一、量子時(shí)代的流浪兒
    　　二十世紀(jì)理論物理學(xué)家說(shuō)得最多的話之一也許就是： “廣義相對(duì)論和量子理論是現(xiàn)代物理學(xué)的兩大支柱”。兩大支柱對(duì)于建一間屋子來(lái)說(shuō)可能還太少，但對(duì)于物理學(xué)卻已嫌多，二十世紀(jì)物理學(xué)家的一個(gè)很大的夢(mèng)想就是把這兩大支柱合而為一。
    
    　　如今二十世紀(jì)已經(jīng)走完，回過(guò)頭來(lái)重新看看這兩大支柱，在量子理論這根支柱上已經(jīng)建起了十分宏偉的殿堂，物理學(xué)的絕大多數(shù)分支都在這座殿堂中搭起了自己的舞臺(tái)。物理學(xué)中已知的四種基本相互作用有三種在這座殿堂內(nèi)得到了一定程度的描述?？梢哉f(shuō)，物理學(xué)的萬(wàn)里河山量子理論已經(jīng)十有其九。今天的物理學(xué)正處在一個(gè)不折不扣的量子時(shí)代。而這個(gè)輝煌的量子時(shí)代最大的缺憾就在于物理學(xué)的另一根支柱——廣義相對(duì)論——還孤零零地游離在量子理論的殿堂之外。
    
    　　廣義相對(duì)論成了量子時(shí)代的流浪兒。
    
    
    　　二、引力為什么要量子化？
    
    　　廣義相對(duì)論和量子理論在各自的領(lǐng)域內(nèi)都經(jīng)受了無(wú)數(shù)的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，迄今為止，還沒(méi)有任何確切的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)與這兩者之一矛盾。有段時(shí)候，人們甚至認(rèn)為生在這么一個(gè)理論超前于實(shí)驗(yàn)的時(shí)代對(duì)于理論物理學(xué)家來(lái)說(shuō)是一種不幸。 Einstein 曾經(jīng)很懷念 Newton 時(shí)代，因?yàn)槟鞘俏锢韺W(xué)的幸福童年時(shí)代，充滿了生機(jī)； Einstein 之后也有一些理論物理學(xué)家很懷念 Einstein 時(shí)代，因?yàn)槟鞘俏锢韺W(xué)的偉大變革時(shí)代，充滿了挑戰(zhàn)。
    
    　　今天的理論物理學(xué)依然充滿了挑戰(zhàn)，但是與 Newton 和 Einstein 時(shí)代理論與實(shí)驗(yàn)的 “親密接觸” 相比，今天理論物理的挑戰(zhàn)和發(fā)展更多地是來(lái)自于理論自身的要求，來(lái)自于物理學(xué)追求統(tǒng)一，追求完美的不懈努力。
    
    　　量子引力理論就是一個(gè)很好的例子。
    
    　　雖然量子引力理論的主要進(jìn)展大都是在最近這十幾年取得的，但是引力量子化的想法早在 1930 年就已經(jīng)由 L. Rosenfeld 提出了。從某種意義上講，在今天大多數(shù)的研究中量子理論與其說(shuō)是一種具體的理論，不如說(shuō)是一種理論框架，一種對(duì)具體的理論——比如描述某種相互作用的場(chǎng)論——進(jìn)行量子化的理論框架。廣義相對(duì)論作為一種描述引力相互作用的場(chǎng)論，在量子理論發(fā)展早期是除電磁場(chǎng)理論外唯一的基本相互作用場(chǎng)論。把它納入量子理論的框架因此就成為繼量子電動(dòng)力學(xué)后一種很自然的想法。
    
    　　但是引力量子化的道路卻遠(yuǎn)比電磁場(chǎng)量子化來(lái)得艱辛。在經(jīng)歷了幾代物理學(xué)家的努力卻未獲得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展后人們有理由重新審視追尋量子引力的理由。
    
    　　廣義相對(duì)論是一個(gè)很特殊的相互作用理論，它把引力歸結(jié)為時(shí)空本身的幾何性質(zhì)。從某種意義上講，廣義相對(duì)論所描述的是一種 “沒(méi)有引力的引力”。既然 “沒(méi)有引力”，是否還有必要進(jìn)行量子化呢？描述這個(gè)世界的物理理論是否有可能只是一個(gè)以廣義相對(duì)論時(shí)空為背景的量子理論呢？[注一] 也就是說(shuō)廣義相對(duì)論和量子理論是否有可能真的同時(shí)作為物理學(xué)的基礎(chǔ)理論呢？
    
