層次分析法

老虎背 2012-07-13

展開(kāi)全文

次分析法

層次分析法（The analytic hierarchy process,簡(jiǎn)稱AHP），也稱層級(jí)分析法

1 什么是層次分析法
2 層次分析法的基本步驟
3 層次分析法的優(yōu)點(diǎn)
4 建立層次結(jié)構(gòu)模型
5 構(gòu)造成對(duì)比較矩陣
6 作一致性檢驗(yàn)
7 層次總排序及決策
8 層次分析法的用途舉例
9 層次分析法應(yīng)用的程序
10 應(yīng)用層次分析法的注意事項(xiàng)
11 層次分析法應(yīng)用實(shí)例
12 外部鏈接
13 相關(guān)條目

什么是層次分析法

　　層次分析法（The analytic hierarchy process）簡(jiǎn)稱AHP，在20世紀(jì)70年代中期由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家托馬斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。由于它在處理復(fù)雜的決策問(wèn)題上的實(shí)用性和有效性，很快在世界范圍得到重視。它的應(yīng)用已遍及經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理、能源政策和分配、行為科學(xué)、軍事指揮、運(yùn)輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療和環(huán)境等領(lǐng)域。

　　層次分析法的基本思路與人對(duì)一個(gè)復(fù)雜的決策問(wèn)題的思維、判斷過(guò)程大體上是一樣的。不妨用假期旅游為例：假如有3個(gè)旅游勝地A、B、C供你選擇，你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用和居住、飲食、旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較這3個(gè)候選地點(diǎn)．首先，你會(huì)確定這些準(zhǔn)則在你的心目中各占多大比重，如果你經(jīng)濟(jì)寬綽、醉心旅游，自然分別看重景色條件，而平素儉樸或手頭拮據(jù)的人則會(huì)優(yōu)先考慮費(fèi)用，中老年旅游者還會(huì)對(duì)居住、飲食等條件寄以較大關(guān)注。其次，你會(huì)就每一個(gè)準(zhǔn)則將3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，譬如A景色最好，B次之；B費(fèi)用最低，C次之；C居住等條件較好等等。最后，你要將這兩個(gè)層次的比較判斷進(jìn)行綜合，在A、B、C中確定哪個(gè)作為最佳地點(diǎn)。

[編輯]

層次分析法的基本步驟

　　1、建立層次結(jié)構(gòu)模型。在深入分析實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個(gè)因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標(biāo)層，通常只有1個(gè)因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則過(guò)多時(shí)(譬如多于9個(gè))應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。

　　2、構(gòu)造成對(duì)比較陣。從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開(kāi)始，對(duì)于從屬于(或影響)上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和1—9比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較陣，直到最下層。

　　3、計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)。對(duì)于每一個(gè)成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根及對(duì)應(yīng)特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量：若不通過(guò)，需重新構(gòu)造成對(duì)比較陣。

　　4、計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)。計(jì)算最下層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量，并根據(jù)公式做組合一致性檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)通過(guò)，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對(duì)比較陣。

[編輯]

層次分析法的優(yōu)點(diǎn)

　　運(yùn)用層次分析法有很多優(yōu)點(diǎn)，其中最重要的一點(diǎn)就是簡(jiǎn)單明了。層次分析法不僅適用于存在不確定性和主觀信息的情況，還允許以合乎邏輯的方式運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)、洞察力和直覺(jué)。也許層次分析法最大的優(yōu)點(diǎn)是提出了層次本身，它使得買方能夠認(rèn)真地考慮和衡量指標(biāo)的相對(duì)重要性。

[編輯]

建立層次結(jié)構(gòu)模型

　　將問(wèn)題包含的因素分層：最高層（解決問(wèn)題的目的）；中間層（實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而采取的各種措施、必須考慮的準(zhǔn)則等。也可稱策略層、約束層、準(zhǔn)則層等）；最低層（用于解決問(wèn)題的各種措施、方案等）。把各種所要考慮的因素放在適當(dāng)?shù)膶哟蝺?nèi)。用層次結(jié)構(gòu)圖清晰地表達(dá)這些因素的關(guān)系。

