīng)，f每作用一次僅相當(dāng)于雙邊無(wú)窮序列的小數(shù)點(diǎn)“.”向右移動(dòng)一位!假如x對(duì)應(yīng)的序列為(x )=…01011.010011…，則f(x)對(duì)應(yīng)的序列為(f(x))=…010110.10011…，f2(x)對(duì)應(yīng)的序列 為(f2(x))=…0101101.0011…。由此知存在一個(gè)移位(shift)映射σ，σ的行為精確 反映了f的行為。設(shè)Σ表示所有由兩個(gè)符號(hào)0和1構(gòu)成的雙邊無(wú)窮序列s的集合，稱為符號(hào)序列 空間。在Σ中引入距離d如下： 〓〓d(s,[AKs-D5])=〖DD(〗∞〖〗i=-∞〖DD)〗[SX(]δi[]2｜i｜[SX)]，其中 δi=[JB({]0,若ai=[AKa-D5]i;1,若ai≠[AKa-D5]i.[JB)][JY](3.5.3) 于是Σ上有了度量結(jié)構(gòu)，如果考察Λ中任意兩條軌道在演化中它們之間距離的變化，就可以 使用上述定義。σ對(duì)序列s的作用表現(xiàn)為 〓〓σ(s)[ZK(]=σ{…a-3a-2a-1a0.a+1a+2a+3a +4…} ={…a-3a-2a-1a0a+1.a+2a+3a+4… }.[ZK)][JY](3.5.4) 斯美爾馬蹄定理可大致敘述為，設(shè)f是滿足上述拉伸、折疊操作的D→f(D)的一個(gè)同胚，則f 以Σ(P)(其中P={0,1})上的移位自同構(gòu)σ為其子系統(tǒng)，即存在Σ到D的子集Λ上的一個(gè)同胚 τ，使得 〓〓fτ=τσ[JY](3.5.5) 其中Λ是f的不變集，是D的閉子集，是一個(gè)康托集。 斯美爾馬蹄有幾條重要性質(zhì)：(1) 對(duì)f而言，Λ中有可數(shù)無(wú)窮多個(gè)周期軌道，并且都是不穩(wěn) 定的；(2)Λ中存在不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)非周期軌道；(3)Λ中至少存在一點(diǎn)y，它的軌道可以任 意接近Λ中的每一點(diǎn)，這說(shuō)明Λ是不可分解的；(4)馬蹄映射的回復(fù)行為是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，即 對(duì)f的小擾動(dòng)并不影響上述諸性質(zhì)。［３０］正是這些性質(zhì)，決定了它非常適合于刻 劃被稱為“渾沌”的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。但有一點(diǎn)要注意，斯美馬蹄并沒(méi)有說(shuō)到任何“吸引” 性質(zhì)。如果以馬蹄為標(biāo)準(zhǔn)判斷是否有渾沌運(yùn)動(dòng)的話，應(yīng)當(dāng)注意：斯美爾馬蹄意義上的渾沌在 物理上未必都能看得到。 〖DM(〗3.6〓杜芬方程與上田吸引子〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.6〓杜芬方程與上田吸引子〖HTSS〗〖STBZ〗〖ML〗 古根海默和霍姆斯1983年在名著《非線性振動(dòng)、動(dòng)力系統(tǒng)與 向量場(chǎng)的分岔》中，［３１］ 作為渾沌的導(dǎo)引(introduction)分析了四個(gè)具有驚人 特征的 經(jīng)典非線性模型，一個(gè)是三維自治微分方程(洛侖茲方程)，兩個(gè)是單自度周期激勵(lì)(策動(dòng)， 受迫)振動(dòng)的二維非自治微分方程，另一個(gè)是二維映射。范德坡方程屬于第二類(lèi)，另一個(gè)與 其相似但沒(méi)有它復(fù)雜的經(jīng)典實(shí)例是杜芬方程。1918年德國(guó)科學(xué)家杜芬在研究具有立方非線性 項(xiàng)的受迫振動(dòng)時(shí)，提出著名的杜芬方程。方程的最初形式為 〓〓〖AKx¨D5〗+2n[AKx·D5]+ω20x+εx3=F cosωt[JY](3.6.1) 其中x表示位移，ω是策動(dòng)力頻率，F(xiàn)是策動(dòng)力的振幅，t為時(shí)間。 n,F和ε都是小量。ε ＜0代表漸軟的彈簧特性，ε＞0代表漸硬彈簧特性，杜芬研究的是后一種。