    　　這些問(wèn)題之所以被提出，除了量子引力理論本身遭遇的困難外，沒(méi)有任何量子引力存在的實(shí)驗(yàn)證據(jù)也是一個(gè)重要原因。但是種種跡象表明，即使撇開(kāi)由兩個(gè)獨(dú)立理論所帶來(lái)的美學(xué)上的缺陷，把廣義相對(duì)論和量子理論作為自然圖景的完整描述仍然存在許多難以克服的困難。
    
    　　問(wèn)題首先在于廣義相對(duì)論和量子理論彼此間并不相容。我們知道一個(gè)量子系統(tǒng)的波函數(shù)由系統(tǒng)的 Schr?dinger 方程
    
    HΨ = i?tΨ
    
    　　所決定。方程式左邊的 H 稱為系統(tǒng)的 Hamiltonian (哈密頓量)，它是一個(gè)算符，包含了對(duì)系統(tǒng)有影響的各種外場(chǎng)的作用。這個(gè)方程對(duì)于波函數(shù) Ψ 是線性的，也就是說(shuō)如果 Ψ1 和 Ψ2 是方程的解，那么它們的任何線性組合也同樣是方程的解。這被稱為態(tài)迭加原理，在量子理論的現(xiàn)代表述中作為公理出現(xiàn)，是量子理論最基本的原理之一。但是一旦引進(jìn)引力相互作用，情況就不同了。因?yàn)橛刹ê瘮?shù)所描述的系統(tǒng)本身就是引力相互作用的源，而引力相互作用又會(huì)反過(guò)來(lái)影響波函數(shù)，這就在系統(tǒng)的演化中引進(jìn)了非線性耦合，從而破壞了量子理論的態(tài)迭加原理。不僅如此，進(jìn)一步的分析還表明量子理論和廣義相對(duì)論耦合體系的解是不穩(wěn)定的。
    
    　　其次，廣義相對(duì)論和量子理論在各自 “適用” 的領(lǐng)域中也都面臨一些尖銳的問(wèn)題。比如廣義相對(duì)論所描述的時(shí)空在很多情況下——比如在黑洞的中心或宇宙的初始——存在所謂的 “奇點(diǎn)” (Singularity)。在這些奇點(diǎn)上時(shí)空曲率和物質(zhì)密度都趨于無(wú)窮。這些無(wú)窮大的出現(xiàn)是理論被推廣到其適用范圍之外的強(qiáng)烈征兆。無(wú)獨(dú)有偶，量子理論同樣被無(wú)窮大所困擾，雖然由于所謂重整化方法的使用而暫得偏安一隅。但從理論結(jié)構(gòu)的角度看，這些無(wú)窮大的出現(xiàn)預(yù)示著今天的量子理論很可能只是某種更基礎(chǔ)的理論在低能區(qū)的 “有效理論” (Effective Theory)。因此廣義相對(duì)論和量子理論不可能是物理理論的終結(jié)，尋求一個(gè)包含廣義相對(duì)論和量子理論基本特點(diǎn)的更普遍的理論是一種合乎邏輯和經(jīng)驗(yàn)的努力。
    
    引力世界
    
    
    
    　　三、黑洞熵的啟示
    
    　　迄今為止對(duì)量子引力理論最具體最直接的 “理論證據(jù)” 來(lái)自于對(duì)黑洞熱力學(xué)的研究。一九七二年，Princeton 大學(xué)的研究生 J.D.Bekenstein 受黑洞動(dòng)力學(xué)與經(jīng)典熱力學(xué)之間的相似性啟發(fā)，提出了黑洞熵的概念，并估算出黑洞的熵正比于其視界 (Event Horizon) 面積。稍后，S.W.Hawking 研究了黑洞視界附近的量子過(guò)程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)了著名的 Hawking 幅射，即黑洞會(huì)向外幅射粒子 (也稱為黑洞蒸發(fā))，從而表明黑洞是有溫度的。由此出發(fā) Hawking 也推導(dǎo)出了 Bekenstein 的黑洞熵公式，并確定了比例系數(shù)，這就是所謂的 Bekenstein-Hawking 公式：
    
    S = k (A/Lp2) / 4
    
    　　式中 k 為 Boltzmann 常數(shù)，它是熵的微觀單位， A 為黑洞視界面積， Lp 為 Planck 長(zhǎng)度，它是由廣義相對(duì)論和量子理論的基本常數(shù)組合成的一個(gè)自然長(zhǎng)度單位 (大約為 10-35米)。
    
