19、多面體有關(guān)概念：

（1）多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面。多面體的相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱。

（2）多面體的對角線：多面體中連結(jié)不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對角線。

（3）凸多面體：把一個(gè)多面體的任一個(gè)面伸展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體。

20、棱柱：

（1）棱柱的分類：①按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）和直棱柱（側(cè)棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱。②按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形…，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；

（2）棱柱的性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。②與底面平行的截面是與底面對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。比如：

①斜三棱柱A₁B₁C₁－ABC，各棱長為，A₁B=A₁C=，則側(cè)面BCC₁B₁是____形，棱柱的高為_____（答：正方；）；

②下列關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；②若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直棱柱；④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直棱柱。其中真命題的為_____（答：②④）。

21、平行六面體：

（1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；

（2）幾類特殊的平行六面體：{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}；

（3）性質(zhì)：①平行六面體的任何一個(gè)面都可以作為底面；②平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分；③平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和；④長方體的一條對角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和。

如長方體三度之和為a+b+c＝6，全面積為11，則其對角線為_____（答：5）

22、棱錐的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的立方比。

如若一個(gè)錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面積的，則錐體被截面截得的一個(gè)小棱錐與原棱錐體積之比為_____（答：1∶8）

23、正棱錐：（1）定義：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。特別地，側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體。

如四面體中，有如下命題：①若，則；②若分別是的中點(diǎn)，則的大小等于異面直線與所成角的大?。虎廴酎c(diǎn)是四面體外接球的球心，則在面上的射影是外心；④若四個(gè)面是全等的三角形，則為正四面體。其中正確的是___（答：①③）

（2）性質(zhì)：①正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等。②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長可組成四個(gè)直角三角形。如圖，正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：，，其中分別表示底面邊長、側(cè)棱長、側(cè)面與底面所成的角和側(cè)棱與底面所成的角。比如：

①在三棱錐的四個(gè)面中，最多有___個(gè)面為直角三角形（答：4）；

②把四個(gè)半徑為R的小球放在桌面上，使下層三個(gè)，上層一個(gè)，兩兩相切，則上層小球最高處離桌面的距離為________（答：）。

24、側(cè)面積（各個(gè)側(cè)面面積之和）：

①棱柱：側(cè)面積＝直截面（與各側(cè)棱都垂直相交的截面）周長×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的側(cè)面積＝底面周長×側(cè)棱長。比如：

（1）長方體的高為h，底面積為Q，垂直于底的對角面的面積為M，則此長方體的側(cè)面積為______（答：）；

②斜三棱柱ABC- A₁B₁C₁中，二面角C-A₁A-B為120°，側(cè)棱AA₁于另外兩條棱的距離分別為7cm、8cm，AA₁=12cm，則斜三棱柱的側(cè)面積為______（答：）；

③若斜三棱柱的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，相鄰兩側(cè)棱之間的距離都為5，則該三棱柱的側(cè)面積為______（答：120）。

（2）正棱錐：正棱錐的側(cè)面積＝×底面周長×斜高。比如：

①已知正四棱錐P－ABCD的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積是_______（答：）；

②已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于______（答：）。

提醒：全面積（也稱表面積）是各個(gè)表面面積之和，故棱柱的全面積＝側(cè)面積＋2×底面積；棱錐的全面積＝側(cè)面積＋底面積。

25、體積：

（1）棱柱：體積＝底面積×高，或體積＝直截面面積×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積＝底面積×側(cè)棱長；三棱柱的體積（其中為三棱柱一個(gè)側(cè)面的面積，為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離）。比如：

①設(shè)長方體的三條棱長分別為a、b、c，若長方體所有棱的長度之和為24，一條對角線長度為5，體積為2，則等于__（答：）；

②斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，側(cè)棱AA₁和AB、AC都成45°的角，則棱柱的側(cè)面積為___，體積為___（答：；）。

（2）棱錐：體積＝×底面積×高。比如：

①已知棱長為1的正方體容器ABCD—A₁B₁C₁D₁中，在A₁B、A₁B₁、B₁C₁的中點(diǎn)E、F、G處各開有一個(gè)小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對容積的影響忽略不計(jì)）是_____（答：）；