　　〔例1〕購(gòu)物模型

　　某一個(gè)顧客選購(gòu)電視機(jī)時(shí)，對(duì)市場(chǎng)正在出售的四種電視機(jī)考慮了八項(xiàng)準(zhǔn)則作為評(píng)估依據(jù)，建立層次分析模型如下：

　　〔例2〕選拔干部模型

　　對(duì)三個(gè)干部候選人 $y 1$ 、 $y 2$ 、 $y 3$ ，按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德、才能、資歷、年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型：假設(shè)有三個(gè)干部候選人 $y 1$ 、 $y 2$ 、 $y 3$ ，按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德，才能，資歷，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型

[編輯]

構(gòu)造成對(duì)比較矩陣

　　比較第 i 個(gè)元素與第 j 個(gè)元素相對(duì)上一層某個(gè)因素的重要性時(shí)，使用數(shù)量化的相對(duì)權(quán)重 $a i j$ 來(lái)描述。設(shè)共有 n 個(gè)元素參與比較，則 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 稱為成對(duì)比較矩陣。

　　成對(duì)比較矩陣中 $a i j$ 的取值可參考 Satty 的提議，按下述標(biāo)度進(jìn)行賦值。 $a i j$ 在 1-9 及其倒數(shù)中間取值。

$a i j = 1$ ，元素 i 與元素 j 對(duì)上一層次因素的重要性相同；

$a i j = 3$ ，元素 i 比元素 j 略重要；

$a i j = 5$ ，元素 i 比元素 j 重要；

$a i j = 7$ ，元素 i 比元素 j 重要得多；

$a i j = 9$ ，元素 i 比元素 j 的極其重要；

$a i j = 2 n$ ，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介于 $a i j = 2 n ? 1$ 與 $a i j = 2 n + 1$ 之間；

$a_{ij}=\frac{1}{n}$ ，n=1,2,...,9，當(dāng)且僅當(dāng) $a j i = n$ 。

　　成對(duì)比較矩陣的特點(diǎn)： $a_{ij}>0,a_{ij}=1,a_{ij}=\frac{1}{a_{ji}}$ 。（備注：當(dāng)i=j時(shí)候， $a i j = 1$ ）

　　對(duì)例 2，選拔干部考慮5個(gè)條件：品德 $x 1$ ，才能 $x 2$ ，資歷 $x 3$ ，年齡 $x 4$ ，群眾關(guān)系 $x 5$ 。某決策人用成對(duì)比較法，得到成對(duì)比較陣如下：

　　 $\begin{pmatrix}1&2&7&5&5\\\frac{1}{2}&1&4&3&3\\\frac{1}{7}&\frac{1}{4}&1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}&2&1&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}&3&1&1\end{pmatrix}$

　　 $a 14 = 5$ 表示品德與年齡重要性之比為 5，即決策人認(rèn)為品德比年齡重要。

[編輯]

作一致性檢驗(yàn)

　　從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對(duì)比較矩陣，應(yīng)該有

　　 $a_{ij}a_{jk}=a_{ik},1\le i,j,k\le n.$

　　但實(shí)際上在構(gòu)造成對(duì)比較矩陣時(shí)要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對(duì)比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對(duì)比較矩陣存在一定程度的不一致性。

　　由分析可知，對(duì)完全一致的成對(duì)比較矩陣，其絕對(duì)值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對(duì)成對(duì)比較矩陣的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求：的絕對(duì)值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。

　　檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣A一致性的步驟如下：

計(jì)算衡量一個(gè)成對(duì)比矩陣 A （n>1 階方陣）不一致程度的指標(biāo)CI：

　　 $CI=\frac{\lambda_{max}(A)-n}{n-1}$

　　RI是這樣得到的:對(duì)于固定的n,隨機(jī)構(gòu)造成對(duì)比較陣A, 其中 $a i j$ 是從1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9中隨機(jī)抽取的. 這樣的A是不一致的, 取充分大的子樣得到A的最大特征值的平均值

