高考要求：

　　掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用．

二、知識(shí)點(diǎn)歸納

1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．

2、拋物線的圖形和性質(zhì)：

①頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段的中點(diǎn)．

②焦準(zhǔn)距：

③通徑：過焦點(diǎn)垂直于軸的弦長為．

④頂點(diǎn)平分焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線段：．

⑤焦半徑為半徑的圓：以P為圓心、FP為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切．所有這樣的圓過定點(diǎn)F、準(zhǔn)線是公切線．

⑥焦半徑為直徑的圓：以焦半徑 FP為直徑的圓必與過頂點(diǎn)垂直于軸的直線相切．所有這樣的圓過定點(diǎn)F、過頂點(diǎn)垂直于軸的直線是公切線．

⑦焦點(diǎn)弦為直徑的圓：以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切．所有這樣的圓的公切線是準(zhǔn)線．

3、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：

4、拋物線的圖像和性質(zhì)：

①焦點(diǎn)坐標(biāo)是：，

②準(zhǔn)線方程是：．

③焦半徑公式：若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）是：．

④焦點(diǎn)弦長公式：過焦點(diǎn)弦長．

⑤拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或或．

5、一般情況歸納：

【典型例題】

例1、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：

（1）過點(diǎn)（－3，2）；

（2）焦點(diǎn)在直線x－2y－4=0上．

分析：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析，一般需確定p和開口方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論．

解：（1）設(shè)所求的拋物線方程為y²=－2px或x²=2py（p＞0），

∵過點(diǎn)（－3，2），

∴4=－2p（－3）或9=2p·2

∴p=或p=．

∴所求的拋物線方程為y²=－x或x²=y，前者的準(zhǔn)線方程是x=，后者的準(zhǔn)線方程是y=－

（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，

∴拋物線的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，－2）

當(dāng)焦點(diǎn)為（4，0）時(shí)，=4，

∴p=8，此時(shí)拋物線方程y²=16x；

焦點(diǎn)為（0，－2）時(shí)，=2，

∴p=4，此時(shí)拋物線方程為x²=－8y

∴所求的拋物線的方程為y²=16x或x²=－8y，

對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=－4，y=2．

點(diǎn)評(píng)：這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解．

例2、如下圖所示，直線相交于點(diǎn)M，，點(diǎn)，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等若為銳角三角形，，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段 C的方程．

分析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分，求曲線方程需建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線方程，由條件求出待定系數(shù)即可，求出曲線方程后要標(biāo)注x、y的取值范圍．

解：以MN中點(diǎn)為原點(diǎn)，MN所在直線方程為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線方程為

由得：

 ，

又，，

解得

由為銳角三角形，，，

又

故所求曲線方程為：

點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路，考查了定義法、待定系數(shù)法求曲線方程的步驟，綜合考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

例3、設(shè)拋物線y²=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

分析：證直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O，即證O、A、C三點(diǎn)共線，為此只需證k_OC=k_OA本題也可結(jié)合圖形特點(diǎn)，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識(shí)去解決．

證法一：設(shè)AB：x=my+，代入y²=2px，得y²－2pmy－P²=0

由韋達(dá)定理，得y_Ay_B=－p²，

即y_B=－

∵BC∥x軸，且C在準(zhǔn)線x=－上，

∴C（－，y_B）

則k_OC====k_OA

故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

證法二：如圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，過A作AD⊥l，垂足為D．

則AD∥EF∥BC連結(jié)AC交EF于點(diǎn)N，

則==，=．

∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，

∴|EN|===|NF|，l

即N是EF的中點(diǎn)從而點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

點(diǎn)評(píng)：本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力，在涉及解析思想較多的證法中，關(guān)鍵是得到y_A·y_B=－p²這個(gè)重要結(jié)論還有些證法充分利用了平面幾何知識(shí)，這也提醒廣大師生對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目．

例4、已知拋物線y²=8x上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B及一個(gè)定點(diǎn)M（x₀，y₀），F是拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列，線段AB的垂直平分線與x軸交于一點(diǎn)N．

（1）求點(diǎn)N的坐標(biāo)（用x₀表示）；

（2）過點(diǎn)N與MN垂直的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若|MN|=4，求△MPQ的面積．