②在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，若BC=，則正三棱錐A-BCD的體積為__（答：）；

③已知正三棱錐底面邊長為，體積為，則底面三角形的中心到側(cè)面的距離為___（答：）；

④在平面幾何中有：Rt△ABC的直角邊分別為a,b，斜邊上的高為h，則。類比這一結(jié)論，在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩點(diǎn)互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱錐P—ABC的高為h，則結(jié)論為______________（答：）．

特別提醒：求多面體體積的常用技巧是割補(bǔ)法（割補(bǔ)成易求體積的多面體。

補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體；

分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是        （答：1：2：3）和等積變換法(平行換點(diǎn)、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等。比如：

（1）用平面去截三棱錐，與三條側(cè)棱交于三點(diǎn)，若，，則多面體的體積為_____（答：7）；

（2）直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的體積為，P、Q分別是側(cè)棱AA₁、CC₁上的點(diǎn)，且AP=C₁Q，則四棱錐B—APQC的體積為       （答：）；

（3）如圖的多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則該多面體的體積為________（答：4）。

26、正多面體：

（1）定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體。

（2）正多面體的種類：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。其中正四面體、正八面體和正二十面體的每個(gè)面都是正三角形，正六面體的每個(gè)面都是正方形，正十二面體的每個(gè)面都是正五形邊，如下圖：

正四面體　   　正六面體　　  正八面體　　　正十二面體　　　正二十面體

27、球的截面的性質(zhì)：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；球心和截面圓的距離d與球的半徑R及截面圓半徑r之間的關(guān)系是r＝。

提醒：球與球面的區(qū)別（球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部）。比如：

（1）在半徑為10的球面上有三點(diǎn)，如果，則球心到平面的距離為______（答：）；

（2）已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，則球心到平面ABC的距離為______（答：12）

28、球的體積和表面積公式：V＝。比如：

（1）在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，面積分別為49cm²、400cm²，則球的表面積為______（答：）；

（2）三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積。（答：表面積，體積）；

（3）已知直平行六面體的各條棱長均為3，，長為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為為______（答：）；

29、立體幾何問題的求解策略是通過降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，具體方法表現(xiàn)為：

（1）求空間角、距離，歸到三角形中求解；

（2）對于球的內(nèi)接外切問題，作適當(dāng)?shù)慕孛妯D―既要能反映出位置關(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系。比如：

①甲球與某立方體的各個(gè)面都相切，乙球與這個(gè)立方體的各條棱都相切，丙球過這個(gè)立方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_____（答：1∶2∶3）；

②若正四面體的棱長為，則此正四面體的外接球的表面積為_____（答：）；

③已知一個(gè)半徑為的球中有一個(gè)各條棱長都相等的內(nèi)接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是_____（答：）；

（3）求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離，通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點(diǎn)間的距離。

如已知正方體的棱長為1，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，則的最小值是_____（答：）；

30、你熟悉下列結(jié)論嗎？

⑴三個(gè)平面兩兩相交得到三條交線，如果其中的兩條交線交于一點(diǎn)，那么第三條交線也經(jīng)過這一點(diǎn)；

⑵從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；

⑶AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影成，設(shè)∠BAC=,則coscos=cos；

⑷如果兩個(gè)相交平面都與第三個(gè)平面垂直，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面；

⑸若長方體的體對角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos²+cos²+cos²=1；若長方體的體對角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos²+cos²+cos²=2。比如：

①長方體中若一條對角線與過同一頂點(diǎn)的三個(gè)面中的二個(gè)面所成的角為30°、45°，則與第三個(gè)面所成的角為____________（答：30°）；

②若一條對角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則的關(guān)系為____________。（答：）

⑹若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。

如若正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面面積之比為，則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成的二面角等于__（答：）

⑺在三棱錐中：①側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點(diǎn)在底上射影為底面外心；②側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心；③頂點(diǎn)到底面三角形各邊的距離相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形內(nèi)頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心。

提醒：③若頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形外，則頂點(diǎn)在底上射影為底面的旁心。

　?、陶襟w和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。