電場、磁場

一. 教學(xué)內(nèi)容：電場、磁場

二. 具體過程

（一）電場的性質(zhì)

1. 電場力的性質(zhì)

（1）庫侖定律的應(yīng)用

①真空中兩點電荷間庫侖力的大小由公式 計算，方向由同種電荷相斥，異種電荷相吸判斷。

在介質(zhì)中，公式為： 。

②兩個帶電體間的庫侖力

均勻分布的絕緣帶電球體間的庫侖力仍用公式< style='height:30pt' > 計算，公式中r為兩球心之間的距離。

兩導(dǎo)體球間庫侖力可定性比較：用r表示兩球球心間距離，則當(dāng)兩球帶同種電荷時， ；反之當(dāng)兩球帶異種電荷時， 。

③兩帶電體間的庫侖力是一對作用力與反作用力。

（2）對電場強度的三個公式的理解

① 是電場強度的定義式，適用于任何電場，電場中某點的場強是確定值，其大小和方向與試探電荷q無關(guān)。試探電荷q充當(dāng)“測量工具”的作用。

② 是真空點電荷所形成的電場的決定式。E由場源電荷Q和場源電荷到某點的距離r決定。

③ 2. 電場能的性質(zhì)

（1）電場力做功與電勢能改變的關(guān)系

電場力對電荷做正功，電勢能減少，電場力對電荷做負功，電勢能增加，且電勢能的改變量等于電場力做功的多少，即 ，正電荷沿電場線移動或負電荷逆電場線移動，電場力均做正功，故電勢能減少，而正電荷逆電場線移動或負電荷沿電場線移動，電勢能均增大。

（2）等勢面與電場線的關(guān)系

①電場線總是與等勢面垂直，且從高電勢等勢面指向低電勢等勢面。

②電場線越密的地方，等差等勢面也越密。

③沿等勢面移動電荷，電場力不做功，沿電場線移動電荷，電場力一定做功。

④電場線和等勢面都是人們虛擬出來的描述電場的工具。

⑤實際中測量等電勢點較容易，所以往往通過描繪等勢線來確定電場線。

（3）等勢面（線）的特點

①等勢面上各點電勢相等，在等勢面上移動電荷電場力不做功。

②等勢面一定跟電場線垂直，而且電場線總是由電勢較高的等勢面指向電勢較低的等勢面。

③規(guī)定：畫等勢面（線）時，相鄰兩等勢面（或線）間的電勢差相等，這樣，在等勢面（線）密處場強大，等勢面（線）疏處場強小。

（4）電勢能是電荷與所在電場所共有的；電勢、電勢差是由電場本身因素決定的，與試探電荷無關(guān)。

（5）電勢能、電勢具有相對性，與零電勢點選取有關(guān)；電勢能的改變、電勢差具有絕對性，與零電勢點的選取無關(guān)。

【典型例題

例1. 一條長3l的絲線穿著兩個相同質(zhì)量均為m的小金屬環(huán)A和B，將線的兩端系于共同的點O。使金屬環(huán)帶電后，它們便斥開使線組成一個等邊三角形，此時兩環(huán)處于同一水平線上，如果不計環(huán)與線的摩擦，兩環(huán)各帶多少電荷量？

解析：因小環(huán)完全相同，分開后帶電荷量平分，小環(huán)可視為點電荷，不計線與環(huán)之間的摩擦，繩子各處的張力相同，取其中的一個環(huán)為研究對象，對其受力分析如圖，由平衡條件得：