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

　　注解:

從有關(guān)資料查出檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣 A 一致性的標(biāo)準(zhǔn)RI：RI稱為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，它只與矩陣階數(shù) n 有關(guān)。

按下面公式計(jì)算成對(duì)比較陣 A 的隨機(jī)一致性比率 CR：

　　 $CR=\frac{CI}{RI}$ 。

判斷方法如下：當(dāng)CR<0.1時(shí)，判定成對(duì)比較陣 A 具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否則就調(diào)整成對(duì)比較矩陣 A，直到達(dá)到滿意的一致性為止。

　　例如對(duì)例 2 的矩陣

　　 $\begin{pmatrix}1&2&7&5&5\\\frac{1}{2}&1&4&3&3\\\frac{1}{7}&\frac{1}{4}&1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}&2&1&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}&3&1&1\end{pmatrix}$

　　計(jì)算得到 $\lambda_{max}(A)=5.073,CI=\frac{\lambda_{max}(A)-5}{5-1}=0.018$ ,查得RI=1.12，

　　 $CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.018}{1.12}=0.016<0.1$

　　這說(shuō)明 A 不是一致陣，但 A 具有滿意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

　　此時(shí)A的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。這個(gè)向量也是問(wèn)題所需要的。通常要將該向量標(biāo)準(zhǔn)化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。該特征向量標(biāo)準(zhǔn)化后變成 $U = (0.475,0.263,0.051,0.103,0.126) Z$ 。經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后這個(gè)向量稱為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔干部時(shí)，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關(guān)系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對(duì)重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。

　　求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 語(yǔ)句求A的特征值:〔Y,D〕=eig（A），D為成對(duì)比較陣的特征值，Y的列為相應(yīng)特征向量。

　　在實(shí)踐中，可采用下述方法計(jì)算對(duì)成對(duì)比較陣 $A = (a i j)$ 的最大特征值 $λ m a x (A)$ 和相應(yīng)特征向量的近似值。

　　定義

　　 $U_k=\frac{\sum_{j=1}^{n}a_{kj}}{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}}$ ， $U=(u_1,u_2,\ldots,u_n)^z$

　　可以近似地看作A的對(duì)應(yīng)于最大特征值的特征向量。

　　計(jì)算

　　 $\lambda=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{(AU)_i}{u_i}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{\sum^{n}_{i=1}}\frac{\sum^n_{j=1}a_{ij}u_{j}}{u_i}$

　　可以近似看作A的最大特征值。實(shí)踐中可以由 $λ$ 來(lái)判斷矩陣A的一致性。

[編輯]

層次總排序及決策

　　現(xiàn)在來(lái)完整地解決例 2 的問(wèn)題，要從三個(gè)候選人 $y 1, y 2, y 3$ 中選一個(gè)總體上最適合上述五個(gè)條件的候選人。對(duì)此，對(duì)三個(gè)候選人 $y = y 1, y 2, y 3$ 分別比較他們的品德 $(x 1)$ ，才能 $(x 2)$ ，資歷 $(x 3)$ ，年齡 $(x 4)$ ，群眾關(guān)系 $(x 5)$ 。

　　先成對(duì)比較三個(gè)候選人的品德，得成對(duì)比較陣

　　 $B_1=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\\3&1&\frac{1}{3}\\8&3&1\end{pmatrix}$

　　經(jīng)計(jì)算， $B 1$ 的權(quán)向量

　　 $ω x 1 (Y) = (0.082,0.244,0.674) z$

　　 $\lambda_{max}(B_1)=3.002,CI=0.001,\frac{CI}{RI}=\frac{0.001}{0.58}<0.1$

　　故 $B 1$ 的不一致程度可接受。 $ω x 1 (Y)$ 可以直觀地視為各候選人在品德方面的得分。

　　類似地，分別比較三個(gè)候選人的才能，資歷，年齡，群眾關(guān)系得成對(duì)比較陣

　　 $B_2=\begin{pmatrix}1&2&5\\\frac{1}{2}&1&2\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}$ 　　 $B_3=\begin{pmatrix}1&1&3\\1&1&3\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&1\end{pmatrix}$

