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八、“偏微分方程” 還是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門課。常微分方程式研究一元情形，那么偏微則是多元了。別看這個(gè)簡(jiǎn)單的拓展，這個(gè)比一元的情況要難上數(shù)倍甚至數(shù)十倍（這么說(shuō)也不為過(guò)），多少數(shù)學(xué)家在這個(gè)領(lǐng)域苦苦探索，卻得不到他們想要的結(jié)果。因?yàn)閷?shí)際生活中遇到的復(fù)雜問(wèn)題都是偏微情況，而偏微分方程的難度正好說(shuō)明了現(xiàn)實(shí)的復(fù)雜性，于是大家便從牛頓時(shí)代的人們的那種認(rèn)為整個(gè)宇宙模型中的事件全蘊(yùn)含在一些可解（因此可以預(yù)測(cè)到未來(lái)）的方程中的“理想夢(mèng)境”中醒悟過(guò)來(lái)。 雖然不簡(jiǎn)單，但是數(shù)學(xué)家們還是有成果的，畢竟還有“級(jí)數(shù)”和“漸進(jìn)”兩個(gè)有力的工具。本課同常微分方程差不多，也是先研究線性（非線性還是最難的）的一些簡(jiǎn)單可積情形，然后轉(zhuǎn)向數(shù)值（比如有限差分）法、數(shù)學(xué)變換（拉普拉斯、傅里葉變換）求解法以及級(jí)數(shù)（包括傅里葉級(jí)數(shù)）求解法來(lái)研究一些著名的通常被稱為“數(shù)學(xué)物理方程”的偏微分方程，一些性質(zhì)等。 在工程領(lǐng)域，這些東西極其重要。 【教材】 114《偏微分方程》陳祖墀著 115《基礎(chǔ)偏微分方程》 丘成桐主編 David Bleecker, George Csordas 比較詳細(xì)，美國(guó)教材嘛。 116《偏微分方程教程》華中師范大學(xué) 117《偏微分方程》Evans著 經(jīng)典教材。 118《常微分方程與偏微分方程》 管志成，李俊杰編 注重兩者之間的聯(lián)系。 【習(xí)題集】 119《偏微分方程習(xí)題集》沙瑪耶夫主編 蘇聯(lián)的，有新版。 課后習(xí)題也行。 【提高】 120《Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists》 （《線性偏微分方程手冊(cè)：工程師和科學(xué)家必備》英文版）Andrei D. Polyanin編著 很好的書(shū)同[111]一樣齊名。雖然是英文，但是相信數(shù)學(xué)符號(hào)都是通用的，英文水平不是很差都能看得明白的何況有強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)呢？ 九、“數(shù)學(xué)物理方程”和“數(shù)學(xué)物理方法” 一般是物理專業(yè)、力學(xué)、信息等專業(yè)的課程。其內(nèi)容是基本上是“偏微分方程”加上“復(fù)變函數(shù)”整合而成的一本綜合課程?！皵?shù)學(xué)物理方法”相當(dāng)于“工程數(shù)學(xué)”的三本（即復(fù)變函數(shù)，積分變換，場(chǎng)論初步）。 【教材】 121《數(shù)學(xué)物理方法》Courant-Hilbert著 經(jīng)典。 122《特殊函數(shù)概論》王竹溪,郭敦仁編著 網(wǎng)上對(duì)本書(shū)的介紹： 有時(shí)懷疑是不是可以只對(duì)特殊函數(shù)的性質(zhì)了解一些框架性的東西,具體的細(xì)節(jié)要用的時(shí)候去查書(shū).要知道,查這本書(shū)并不是什么丟人的事情,看看揚(yáng)振寧先生為該書(shū)英文版寫(xiě)的序言吧: “(70年代末)……我的老師王竹溪先生送了我一本剛出版的‘特殊函數(shù)概論’……從此這本書(shū)就一直在我的書(shū)架上……經(jīng)常在里面尋找我需要的結(jié)論……”。 連他老先生都如此,何況我們? 本書(shū)是中國(guó)人寫(xiě)的書(shū)里面足以自豪的一本，王老先生是楊振寧的老師。 123《廣義函數(shù)與數(shù)學(xué)物理方程》齊民友著 124《數(shù)學(xué)物理方程》谷超豪，李大潛,譚永基(?),沈緯熙,秦鐵虎,是嘉鴻編著 經(jīng)典教材。