幾何：三角形的內(nèi)角和

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

    代數(shù)：理解分式，掌握分式的基本性質(zhì)。

    幾何：掌握三角形內(nèi)角和定理及其3個(gè)推論。

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：

  1. 重點(diǎn)：

    代數(shù)：分式的概念，分式的基本性質(zhì)。

    幾何：內(nèi)角和定理及其3個(gè)推論。

  2. 難點(diǎn)：

    代數(shù)：分式中分母以及基本性質(zhì)。

    幾何：定理的證明，外角的概念。

三. 主要內(nèi)容：

［代數(shù)］

  1. 分式：

  2. 有理式

  3. 分式無意義與分式的值是零。

  4. 分式的基本性質(zhì)：

    （A、B、M都是整式，其中B、M是不等于零的整式。）

  5. 分式的符號法則：

    分子、分母、分式本身的符號，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

［幾何］

  1. 三角形內(nèi)角和定理及其證明：

  2. 三角形按角的分類：

  3. 推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

           （由直角三角形內(nèi)角和性質(zhì)得）

  4. 三角形的外角：

  5. 誰論2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

    推論3：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

【典型例題】

  例1. 分式的值為零時(shí)，x的值是多少？

    分析：（1）首先分式要有意義，即分母；

          （2）分式值為零要求分子為零，即。

    解：由得：

    又由得：

    所以，時(shí)，分式的值為零。

  例2. 不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)。

    （1）；（2）

    分析：（1）怎樣才能不改變分式的值？

          （2）怎樣把系數(shù)都化為整數(shù)？

    解：（1）

    （2）

  例3. 不改變分式的值，把分式中分子、分母的多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)化成整數(shù)，并使最高次項(xiàng)的系數(shù)為正。

    分析：（1）首先把各項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎麛?shù)。

          （2）其次利用分式的符號法則使最高次項(xiàng)的系數(shù)為正。

    解：

  例4. 任何一個(gè)三角形中，至少有幾個(gè)銳角？至多有幾個(gè)銳角？

    分析：一個(gè)三角形中有三個(gè)角，

    （1）如果三個(gè)角中沒有銳角，即是說三個(gè)角都≥90°，三個(gè)角加起來≥270°，這與三角形內(nèi)角和等于180°不符，所以三角形三個(gè)角中不可能沒有銳角。

（2）如果三角形中只有一個(gè)銳角，那么其它兩個(gè)角≥90°，也與三角形內(nèi)角和等于

180°不符，所以三角形中不能只有一個(gè)銳角。

    （3）如果三角形中有兩個(gè)是銳角，第三角≥90°，三角和可能等于180°。

    （4）如果三角形中三個(gè)角均為銳角，也有可能三角和等于180°。

    解：任何一個(gè)三角形中，至少有2個(gè)銳角，至多有3個(gè)銳角。

  例5. 如圖，D是AB上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，BE、CD相交于F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°。

    求：（1）∠BDC度數(shù)；

        （2）∠BFD度數(shù)。

    解：（1）∠BDC是△ADC的一個(gè)外角，由推論2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

    所以，∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝97°

    （2）在△BFD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，知：

    ∠ABF＋∠BDF＋∠BFD＝180°

    又∠ABF＝∠ABE＝20°，∠BDF＝∠BDC＝97°

    所以∠BFD＝180°－20°－97°＝63°

  例6. 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，令，，則中銳角的個(gè)數(shù)最多為幾個(gè)？

    分析：因?yàn)?/SPAN>，，可以把看成與角C、B、A相鄰的外角，中銳角的個(gè)數(shù)與C、B、A中鈍角的個(gè)數(shù)是相同的。而在任何三角形的內(nèi)角中，鈍角至多有一個(gè)，所以中銳角的個(gè)數(shù)最多有1個(gè)。

    解：中銳角的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)。

【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）

一. 當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式有意義？

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

二. 當(dāng)x取何值時(shí)，下列式子值為零。

    （1）

    （2）

三. 不改變分式的值，使下列各分式的分子與分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)都是正數(shù)。

    （1）

    （2）

四. 如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分別平分∠ABC和∠ACB，求∠BDC的度數(shù)。

【試題答案】

一. 當(dāng)x取值時(shí)，下列分式有意義：

    （1）時(shí)，分式都有意義。

    （2）由得時(shí)，分式有意義。

    （3）由得且時(shí)，分式有意義。

    （4）由得且時(shí)，分式有意義。

二. 當(dāng)x取何值時(shí)，下列式子值為零。

    （1）由得：或

    又得：

    所以，當(dāng)時(shí)，式子值為零。

    （2）由得：或1

    又得：且

    所以時(shí)，式子值為零。

三. 解：（1）

        （2）

四. 解：