　　 $B_4=\begin{pmatrix}1&3&4\\\frac{1}{3}&1&1\\\frac{1}{4}&1&1\end{pmatrix}$

　　 $B_5=\begin{pmatrix}1&4&\frac{1}{4}\\1&1&\frac{1}{4}\\4&1&1\end{pmatrix}$

　　通過(guò)計(jì)算知，相應(yīng)的權(quán)向量為

　　 $\omega_{x_2}(Y)=(0.606,0.265,0.129)^z$

　　 $\omega_{x_3}(Y)=(0.429,0.429,0.143)^z$

　　 $\omega_{x_4}(Y)=(0.636,0.185,0.179)^z$

　　 $\omega_{x_5}(Y)=(0.167,0.167,0.667)^z$

　　它們可分別視為各候選人的才能分，資歷分，年齡分和群眾關(guān)系分。經(jīng)檢驗(yàn)知 $B 2, B 3, B 4, B 5$ 的不一致程度均可接受。

　　最后計(jì)算各候選人的總得分。 $y 1$ 的總得分

　　 $\omega_z(y_1)=\sum{5}{j=1}u_j\omega_{xj}(y_1)=0.457\times 0.082+0.263\times 0.606+0.051\times 0.429+0.104\times 0.6366+0.162\times 0.1670.306$

　　從計(jì)算公式可知， $y 1$ 的總得分 $ω(y 1)$ 實(shí)際上是 $y 1$ 各條件得分 $ω x 1 (y 1)$ , $ω x 2 (y 1)$ ,..., $ω x 5 (y 1)$ ,的加權(quán)平均, 權(quán)就是各條件的重要性。同理可得 $y 2, Y 3$ 的得分為

　　 $ω z (y 2) = 0.243,ω z (y 3) = 0.452$

	0.457	0.263	0.051	0.103	0.126	總得分
Y1	0.082	0.606	0.429	0.636	0.167	0.305
Y2	0.244	0.265	0.429	0.185	0.167	0.243
Y3	0.674	0.129	0.143	0.179	0.667	0.452

　　即排名: $Y 3 > Y 1 > Y 2$

　　比較后可得：候選人 $y 3$ 是第一干部人選。

[編輯]

層次分析法的用途舉例

　　例如，某人準(zhǔn)備選購(gòu)一臺(tái)電冰箱，他對(duì)市場(chǎng)上的6種不同類型的電冰箱進(jìn)行了解后，在決定買那一款式時(shí)，往往不是直接拿電冰箱整體進(jìn)行比較，因?yàn)榇嬖谠S多不可比的因素，而是選取一些中間指標(biāo)進(jìn)行考察。例如電冰箱的容量、制冷級(jí)別、價(jià)格、型號(hào)、耗電量、外界信譽(yù)、售后服務(wù)等。然后再考慮各種型號(hào)冰箱在上述各中間標(biāo)準(zhǔn)下的優(yōu)劣排序。借助這種排序，最終作出選購(gòu)決策。在決策時(shí)，由于6種電冰箱對(duì)于每個(gè)中間標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)劣排序一般是不一致的，因此，決策者首先要對(duì)這7個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的重要度作一個(gè)估計(jì)，給出一種排序，然后把6種冰箱分別對(duì)每一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的排序權(quán)重找出來(lái)，最后把這些信息數(shù)據(jù)綜合，得到針對(duì)總目標(biāo)即購(gòu)買電冰箱的排序權(quán)重。有了這個(gè)權(quán)重向量，決策就很容易了。

[編輯]