解：（1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂），由|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列得x₁+x­₂=2x₀．

得線段AB垂直平分線方程：

令y=0，得x=x₀+4，所以N（x₀+4，0）

（2）由M（x₀，y₀） ，N（x₀+4，0），|MN|=4，得x₀=2

由拋物線的對(duì)稱性，可設(shè)M在第一象限，所以M（2，4），N（6，0）．

直線PQ：y=x－6，由

得△MPQ的面積是64．

例5、已知拋物線與直線相交于A、B兩點(diǎn)．

①求證：；

    ②當(dāng)的面積等于時(shí)，求的值．

分析：根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式或應(yīng)用向量解題．

證明：①設(shè) ；

，由A，N，B共線

 ，

又   

解②  由得

例6、已知拋物線C：點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，，（G為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)）

（1）求證：等腰三角形MNF底邊上的高所在直線MK是拋物線的切線；

（2）求證：光線FM在點(diǎn)M的反射光線MB必平行x軸．

證明：（1）設(shè)

則   ①

又        ②

 由①②知，直線MK是拋物線在點(diǎn)M的切線．

    （2）令MA為法線，則

+，

為平角所以反射光線MB必平行x軸．

例7、如圖，ABCD是一塊邊長為4km的正方形地域，地域內(nèi)有一條河流MD，其經(jīng)過路線是以AB中點(diǎn)M為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線（河流寬度忽略不計(jì)），某集團(tuán)公司準(zhǔn)備投巨資建一個(gè)大型矩形游樂園PQCN問如何施工才能使游樂園面積最大?并求出最大面積．

解：以M為原點(diǎn)BA所在直線為y軸，如圖建系．

設(shè)拋物線方程為，

由點(diǎn)D（4，2）在拋物線上， 

故物線方程為

設(shè)是曲線MD上任意一點(diǎn)

則， 矩形游樂園面積

，

令得

當(dāng) 時(shí)；當(dāng)時(shí)，

時(shí)，S有極大值，

此時(shí)，

又時(shí)，

所以當(dāng)游樂園長PN=，寬PQ=時(shí)，其面積最大為

例8、A，B是拋物線y²=2px（p>0）上的兩點(diǎn)，滿足OA^OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求證：（1）A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；

（2）直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．

（3）作OM^AB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程．

解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，

∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂，

∵OA^OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，

由此即可解得：x₁x₂=4p²，y₁y₂=－4p² （定值）

（2）直線AB的斜率k===，

∴直線AB的方程為y－y₁=（x－），

即y（y₁+y₂）－y₁y₂=2px，由（1）可得 y=（x－2p），

直線AB過定點(diǎn)C（2p，0）

（3）解法1：設(shè)M（x，y），由（2）知y=（x－2p）    （i）

又AB^OM，故兩直線的斜率之積為－1，即·= －1  （ii）

由（i），（ii）得x²－2px+y²=0  （x10）

解法2：由OM^AB知點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)和點(diǎn)（2p，0）為直徑的圓（除去原點(diǎn)），立即可求出．

例9、定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y²=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則x=，y=

又設(shè)點(diǎn)A，B，M在準(zhǔn)線：x=－1/4上的射影分別為A^/，B^/，M^/，MM^/與y軸的交點(diǎn)為N，則|AF|=|AA^/|=x₁+，|BF|=|BB^/|=x₂+，

∴x=（x₁+x₂）=（|AF|+|BF|－）3（|AB|－）=．

等號(hào)在直線AB過焦點(diǎn)時(shí)成立，此時(shí)直線AB的方程為y=k（x－）．

由得16k²x²－8（k²+2）x+k²=0．

依題意|AB|=|x₁－x₂|=×==3，

∴k²=1/2，此時(shí)x=（x₁+x₂）==．

∴y= ±即M（，），N（，－）．

小結(jié)：

1、求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法．

2、凡涉及拋物線的弦長、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算．

3、解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)．

4、圓錐曲線統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時(shí)，表示橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，表示拋物線；當(dāng)e＞1時(shí)，表示雙曲線．

