函數(shù)對(duì)稱性與周期性關(guān)系

【典型例題】

1. 定義在R上的函數(shù)，若總有成立，則函數(shù)的圖象是關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形。反之，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，則必有

推論，對(duì)于定義在R上的函數(shù)，若有，則圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，反之亦真。

證明：若對(duì)，總有，設(shè)點(diǎn)，在的圖象上，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由

，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，由的任意性知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，反之證明略。

推論，由顯然

[例1] 已知，滿足且，當(dāng)時(shí)，比較與的大小。

解：由知關(guān)于對(duì)稱，故，又由知，則在遞減，在上遞增。

當(dāng)時(shí)，   ∴ 即

當(dāng)時(shí)，     ∴ ，即

[例2] 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且時(shí)，則當(dāng)時(shí)，的解析式為        。

解：依條件，設(shè)，則，

故

[例3] 若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則      。

A.           B.        C.        D.

解：由

得

即

∴

[例4] 設(shè)對(duì)任意，滿足且方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根，則此六個(gè)實(shí)根之和為       。

A. 18      B. 12       C. 9        D. 0

解：依條件知圖象關(guān)于直線對(duì)稱，方程六個(gè)根必分布在對(duì)稱軸兩側(cè)，且兩兩對(duì)應(yīng)以（3，0）點(diǎn)為對(duì)稱中心，故，所以，選A。

[例5] 設(shè)滿足（1），（2）當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，定義域，則下列不等式成立的是（    ）

A.

B.

C.

D.

解：由條件知圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱

，

又及時(shí)遞增

∴ ，故選C

2. 對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

（1）若函數(shù)在R上的圖象關(guān)于兩條直線與對(duì)稱，則為R上的周期函數(shù)。

（2）若函數(shù)在R上的圖象關(guān)于直線與點(diǎn)對(duì)稱，則為R上的周期函數(shù)。

證：（1）因圖象關(guān)于及對(duì)稱，則，，故得證

（2）由圖象關(guān)于對(duì)稱，有① 

又由圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，有，

∴ ，，即

以代有②

由①和②  ③

以代有

又由③式 得證

特別地，圖象關(guān)于直線對(duì)稱的偶函數(shù)必是周期函數(shù)

推論，定義在R上的函數(shù)滿足

（1）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，是以為一個(gè)周期的周期函數(shù)。

（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，是以為一個(gè)周期的周期函數(shù)。

證：（1）

（2）

[例1] 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)滿足：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，，求時(shí)，的解析式。

解：由（1）（2）知，對(duì)任

則，，

[例2] 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)滿足：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)解析式，求上的解析式。

解：設(shè)

當(dāng)時(shí)，，則

當(dāng)時(shí)，，則

又為偶函數(shù)，知

從而

另法：當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

[例3] 函數(shù)定義在R上，且對(duì)一切滿足，，設(shè)，問方程在區(qū)間中至少有幾個(gè)實(shí)根。

解：依條件為函數(shù)的周期，，均為的根，因此在區(qū)間上至少有二個(gè)根

∵

由周期性可知也為的根

所以方程在區(qū)間中至少有

[例4] 若偶函數(shù)，滿足（1）圖象關(guān)于直線對(duì)稱，（2）在區(qū)間上是減函數(shù)，求證以為最小正周期。

證：依條件知為函數(shù)的周期，假設(shè)函數(shù)還存在比更小的周期2，且

令，則

（1）若，則與在上是減函數(shù)矛盾

（2）若，即時(shí)，與在上是減函數(shù)矛盾，所以是的最小正周期。

[例5] 已知是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，是R上的奇函數(shù)，又知（1）（是常數(shù)）；（2）試求的值。

分析：條件（2）即，即關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

又由是偶函數(shù)，故是以為周期的周期函數(shù)

解：由條件（2）知，令，則

，故，即為以4為周期的周期函數(shù)，又由，所以

【模擬試題】

一. 選擇題（每小題5分，共50分）

1. 函數(shù)的定義域?yàn)?/SPAN>A，函數(shù)的定義域?yàn)?/SPAN>B，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）