杜芬方程在提出 后的半個(gè)多世紀(jì)里，得到廣泛研究，但其奧妙尚未全部揭示出來(lái)。標(biāo)準(zhǔn)化后各種杜芬方程可 以分出如下四個(gè)類(lèi)型：［３２］ 〓〓(1) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗+x+x3=F cosωt，漸硬型[JY](3.6.2) 〓〓(2) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗+x-x3=F cosωt，漸軟型[JY](3.6.3) 〓〓(3) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗〓〓+x3=F cosωt，日本型[JY](3.6.4) 〓〓(4) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗-x+x3=F cosωt，霍姆斯型[JY](3.6.5) 其中共有三個(gè)參量δ，F(xiàn)和ω，δ是阻尼系數(shù)，F(xiàn)和ω是強(qiáng)迫力的振幅和頻率。以上各種類(lèi) 型的杜芬方程都可用KBM平均化方法進(jìn)行研究，但這有一定局限性，因?yàn)樵趶?qiáng)非線性情況下 ，用平均化方法得出的結(jié)果可能與實(shí)際情況相去甚遠(yuǎn)，即定性上就與實(shí)際有差別。不過(guò)由平 均化方法已能在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上分析龐加萊意義上的雙重漸近的同宿軌道。同宿軌道發(fā)生分岔， 就將產(chǎn)生復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)對(duì)初始條件具有敏感依賴性。杜芬方程與范德坡方程一樣，能產(chǎn) 生次諧波分岔，即在一定時(shí)段內(nèi)輸入了多個(gè)波形卻只輸出一個(gè)波形。 早在60年代初，以林千博(Chihiro Hayashi)為首的日本非線性振動(dòng)學(xué)派對(duì)杜芬方程已有深 入研究。特別是林千博的大弟子上田皖亮(Yoshisuke Ueda,1936- )青出于藍(lán)而勝于藍(lán)。模 擬計(jì)算機(jī)的計(jì)錄紙上清楚地記著1961年11月27日這一天，當(dāng)時(shí)上田是京都大學(xué)三年級(jí)的研究 生，在林千博的指導(dǎo)下研究頻率鎖定(frequency entraiment)現(xiàn)象。所謂頻率鎖定就是指電 子線路的自振頻率與外部策動(dòng)源的驅(qū)動(dòng)頻率發(fā)生同步(synchronization)。那一天，上田利 用模擬計(jì)算機(jī)繪出了范德坡方程的渾沌圖——“一只破碎的蛋”。［３３］ 上田在Hiroshi Shibayama(他不是京都大學(xué)教授，當(dāng)時(shí)正到京都大學(xué)的該實(shí)驗(yàn)室訪問(wèn))的直 接指導(dǎo)下工作，他與林千博不同，對(duì)上田做什么具體研究，管得并不嚴(yán)，他與上田關(guān)系一直 甚密。上田先把二維非自方程化成三維自治方程，采用KBM平均化法，在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上考察穩(wěn) 定平衡點(diǎn)和穩(wěn)定極限環(huán)。前者對(duì)應(yīng)于相空間中同步的頻率鎖定；后者對(duì)應(yīng)于非同步的飄移運(yùn) 動(dòng)。實(shí)際上有兩種非同步振蕩，一種是準(zhǔn)周期振蕩，另一種是渾沌振蕩。當(dāng)時(shí)并不知道渾沌 運(yùn)動(dòng)。已知的(穩(wěn)定)定態(tài)行為只有(穩(wěn)定)不動(dòng)點(diǎn)和極限環(huán)。因而非同步狀態(tài)被統(tǒng)統(tǒng)歸入準(zhǔn)同 期振蕩。上田起初以為是模擬計(jì)算機(jī)出了問(wèn)題，但不久就發(fā)現(xiàn)不是這樣。他花很長(zhǎng)時(shí)間認(rèn)識(shí) 到，在非同步區(qū)，出現(xiàn)“破碎的蛋”的機(jī)會(huì)比出現(xiàn)規(guī)則的光滑曲線的機(jī)會(huì)更多，他并不能解 釋點(diǎn)為什么會(huì)在蛋上極其無(wú)規(guī)則地運(yùn)動(dòng)。