    　　Hawking 對(duì)黑洞幅射的研究使用的正是以廣義相對(duì)論時(shí)空為背景的量子理論，即所謂的半經(jīng)典理論，但黑洞熵的存在卻預(yù)示著對(duì)這一理論框架的突破。我們知道，從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的角度講，熵是體系微觀狀態(tài)數(shù)目的體現(xiàn)，因而黑洞熵的存在表明黑洞并不象此前人們認(rèn)為的那樣簡(jiǎn)單，它含有數(shù)量十分驚人的微觀狀態(tài)。這在廣義相對(duì)論的框架內(nèi)是完全無(wú)法理解的，因?yàn)閺V義相對(duì)論有一個(gè)著名的 “黑洞無(wú)毛發(fā)定理” (No-Hair Theorem)，它表明黑洞的內(nèi)部性質(zhì)由其質(zhì)量，電荷和角動(dòng)量三個(gè)宏觀參數(shù)所完全表示 (即使考慮到由 Yang-Mills 場(chǎng)等帶來(lái)的額外參數(shù)，其數(shù)量也十分有限)，根本就不存在所謂微觀狀態(tài)。這表明黑洞熵的微觀起源必須從別的理論中去尋找，這 “別的理論” 必須兼有廣義相對(duì)論和量子理論的特點(diǎn) (因?yàn)楹诙挫氐耐茖?dǎo)用到了量子理論)。量子引力理論顯然正是這樣的理論。
    
    　　在遠(yuǎn)離實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的情況下，黑洞熵目前已經(jīng)成為量子引力理論研究中的一個(gè)很重要的理論判據(jù)。一個(gè)量子引力理論要想被物理學(xué)界所接受，必須跨越的重要 “位壘” 就是推導(dǎo)出與 Bekenstein-Hawking 熵公式相一致的微觀狀態(tài)數(shù)。
    
    
    　　四、引力量子化的早期嘗試
    
    　　引力量子化幾乎是量子化方法的練兵場(chǎng)，早期的嘗試幾乎用遍了所有已知的場(chǎng)量子化方法。最主要的方案有兩大類(lèi)：協(xié)變量子化和正則量子化。它們共同發(fā)源于一九六七年 B. DeWitt 題為 "Quantum Theory of Gravity" 的系列論文。
    
    　　協(xié)變量子化方法試圖保持廣義相對(duì)論的協(xié)變性，基本的做法是把度規(guī)張量 gμν 分解為背景部分 gμν 和漲落部份 hμν:
    
    gμν = gμν + hμν
    
    　　不同的文獻(xiàn)對(duì)背景部份的選擇不盡相同，有的取 Minkowski 背景度規(guī) ημν，有的取量子有效作用量 (quantum effective action) 的解。這種方法和廣義相對(duì)論領(lǐng)域中傳統(tǒng)的弱場(chǎng)展開(kāi)方法一脈相承，思路是把引力相互作用理解為在一個(gè)背景時(shí)空中引力子的相互作用。在低級(jí)近似下協(xié)變量子引力很自然地包含自旋為 2 的無(wú)質(zhì)量粒子：引力子。
    
    　　由于這種分解展開(kāi)使用的主要是微擾方法，隨著七十年代一些涉及理論重整化性質(zhì)的重要定理被相繼證明，人們對(duì)這一方向開(kāi)始有了較系統(tǒng)的了解。只可惜這些結(jié)果基本上都是負(fù)面的。一九七四年，G. 't Hooft 和 M. Veltman 首先證明了在沒(méi)有物質(zhì)場(chǎng)的情況下量子引力在單圈圖 (1-loop) 層次上是可重整的，但只要加上一個(gè)標(biāo)量物質(zhì)場(chǎng)理論立刻變得不可重整。十二年后 M. H. Goroff 和 A. Sagnotti 證明了量子引力在兩圈圖 (2-loop) 層次上是不可重整的。這一結(jié)果基本上結(jié)束了早期協(xié)變量子引力的生命。又過(guò)了十二年，Z. Bern 等人往這一已經(jīng)冷落的方向又潑了一桶涼水，他們證明——除了 N = 8 的極端情形尚待確定外——量子超引力也是不可重整的，從而連超對(duì)稱這根最后的救命稻草也被鏟除了。[注二]
    
    　　與協(xié)變量子化方法不同，正則量子化方法一開(kāi)始就引進(jìn)了時(shí)間軸，把四維時(shí)空流形分割為三維空間和一維時(shí)間 (所謂的 ADM 分解)，從而破壞了明顯的廣義協(xié)變性[注三]。時(shí)間軸一旦選定，就可以定義系統(tǒng)的 Hamilton 量，并運(yùn)用有約束場(chǎng)論中普遍使用的 Dirac 正則量子化方法。正則量子引力的一個(gè)很重要的結(jié)果是所謂的 Wheeler-DeWitt 方程，它是對(duì)量子引力波函數(shù)的約束條件。由于量子引力波函數(shù)描述的是三維空間度規(guī)場(chǎng)的分布，也就是空間幾何的分布，它有時(shí)被稱為宇宙波函數(shù)， Wheeler-DeWitt 方程也因而被一些物理學(xué)家視為量子宇宙學(xué)的基本方程。
    
