幾何：直角三角形

［學習目標］

    代數(shù)：

    了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用數(shù)學符號表示；

    了解開方與乘方互為逆運算，會求某非負數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根；了解無理數(shù)與實數(shù)的概念，會求簡單的二次根式的乘除法運算及進行簡單的分母有理化。

    幾何：

    理解掌握勾股定理及逆定理。

二. 重點、難點：

    重點：

    代數(shù)：平方根、算術(shù)平方根、立方根的求解，無理數(shù)的概念，二次根式的乘除法運算。

    幾何：勾股定理及逆定理。

    難點：

    代數(shù)：平方根、算術(shù)平方根的求解，無理數(shù)的概念，二次根式乘除法的運算。

    幾何：勾股定理及逆定理的應(yīng)用。

［知識結(jié)構(gòu)］

【典型例題】

  例1. 填空：

    （1）64的平方根___________

    （2）16的算術(shù)平方根___________

    （3）的立方根___________

    （4）125的立方根___________

    （5）的立方根___________

    （6）的平方根___________

    （7）若，則有___________

    （8）的倒數(shù)___________

    解：（1）±8；（2）4；（3）；（4）5；

        （5）；（6）；（7）；（8）。

  例2. 指出下列哪些數(shù)是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？

    ，0.373773777……

    解：有理數(shù)：

    無理數(shù)：

  例3. 當x為何實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

    （1）            （2）            （3）

    （4）           （5）

    （6）               （7）

    解：（1）；（2）；（3）且

    （4）x為任何數(shù)；（5）；

    （6）；（7）x為任意數(shù)。

  例4. 化簡計算：

    （1）；（2）；（3）；

    （4）；（5）（m為正整數(shù)）；

    （6）；（7）

    （8）；（9）；

    （10）

    解：（1）

    （2）

    （3）

    （4）

    （5）

    （6）

    （7）

    （8）

    （9）

    （10）

  例5. 如圖，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，BD＝12，AD＝13，求：四邊形。

    解：在中，

    在△ABD中，

    發(fā)現(xiàn)

    ∴∠ABD＝90°

【模擬試題】（答題時間：90分鐘）

一. 選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（每小題3分，共30分）

  1. 3的平方根是（    ）

    A.         B.           C. 9        D. ±9

  2. 在△ABC中，有一個角為直角的一半，另一個角為平角的，那么△ABC是（    ）

    A. 銳角三角形                    B. 等腰三角形

    C. 鈍角三角形                    D. 直角三角形

  3. 下列各式變形正確的是（    ）

    A.                     B.

    C.          D.

  4. 國旗是一個國家的象征，觀察下面的國旗，是軸對稱圖形的有（    ）

    A. 1個           B. 2個           C. 3個           D. 4個

  5. 下列多項式能因式分解的是（    ）

    A.                          B.

    C.                D.

  6. 下面說法中正確的是（    ）

    A. 無理數(shù)包括正無理數(shù)、零和負無理數(shù)

    B. 無理數(shù)是用根號表示的數(shù)

    C. 無理數(shù)是有理數(shù)開方開不盡的平方根

    D. 無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)

  7. 下列各組線段中，不能構(gòu)成直角三角形的是（    ）

    A. 5，12，13               B.

    C. 4，7，5                          D.

  8. 已知，則x滿足（    ）

    A.               B.               C.              D. 且

  9. 如圖，在△ABC中，下列推理錯誤的個數(shù)有（    ）

    （1）∵AB＝AC，∠1＝∠2

    ∴AD⊥BC，BD＝DC

    （2）∵AB＝AC，AD⊥BC

    ∴∠1＝∠2，BD＝DC

    （3）∵AB＝AC，BD＝DC

    ∴∠1＝∠2，AD⊥BC

    （4）∵BD＝DC，AD＝AD

    ∴AD⊥BC，AB＝AC

    A. 0個           B. 1個           C. 2個           D. 3個

  10. 如圖，點E在△ABC外部，點D在BC邊上，DE交AC于點F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，則（    ）

    A. △ABD≌△AFD                    B. △AFE≌△ADC

    C. △AFE≌△DFC                     D. △ABC≌△ADE

二. 填空題：把答案填在題中的橫線上（11～15題每小題2分，16題4分，共14分。）

  11. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，則第三邊CA長的取值范圍是____________。

  12. 在公式中，所有字母都表示正數(shù)，已知，則____________。

  13. 若是完全平方式，則m的值為____________。

  14. 已知時，分式無意義，時，此分式的值為零，則___________。

  15. 如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，DE垂直平分AC交BC于點E，若EC＝8，則BE的長為____________。

  16. 如圖，已知OA＝a，P是射線ON上一動點（即點P可在ON上運動），∠AON＝60°。填空：

    （1）當OP＝_________時，△AOP為等邊三角形；

    （2）當OP＝_________時，△AOP為直角三角形。

三. 化簡計算：（每小題3分，共9分）

  17.

