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這些數(shù)學(xué)常識(shí)，你都知道嗎？ 1. 直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與正方形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)一樣多； 同樣的，圓圈上點(diǎn)的個(gè)數(shù)也和直線上的點(diǎn)個(gè)數(shù)一樣多。 2. （莫比烏斯帶）取一張長(zhǎng)紙條，將一端扭一180度后與另一端粘合， 你就得到一張只有一個(gè)面的紙條。 進(jìn)一步， 沿著這個(gè)紙條的中心線剪開， 你會(huì)得到兩個(gè)互相套在一起的紙環(huán)。 3. 地球上任何一個(gè)時(shí)刻，必定有一處完全沒有風(fēng)（即風(fēng)速為零）。 注記：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是球面上不存在處處非零的連續(xù)切向量場(chǎng)。這是一個(gè)拓?fù)鋯栴}，但同時(shí)有聯(lián)系了微分幾何的性質(zhì)。它反映了球面的拓?fù)涮匦浴?BR> 4. 不能用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)角； 但是我們能用尺規(guī)作圖作出正17邊形（Gauss十四歲時(shí)首次發(fā)現(xiàn)）。 注記： 這個(gè)問題的解法極為巧妙，可以參看《100個(gè)著名數(shù)學(xué)問題》。 5. （走迷宮） 其必勝秘訣是： 進(jìn)入迷宮后，左手貼著墻不要離開， 一直走下去， 必定會(huì)走出來(lái)。 6. （四色問題）： 任何地圖，只要用四種顏色就能將所有地區(qū)（或國(guó)家）區(qū)別開來(lái)。 注記： 假如我們的地球不是一個(gè)球而是一個(gè)面包圈，那么這個(gè)結(jié)論就不一樣了。 四色定理本質(zhì)上反映了球面的拓?fù)涮匦?。可以參看《拓?fù)鋵W(xué)奇趣》這本書。 7. 一個(gè)約三四十人的班上， 有兩個(gè)人生日相同的概率竟然高達(dá)百分之九十幾。 (本人有幸親身應(yīng)驗(yàn)了這件事) 8. 天氣預(yù)報(bào)可以由一組精確的方程組確定。但遺憾的是， 它的解會(huì)隨著時(shí)間的流逝而越來(lái)越越遠(yuǎn)離正確值。 換句話說(shuō)， 不管計(jì)算機(jī)多精確只能在有限時(shí)間內(nèi)精確預(yù)報(bào)出天氣。 作者注： 這就是混沌理論的最具體例子。 9. 凸多面體的歐拉公式： 面的個(gè)數(shù) + 頂點(diǎn)個(gè)數(shù) - 棱的個(gè)數(shù)=2. 世界上只有5種正多面體。 注記：這個(gè)結(jié)論后來(lái)被推廣到更一般的情形，就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的“同調(diào)理論”--主要?dú)w功于大數(shù)學(xué)家龐加萊。可以認(rèn)為這是拓?fù)鋵W(xué)的真正開始。可以參看一本很有趣的哲學(xué)小冊(cè)子《證明與反駁》。此書就是以此為案例來(lái)討論的。 10. 如何計(jì)算圓周率π？有很多巧妙辦法，其中之一是： π/4=1- 1/3+ 1/5- 1/7+ 1/9- 1/11+ 1/13-1/15+...... 注記： 很多計(jì)算圓周率的方法都直接或間接源自于橢圓函數(shù)的理論。橢圓是個(gè)奇妙的東西。為了尋求“求橢圓周長(zhǎng)”的方法，人們逐步發(fā)現(xiàn)了無(wú)數(shù)神奇美妙的數(shù)學(xué)寶藏。它將數(shù)論、幾何、分析等等都聯(lián)系在一起，可以說(shuō)是一只“真正會(huì)產(chǎn)金蛋的雞”。 11. （等周問題） 長(zhǎng)度為一定的的平面閉合曲線中，以圓所圍的平面面積為最大。 注記：初等證法可以參看《數(shù)學(xué)中的智巧》一書。 12. 任何整數(shù)都能表示為不多于4個(gè)平方數(shù)之和； 任何>9的奇數(shù)都能表示為三個(gè)奇素?cái)?shù)之和； 哥德巴赫猜想（代號(hào)"1+1"）： 任何>6的偶數(shù)都能表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和嗎？ 作者注： 素?cái)?shù)就是指“除了1和本身外不被其他整數(shù)除盡”的正整數(shù)。 最小的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,... 13. 費(fèi)馬最后的定理： 不存在三個(gè)正整數(shù) (x,y,z)， 滿足x^n+y^n=z^n （n是大于2的整數(shù)）。 n等于2時(shí)， 滿足方程的整數(shù)叫做勾股數(shù)。 注記：昨天的帖子里寫了。 14. 說(shuō)謊者悖論： 一個(gè)說(shuō)謊者說(shuō)“我在說(shuō)謊?！蹦敲催@句話是真是假？ 理發(fā)師悖論： 從前一個(gè)村里規(guī)定，理發(fā)師的職責(zé)為“專為不自己修面的人修面?！?那理 發(fā) 師可不可以為自己修面。 羅素悖論： 有一本目錄書刊，專門羅列所有那些“沒有在目錄中提及自身書名的書刊”，那么這本書應(yīng)該把自己羅列進(jìn)去嗎？ 注記：羅素悖論是一個(gè)深刻的悖論。為了解決它，羅素提出“類”的概念。羅素認(rèn)為， 我們常常把“集合”誤當(dāng)成了“類”， 集合是不應(yīng)該包含自身的。 15. （哥德爾不完備性） 任何公理體系中必定會(huì)有一個(gè)這樣命題， 你既不能證明它是對(duì)的， 也不能證明它是錯(cuò)的。 打個(gè)比方說(shuō)， 任何法律體系中一定有漏洞，即我們總能找到一種案例， 它不能被法律所管束。 注記：哥德爾證明了，康托猜想“沒有一個(gè)集合的勢(shì)比自然數(shù)集大且比實(shí)數(shù)集小。”是一個(gè)既不能證明也不能證偽的命題。 16. 任何海岸線的精確長(zhǎng)度都會(huì)趨向于無(wú)窮； 同樣地， 雪花的周長(zhǎng)無(wú)窮大，但是面積有限。 作者注： 這就是分形圖形的最簡(jiǎn)單特例。 網(wǎng)上有許許多多美麗得讓人吃驚的分形。 我們對(duì)維度的理解實(shí)際上存在諸多缺陷。分形理論提供了一種新的觀點(diǎn)。維度不再要求是整數(shù)，而可以是分?jǐn)?shù)?？蓞⒖础妒裁词菙?shù)學(xué)》一書最新版。 |
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來(lái)自： 起點(diǎn)2013 > 《待分類1》