可是當(dāng)其導(dǎo)師準(zhǔn)備研究報(bào)告時(shí)，林千博并沒(méi)有提到 上田發(fā)現(xiàn)的“破碎的蛋”，［３４］教授顯然做了“技術(shù)性處理”，用光滑曲線代替 了亂七八糟的“蛋”。實(shí)驗(yàn)室雖產(chǎn)生了一大堆真正的渾沌數(shù)據(jù)，但當(dāng)時(shí)不是被當(dāng)作準(zhǔn)周期運(yùn) 動(dòng)就是暫態(tài)運(yùn)動(dòng)。上田對(duì)這種處理感到非常吃驚，也從此認(rèn)識(shí)到，讀這類(lèi)論文時(shí)，應(yīng)當(dāng)小心 些。1962年左右，上田的導(dǎo)師林千博正為McGrawHill出版公司撰寫(xiě)英文專著《物理系統(tǒng)的 非線性振動(dòng)》，讓他承擔(dān)許多具體計(jì)算工作，對(duì)他要求甚嚴(yán)。上田在模擬計(jì)算機(jī)上得到很多 渾沌數(shù)據(jù)，但保存下來(lái)的甚少，他怕導(dǎo)師見(jiàn)到后不滿意，再讓他重做計(jì)算。上田回憶說(shuō)，林 千博有極強(qiáng)的個(gè)性，“他是其實(shí)驗(yàn)室的皇帝，而在外表上他是態(tài)度溫和、舉止得體的紳士。 我確信，那時(shí)候他是世界上任何實(shí)驗(yàn)室里最封建的人物，他的權(quán)威絕對(duì)不可動(dòng)搖?！豹?BR> ３５］ 在長(zhǎng)期用模擬機(jī)做研究的過(guò)程中，上田的體會(huì)是，渾沌完全是自然的，幾乎每天都能見(jiàn)到。 “人們稱渾沌為一種新現(xiàn)象，但是它總是到處都在，沒(méi)什么稀奇的，只是人們沒(méi)有注意它罷 了。”［３６］ 從1963年起，上田等三人(另兩人一個(gè)比他小三年級(jí)，一個(gè)比他小四年級(jí))每周都花時(shí)間讀斯 米爾諾夫的《高等數(shù)學(xué)教程》，據(jù)上田講此舉對(duì)他幫助很大，沒(méi)有這個(gè)訓(xùn)練他不可能讀懂伯 克霍夫的論文。不過(guò)林千博對(duì)他們讀數(shù)學(xué)書(shū)不以為然，甚至覺(jué)得花時(shí)間讀書(shū)還不如多做些計(jì) 算。多虧這些學(xué)生沒(méi)有全聽(tīng)老師的話。林千博對(duì)當(dāng)時(shí)剛起用的晶體管KDCⅠ數(shù)值計(jì)算機(jī)持 懷疑態(tài)度，但上田卻發(fā)現(xiàn)KDCⅠ高效實(shí)用，用它對(duì)杜芬方程采用龍格庫(kù)塔吉爾(Runge KuttaGill)法進(jìn)行積分，時(shí)間從t=0到2π，約需60秒(積分步長(zhǎng)為2π/60)。在當(dāng)時(shí) 看來(lái)這是相當(dāng)了不起的。 在研究杜芬方程的過(guò)程中，林千博實(shí)驗(yàn)室在方法上經(jīng)歷了由調(diào)和平衡法(harmonic balance method)到映射法(mapping method)的轉(zhuǎn)變。約在1966年，上田看到萊溫松的論文，茅塞頓 開(kāi)。上田讓Minoru Abe做了一個(gè)自動(dòng)映射裝置，它完成的工作是靠模擬計(jì)算機(jī)每隔一定時(shí) 間在記錄紙上畫(huà)點(diǎn)，即做出龐加萊映射圖，通過(guò)這種方法畫(huà)出了一系列不變曲線圖以及非常 出名的日本吸引子和上田吸引子。在60年代末70年代初，上田等研究小組已能熟練使用動(dòng)力 系統(tǒng)中的最小集、α集、ω集、回復(fù)點(diǎn)等概念分析非線性振動(dòng)問(wèn)題了。 上田吸引子的作圖方法如下。杜芬方程的解曲線穿過(guò)所取的龐加萊截面M(x,y)，在M上取杜 芬方程的解所經(jīng)過(guò)的任一點(diǎn)P0. 定義M到自身的微分同胚(龐加萊映射)，令Pn=P(t，x n,yn)，t=t0+n·T， xn和yn由積分求得， 〓〓xn=x(t0+nT;t0,x0,y0), 〓〓yn=y(t0+nT;t0,x0,y0)〖JY〗(3.6.6) T為策動(dòng)力的周期，等于2π/ω，ω為策動(dòng)力的頻率。