①

②

聯(lián)立得 。

答案：兩環(huán)均帶電

點評：解決帶電體在電場中的平衡問題的基本思路與力學(xué)中的平衡問題思路相同，即對研究對象進行受力分析，合成分解適當(dāng)處理，平衡條件列方程求解。

（二）帶電粒子在電場中的運動

1. 運動學(xué)觀點

（1）運動學(xué)觀點：是指用勻變速運動的公式來解決實際問題，一般有兩種情況：

①帶電粒子初速度方向與電場線共線，則粒子做勻變速直線運動。

②帶電粒子的初速度方向垂直電場線，則粒子做勻變速曲線運動（類似于平拋運動）。

（2）當(dāng)粒子在電場中做勻變速曲線運動時，一定要采取平拋運動的解決方法：

①兩個方向分別研究，即采用分解的方法，分解位移還是分解速度要視具體情況而定。

②兩個方向上的運動具有等時性。

2. 功能觀點

首先對帶電體受力分析，再分析運動形式，然后再根據(jù)具體情況選用公式計算。

（1）若選用動能定理，則要分清有多少個力做功，是恒力做功還是變力做功，同時要明確初末狀態(tài)及運動過程中動能的增量。

（2）若選用能量守恒定律，則分清帶電體在運動中共有多少種能量參與轉(zhuǎn)化，哪些能量是增加的，哪些能量是減少的，表達式有兩種。

①初狀態(tài)和末狀態(tài)的能量相等，即

②一種形式的能量增加必然引起另一種形式的能量減少，即 。這種方法不僅適用于勻變速運動，對非勻變速運動（非勻強電場中）也同樣適用。

例2. 如圖所示，邊長為L的正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在著勻強電場，電量為q、動能為

（1）若粒子從c點離開電場，求電場強度的大小和粒子離開電場時的動能；

（2）若粒子離開電場時動能為解析：（1）粒子在電場中做類平拋運動，在垂直于電場方向：

在平行于電場方向： ，

所以 ， ，則 。

（2）若粒子由bc邊離開電場，則 ， ，

由動能定理得： ，

若粒子由cd邊離開電場，由動能定理得： 。

答案：（1） ，粒子由cd邊離開電場時， 。

點評：本題涉及了帶電粒子在電場中的類平拋運動，目的是考查考生能否根據(jù)實際情況，全面系統(tǒng)地分析問題，也考查了考生對物理規(guī)律的靈活應(yīng)用。

（三）帶電粒子在磁場中的運動

1. 粒子在有界磁場中運動的臨界問題，當(dāng)某種物理現(xiàn)象變化為另一種物理現(xiàn)象或物體從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)時，發(fā)生這種質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)通常稱為臨界狀態(tài)，粒子進入有邊界的磁場，由于邊界條件的不同，而出現(xiàn)涉及臨界狀態(tài)的臨界問題，如帶電粒子恰好不能從某個邊界射出磁場，可以根據(jù)邊界條件確定粒子的軌跡、半徑、在磁場中的運動時間等。

2. 帶電粒子在磁場中運動的多解問題

帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于各種因素的影響，使問題形成多解，多解形成的原因一般有以下幾個方面：

（1）帶電粒子電性不確定形成多解

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負電荷，在相同的初速度的條件下，正負粒子在磁場中運動軌跡不同，導(dǎo)致雙解。

（2）磁場方向不確定形成多解

有些題目只告訴了磁感應(yīng)強度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強度方向，此時必須要考慮磁感應(yīng)強度方向，導(dǎo)致多解。

（3）臨界狀態(tài)下惟一形成多解

帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時，由于粒子運動軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去了，也可能轉(zhuǎn)過

（4）運動的往復(fù)性形成多解

帶電粒子在部分是電場，部分是磁場空間運動時，運動往往具有往復(fù)性，因而形成多解。

例3. 如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度的大小 處，有一個點狀的 放射源S，它向各個方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是 ，已知 粒子的電荷與質(zhì)量之比 ，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運動的 粒子，求ab上被 粒子打中的區(qū)域的長度。

解析： 粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，用R表示軌道半徑，有由此得

代入數(shù)值得

可見， 。

因朝不同方向發(fā)射的 粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點 就是 粒子能打中的左側(cè)最遠點，為定出 點的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于O點，過O點作ab的垂線，它與ab的交點即為