  18.

  19. 分母有理化

四. 作圖題：（本題4分）

  20. 某小區(qū)有一塊三條馬路圍成的三角形綠地（如圖），準備在其中建一個小亭，供游人小憩。使小亭中心到三條馬路的距離相等，試用尺規(guī)畫出小亭的中心位置（不寫作法，保留做圖痕跡，寫出結(jié)論）。

五. 計算題：（每小題5分，共15分）

  21.

  22. 先化簡，再選一個你喜歡的數(shù)代入求值。

  23. 已知：如圖，CF⊥AB于點F，∠A＝46°，∠B∶∠C＝3∶2，求∠EDC的度數(shù)。

六. 解下列方程：（每小題5分，共10分）

  24.

  25. （x是未知數(shù)，且）

七. 填空并證明：（本題5分）

  26. 如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是點R、S。若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三個結(jié)論：

    （1）AS＝AR；（2）QP∥AR；（3）△BRP≌△CSP。

    正確的是__________________，并證明你的結(jié)論。

八. 列方程解應(yīng)用題：（本題6分）

  27. 某自來水公司水費計算辦法如下：若每戶每月用水不超過，則每立方米收費2.9元，若每戶每月用水超過，則超出部分每立方米收取較高的費用。1月份，張家用水量是李家用水量的，張家當月水費是34.5元，李家當月水費是54.5元。超出的部分每立方米收費多少元？

九. （本題7分）

  28. 已知：如圖，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，∠ACB的平分線交AD于點F，交AB于點E，FG∥BC交AB于點G。

    （1）觀察△AEF，若按邊分類，它是哪一類三角形？并證明你的結(jié)論？

    （2）若AE＝3，AB＝8，求EG的長。

【試題答案】

一. 選擇題。

  1. A            2. A               3. D               4. B               5. D

  6. D           7. C               8. B               9. B               10. D

二. 填空題。

  11.

  12.

  13. 7或

  14. 6

  15.

  16. （1）；（2）或

三. 化簡計算。

  17. 解：原式

  18. 解：原式

  19. 解：原式

四. 作圖題。

  20. 答：點P為兩個角的角平分線的交點，因為三角形三條角平分線的交點到三邊距離相等。

五. 計算題。

  21. 解：原式

  22. 解：原式

    即原式

    ∵且

    ∴選取0，2以外的數(shù)均可

    令，則

  23. 解：在Rt△BCF中，∠B＋∠C＝90°（直角三角形兩銳角互余）

    又∠B∶∠C＝3∶2

    在△ABD中，

    ∠ADC＝∠A＋∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

           ＝46°＋54°

           ＝100°

    ∴∠EDC＝100°

六. 解下列方程。

  24. 解：

    方程兩邊同乘以，得：

    即

    檢驗：當時，

    是原方程的根

  25. 解：

    移項，得：

    即

七. 填空并證明：

  26. 正確的是：（1）（2）

    （1）證明：連結(jié)AP

    ∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS

    ∴∠1＝∠2（角平分線的判定定理）

    在Rt△APR和Rt△APS中

    ∴AR＝AS（全等三角形對應(yīng)邊相等）

    （2）在△APQ中，AQ＝PQ

    ∴∠2＝∠3（等邊對等角）

    又∠1＝∠2

    ∴∠1＝∠3（等量代換）

    ∴QP∥AR（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

八. 列方程解應(yīng)用題：

  27. 解：設(shè)超出的部分每立方米收費x元

    如果每月用水，則水費應(yīng)為（元）

    而

    則張家、李家用水都超過了

    張家用水量為：

    李家用水量為：

    則有

    兩邊同乘以3x解方程，得：

    檢驗：當時，

    ∴是原方程的根

    答：超出的部分每立方米收費4元。

九.

  28. 解：（1）△AEF為等腰三角形

    證明：在Rt△ADC中，∠3＋∠ACD＝90°（直角三角形兩銳角互余）

    同理，在Rt△ABC中，∠B＋∠ACB＝90°

    ∴∠B＝∠3（等量代換）

    在△BCE中，∠AEF＝∠2＋∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

    在△ACF中，∠AFE＝∠1＋∠3（同上）

                        ＝∠1＋∠B

    又∠1＝∠2（角平分線定義）

    ∴∠AEF＝∠AFE（等量代換）

    ∴AE＝AF（等角對等邊）

    ∴△AEF為等腰三角形

    （2）∵BC⊥AD，FG∥BC

    ∴FG⊥AD

    ∴∠AFG＝90°

    過點E作EH⊥BC于H

    則AE＝HE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）

    又AE＝AF，∴EH＝AF

    ∵FG∥BC，∴∠B＝∠4

    在Rt△AFG和Rt△EHB中

    ∴AG＝EB（全等三角形對應(yīng)邊相等）

    又AE＝3，AB＝8

    ∴EB＝5

    ∴AG＝5

    即EG＝2