5、由于拋物線的離心率e=1，所以與橢圓及雙曲線相比，它有許多特殊的性質(zhì)，而且許多性質(zhì)是可以借助于平面幾何的知識(shí)來解決的．

6、拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離牢記它對(duì)解題非常有益．

7、求拋物線方程時(shí)，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．

8、在解題中，拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者通常與拋物線的定義相聯(lián)系，所以要注意相互轉(zhuǎn)化．

【模擬試題】

1、拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（    ）

A、     B、       C、     D、

2、已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)是    （     ）

A、     B、       C、     D、

3、過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，若，那么等于 （  ）

A、10            B、8             C、6           D、4

4、拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線上，則其方程為  （    ）

A、或          B、或

C、或          D、不確定

5、過點(diǎn)（0，2）與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 （     ）

A、1條         B、2條          C、3條          D、無數(shù)條

6、一個(gè)酒杯的軸截面為拋物線的一部分，它的方程為，在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃球，要使球觸及到杯的底部，則玻璃球的半徑的范圍為 （    ）

A、    B、     C、     D、

7、拋物線的動(dòng)弦AB長為，則AB中點(diǎn)M到軸的最短距離是（     ）

A、           B、           C、        D、

8、過拋物線的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長分別為p、q，則等于 （     ）

A、          B、          C、           D、

9、設(shè)拋物線的軸和它的準(zhǔn)線交于E點(diǎn)，經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)（直線PQ與拋物線的軸不垂直），則與的大小關(guān)系為 （    ）

A、       B、

C、       D、不確定

10、已知拋物線上一定點(diǎn)和兩動(dòng)點(diǎn)P、Q ，當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是 （    ）

A、           B、      C、[－3， －1]    D、

11、過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則（    ）

    A、       B、       C、        D、

12、在拋物線y²=2px上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為

A、               B、1               C、2                  D、4

13、設(shè)a≠0，a∈R，則拋物線y=4ax²的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

A、（a，0）    B、（0，a）   C、（0，）  D、隨a符號(hào)而定

14、以拋物線y²＝2px（p＞0）的焦半徑｜PF｜為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為

A、相交         B、相離     C、相切         D、不確定

15、以橢圓+=1的中心為頂點(diǎn)，以橢圓的左準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓右準(zhǔn)線交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的值為___________．

16、對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：

①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④拋物線的通徑的長為5；⑤由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）．

能使這拋物線方程為y²=10x的條件是____________．（要求填寫合適條件的序號(hào)）

17、拋物線的焦點(diǎn)弦AB，求的值．

18、已知拋物線，焦點(diǎn)為F，一直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，且AB的垂直平分線恒過定點(diǎn)S（6，0）．

    ①求拋物線方程； ②求面積的最大值．

【試題答案】

1、答案：A 

解析：從初中學(xué)的拋物線（二次函數(shù)）到高中的拋物線

2、答案：C

解析：把轉(zhuǎn)化為M到準(zhǔn)線的距離，然后求的最小值．

3、答案：B

解析：

4、答案：C

解析：解直線與兩軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求

5、答案：C

解析：相切與相交均能產(chǎn)生一個(gè)公共點(diǎn)

6、答案：C

解析：設(shè)圓心A（0，t），拋物線上的點(diǎn)為P（x，y），列出轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題

7、答案：D

解析：可證弦AB通過焦點(diǎn)F時(shí)，所求距離最短．

8、答案：C

解析：考慮特殊位置，令焦點(diǎn)弦PQ平行于軸，

9、答案：C．

解析：向量解法：由A、F、B共線得（重要結(jié)論），進(jìn)而得出

10、答案：D

11、答案：C

解析：因?yàn)?/SPAN>A、F、B三點(diǎn)共線．所以

12、答案：C

解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=－，由拋物線的定義知4+=5，解得p=2．

13、答案：C

解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程．

14、答案：C

解析：利用拋物線的定義．

15、解：中心為（0，0），左準(zhǔn)線為x=－，所求拋物線方程為y²=x．又橢圓右準(zhǔn)線方程為x=，聯(lián)立解得A（，）、B（，－）．

∴|AB|=．

答案：

16、解析：由拋物線方程y²=10x可知②⑤滿足條件

答案：②⑤

17、解：由 得

18、解：①設(shè)，AB中點(diǎn)

由得

又得

所以  依題意，

拋物線方程為

②由及，

令得

又由和得：