    　　與協(xié)變量子化方法一樣，早期的正則量子化方法也遇到了大量的困難，這些困難既有數(shù)學(xué)上的，比如 Wheeler-DeWitt 方程別說(shuō)求解，連給出一個(gè)數(shù)學(xué)上比較嚴(yán)格的定義都困難；也有物理上的，比如無(wú)法找到合適的可觀測(cè)量和物理態(tài)[注四]。
    
    　　引力量子化的這些早期嘗試所遭遇的困難，特別是不同的量子化方法給出的結(jié)果大相徑庭這一現(xiàn)象是具有一定啟示性的。這些問(wèn)題的存在反映了一個(gè)很基本的事實(shí)，那就是許多不同的量子理論可以具有同樣的經(jīng)典極限，因此對(duì)一個(gè)經(jīng)典理論量子化的結(jié)果是不唯一的，原則上就不存在所謂唯一 “正確” 的量子化方法。其實(shí)不僅量子理論，經(jīng)典理論本身也一樣，比如經(jīng)典 Newton 引力就有許多推廣，以 Newton 引力為共同的弱場(chǎng)極限，廣義相對(duì)論只是其中之一。在一個(gè)本質(zhì)上是量子化的物理世界中，理想的做法應(yīng)該是從量子理論出發(fā)，在量子效應(yīng)可以忽略的情形下對(duì)理論作 “經(jīng)典化”，而不是相反。從這個(gè)意義上講，量子引力所遇到的困難其中一部份正是來(lái)源于我們不得不從經(jīng)典理論出發(fā)，對(duì)其進(jìn)行 “量子化” 這樣一個(gè)無(wú)奈的事實(shí)。
    
    
    　　五、Loop Quantum Gravity
    
    　　傳統(tǒng)的量子引力方案的共同特點(diǎn)是繼承了經(jīng)典廣義相對(duì)論本身的表述方式，以度規(guī)場(chǎng)作為基本場(chǎng)量。一九八六年以來(lái)，A. Ashtekar 等物理學(xué)家借鑒了幾年前 A. Sen 的研究工作，在正則量子化方案中引進(jìn)了一種全新的表述方式，以自對(duì)偶自旋聯(lián)絡(luò) (self-dual spin connection) 作為基本場(chǎng)量 (這組場(chǎng)量通常被稱為 Ashtekar 變量)，由此為正則量子引力的研究開(kāi)創(chuàng)了一番新的天地。同年 T. Jacobson 和 L. Smolin 發(fā)現(xiàn) Ashtekar 變量的 Wilson loop 滿足 Wheeler-DeWitt 方程。在此基礎(chǔ)上 C. Rovelli 和 Smolin 提出把這種 Wilson loop 作為量子引力的基本態(tài)，從而形成了現(xiàn)代量子引力理論的一個(gè)重要方案: Loop Quantum Gravity。
    
    　　Loop Quantum Gravity 完全避免使用度規(guī)場(chǎng)，從而也不再引進(jìn)所謂的背景度規(guī)，因此被稱為是一種背景無(wú)關(guān) (background independent) 的量子引力理論。一些物理學(xué)家認(rèn)為 Loop Quantum Gravity 的這種背景無(wú)關(guān)性是符合量子引力的物理本質(zhì)的，因?yàn)閺V義相對(duì)論的一個(gè)最基本的結(jié)論就是時(shí)空度規(guī)本身由動(dòng)力學(xué)規(guī)律所決定，因而量子引力理論是關(guān)于時(shí)空度規(guī)本身的量子理論。在這樣的理論中經(jīng)典的背景度規(guī)不應(yīng)該有獨(dú)立的存在，而只能作為量子場(chǎng)的期待值出現(xiàn)。
    