由幾何關(guān)系得：

②

再考慮N的右側(cè)，任何 粒子在運動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的 點，此即右側(cè)能打到的最遠點。

由圖中幾何關(guān)系得

③

所求長度為代入數(shù)值得 。⑤

點評：（1）本類問題的關(guān)鍵是確定臨界點，尋找臨界點的兩種有效方法：①軌跡圓的縮放：當(dāng)粒子的入射方向不變而速度大小可變時，粒子做圓周運動的軌跡圓心一定在入射點所受洛倫茲力所表示的射線上，但位置（半徑R）不確定，用圓規(guī)作出一系列大小不同的軌跡圓，從圓的動態(tài)變化中即可發(fā)現(xiàn)“臨界點”；②軌跡的旋轉(zhuǎn)：當(dāng)粒子的入射速度大小確定而方向不確定時，所有不同方向入射的粒子的軌跡圓是一樣大的，只是位置繞入射點發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，從定圓的動態(tài)旋轉(zhuǎn)（作圖）中，也容易發(fā)現(xiàn)“臨界點”。

（2）要重視分析時的尺規(guī)作圖，規(guī)范而準確的作圖可突出幾何關(guān)系，使抽象的物理問題更形象、直觀。

例4. 一勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場分布在以O(shè)為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)，一個質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速為v，方向沿x正方向，后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為 ，P到O的距離為L，如圖所示，不計重力的影響，求磁場的磁感應(yīng)強度B的大小和xy平面上磁場區(qū)域的半徑R。

解析：粒子在磁場中受洛倫茲力作用，作勻速圓周運動，設(shè)其半徑為r，由牛頓第二定律得：

據(jù)此并由題意知，粒子在磁場中的軌跡的圓心C必在y軸上。

且P點在磁場區(qū)之外，過P沿速度方向作延長線，它與x軸相交于Q點，作圓弧過O點與x軸相切，并且與PQ相切，切點A即粒子離開磁場區(qū)的地點，這樣也求得圓弧軌跡的圓心C，如圖所示。

由圖中幾何關(guān)系得

=3r②

由①、②求得

③

圖中OA的長度即圓形磁場區(qū)的半徑R，由圖中幾何關(guān)系可得

。④

（四）帶電粒子在組合場中的運動

例5. 如圖所示，在x軸上方有垂直于xy平面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B；在x軸下方有沿y軸負方向的勻強電場，場強為E。一質(zhì)量為m，電荷量為-q的粒子從坐標原點O沿著y軸正方向射出，射出之后，第三次到達x軸時，它與點O的距離為L，求此粒子射出時的速度v和運動的總路程s。（重力不計）

解析：速度為 ，路程為

（粒子運動路線如圖所示，有

粒子初速度為v，則有 ②

由①、②式可算得設(shè)粒子進入電場做減速運動的最大路程為l，加速度為a，

④

粒子運動的總路程 ⑥

由①、②、④、⑤、⑥式，得 。）

（五）帶電粒子在復(fù)合場中的運動

1. 運動情況分析：帶電粒子在復(fù)合場中做什么運動，取決于合外力及其初速度，因此處理問題時要把帶電粒子的運動情況和受力情況結(jié)合起來進行分析。

（1）勻速直線運動

當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中所受合外力為零時的運動，如速度選擇器。

（2）勻速圓周運動

當(dāng)帶電粒子所受的重力與電場力大小相等，方向相反時，帶電粒子可以在洛倫茲力的作用下，在垂直于磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運動。