取t0=0，則 〓〓Pn=P(n·〖SX(〗2π〖〗ω〖SX)〗，xn,yn).[JY](3.6.7) 顯然P0=P(0,x0,y0)，P1=P(2π/ω，x1,y1)，…，于是在M上有點(diǎn)集 〓〓P={P0,P1,P2,P3,…}〖JY〗(3.6.8) 獲得P的技術(shù)也叫頻閃采樣(stroboscopic observation)。數(shù)學(xué)上用離散動(dòng)力系統(tǒng)語(yǔ)言 定義這一過(guò)程：fλ是M到M的微分同胚 〓〓fλ： 〖WTHX〗R〖WTBX〗2→〖WTHX〗R〖WTBX〗2，〓λ為參數(shù)集[JY](3.6.9) 〓〓〓〓P0｜〖KG-*2〗→P1 上田吸引子就是一個(gè)P集合，特殊的是它是奇怪吸引集合。 雖然上田的工作在國(guó)際上已廣泛得到承認(rèn)，但在日本國(guó)內(nèi)知道上田吸引子的卻不多。上田 和李天巖都講過(guò)，［３７］在日本研究非線性振動(dòng)的屬于基礎(chǔ)電子工程或應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng) 域。在科學(xué)界其社會(huì)地位是很低的，無(wú)論是搞數(shù)學(xué)的還是搞工程的都不買(mǎi)他們的賬。前者常 常問(wèn)：“你說(shuō)的經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明了嗎?”，后者常常問(wèn)：“你研究的東西有用么?” 〖DM(〗3.7〓MSS序列與DGP定理〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗〖WTHZ〗3.7〓MSS序列與DGP定理〖HTSS〗〖WTBZ〗〖STBZ〗[ML ] 1973年《組合理論雜志》發(fā)表MSS的論文“論單位區(qū)間上變換的有限極限集”，［３８ ］MSS指在美國(guó)新墨西哥州洛斯阿拉莫斯國(guó)立實(shí)驗(yàn)室任職的三位數(shù)學(xué)家(N.Metropolis,M.L .Stein,P.R.Stein)。他們采用符號(hào)動(dòng)力學(xué)方法，證明單峰的非線性區(qū)間變換(映射)存在普 適序列(也稱U序列和MSS序列)。若干年后該實(shí)驗(yàn)室的費(fèi)根鮑姆研究同樣的迭代過(guò)程，發(fā)現(xiàn)了 另一種普適性——費(fèi)根鮑姆常數(shù)δ和α。前一種普適性是結(jié)構(gòu)普適性；后一種是測(cè)度普 適性。 MSS的貢獻(xiàn)有兩個(gè)：1.系統(tǒng)地引入了符號(hào)動(dòng)力學(xué)方法，盡管在他們之前阿達(dá)馬、莫爾斯、伯 克霍夫、CLL等都一定程度上用到過(guò)符號(hào)動(dòng)力學(xué)。MSS構(gòu)造了符號(hào)序列的諧波和反諧波算法， 對(duì)U序列進(jìn)行了合理排序。2.發(fā)現(xiàn)了周期窗口，以及在窗口右側(cè)的倍周期分岔過(guò)程。單位區(qū) 間上“一對(duì)一”的變換已有許多人研究過(guò)，它的一般特征業(yè)已十分清楚，但對(duì)于“多對(duì)一” 的變換，已知結(jié)果很少，以前只有尤利亞(G.Julia)、馮·諾伊曼、烏拉姆以及斯坦因(P.R .Stein)等人作了一定程度的研究。MSS考慮的變換為 〓〓Tλ(x):〓x→λf(x)〖JY〗(3.7.1) 其中λ是參數(shù)，在一個(gè)開(kāi)區(qū)間上取值。f(x)至少應(yīng)具有兩個(gè)性質(zhì)：(1) f(x)在［0，1］ 上是連續(xù)、單值、分段一次可導(dǎo)的。其中f(0)=f(1)=0，在開(kāi)區(qū)間上f(x)嚴(yán)格為正。(2) f(x )具有唯一極大值fmax≤1，可以在單個(gè)點(diǎn)或一個(gè)小區(qū)間上取得極大值。在極值點(diǎn)(或 小區(qū)間)左和右，函數(shù)f(x)分別是嚴(yán)格遞增和遞減的。 為了討論方便并不失一般性，可以假設(shè)f(x)在x=1/2處取得極大值。