（2）計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；

（3）按各層個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應抽取的樣本容量；

（4）在每一層進行抽樣（可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣）。

7. 三種抽樣的關系：

8. 反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表

9. 將整個取值區(qū)間的長度稱為 全距，分成的區(qū)間的長度稱為組距。

10. 直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律的方法———繪制頻數(shù)條形圖或頻率直方圖。

11. 如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結起來，就得到一條折線，我們稱這條折線為本組數(shù)據(jù)的頻率折線圖

12. 頻率折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢. 如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則這條折線將趨于一條曲線，我們稱這一曲線為總體分布的密度曲線

  13. 將這些數(shù)據(jù)有條理地列出來，從中觀察得分的分布情況. 這種方法就是畫出該運動員得分的莖葉圖

14. 回歸分析  一元線性回歸分析： 對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析。通俗地講，回歸分析是尋找相關關系中非確定性關系的某種確定性。

  對于線性回歸分析，我們要注意以下幾個方面：

  （1）回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法。兩個變量具有相關關系是回歸分析的前提。

  （2）散點圖是定義在具有相關關系的兩個變量基礎上的，對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點圖，在圖上看它們有無關系，關系的密切程度，然后再進行相關回歸分析。

（3）求回歸直線方程，首先應注意到，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。

15. 散點圖：表示具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖.散點圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度。粗略地看，散點分布具有一定的規(guī)律。

16. 回歸直線

設所求的直線方程為，其中a、b是待定系數(shù)。

， ，

相應的直線叫做回歸直線，對兩個變量所進行的上述統(tǒng)計分析叫做回歸分析

  17. 相關系數(shù)：相關系數(shù)是因果統(tǒng)計學家皮爾遜提出的，對于變量y與x的一組觀測值，把

=

叫做變量y與x之間的樣本相關系數(shù)，簡稱相關系數(shù)，用它來衡量兩個變量之間的線性相關程度.

  18. 相關系數(shù)的性質(zhì)：≤1，且越接近1，相關程度越大；且越接近0，相關程度越小。

19. 顯著性水平:顯著性水平是統(tǒng)計假設檢驗中的一個概念，它是公認的小概率事件的概率值。它必須在每一次統(tǒng)計檢驗之前確定。

20. 顯著性檢驗：（相關系數(shù)檢驗的步驟）由顯著性水平和自由度查表得出臨界值，顯著性水平一般取0.01和0.05，自由度為ｎ-2，其中ｎ是數(shù)據(jù)的個數(shù)。在“相關系數(shù)檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平0.05或0.01及自由度n-2（n為觀測值組數(shù)）相應的相關數(shù)臨界值r₀.₀₅或r_0.01；例如ｎ＝7時，ｒ_0.05＝0.754，ｒ_0.01＝0.874。求得的相關系數(shù)ｒ和臨界值ｒ_0.05比較，若ｒ＞ｒ_0.05，上面ｙ與ｘ是線性相關的，當≤r_{0 05}或r_{0 01}，認為線性關系不顯著。

討論若干變量是否線性相關，必須先進行相關性檢驗，在確認線性相關后，再求回歸直線；通過兩個變量是否線性相關的估計，實際上就是把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來研究；我們研究的對象是兩個變量的線性相關關系，還可以研究多個變量的相關問題，這在今后的學習中會進一步學到。

（二）概率

1. 一般地，如果隨機事件Ａ在ｎ次試驗中發(fā)生了ｍ次，當試驗的次數(shù)ｎ很大時，我們可以將事件Ａ發(fā)生的頻率作為事件Ａ發(fā)生的概率的近似值，即。

2. 在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果稱為基本事件

3. 等可能基本事件的兩個特點：

（1）所有的基本事件只有有限個；

（2）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的。

將滿足上述條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型

4. 概率計算公式：如果一次試驗的等可能基本事件共有ｎ個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是。如果某個事件Ａ包含了其中ｍ個等可能基本事件，那么事件Ａ發(fā)生的概率為Ｐ（Ａ）＝。