（3）較復(fù)雜的曲線運動

當(dāng)帶電粒子所受的合外力是變力，且與初速度方向不在同一條直線上，粒子做非勻變速曲線運動，這時粒子運動軌跡不是圓弧，也不是拋物線，也不可能是勻變速。

（4）分階段運動

帶電粒子可能依次通過幾個情況不同的復(fù)合場區(qū)域，其運動情況隨區(qū)域發(fā)生變化，其運動過程由幾種不同的運動階段組成。

2. 分析問題方法：處理帶電粒子在復(fù)合場中的運動，可根據(jù)不同情況靈活選用不同的規(guī)律解決問題。

（1）粒子在復(fù)合場中做勻速直線運動時，可以根據(jù)平衡條件列方程求解。

（2）當(dāng)粒子在復(fù)合場中做勻速圓周運動時，往往要同時應(yīng)用洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓定律和勻速圓周運動規(guī)律，以及其他力的平衡條件列方程求解。

（3）當(dāng)帶電粒子做較復(fù)雜的曲線運動及運動過程較復(fù)雜時，可以選用動能定理或能量守恒定律列方程求解。

3. 實例分析

（1）磁流體發(fā)電機

①主要構(gòu)造如圖所示。

②原理：等離子氣體噴入磁場，正、負離子在洛倫茲力的作用下發(fā)生上下偏轉(zhuǎn)而聚集到A、B板上，產(chǎn)生電勢差，設(shè)A、B平行金屬板的面積為S，相距為L，等離子體的電阻率為 ， ，電源內(nèi)電阻 。

（2）電磁流量計

①如圖所示，一圓形導(dǎo)管直徑為d，用非磁性材料制成，其中有可以導(dǎo)電的液體流過導(dǎo)管。

②原理：導(dǎo)電液體中的自由電荷（正負離子）在洛倫茲力作用下橫向偏轉(zhuǎn)，a、b間出現(xiàn)電勢差，當(dāng)自由電荷所受電場力和洛倫茲力平衡時，a、b間的電勢差就保持穩(wěn)定：由 。

（3）磁強計

①磁強計實際上是利用霍爾效應(yīng)來測量磁感強度B的儀器，其原理可解釋為：如圖所示，一塊導(dǎo)體接上a、b、c、d四個電極，將導(dǎo)體放在勻強磁場之中，a、b間通過電流I，c、d間就會出現(xiàn)電勢差，只要測出c、d間電勢差U，就可測得B。

②設(shè)c、d間電勢差已達穩(wěn)定，則U=El。此時導(dǎo)體的自由電荷受到的電場力與洛倫茲力平衡。 ，設(shè)導(dǎo)體中單位體積內(nèi)的自由電荷數(shù)為n，則電流 ， ，由此可知， 的光滑絕緣 圓弧軌道上由靜止自A端滑下，整個裝置處在方向互相垂直的勻強電場與勻強磁場中，已知 ，水平向右； <0" style=' > ，方向垂直紙面向里，求：（g取<1" > ）

<2" style='width:86.25pt;height:69pt' >

（1）滑塊m到達C點時的速度；

（2）在C點時滑塊對軌道的壓力。

分析：（1）先分析滑塊由A點到C點過程，通過受力分析和做功分析，用動能定理可求<3" > 。

（2）滑塊在C點，可由圓周運動和牛頓第二定律相結(jié)合列式求解。

解析：以滑塊為研究對象，自軌道上A點滑到C點的過程中，受重力mg，方向豎直向下；電場力<4" style='width:39pt; > ，水平向右；洛倫茲力<5" style= > ，方向始終垂直于速度方向。