層次分析法應(yīng)用的程序

　　運(yùn)用AHP法進(jìn)行決策時(shí)，需要經(jīng)歷以下4個(gè)步驟：

　　1、建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)；

　　2、構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；（正互反矩陣）

　　3、針對(duì)某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算各備選元素的權(quán)重；

　　4、計(jì)算當(dāng)前一層元素關(guān)于總目標(biāo)的排序權(quán)重。

　　5、進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

[編輯]

應(yīng)用層次分析法的注意事項(xiàng)

　　如果所選的要素不合理，其含義混淆不清，或要素間的關(guān)系不正確，都會(huì)降低AHP法的結(jié)果質(zhì)量，甚至導(dǎo)致AHP法決策失敗。

　　為保證遞階層次結(jié)構(gòu)的合理性，需把握以下原則：

　　1、分解簡(jiǎn)化問(wèn)題時(shí)把握主要因素，不漏不多；

　　2、注意相比較元素之間的強(qiáng)度關(guān)系，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。

[編輯]

層次分析法應(yīng)用實(shí)例

　　1、建立遞階層次結(jié)構(gòu)；

　　2、構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；（正互反矩陣）

　　對(duì)各指標(biāo)之間進(jìn)行兩兩對(duì)比之后，然后按9分位比率排定各評(píng)價(jià)指標(biāo)的相對(duì)優(yōu)劣順序，依次構(gòu)造出評(píng)價(jià)指標(biāo)的判斷矩陣。

　　3、針對(duì)某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算各備選元素的權(quán)重；

　　關(guān)于判斷矩陣權(quán)重計(jì)算的方法有兩種，即幾何平均法（根法）和規(guī)范列平均法（和法）。

　?。?）幾何平均法（根法）

　　計(jì)算判斷矩陣A各行各個(gè)元素mi的乘積；

　　計(jì)算mi的n次方根；

　　對(duì)向量進(jìn)行歸一化處理；

　　該向量即為所求權(quán)重向量。

　　（2）規(guī)范列平均法（和法）

　　計(jì)算判斷矩陣A各行各個(gè)元素mi的和；

　　將A的各行元素的和進(jìn)行歸一化；

　　該向量即為所求權(quán)重向量。

計(jì)算矩陣A的最大特征值?max

　　對(duì)于任意的i=1,2,…,n, 式中為向量AW的第i個(gè)元素

　?。?）一致性檢驗(yàn)

　　構(gòu)造好判斷矩陣后，需要根據(jù)判斷矩陣計(jì)算針對(duì)某一準(zhǔn)則層各元素的相對(duì)權(quán)重，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。雖然在構(gòu)造判斷矩陣A時(shí)并不要求判斷具有一致性，但判斷偏離一致性過(guò)大也是不允許的。因此需要對(duì)判斷矩陣A進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

[編輯]

外部鏈接

第十三章層次分析法

[編輯]

本條目由以下用戶參與貢獻(xiàn)

村姑,funwmy,苦行者,Vulture,Zfj3000,Lolo,001,Angle Roh,http://wiki.mbalib.com/zh-tw/User:Lzq0702,Mathfei,Jiejie,Cabbage,劉永祥,Yixi,Yutian85,快樂(lè)的風(fēng),Luckyxia0703,Freeheart,陳蹊,Ywlshuwei,Dan,阿南.

頁(yè)面分類: 經(jīng)濟(jì)分析方法 | 供應(yīng)商選擇方法

本站是提供個(gè)人知識(shí)管理的網(wǎng)絡(luò)存儲(chǔ)空間，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，不代表本站觀點(diǎn)。請(qǐng)注意甄別內(nèi)容中的聯(lián)系方式、誘導(dǎo)購(gòu)買等信息，謹(jǐn)防詐騙。如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請(qǐng)點(diǎn)擊一鍵舉報(bào)。

轉(zhuǎn)藏 分享

QQ空間 QQ好友新浪微博微信

獻(xiàn)花（0） +1

來(lái)自：老虎背 > 《網(wǎng)摘》

舉報(bào)/認(rèn)領(lǐng)