在迭代的過(guò)程中若x落在 區(qū)間的左半部，即x∈(0,1/2)，則稱x是L型的；若x落在右半部，即x∈(1/2,1)，則稱x是R 型的；相應(yīng)地若x恰好落在1/2處，則稱x是C型的，在這里引入自然序關(guān)系L＜C＜R，在后文 可以看到這種“序”很重要，由它可以引出符號(hào)序列的“序”。這樣，對(duì)于適當(dāng)選擇的參數(shù) λ，任給區(qū)間上的一個(gè)初始點(diǎn)，由它迭代生成的軌道序列對(duì)應(yīng)于由L和R(或者C)組成的一個(gè) 符號(hào)序列。而且第n次迭代后軌道的特征正好與符號(hào)序列的第n個(gè)符號(hào)有密切關(guān)系，它告訴了 軌道在第n次迭代后相對(duì)于極值點(diǎn)的位置(左或右)。 MSS討論了四個(gè)實(shí)例，其中第一個(gè)就是后來(lái)被廣泛研究的邏輯斯蒂映射。這幾個(gè)實(shí)例具體形 式為 (1)Q:x→λ x(1-x)，〓x∈(3,4),[JY](3.7.2) (2)S:x→λ sinπx，〓λ∈(0.71,1),[JY](3.7.3) (3)C:x→λW(3-3W+W2), [JY](3.7.4) 〓〓〓W≡3x(1-x)，〓λ∈(0.872,64/63) (4)L:x→[JB({]〖SX(〗λ〖〗e〖SX)〗x,〓x∈［0，e］λ，〓x∈［e,1-e］〖SX(〗 λ〖〗e[SX)],〓x∈［1-e,1］,λ∈(1-e,1)[JB)]〖JY〗(3.7.5) MSS指出，對(duì)于上述四個(gè)變換，有限極限集是吸引的周期軌道。周期軌道的序級(jí)是k=2,3, …. k=1的情況不考慮。變換T的k周期點(diǎn)的含義為，對(duì)于變換 〓〓Tλ(xi)=xi+1，〓i=1,2,…，n〖JY〗(3.7.6) T的k次冪，即T的第k次迭代，返回到初始值，也就是說(shuō) 〓〓T(k)λ(xi)=xi,〖JY〗(3.7.7) T的k周期點(diǎn)相當(dāng)于T的k次冪T(k)的不動(dòng)點(diǎn)。 若變換T(k)的斜率的絕對(duì)值小于1(由微分計(jì)算的鎖鏈法則可知，這相當(dāng)于說(shuō)對(duì)于周期 集合P中的每一點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值都小于1)，則對(duì)于任一點(diǎn)xi∈P，它對(duì)其鄰域N(xi) 都有吸引作用，即對(duì)于任意x∈N(xi)，T(k)都收斂于xi. 不滿足斜率絕對(duì)值小 于1這個(gè)條件的周期點(diǎn)沒(méi)有吸引鄰域，稱之為不穩(wěn)定點(diǎn)或排斥點(diǎn)。MSS認(rèn)為，“〖ZZ(Q〗這些 點(diǎn)屬于‘例外點(diǎn)集’，其測(cè)度為0，在討論極限集時(shí)不起作用。〖ZZ)〗” 上面的劃線部分的論斷基本上是錯(cuò)誤的。我們分析MSS出錯(cuò)的原因有：第一，正如論文的 標(biāo)題中所說(shuō)的，他們關(guān)心的是“有限集”。導(dǎo)言中也說(shuō)：“至于無(wú)窮極限集合，我們沒(méi)有說(shuō) 什么?！钡诙?，那時(shí)幾乎無(wú)人知道區(qū)間映射還能出現(xiàn)比周期運(yùn)動(dòng)更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)行為?，F(xiàn)在人 們知道，當(dāng)參數(shù)改變時(shí)，原來(lái)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，幾乎都要失去穩(wěn)定性。同時(shí)可能有些新的穩(wěn) 定周期軌道誕生出來(lái)。因而不穩(wěn)定點(diǎn)集就不應(yīng)該稱為“例外點(diǎn)集”。對(duì)于研究渾沌軌道而言 ，周期軌道(無(wú)論穩(wěn)定與否)是一具人們熟悉的“骨架”，透過(guò)它可以揭示非周期運(yùn)動(dòng)。問(wèn)題 的另一個(gè)關(guān)鍵是，非周期運(yùn)動(dòng)也可以是穩(wěn)定的，而且測(cè)度不為0。 