（1）滑動過程中洛倫茲力<6" style= > 不做功，由動能定理得：<7" style='width:96pt; > ，所以

<8" style='width:110.25pt; >

<9" style='width:180pt; >

。

（2）在C點，受四個力作用，如圖所示，由牛頓第二定律與圓周運動知識得：

由牛頓第三定律知：滑塊在C點處對軌道壓力答案：（1）點評：（1）受力分析要按正確的順序，要特別注意對電場力和磁場力的分析。

（2）注意三種場力特點，其中洛倫茲力始終和速度方向垂直，對電荷不做功，重力和電場力做功都與路徑無關(guān)。

（3）選擇適當(dāng)運動規(guī)律，例如本題選用了動能定理、牛頓運動定律和圓周運動規(guī)律。

【模擬試題

一、選擇題

1. （2006?北京）使帶電的金屬球靠近不帶電的驗電器，驗電器的箔片張開，圖中表示驗電器上感應(yīng)電荷的分布情況，正確的是

2. （2006?四川，20題）帶電粒子M只在電場力作用下由P點運動到Q點，在此過程中克服電場力做了 的功，那么

A. M在P點的電勢能一定小于它在Q點的電勢能

B. P點的場強一定小于Q點的場強

C. P點的電勢一定高于Q點的電勢

D. M在P點的動能一定大于它在Q點的動能

3. （2006?全國II）ab是長為l的均勻帶電細桿， 、 是位于ab所在直線上的兩點，位置如圖所示，ab上電荷產(chǎn)生的靜電場在 處的場強大小為

A. 兩處的電場方向相同，

B. 兩處的電場方向相反，

C. 兩處的電場方向相同，

D. 兩處的電場方向相反，

4. （2007?寧夏）勻強電場中的三點A、B、C是一個三角形的三個頂點，AB的長度為1m，D為AB的中點，如圖所示，已知電場線的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三點的電勢分別為14V、6V和2V，設(shè)場強大小為E，一電量為

A. B. C. D. 5. （2007?重慶）如圖所示，懸掛在O點的一根不可伸長的絕緣細線下端有一個帶電量不變的小球A，在兩次實驗中，均緩慢移動另一帶同種電荷的小球B，當(dāng)B到達懸點O的正下方并與A在同一水平線上，A處于受力平衡時，懸線偏離豎直方向的角度為 ，

A. 2 B. 3 C.

6. （2006?全國I）圖中為一“濾速器”裝置的示意圖，a、b為水平放置的平行金屬板，一束具有各種不同速率的電子沿水平方向經(jīng)小孔O進入a、b兩板之間，為了選取具有某種特定速率的電子，可在a、b間加上電壓，并沿垂直于紙面的方向加一勻強磁場，使所選電子仍能夠沿水平直線OO′運動，由O′射出，不計重力作用，可能達到上述目的的辦法是

A. 使a板電勢高于b板，磁場方向垂直紙面向里

B. 使a板電勢低于b板，磁場方向垂直紙面向里

C. 使a板電勢高于b板，磁場方向垂直紙面向外

D. 使a板電勢低于b板，磁場方向垂直紙面向外

7. （2006?北京）如圖所示，勻強磁場的方向垂直紙面向里，一帶電微粒從磁場邊界d點垂直于磁場方向射入，沿曲線dpa打到屏MN上的a點，通過pa段用時為t，若該微粒經(jīng)過p點時，與一個靜止的不帶電微粒碰撞并結(jié)合為一個新微粒，最終打到屏MN上，兩個微粒所受重力均忽略，新微粒運動的

A. 軌跡為pb，至屏幕的時間將小于t

B. 軌跡為pc，至屏幕的時間將大于t

C. 軌跡為pb，至屏幕的時間將等于t

D. 軌跡為pa，至屏幕的時間將大于t

二、計算題

8. MN為水平放置的金屬板，板中央有一個小孔O，板下有豎直向上的勻強電場，場強為E，AB是一根長L、質(zhì)量為m的均勻帶正電的絕緣細桿（桿上帶的電荷不能自由移動），如圖所示，現(xiàn)將桿的B端置于O處，然后由靜止釋放，桿運動過程始終保持豎直，當(dāng)桿下落 時速度達到最大；若O點正下方有一點C，且 ，當(dāng)桿B端下落到C處時，桿的速度恰好為零，求：