    　　Loop Quantum Gravity 所采用的新的基本場(chǎng)量絕非只是一種巧妙的變量代換手段。因?yàn)閺膸缀紊现v，Yang-Mills 場(chǎng)的規(guī)范勢(shì)本身就是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)場(chǎng)，因此以聯(lián)絡(luò)作為引力理論的基本變量體現(xiàn)了將引力場(chǎng)視為規(guī)范場(chǎng)的物理思想。不僅如此，自旋聯(lián)絡(luò)對(duì)于研究引力與物質(zhì)場(chǎng) (尤其是旋量場(chǎng)) 的耦合幾乎是必不可少的框架，因此以聯(lián)絡(luò)作為引力理論的基本變量也為進(jìn)一步研究這種耦合提供了舞臺(tái)。 Rovelli 和 Smolin 等人發(fā)現(xiàn)在 Loop Quantum Gravity 中由廣義協(xié)變性——也稱為微分同胚不變性 (diffeomophism invariance)——所導(dǎo)致的約束條件與數(shù)學(xué)上的 “節(jié)理論” (knot theory) 有著密切的關(guān)聯(lián)，從而使得約束條件的求解得到強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具的支持。 Loop Quantum Gravity 與節(jié)理論之間的這種聯(lián)系看似神秘，其實(shí)在概念上并不難理解，微分同胚不變性的存在使得 Wilson loop 中具有實(shí)質(zhì)意義的信息具有拓?fù)洳蛔冃?，而?jié)理論正是研究 loop 拓?fù)洳蛔冃缘臄?shù)學(xué)理論。
    
    　　經(jīng)過(guò)十幾年的發(fā)展，目前 Loop Quantum Gravity 已經(jīng)具有了一個(gè)數(shù)學(xué)上相當(dāng)嚴(yán)格的框架。除背景無(wú)關(guān)性之外，Loop Quantum Gravity 與其它量子引力理論相比還具有一個(gè)很重要的優(yōu)勢(shì)，那就是它的理論框架是非微擾的。迄今為止在 Loop Quantum Gravity 領(lǐng)域中取得的重要物理結(jié)果有兩個(gè)：一個(gè)是在 Planck 尺度上的空間量子化，另一個(gè)是對(duì)黑洞熵的計(jì)算。
    
    　　空間量子化曾經(jīng)是許多物理學(xué)家的猜測(cè)，這不僅是因?yàn)榱孔踊@一概念本身的廣泛應(yīng)用開(kāi)啟了人們的想象，而且也是因?yàn)橐粋€(gè)連續(xù)的背景時(shí)空看來(lái)是量子場(chǎng)論中紫外發(fā)散的根源。一九七一年 R. Penrose 首先提出了一個(gè)具體的離散空間模型，其代數(shù)形式與自旋所滿足的代數(shù)關(guān)系相似，被稱為 spin network。一九九四年 Rovelli 和 Smolin 研究了 Loop Quantum Gravity 中的面積與體積算符的本征值[注五]，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這些本征值都是離散的，它們對(duì)應(yīng)的本征態(tài)和 Penrose 的 spin network 存在密切的對(duì)應(yīng)關(guān)系。以面積算符為例，其本征值為：
    
    A = Lp2 Σl [Jl (Jl + 1)]1/2
    
    　　式中 Lp 為 Planck 長(zhǎng)度，Jl 取半整數(shù)，是 spin network 上編號(hào)為 l 的邊所攜帶的量子數(shù)，求和 Σl 對(duì)所有穿過(guò)該面積的邊進(jìn)行。這是迄今為止有關(guān) Planck 尺度物理學(xué)最具體的理論結(jié)果，如果被證實(shí)的話，或許也將成為物理學(xué)上最優(yōu)美而意義深遠(yuǎn)的結(jié)果之一。 Loop Quantum Gravity 因此也被稱為量子幾何 (Quantum Geometry)。對(duì) Loop Quantum Gravity 與物質(zhì)場(chǎng) (比如 Yang-Mills 場(chǎng)) 耦合體系的研究顯示，具有空間量子化特征的 Loop Quantum Gravity 確實(shí)極有可能消除普通場(chǎng)論的紫外發(fā)散。
    
    　　至于黑洞熵的計(jì)算，Loop Quantum Gravity 的基本思路是認(rèn)為黑洞熵所對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)由能夠給出同一黑洞視界面積的各種不同的 spin network 位形組成的[注六]。按照這一思路進(jìn)行的計(jì)算最早由 K. Krasnov 和 Rovelli 分別完成，結(jié)果除去一個(gè)被稱為 Immirzi 參數(shù)的常數(shù)因子外與 Bekenstein-Hawking 公式完全一致[注七]。 因此 Loop Quantum Gravity 與 Bekenstein-Hawking 公式是相容的。至于它為什么無(wú)法給出完全的常數(shù)因子以及這一不確定性究竟意味著什么，目前仍在討論之中。
    