MSS發(fā)現(xiàn)，參數(shù)軸可以分成許多小的段，對(duì)于每一小段，極限周期軌道都是相似的，可用小 區(qū)間中的(不一定是正中間)某一參數(shù)情況下的迭代來(lái)代表。當(dāng)參數(shù)改變時(shí)，原來(lái)穩(wěn)定的軌道 失穩(wěn)，產(chǎn)生新的穩(wěn)定軌道，新的穩(wěn)定軌道逐漸變成超穩(wěn)定軌道，然后又變?yōu)橐话愕姆€(wěn)定軌道 ，最后軌道又失穩(wěn)，出現(xiàn)別的穩(wěn)定軌道。由極值點(diǎn)1/2(對(duì)應(yīng)的符號(hào)是C)開(kāi)始的軌道恰好對(duì) 應(yīng)于超穩(wěn)定軌道。MSS用包含極值點(diǎn)的超穩(wěn)定軌道代表參數(shù)軸小區(qū)間上的穩(wěn)定周期軌道 。這樣軌道對(duì)應(yīng)的特征符號(hào)集至少包含一個(gè)C. 通常為了簡(jiǎn)潔，不寫(xiě)出C. 比如對(duì)于周期5 軌道，一共有三種可能： 〓〓C→R→L→R→R→C→… 〓〓C→R→L→L→R→C→…〖JY〗(3.7.8) 〓〓C→R→L→L→L→C→… 上述三種周期5軌道可以分別簡(jiǎn)記為RLR2，RL2R和RL3?？梢钥闯?，每個(gè)符號(hào)序列中 符號(hào)的個(gè)數(shù)僅比其周期數(shù)k小1。 只要方程 〓〓T(k)λ(C)=C〓(C代表臨界點(diǎn))〖JY〗(3.7.9) 有解，就存在形式如(3.7.8)的普適符號(hào)序列(U序列或MSS序列)，而且k級(jí)U序列的個(gè)數(shù) 與方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是一致的。(3.7.8)式的三個(gè)序列就對(duì)應(yīng)于方程T(5)λ(C) =C的三個(gè)實(shí)數(shù)解。 這些解在參數(shù)軸上顯然不是任意出現(xiàn)的，而是有一定的順序。周期的級(jí)不高于6的所有周期 軌道一共有12個(gè)，它們?cè)趨?shù)軸上的排列順序見(jiàn)表3-1。 [HT] 〖JZ〗〖WTHX〗〖HT6H〗表3-1〓不高于6級(jí)的12個(gè)周期軌道在λ參 〖JZ〗數(shù)軸上由小到大的出現(xiàn)順序 〖HT6SS〗〖WTBZ〗 〖BG(!〗 〖BHDFG1*2，F(xiàn)K4，K4，K6ZQ，F(xiàn)K4，K4，K6ZQF〗順序號(hào)〖〗周期〖〗〓U序列〖〗順序號(hào) 〖〗周期〖〗〓U序列 〖BH〗1〖〗2〖〗[WTBX]R〖〗7〖〗5〖〗RL2R 〖BH〗2〖〗4〖〗RLR〖〗8〖〗6〖〗RL2R2 〖BH〗3〖〗6〖〗RLR3〖〗9〖〗4〖〗RL2 〖BH〗4〖〗5〖〗RLR2〖〗10〖〗6〖〗RL3R 〖BH〗5〖〗3〖〗RL〖〗11〖〗5〖〗RL3 〖BH〗6〖〗6〖〗RL2RL〖〗12〖〗6〖〗RL4[WTBZ] [BG)F] [HT5SS] 〓〓周期級(jí)k不超過(guò)7的所有周期軌道個(gè)數(shù)有21個(gè)，k不超過(guò)10時(shí)周期軌道共有116個(gè)，k不 超過(guò)15時(shí)共有2370個(gè)不同的周期軌道!這些解都可以通過(guò)方程(3.7.9)求出來(lái)，只要分別令k= 2,3,4,…，14，15即可。 一旦給定參數(shù)λ的值，通過(guò)迭代立即可以求出對(duì)應(yīng)的普適模式——U序列(如果存在的話， 有時(shí)可能不存在。MSS的論文沒(méi)有特別強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn))。反過(guò)來(lái)，已知了U序列，也能求出對(duì)應(yīng) 的各個(gè)參數(shù)λ的值，不過(guò)要采用一點(diǎn)小技巧：二次映射的逆函數(shù)有兩支L(y)和R(y)，代入 方程時(shí)要對(duì)號(hào)分別代入，然后化等式為迭代關(guān)系，迭代過(guò)程收斂很快，因而可以迅速得到所 求的λ值。［３９］ 若對(duì)于某個(gè)λ值，存在U序列，因?yàn)閁序列對(duì)應(yīng)的軌道是超穩(wěn)定的，則由連續(xù)性，存在 充分小的正數(shù)ε (實(shí)際上有時(shí)并不是很小!