5. 一年按365天計算，2名同學在同一天過生日的概率為     

6. 一只口袋裝有形狀、大小都相同的6只小球，其中有2只白球、2只紅球和2只黃球。從中一次隨機摸出2只球，試求：

（1）2只球都是紅球的概率；

（2）2只球同色的概率；

（3）“恰有1只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的多少倍？

解：（1） ；   （2） ；  （3）

（三） 幾何概型

1. 對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點。這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等。用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型。

一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P（A）＝。這里要求D的測度不為0，其中“測度”的意義依D確定，當D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的“測度”分別是長度、面積和體積等。

2. 即事件A與B是不可能同時發(fā)生的。不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件，如果事件A₁，A₂，…，A_n中的任何兩個都是互斥事件，就說事件A₁，A₂，…，A_n彼此互斥。

3. 設A，B為互斥事件，當事件A，B有一個發(fā)生，我們把這個事件記作A+B。

4. 如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P（B）。

5. 如果事件A₁，A₂，…，A_n兩兩互斥，則P（A₁+A₂+…+A_n）=P（A₁）+P（A₂）+…+P（A_n）。

6. 兩個互斥事件必有一個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。事件Ａ的對立事件記為。

【典型例題】

例1. 有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻率數(shù)如下： 

10，15］4  30，359  15，205  35，408 

20，2510  40，453  25，3011

（1）列出樣本的頻率分布表（含累積頻率）；

（2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖。 

命題意圖：本題主要考查頻率分布表，頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖的畫法。 

知識依托：頻率、累積頻率的概念以及頻率分布表、直方圖和累積頻率分布圖的畫法。 

錯解分析：解答本題時，計算容易出現(xiàn)失誤，且要注意頻率分布與累積頻率分布的區(qū)別。

技巧與方法：  本題關鍵在于掌握三種表格的區(qū)別與聯(lián)系。

解：（1）由所給數(shù)據(jù)，計算得如下頻率分布表： 

（2）頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下：

例2. 袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p。

（Ⅰ）從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止。

（i）求恰好摸5次停止的概率；

（ii）記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布率及數(shù)學期望E。

（Ⅱ） 若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值。

命題意圖：本題考查利用概率知識和期望的計算方法。 

知識依托：概率的計算及期望的概念的有關知識。

錯解分析：在本題中，隨機變量的確定，稍有不慎，就將產(chǎn)生失誤。 

技巧與方法：可借助n次獨立重復試驗概率公式計算概率。

解：（Ⅰ）（i）

（ii）隨機變量的取值為0，1，2，3；

由n次獨立重復試驗概率公式，得

；

（或）

隨機變量的分布列是

的數(shù)學期望是：

。

（Ⅱ）設袋子A中有m個球，則袋子B中有2m個球。

由，得。

例3. 一個口袋里共有2個紅球和8個黃球，從中隨機地接連取3個球，每次取一個。設{恰有一個紅球}=A，{第三個球是紅球}=B求在下列條件下事件A、B的概率。

（1）不返回抽樣；

（2）返回抽樣。

解：（1）不返回抽樣，

P（A）==，P（B）== 。

（2）返回抽樣，

P（A）=C=，P（B）== 。

例4. 在袋中裝20個小球，其中彩球有n個紅色、5個藍色、10個黃色，其余為白球。

求：（1）如果從袋中取出3個都是相同顏色彩球（無白色）的概率是，且n≥2，那么，袋中的紅球共有幾個?

（2）根據(jù)（1）的結論，計算從袋中任取3個小球至少有一個是紅球的概率。

解：（1）取3個球的種數(shù)為C=1140。

設“3個球全為紅色”為事件A，“3個球全為藍色”為事件B，“3個球全為黃色”為事件C。

P（B）==，P（C）==。

∵A、B、C為互斥事件，

∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C），

即=P（A）++P（A）=0

取3個球全為紅球的個數(shù)≤2。

又∵n≥2，故n=2。

（2）記“3個球中至少有一個是紅球”為事件D則為“3個球中沒有紅球”。

P（D）=1-P（）=1-=或

P（D）==。

例5. 甲乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的。如果甲船停泊的時間為4小時，乙船停泊的時間為2小時，求它們中的任意一艘船都不需要等待碼頭空出的概率。