    
    　　六、超弦理論
    
    　　量子引力的另一種極為流行的方案是超弦理論 (Superstring Theory)。與 Loop Quantum Gravity 相比，超弦理論是一個(gè)更雄心勃勃的理論，它的目標(biāo)是統(tǒng)一自然界所有的相互作用，量子引力只不過(guò)是超弦理論的一個(gè)部份。超弦理論被許多人稱為終極理論 (Theory of Everything——TOE)，這一稱謂很恰當(dāng)?shù)胤从沉藷嶂杂诔依碚摰奈锢韺W(xué)家對(duì)它的厚望。
    
    　　超弦理論的前身是二十世紀(jì)六十年代末七十年代初的一種強(qiáng)相互作用唯象理論。與今天超弦理論所具有的宏偉的理論目標(biāo)及精深而優(yōu)美的數(shù)學(xué)框架相比，它在物理學(xué)上的這種登場(chǎng)可算是相當(dāng)?shù)驼{(diào)。弦理論作為強(qiáng)相互作用的唯象理論很快便由于量子色動(dòng)力學(xué) (QCD) 的興起而沒(méi)落了。但是一九七四年 J.Scherk 和 J. H. Schwarz 發(fā)現(xiàn)弦理論的激發(fā)態(tài)中存在自旋為 2 的無(wú)質(zhì)量粒子。由于早在二十世紀(jì)三十年代 M. Fierz 和 W. Pauli 就發(fā)現(xiàn)自旋為 2 的無(wú)質(zhì)量粒子是量子化的線性廣義相對(duì)論的基本激發(fā)態(tài)， J.Scherk 和 J. H. Schwarz 的這一結(jié)果立即改變了人們對(duì)弦理論的思考角度，弦理論從此漸漸走上了試圖統(tǒng)一自然界所有相互作用的漫漫征途。十年之后，還是 J. H. Schwarz——和 M. B. Green 等人一起——研究了超弦理論的反常消除 (anomaly cancellation) 問(wèn)題，由此發(fā)現(xiàn)自洽的超弦理論只存在于十維時(shí)空中，而且只有五種形式，即：Type I, Type IIA, Type IIB, SO(32) Heterotic 及 E8 × E8 Heterotic。這就是著名的 “第一次超弦革命” (First Superstring Revolution)。又過(guò)了十年，隨著各種對(duì)偶性及非微擾結(jié)果的發(fā)現(xiàn)，在微擾論的泥沼中踽踽而行的超弦理論迎來(lái)了 “第二次超弦革命” (Second Superstring Revolution)，其迅猛發(fā)展的勢(shì)頭持續(xù)至今。
    
    　　從量子引力的角度來(lái)看，Loop Quantum Gravity 是正則量子化方案的發(fā)展，而超弦理論則通常被視為是協(xié)變量子化方案的發(fā)展。這是由于當(dāng)年受困于不可重整性，人們?cè)?jīng)對(duì)協(xié)變量子化方法做過(guò)許多推廣，比如引進(jìn)超對(duì)稱性，引進(jìn)高階微商項(xiàng)等，這些推廣后來(lái)都殊途同歸地出現(xiàn)在超弦理論的微擾表述中。因此雖然超弦理論本身的起源與量子引力無(wú)關(guān)，但它的形式體系在量子引力領(lǐng)域中通常被視為是協(xié)變量子化方案的發(fā)展。
    
    　　超弦理論的發(fā)展及內(nèi)容不是本文的主題，而且有許多不錯(cuò)的專(zhuān)著和講義可供參考，就不贅述了。在這些年超弦理論取得的理論進(jìn)展中，這里只介紹與量子引力最直接相關(guān)的一個(gè)，那就是利用 D-brane 對(duì)黑洞熵的計(jì)算，這是由 A. Strominger 和 G. Vafa 等人在一九九六年完成的，與 Loop Quantum Gravity 對(duì)黑洞熵的計(jì)算恰好在同一年。超弦理論對(duì)黑洞熵的計(jì)算利用了所謂的 “強(qiáng)弱對(duì)偶性” (strong-weak duality)，即在具有一定超對(duì)稱的情形下，超弦理論中的某些 D-brane 狀態(tài)數(shù)在耦合常數(shù)的強(qiáng)弱對(duì)偶變換下保持不變。利用這種對(duì)稱性，處于強(qiáng)耦合下原本難于計(jì)算的黑洞熵可以在弱耦合極限下進(jìn)行計(jì)算。在弱耦合極限下與原先黑洞的宏觀性質(zhì)相一致的對(duì)應(yīng)狀態(tài)被證明是由許多 D-brane 構(gòu)成，對(duì)這些 D-brane 狀態(tài)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)所得到的熵和 Bekenstein-Hawking 公式完全一致——甚至連 Loop Quantum Gravity 無(wú)法得到的常數(shù)因子也完全一致。這是超弦理論最具體的理論驗(yàn)證之一。美中不足的是，由于上述計(jì)算要求一定的超對(duì)稱性，因此只適用于所謂的極端黑洞 (extremal black hole) 或接近極端條件的黑洞[注八]。對(duì)于非極端黑洞，超弦理論雖然可以得到 Bekenstein-Hawking 公式中的正比關(guān)系，但與 Loop Quantum Gravity 一樣無(wú)法給出其中的比例系數(shù)。
    