A.          B.

C.                D.

2. 函數(shù)在區(qū)間上遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）

A.         B.         C.         D.

3. 已知，且，則滿足（    ）

A.               B.         C.         D.

4. 定義在R上的奇函數(shù)為減函數(shù)，設(shè)，給出下列不等式：

（1）

（2）

（3）

（4）

其中正確的不等式序號(hào)是（    ）

A. （1）（2）（4）              B. （1）（4）       

C. （2）（4）                     D. （1）（3）

5. 偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則與的大小關(guān)系為（    ）

A.             B.

C.             D. 不能確定

6. 已知定義域?yàn)?/SPAN>R的函數(shù)滿足有，且，若，則（    ）

A. 2        B. 4        C.             D.

7. 已知定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（    ）

A.              B.            C.             D.

8. 已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（    ）

A. 0.5            B. 1        C. 1.5            D.

9. 函數(shù)是（0，2）上的增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（    ）

A.                   B.

C.                   D.

10. 設(shè)、分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是（    ）

A.                   B.

C.                D.

二. 填空題（每小題4分，共24分）

11. 定義在R上的函數(shù)滿足，則

          。

12. 已知函數(shù)，則             。

13. 設(shè)，，且，那么函數(shù)的最大值是 

      。

14. 已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，它們的定義域都為，當(dāng)時(shí)，它們的圖象如下圖，則不等式的解集為          。

15. 已知二次函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是             。

16. 設(shè)函數(shù)，給出下列命題：

（1）時(shí)，為奇函數(shù)

（2），時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

（3）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

（4）方程至多兩個(gè)實(shí)數(shù)根

上述四個(gè)命題中所有正確的命題序號(hào)為           。

三. 解答題（共76分）

17. 已知集合，集合

，

其中，設(shè)全集，，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

18. 求函數(shù)的值域。（滿分12分）

19. 已知兩個(gè)函數(shù)，

（1）若都有成立，求的取值范圍；

（2）若都有成立，求的取值范圍。（滿分12分）

20. 已知奇函數(shù)

（1）確定的值，并證明在R上為增函數(shù)；

（2）若方程在上有解，證明。（滿分12分）

21. 已知函數(shù)滿足，其中，且。

（1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍恰為，求的取值范圍。（滿分14分）

【試題答案】

一.

1. A   2. D   3. B   4. B   5. C   6. B   7. C   8. A   9. B   10. D

二.

11. 7    12.    13. 0   14.     15.     16. ①②③

三.

17. 解：A：       ∴

B：

設(shè)，則    ∴ ，

若，則，

∴     ∵     ∴    ∴

若，則在上

∴     

∴     ∵

∴      ∴     綜上所述：

18. 解：  定義域：R

設(shè)，則且   

∴ （）

∵ 函數(shù)在上

∴ 當(dāng)時(shí)，  

∴ 函數(shù)的值域?yàn)?/SPAN>

19. 解：∵      

∴

令得，   

                             3

           +         0         －         0         +

       ↑     極大值     ↓   極小值    ↑       111

在上↓，在上↑

（1）∵ 都有成立

∴

（2）∵ 都有成立

∴ ，即      ∴

20. 解：（1）∵ 為R上的奇函數(shù)    ∴

∴      ∴

設(shè) 

∵ 在R上↑且，在上↑

∴ 在R上↑

（2）∵ 在R上↑，且當(dāng)時(shí)有，

∴ 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?/SPAN>）

∵ 方程在上有解     ∴

∴      即

21. 解：（1）（且）

設(shè)，則     ∴

∴

當(dāng)時(shí)，∵ ，    ∴ 在其定義域上↑

當(dāng)時(shí)，∵ ，     ∴ 在其定義域上↑

∴ 且都有為其定義域上的增函數(shù)

又∵     ∴ 為奇函數(shù)

（1）∵ 當(dāng)時(shí)，

∴

∴

（2）當(dāng)時(shí)

∵ 在上↑且值域?yàn)?/SPAN>

∴