一些不太理想的方案

最容易想到的方案便是，A 先拋擲一枚硬幣，然后在電話中把結(jié)果告訴 B。這種方案給了 A 很大的權(quán)力——A 完全可以選擇謊報(bào)硬幣拋擲結(jié)果，反正 B 也看不到真實(shí)的情況。如果通話雙方彼此不信任的話，這種方案是不可行的。

另一種常用的方法就是兩人在電話上玩語(yǔ)音版的“石頭剪子布”——雙方同時(shí)喊出“剪刀”、“石頭”、“布”中的一個(gè)。可惜這種方案的公正性同樣值得商討：我們不能忽略兩人玩心理游戲?qū)嵙^(guò)于懸殊，或者一方可以不被察覺(jué)地延遲出招等不公平情況的出現(xiàn)。

下面這個(gè)方案則多少讓人感覺(jué)更公正一些 ：A 隨便考 B 一道題，比方說(shuō)“果殼網(wǎng)有多少個(gè)主題站”；如果 B 回答對(duì)了，就算 B 贏得這場(chǎng)爭(zhēng)執(zhí)，否則就算 A 獲勝。這種方案似乎更靠譜，但難免還是漏洞百出。首先，公平性依然是老大難：B 有可能非常博學(xué)，沒(méi)有什么答不上來(lái)的；或者 A 知道 B 的“弱點(diǎn)”，故意考 B 一道他不會(huì)的題目。其次，A 仍然有耍賴皮的空間—— A 可以出一道有多個(gè)答案的腦筋急轉(zhuǎn)彎，比如說(shuō)“樹上七（騎）只猴，樹下一只猴”，無(wú)論 B 回答什么，A 都可以判 B 答錯(cuò)。另外還有一種不太要命，但也不容忽視的隱患：出于某種目的，B 可以故意裝作答不上來(lái)。也就是說(shuō)，如果 B 知道題目的答案，B 就擁有了故意輸?shù)舻臋?quán)力，這不符合拋擲硬幣的精神——聽(tīng)天由命。

一個(gè)幾乎完美的方案

不過(guò)，雖然漏洞多多，思路卻值得借鑒。為了避免上述漏洞，A 提出的問(wèn)題最好是二選一的問(wèn)題，兩個(gè)選項(xiàng)都有可能成為答案，概率各占 50%；回答它沒(méi)有任何技巧，只能憑借猜測(cè)；而答案則必須是唯一的，并且很容易驗(yàn)證答案的正確性。細(xì)心想想，這樣的問(wèn)題倒也不少——比方說(shuō)今天的某某報(bào)紙頭條新聞中句號(hào)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，或者圓周率前 51 位中小于 5 的數(shù)字多還是大于等于 5 的數(shù)字多。A 提出這樣的問(wèn)題后，要求 B 立即作答；面對(duì)這樣的問(wèn)題，B 沒(méi)有任何答題技巧可言，只能瞎猜一個(gè)。之后兩人便可花時(shí)間驗(yàn)證答案的正確性：如果 B 正好猜對(duì)了，視硬幣拋擲結(jié)果為正，B 贏得這場(chǎng)爭(zhēng)執(zhí)；如果 B 猜測(cè)有誤，則硬幣拋擲結(jié)果為反，A 最終獲勝。

這樣的方案幾乎是完美的了，我們只差一點(diǎn)了——這個(gè)方案不具有可重復(fù)性。之前出過(guò)的題目是不能重復(fù)使用的，一是為了避免 B 事先作弊，二也是考慮到通話雙方所處環(huán)境得有驗(yàn)證答案的工具。因此，每次需要拋擲硬幣時(shí)，A 都要想出一個(gè)全新的“公平問(wèn)題”來(lái)。于是我們想到，能否構(gòu)造出一套數(shù)學(xué)規(guī)則，讓我們產(chǎn)生出無(wú)窮無(wú)盡的、純數(shù)學(xué)形式的公平問(wèn)題呢？

公平的電子拋幣協(xié)議

在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)非常典型的“正則易、逆則難”的問(wèn)題：你很容易算出兩個(gè)數(shù)的乘積是多少，卻沒(méi)法迅速找出一個(gè)大數(shù)等于哪兩個(gè)數(shù)的乘積。

有些數(shù)能夠表示成更小的數(shù)的乘積，比如 8 可以寫成 2×4，35 可以寫成 5×7。這樣的數(shù)就被稱為“合數(shù)”。另一些數(shù)則比較特殊，它不能寫成更小的數(shù)的乘積，比如 7、23、67、191 等等，這樣的數(shù)就叫做“素?cái)?shù)”。素?cái)?shù)擁有很多美妙的性質(zhì)，它們不但讓數(shù)學(xué)家們?nèi)绨V如醉，在信息安全領(lǐng)域也有很多漂亮的應(yīng)用。

選取兩個(gè)素?cái)?shù)，比方說(shuō) 23 和 67，然后把它們乘在一起，能夠得到一個(gè)新的數(shù) 1541。不過(guò)，除非一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)地去試，否則你沒(méi)辦法判斷出 1541 可以分成哪兩個(gè)數(shù)之積。也就是說(shuō)，對(duì)于“1541 能分成哪兩個(gè)數(shù)的乘積”這個(gè)問(wèn)題，回答起來(lái)相當(dāng)困難，驗(yàn)證答案的正確性卻很容易。

利用這個(gè)思路，我們能得到很多公平的電子拋幣方案。比方說(shuō)，先讓 A 拋擲一枚硬幣，如果正面朝上，就選擇兩個(gè) 1000 左右的素?cái)?shù)；否則就選擇三個(gè) 100 左右的素?cái)?shù)。然后 A 把選出的素?cái)?shù)乘起來(lái)，把結(jié)果告訴 B，讓 B 猜猜看這個(gè)數(shù)是兩個(gè)數(shù)的乘積還是三個(gè)數(shù)的乘積。要想獲得正確答案，B 沒(méi)有什么更高明的手段，只能隨便猜一個(gè)。然后，A 向 B 揭曉答案，并告訴 B 他剛才選了哪幾個(gè)素?cái)?shù)，讓 B 驗(yàn)證答案的真實(shí)性。

理論上說(shuō)，這種做法是絕對(duì)公平而隨機(jī)的，不過(guò)過(guò)程卻太麻煩了一些，在現(xiàn)實(shí)生活中沒(méi)法普及。不過(guò)，在信息世界中，類似的方案已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。利用計(jì)算機(jī)，我們可以得到幾十上百位的素?cái)?shù)，并能迅速算出這些大素?cái)?shù)的乘積，但要想把乘積分解開來(lái)幾乎是一件不可能完成的任務(wù)?？梢哉f(shuō)，大素?cái)?shù)分解不但是電子拋幣協(xié)議的理論依據(jù)，也是消息加密、電子簽名、身份驗(yàn)證等一切信息安全的根基。在人們?yōu)樾畔⑼ㄓ嵉母鞣N麻煩事兒而頭疼時(shí)，古老的數(shù)論重新綻放光彩，這可以說(shuō)是數(shù)學(xué)與科技的又一次漂亮的結(jié)合。