彩虹背后的數(shù)學

Marianne Freiberger

關鍵詞： 折射率, 彩虹線, Snell定律

當偉大的數(shù)學家艾薩克?牛頓解釋彩虹的顏色與折射時，詩人約翰?濟慈嚇壞了。濟慈抱怨（當然通過詩），數(shù)學解釋打劫了這些魔幻般的“所有規(guī)則和線條的奧秘”的自然奇觀。但是，正如我們下面將看到的，數(shù)學解釋只需要基本的幾何線條和圓圈，漂亮的數(shù)學原理和彩虹本身是一樣的優(yōu)雅。

因折射而彎曲

彩虹的顏色是因光折射而分裂成的一個結果，就像光線通過棱鏡照射時所發(fā)生的那樣。從太陽上來的白光是不同頻率電磁波的組合。當這些頻率的組合在同一時間到達你的眼睛時，你就能看到白色，當你的眼睛捕捉到其它的波時，你就會感知另一個特定的顏色。

約670至780兆赫頻率之間的光波被視為紫羅蘭色調(diào)，光譜的另一端是波頻率在約400至480赫茲之間，它給出了不同深淺的紅色知覺。而所有其它顏色均來自這兩個頻段之間的頻率。一般來說，人眼不能感知所有頻率的電磁波。

可見光譜從紫色（左）到紅色（右）

當一縷陽光碰到一個球形水滴，它的一部分將從液滴的表面反射，但另一部分將進入它。當進入時，光線會彎曲或折射，這是將吸管插進一杯水時看到的同樣現(xiàn)象。然后光線將繼續(xù)行進直到液滴的后部。這時有些光線會離開水滴出去，但有些將被反射回來到液滴的另一邊，并在這一過程中再次折射。（見圖1）

圖1：一條光線被折射，反射，然后再次折射。

折射是一縷光線從一種介質(zhì)傳遞到另一種介質(zhì)而速度放緩的一個結果。一個非常粗略的類比是想象將一個購物推車以某種角度從路上推向草地：推車因為撞擊草地將首先放緩，然后改變方向。

當太陽光通過一個真空（很好的近似是通過空氣），所有頻率以每秒約30萬公里的相同速度c  。因此，彩虹根據(jù)折射率順序來嵌套排列顏色序列，也就是說，按它們的頻率順序排列：從最頂?shù)募t色往下直到最底的紫色。

這種解釋也說明為什么背朝太陽站著時你只看到一道彩虹：這是你可以捕捉來自于液滴的彩虹光線的唯一途徑。這也解釋了為什么彩虹下面的天空顯出比上面的更明亮。由于絕大多數(shù)的光線離開液滴后高于彩虹線（見圖6），你不會捕捉到彩虹“上面”來自水滴的任何光線（即位于各種顏色的錐的外面）。所以你看不到任何源自這些水滴的反射光。然而，你的眼睛能捕捉到來自水滴彩虹“下面的”的反射光（位于錐體內(nèi)的水滴）；鑒于此，彩虹下面的天空顯得更亮，它以白光出現(xiàn)，因為從不同的水滴來的不同顏色的非彩虹光線混合在一起會成為白光，并進入你的眼睛。

彩虹幾何也表明，任何你看到的彩虹是你的，也僅僅是你的，雖然站在你旁邊其他人也會看到彩虹，但它一般會來自不同的水滴，因此這將是一個不同的彩虹。

如果你是幸運的，有時候你可能會在略高于主彩虹處看到暗淡一點的第二個彩虹。這個副虹是水滴內(nèi)光線兩次反射的一個結果。在這種情況下，各種顏色的彩虹角度約為51度，這是為什么副虹在天空看上去高一點的原因。雙反射也意味著副虹的顏色以相反的順序出現(xiàn)，底部為紅而頂部為紫。下面是笛卡兒所作的原始草圖，他天才地首先解釋了彩虹的形狀，包括主虹和副虹。與副虹相關的雙反射由紅線跟蹤。

笛卡兒的草圖：主要和次要的彩虹

甚至有可能在理論上（盡管實際中鮮有發(fā)生）看到來自水滴內(nèi)三、四個或更多的反射產(chǎn)生的彩虹。但我把這些計算留給讀者們。

課堂問題：在連續(xù)色譜上，人類如何產(chǎn)生了離散的顏色知覺？