當(dāng)時(shí)MSS沒(méi)有畫(huà)出分岔圖譜，可能不知道還 有非常寬的周期窗口)，對(duì)于任意[AKλ-3]∈［λ-ε,λ+ε］，也將存在具有同樣結(jié)構(gòu) 的周期極限集合。換言之，每一(穩(wěn)定)周期都有一有限的λ寬度。并且顯然存在兩個(gè)臨界值 m1(λ)和m2(λ)，當(dāng)[AKλ-3]＜λ-m1或〖AKλ-3〗＞λ+m2時(shí)，迭代后生成的由R ，L或C構(gòu)成的序列(可能有限，也可能無(wú)限)，將不是原來(lái)T[AKλ-3](x)的吸引周期。 窗口左側(cè)極限集的情況MSS認(rèn)為很難研究，窗口右側(cè)(〖AKλ-3〗=λ+m2+δ，δ是小的 正數(shù))已搞清楚，對(duì)應(yīng)于解的一個(gè)無(wú)窮序列，從左到右表現(xiàn)出“諧波”的性質(zhì)。一個(gè)給定解 的諧波序列是一系列周期分別為2mk(m=1,2,…)的解，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是 〓〓λ＜λ(1)＜λ(2)＜λ(3)＜λ(4)＜…＜λ(∞)， 極限點(diǎn)λ(∞)顯然存在，并且有“許多”個(gè)，DGP后來(lái)證明這樣的聚點(diǎn)有不可數(shù) 無(wú)窮多個(gè)，等于連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)。 MSS發(fā)明的“諧波擴(kuò)張”和“反諧波擴(kuò)張”現(xiàn)在雖已被發(fā)展，但在歷史上仍有其重要性。初 看起來(lái)這些構(gòu)造似乎十分別扭，但的確是高明的、最終也是自然的。令P=RLα1R α2Lα3…是對(duì)應(yīng)于方程(3.7.9)的解的一種模式。P的(一級(jí))諧波是H=Pμ P，其中 〓〓μ=[JB({]L,〓當(dāng)P中包含奇數(shù)個(gè)R； R，〓其它情形。[JB)〗[JY](3.7.10) 模式P的反諧波A的定義類(lèi)似于諧波H，只需把上式的R與L互換。例如，若P=RL2R，則H=RL 2R3L2R，A=RL2RLRL2R. 可見(jiàn)H在構(gòu)造中不保持R的奇偶性，而A在構(gòu)造中奇偶性不 變。構(gòu)造H對(duì)應(yīng)于實(shí)際的倍周期分岔，構(gòu)造A則純粹是形式的。H也叫P的H擴(kuò)張，A也叫P的反 擴(kuò)張。關(guān)于一定層次上相鄰模式之間的下一級(jí)模式，MSS證明了一個(gè)定理： 令K是一整數(shù)?？紤]方程(3.7.9)的解的完備有序系列及其對(duì)應(yīng)的模式(0≤k≤K)。令λ1是 任一解，對(duì)應(yīng)的模式是P1，長(zhǎng)度為k1(有k-1個(gè)字符)；又令λ2＞λ1是(K水平上)“ 毗鄰的”下一個(gè)解，模式為P2，長(zhǎng)度是k2. 構(gòu)造P1的H擴(kuò)張和P2的A擴(kuò)張。H(P1) 和A(P2)將有一個(gè)最大公共主子模式P*，其長(zhǎng)度為k*，使得我們可以把H(P1)和A(P 2)分別寫(xiě)作 〓〓H(P1)=P*μ1…， 〓〓A(P2)=P*μ2…，〓μ1≠μ2，[JY](3.7.11) 其中μi代表R或L. 這時(shí)有兩種情形： (1)k*≥2k1，則滿足λ1＜λ*＜λ2 的最低階解λ*是P1的諧波； (2)k*＜2k1，則滿足λ1＜λ*＜λ2 的最低階解λ*對(duì)應(yīng)于長(zhǎng)度為k*的模式 P*. 由此可得出一個(gè)推論：令｜k1-k2｜=1，則滿足λ1＜λ*＜λ2 的最低階 解λ*具有長(zhǎng)度k*=1+max(k1,k2)。 舉例來(lái)看，設(shè)P1=RLR4,P2=RLR4LR，則k1=7,k2=9,H(P1)=RLR4LRLR4…， A(P2)=RLR4LRL…，于是P*=RLR4LRLR，長(zhǎng)度k*=11. DGP的工作發(fā)表于1978年，［４０］當(dāng)時(shí)對(duì)一維映射的研究已經(jīng)熱鬧起來(lái)，費(fèi)根鮑姆 已發(fā)現(xiàn)了普適常數(shù)δ，薩可夫斯基定理也已被世人知曉。 DGP證明了兩件事： (1)已排序的所有U序列集合，擁有內(nèi)部自相似的性質(zhì)。