    
    　　七、結(jié)語(yǔ)
    
    　　以上是七十幾年來(lái)量子引力理論的發(fā)展以及近些年取得的若干主要進(jìn)展的一個(gè)速寫(xiě)。除了 Loop Quantum Gravity 和超弦理論這兩個(gè)主要的候選理論外還有許多其它理論，限于篇幅本文未做介紹。雖然如我們前面所見(jiàn)，這些理論各自取得了一些重要的進(jìn)展，但距離構(gòu)建一個(gè)完整量子引力理論的目標(biāo)仍相當(dāng)遙遠(yuǎn)。 Loop Quantum Gravity 的成果主要局限于理論的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，在動(dòng)力學(xué)方面的研究卻一直舉步維艱，直到目前人們還不清楚 Loop Quantum Gravity 是否以廣義相對(duì)論為弱場(chǎng)極限，或者說(shuō) Loop Quantum Gravity 對(duì)時(shí)空的描述在大尺度上是否能過(guò)渡為我們熟悉的廣義相對(duì)論時(shí)空。按照定義，一個(gè)量子理論只有以廣義相對(duì)論 (或其它經(jīng)典引力理論) 為經(jīng)典極限才能被稱為量子引力理論。從這個(gè)意義上講我們不僅不知道 Loop Quantum Gravity 是否是一個(gè) “正確的” 量子引力理論，甚至于連它是不是一個(gè)量子引力理論都還不清楚！
    
    　　超弦理論的情況又如何呢？在弱場(chǎng)下超弦理論包含廣義相對(duì)論，因此它起碼可以算是一個(gè)量子引力理論的候選者。超弦理論的微擾展開(kāi)逐級(jí)有限，雖然級(jí)數(shù)本身不收斂，比起傳統(tǒng)的量子理論來(lái)還是強(qiáng)了許多，算是大體上解決了傳統(tǒng)量子場(chǎng)論中的發(fā)散困難。在廣義相對(duì)論方面，超弦理論可以消除部分奇點(diǎn)問(wèn)題 (但迄今尚無(wú)法解決最著名的黑洞和宇宙學(xué)奇點(diǎn)問(wèn)題)。超弦理論在非微擾方面也取得了許多重要的進(jìn)展。超弦理論具有非常出色的數(shù)學(xué)框架，以前當(dāng)學(xué)生時(shí)曾經(jīng)聽(tīng)過(guò) B. Greene 的報(bào)告，有一句話印象至深， Greene 說(shuō)：在超弦領(lǐng)域中，所有看上去正確的東西都是正確的！雖是半開(kāi)玩笑，但很傳神地說(shuō)出了超弦理論的美與理論物理學(xué)家 (以及數(shù)學(xué)家) 的直覺(jué)高度一致這一特點(diǎn)。對(duì)于從事理論研究的人來(lái)說(shuō)，這是一種令人心曠神怡的境界。但是從超弦理論精美的數(shù)學(xué)框架下降到能夠與實(shí)驗(yàn)接觸的能區(qū)就象航天飛機(jī)重返大氣層，充滿了挑戰(zhàn)。超弦理論之所以被一些物理學(xué)家視為終極理論，除了它的理論框架足以包含迄今所有的相互作用外，常常被提到的另一個(gè)重要的特點(diǎn)是超弦理論的作用量只有一個(gè)自由參數(shù)！但是超弦理論引進(jìn)了兩個(gè)非常重要卻迄今未得到實(shí)驗(yàn)支持的概念，那就是十維時(shí)空和超對(duì)稱。為了與觀測(cè)到的物理世界相一致，超弦理論把十維時(shí)空分解為四維時(shí)空與一個(gè)六維緊致空間的直積，這是一個(gè)很大的額外假定。超弦理論在四維時(shí)空中的具體物理預(yù)言與緊致空間的結(jié)構(gòu)有關(guān)，因此除非能夠預(yù)言緊致空間的具體結(jié)構(gòu) (僅僅預(yù)言其為 Calabi-Yau 流形是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的)，描述這種結(jié)構(gòu)的參數(shù)就將成為理論隱含的自由參數(shù)。超弦理論中的超對(duì)稱也必須以適當(dāng)?shù)臋C(jī)制破缺。把所有這些因素都考慮進(jìn)去之后，超弦理論是否仍滿足人們對(duì)終極理論的想象和要求，也許只有時(shí)間能夠告訴我們。
    