解：設甲乙兩船到達該碼頭的時刻分別是x，y時刻.則

則x，y滿足的可行域為如圖所示的陰影部分。

故所求的概率為:

例6. 將長為3的棒隨機折成3段，（1）求3段能構成三角形的概率；

（2）求3段不能構成三角形的概率。

解：設被分成的三段為x，y，3-x-y，則

x，y對應的區(qū)域是如上圖所示的三角形。

（1）記3段能構成三角形為事件A，則P（A）=

（2） 記3段不能構成三角形為事件B，則P（B）

例7. 已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量yt之間的關系有如下數(shù)據(jù)：

    （1）求x與y之間的相關系數(shù)，并檢驗是否線性相關；

    （2）若線性相關，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計每單位面積施肥150kg時，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。

    分析：（1）使用樣本相關系數(shù)計算公式來完成；（2）查表得出顯著性水平0.05與自由度15-2相應的相關系數(shù)臨界比較，若則線性相關，否則不線性相關。

  解：（1）列出下表，并用科學計算器進行有關計算：

    ，，

    ，，。

故蔬菜產(chǎn)量與放用氮肥量的相關系數(shù)

    。

    由于n=15，故自由度15-2=13。

由相關系數(shù)檢驗的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關系數(shù)臨界值，則，

從而說明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關關系。

    （2）設所求的回歸直線方程為，則，

    ，

    ∴回歸直線方程為。

    點評：求解兩個變量的相關系數(shù)及它們的回歸直線方程的計算量較大，需要細心、謹慎地計算。如果會使用含統(tǒng)計的科學計算器，能簡單得到，，，，這些量，也就無需有制表這一步，直接算出結果就行了。另外，利用計算機中有關應用程序也可以對這些數(shù)據(jù)進行處理。

例8. 假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料：

    若由資料可知y對x呈線性相關關系。試求：

    （1）線性回歸方程；

    （2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？

    分析：本題為了降低難度，告訴了y與x間呈線性相關關系，目的是訓練公式的使用。

    解：（1）列表如下： 

    于是，

    。

∴線性回歸方程為：。

    （2）當x=10時，（萬元）

    即估計使用10年時維修費用是12.38萬元。

點評：本題若沒有告訴我們y與x間是呈線性相關的，應首先進行相關性檢驗。如果本身兩個變量不具備線性相關關系，或者說它們之間相關關系不顯著時，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計與預測也是不可信的。

【模擬試題】

1. 為考慮廣告費用x與銷售額y之間的關系，抽取了5家餐廳，得到如下數(shù)據(jù)：

現(xiàn)要使銷售額達到6萬元，則需廣告費用為_____（保留兩位有效數(shù)字）

2. 某校高三年級舉行的一次演講比賽共有10位同學參加，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位若采取抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班的3位同學恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為

A.                    B.                          C.                          D.

3. 甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%，甲不輸?shù)母怕蕿?/SPAN>90%，則甲、乙二人下成和棋的概率為

A. 60%                        B. 30%                 C. 10%                 D. 50%

4. 從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是

A. 至少有1個白球，都是紅球                       B. 至少有1個白球，至多有1個紅球

C. 恰有1個白球，恰有2個白球                   D. 至多有1個白球，都是紅球

5. 一批產(chǎn)品共10件，其中有兩件次品，現(xiàn)隨機地抽取5件，則所取5件中至多有一件次品的概率為

A.                          B.                           C.                           D.

6. 在某段時間內(nèi)，甲地不下雨的概率為0.3，乙地不下雨的概率為0.4，假設在這段時間內(nèi)兩地是否下雨相互無影響，則這段時間內(nèi)兩地都下雨的概率是

A. 0.12                         B. 0.88                         C. 0.28                        D. 0.42

7. 一道數(shù)學競賽試題，甲生解出它的概率為，乙生解出它的概率為，丙生解出它的概率為，由甲、乙、丙三人獨立解答此題只有一人解出的概率為________。

8. 一出租車司機從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是。那么這位司機遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率是________。