即整個(gè)MSS序列集合可以與其子集一 一對(duì)應(yīng)。 (2)對(duì)于識(shí)別一個(gè)序列是否為容許的，給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的判據(jù)；對(duì)于給定的兩個(gè)序列，能確 定它們出現(xiàn)的順序?！叭菰S的”之含義為：若某序列對(duì)應(yīng)于MSS意義上的真實(shí)的穩(wěn)定周期軌 ，則是容許的。比如以L開(kāi)始的序列肯定不是允許的。 DGP在MSS工作的基礎(chǔ)上正式定義了MSS序列的大小關(guān)系，其實(shí)也很好定義，兩個(gè) MSS序列S1，S2所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為λ1，λ2，若λ1＜λ2，則S1＜S2. 這樣，最小的序列是b(即穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，也可用C表示)，第二小的是R，第三小的是RL，…， 最大的是RL∞. 中間有多少MSS序列呢? 有無(wú)窮多個(gè)，但卻是可數(shù)的(countable, 或叫“可列的”)。只考慮到k=7的水平，MSS的排序如下： 〓〓b＜R＜RLR＜RLR3＜RLR2＜RL 〓〓〓＜RL2RL＜RL2R＜RL2R2 〓〓〓＜RL3＜RL3R＜RL3＜RL4＜RL∞.[JY](3.7.12) 在b和R之間不可能再插入任何序列，但在其它每?jī)蓚€(gè)中間可插入一些容許的序列。設(shè)所有 MSS序列所對(duì)應(yīng)的參數(shù)λ組成集合M. M顯然有許多聚點(diǎn)，M的所有聚點(diǎn)(也是參數(shù)軸上所考 慮的區(qū)間內(nèi)的點(diǎn))也構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮集合M*，而且M*比M要大得多，M*的勢(shì)為連續(xù)統(tǒng)的勢(shì) 20=1. 當(dāng)然，不是任給一個(gè)λ值就一定有對(duì)應(yīng)的MSS序列，否則M的勢(shì)也 是1了!發(fā)現(xiàn)渾沌的關(guān)鍵就在于認(rèn)識(shí)到，對(duì)于某些λ值，不存在穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)(不穩(wěn)定 的周期運(yùn)動(dòng)還是存在的，這一點(diǎn)務(wù)必注意)，卻存在有界的非周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然，它也是“穩(wěn) 定的”。 DGP找到了一種奇妙的“*復(fù)合”法則，借此能建構(gòu)出所有MSS序列。也正是通過(guò)這 種方法，他們證明了內(nèi)部自相似性：令A(yù)=b,B=RLn，P和Q是任意容許序列，A＜P＜Q＜B。 設(shè) 〓〓A′=Q*A,B′=Q*B,P′=Q*P， 則對(duì)于任一點(diǎn)(嚴(yán)格應(yīng)稱序列，下同)P，都有對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)P′。反過(guò)來(lái)，對(duì)于任一點(diǎn)P′，滿 足Q*A=A′＜P′＜B′=Q*B,都存在對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)P，滿足A＜P＜B，P′=Q*P。這就是所謂的內(nèi) 部自相似性，映射φ: P→Q*P 具體定義了自相似，這一拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)普適性的發(fā)現(xiàn)是后來(lái)發(fā)現(xiàn) 測(cè)度普適性的基礎(chǔ)。 〖DM(〗3.8〓洛侖茲的確定性非周期流與李約克渾沌〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.8〓洛侖茲的確定性非周期流與李約克渾沌〖STBZ〗〖HTSS |
|
|
來(lái)自： 養(yǎng)生丸子 > 《混沌》