    　　Loop Quantum Gravity 與超弦理論目前還是兩個(gè)獨(dú)立的理論，彼此之間唯一明顯的相似之處是兩者都使用了一維的幾何概念作為理論的基礎(chǔ)。如果這兩個(gè)理論都反映了物理世界的某些本質(zhì)特征，那么這種相似性也許就不是偶然的。未來(lái)的研究是否會(huì)揭示出這種巧合背后的聯(lián)系現(xiàn)在還是一個(gè)謎。
    
    　　最后，讓我引用 C. Rovelli 在第九屆 Marcel Grossmann 會(huì)議中的一段評(píng)論作為本文的結(jié)尾： "The road is not yet at the end, much remains to be understood, and some of the current developments might lead nowhere. But it is difficult to deny, looking at the entire development of the subject, that there has been a linear progress. And the road, no doubts, is fascinating."
    
    　　二零零三年二月八日寫(xiě)于紐約
    
    
    　　注釋 ：
    
    　　[注一] 這種以廣義相對(duì)論時(shí)空為背景的量子理論常常被稱為半經(jīng)典 (semi-classical) 理論，以區(qū)別于完全意義下的量子引力理論。
    
    　　[注二] 當(dāng)然，在量子引力這樣一個(gè)復(fù)雜的而微妙的領(lǐng)域中想要完全否證一種方法常常就象想要完全證實(shí)一種方法一樣不可能。雖然對(duì)度規(guī)場(chǎng)進(jìn)行微擾處理的引力量子化早期方案已經(jīng)不再流行，但還是不斷有人在嘗試挽救這類(lèi)方案。比如有人在引力作用量中引進(jìn)帶曲率高級(jí)冪次的項(xiàng)，試圖降低理論的發(fā)散程度，可惜這樣的理論要么仍然是不可重整的，要么會(huì)破壞么正性 (Unitarity)。目前這方面的努力大都已經(jīng)匯合在了超弦理論的微擾展開(kāi)中。
    
    　　[注三] 在量子化過(guò)程中破壞廣義協(xié)變性并不意味著理論在實(shí)質(zhì)上破壞了廣義協(xié)變?cè)?，只要最終的理論結(jié)果與所選擇的時(shí)間軸無(wú)關(guān)，這種破壞就只是表觀的。但是不幸的是，在正則量子引力中，選取不同的時(shí)間軸會(huì)導(dǎo)致不等價(jià)的理論。
    
    　　[注四] 從概念上講，構(gòu)造正則量子引力的可觀測(cè)量和物理態(tài)的困難在于這兩個(gè)概念都是規(guī)范不變的，而廣義相對(duì)論中體系的時(shí)間演化本身就包含在規(guī)范變換 (廣義坐標(biāo)變換) 中，因此兩者都必須不含時(shí)間！這在量子引力理論中被稱為 “時(shí)間問(wèn)題” (The problem of time)。
    
    　　[注五] 細(xì)心的讀者可能會(huì)問(wèn)為什么不考慮長(zhǎng)度算符？從技術(shù)上講這是由于 Loop Quantum Gravity 的基本場(chǎng)量選擇使得面積和體積算符遠(yuǎn)比長(zhǎng)度算符更容易處理。至于這種難易倒置的現(xiàn)象是否有深層的物理起源目前尚不清楚。
    
    　　[注六] 更具體地說(shuō)，按照上文提到的面積算符本征值公式，對(duì)于每一個(gè) spin network，黑洞視界面積由穿過(guò)視界的所有的邊所決定，對(duì)于一個(gè)給定的視界面積，能夠給出這一面積的所有 spin network 的位形就構(gòu)成了 Loop Quantum Gravity 對(duì)黑洞熵統(tǒng)計(jì)解釋的基礎(chǔ)。
    
    　　[注七] 細(xì)致的分析表明 Immirzi 參數(shù)也出現(xiàn)在面積算符本征值公式中，這是目前 Loop Quantum Gravity 中一個(gè)無(wú)法確定的參數(shù)，類(lèi)似于 QCD 中的 θ 參數(shù)。
    
    　　[注八] 所謂極端黑洞指的是黑洞所攜帶的某些量子數(shù)——如電荷——達(dá)到理論所允許的最大可能值，在超弦理論中，這些黑洞可以使得理論中的超對(duì)稱性得到部分地保留。
    
    
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