（1）細桿所帶電荷量；

（2）細桿下落距離為 （ 圖象；

（3）我們曾用下述方法探究過彈簧彈力做功問題，如圖所示，把拉伸彈簧的過程分很多小段，拉力在每小段可以認為是恒力；每小段拉力的功在數(shù)值上等于F 圖線下的小矩形面積；拉力在各段做功之和等于拉力在整個過程做的功……

請用上述類似的方法，結(jié)合第（2）問畫出的 9. （2007?重慶）飛行時間質(zhì)譜儀可通過測量離子飛行時間得到離子的荷質(zhì)比 ，如圖（1），帶正電的離子經(jīng)電壓為U的電場加速后進入長度為L的真空管AB，可測得離子飛越AB所用時間 ，改進以上方法，如圖（2），讓離子飛越AB后進入場強為E（方向如圖）的勻強電場區(qū)域BC，在電場的作用下離子返回B端，此時，測得離子從A出發(fā)后飛行的總時間 ，（不計離子重力）

（1） （2）

（1）忽略離子源中離子的初速度，①用 計算荷質(zhì)比；②用 計算荷質(zhì)比；

（2）離子源中相同荷質(zhì)比離子的初速度不盡相同，設(shè)兩個荷質(zhì)比都為 的離子在A端的速度分別為v和v′（ 10. （2007?山東）飛行時間質(zhì)譜儀可以對氣體分子進行分析，如圖所示，在真空狀態(tài)下，脈沖閥P噴出微量氣體，經(jīng)激光照射產(chǎn)生不同價位的正離子，自a板小孔進入a、b間的加速電場，從b板小孔射出，沿中線方向進入M、N板間的偏轉(zhuǎn)控制區(qū)，到達探測器，已知元電荷電量為e，a、b板間距為d，極板M、N的長度和間距均為L，不計離子重力及進入a板時的初速度。

（1）當(dāng)a、b間的電壓為 時，在M、N間加上適當(dāng)?shù)碾妷?IMG id=_x0000_i1205 style="WIDTH: 0px; HEIGHT: 0px" alt=""> ，使離子到達探測器，請導(dǎo)出離子的全部飛行時間與比荷 的關(guān)系式。

（2）去掉偏轉(zhuǎn)電壓 ，在M、N間區(qū)域加上垂直于紙面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，若進入a、b間的所有離子質(zhì)量均為m，要使所有的離子均能通過控制區(qū)從右側(cè)飛出，a、b間的加速電壓 至少為多少？

11. （2007?海南，15題）據(jù)報道，最近已研制出一種可以投入使用的電磁軌道炮，其原理如圖所示，炮彈（可視為長方形導(dǎo)體）置于兩固定的平行導(dǎo)軌之間，并與軌道壁密接，開始時炮彈在導(dǎo)軌的一端，通電流后，炮彈會被磁場力加速，最后從位于導(dǎo)軌另一端的出口高速射出，設(shè)兩導(dǎo)軌之間的距離 ，導(dǎo)軌長 ，導(dǎo)軌上的電流I的方向如圖中箭頭所示，可認為，炮彈在軌道內(nèi)運動時，它所在處磁場的磁感應(yīng)強度始終為 12. （2005?廣東）如圖所示，在一個圓形區(qū)域內(nèi)，兩個方向相反且都垂直于紙面的勻強磁場分布在以直徑 與 的粒子以某一速度從I區(qū)的邊緣點 處沿與 的方向經(jīng)過圓心O進入II區(qū)，最后再從 處射出磁場，已知該粒子從射入到射出磁場所用的時間為t，求I區(qū)和II區(qū)中磁感應(yīng)強度的大?。ê雎粤Ｗ又亓Γ?/P>

【試題答案

1. B 2. AD 3. D 4. A 5. C 6. AD 7. D

8. （1）

（2）細桿下落x時，處于電場部分的電荷量 ，方向向上，（3） 9. （1）a. b.

（2）

10. （1） （2）

11.

12.