9. 某學生參加一次選拔考試，有5道題，每題10分。已知他解題的正確率為，若40分為最低分數(shù)線，則該生被選中的概率是________。

10. 某單位訂閱大眾日報的概率為0.6，訂閱齊魯晚報的概率為0.3，則至少訂閱其中一種報紙的概率為________。

11. 在未來3天中，某氣象臺預報每天天氣的準確率為08，則在未來3天中，

（1）至少有2天預報準確的概率是多少？

（2）至少有一個連續(xù)2天預報都準確的概率是多少？

12. 一個通訊小組有兩套設備，只要其中有一套設備能正常工作，就能進行通訊每套設備由3個部件組成，只要其中有一個部件出故障，這套設備就不能正常工作。如果在某一時間段內(nèi)每個部件不出故障的概率為p，計算在這一時間段內(nèi)，

（1）恰有一套設備能正常工作的概率；

（2）能進行通訊的概率。

13. 已知甲袋中有3個白球和4個黑球，乙袋中有5個白球和4個黑球現(xiàn)從兩袋中各取兩個球，試求取得的4個球中有3個白球和1個黑球的概率。

【試題答案】

  1. 解析：先求出回歸方程=bx+a，令=6，得x=1.5萬元。

答案：1.5萬元

  2. 解析：10位同學總參賽次序A。一班3位同學恰好排在一起，而二班的2位同學沒有排在一起的方法數(shù)為先將一班3人捆在一起A，與另外5人全排列A，二班2位同學不排在一起，采用插空法A，即AAA。

∴所求概率為= 。

答案：B

  3. 甲不輸即為甲獲勝或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p，∴p=50%。

答案：D

  4. C

  5. 解析：P=+=+=。

答案：B

  6. 解析：P=（1-0.3）（1-0.4）=0.42。

答案：D

  7. 解析：P=××+ ××+ ××=。

答案：

  8. 因為這位司機在第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈，所以P=（1-）（1-）×=。

答案：

  9. 解析：要使該生被選中，則必須他解對5題或4題。

∴P=（）⁵+C×（）⁴×（1-）=

答案：

  10. 解析：P=1-（1-06）（1-03）=0.72。

答案：0.72。

  11. 解：（1）至少有2天預報準確的概率即為恰有2天和恰有3天預報準確的概率，即

C·0.8²·0.2+C·0.8³=0.896。

∴至少有2天預報準確的概率為0.896。

（2）至少有一個連續(xù)2天預報都準確，即為恰有一個連續(xù)2天預報準確或3天預報準確的概率為

2·0.8²·0.2+0.8³=0.768。

∴至少有一個連續(xù)2天預報都準確的概率為0.768。

  12. 解：記“第一套通訊設備能正常工作”為事件A，“第二套通訊設備能正常工作”為事件B。

由題意知P（A）=p³，P（B）=p³，

P（）=1-p³，P（）=1-p³。

（1）恰有一套設備能正常工作的概率為

P（A·+ ·B）=P（A·）+P（·B）

=p³（1-p³）+（1-p³）p³=2p³-2p⁶。

（2）方法一：兩套設備都能正常工作的概率為

P（A·B）=P（A）·P（B）=p⁶。

至少有一套設備能正常工作的概率，即能進行通訊的概率為

P（A·+ ·B）+P（A·B）=2p³-2p⁶+p⁶=2p³-p⁶。

方法二：兩套設備都不能正常工作的概率為

P（·）=P（）·P（）=（1-p³）²。

至少有一套設備能正常工作的概率，

即能進行通訊的概率為

1-P（·）=1-P（）·P（）=1-（1-p³）²=2p³-p⁶。

答：恰有一套設備能正常工作的概率為2p³-2p⁶，能進行通訊的概率為2p³-p⁶。

  13. 解：從甲袋中取2個白球，從乙袋中取1個黑球和1個白球的概率為

×=；

從甲袋中取1個黑球和1個白球，從乙袋中取2個白球的概率為

×=。

所以，取得的4個球中有3個白球和1個黑球的概率為

+==。