谷超豪教授的作品絕對(duì)好。這里插入一些網(wǎng)上的介紹： ------------------------- 這本書(shū)在這樣一個(gè)水平上(指不引進(jìn)廣義函數(shù),弱解等泛函里面的概念)是相當(dāng)不錯(cuò)的.注意那些經(jīng)典方程的推導(dǎo)里面多少有一些近似的過(guò)程,這其實(shí)從某種意義上反應(yīng)了所對(duì)應(yīng)的微分算子的某些性質(zhì)的穩(wěn)定性.比如,對(duì)于經(jīng)典的波動(dòng)方程,3維及以上的奇數(shù)維成立惠更斯(Huygens)原理(這可以看作經(jīng)典物理的時(shí)空里面空間維數(shù)必須是奇數(shù)的一個(gè)證據(jù)),你在其它一些書(shū)(或者說(shuō)以后)可以看到,差不多二階雙曲方程里面只有波動(dòng)方有這樣的性質(zhì)--但是別忘了,高維波動(dòng)方程的推導(dǎo)里面是有近似的,這說(shuō)明什么? 據(jù)一位北大的師兄說(shuō),和復(fù)旦的課本相比較,可能北大那邊相對(duì)更注重一些解的漸進(jìn)估計(jì)等等,而復(fù)旦這里對(duì)于顯式解講得更多些. 注意在圖書(shū)館里面可以找到一本內(nèi)容相當(dāng)接近的書(shū) 125《數(shù)學(xué)物理方程》谷超豪,李大潛,陳恕行,譚永基(?),鄭宋穆,??? 這書(shū)的題材,難度,例題,習(xí)題等等和上一本非常接近.特別指出這本書(shū)的原因是在復(fù)旦的課本中據(jù)我所見(jiàn),只有這本是曾經(jīng)出過(guò)一本"官方的"習(xí)題解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答對(duì)于做作業(yè)是很有幫助的. ------------------------- 126《數(shù)學(xué)物理方法》梁昆淼著 127《數(shù)學(xué)物理方程講義》姜禮尚 128《數(shù)學(xué)物理方程》柯朗著 【習(xí)題集】 129《數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題集》弗拉基米洛夫編 教材后的習(xí)題都行。 【提高】 130《矢算場(chǎng)論札記》梁洪昌著 其實(shí)這個(gè)不關(guān)偏微分方程的事，主要是矢量和場(chǎng)的理論，這對(duì)物理專業(yè)很有用。結(jié)合《數(shù)學(xué)物理方程》一起使用，會(huì)對(duì)自身水平有很大幫助。 131《數(shù)學(xué)物理方程及其應(yīng)用》吳小慶編著 這個(gè)我要說(shuō)一說(shuō)，作者有豐富的經(jīng)驗(yàn)。 132《數(shù)學(xué)物理方程》 張渭濱 133《數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)》 楊奇林 134《數(shù)學(xué)物理方法》 郭玉翠 還是上一位學(xué)長(zhǎng)的介紹： ------------------------ 135《數(shù)學(xué)物理方程--方法導(dǎo)引》陳恕行,秦鐵虎 是一本非常好的講習(xí)題的書(shū).里面的習(xí)題如果能夠全部做一遍的話,應(yīng)付考試是綽綽有余了. 136《The Boudary Value Problems of Mathematical Physics》O A. Ladyzhenskaya 很經(jīng)典.當(dāng)然你要說(shuō)它們陳舊我也沒(méi)話可說(shuō). 137《物理學(xué)與偏微分方程》李大潛,秦鐵虎著 還是很不錯(cuò)的，該書(shū)的起點(diǎn)并不高,所以應(yīng)該比較容易看.據(jù)說(shuō)該書(shū)的責(zé)編(北大畢業(yè)的)極為負(fù)責(zé),認(rèn)真到連里面的公式都一個(gè)個(gè)去推導(dǎo)的地步. 從課程設(shè)置的角度上說(shuō),其實(shí)有一些深度介于本科課程和研究生的那門偏微基礎(chǔ)課之間的書(shū)(包括不少經(jīng)典)都可以在這段時(shí)間里面看看的. ---------------------------- 138《積分方程》李星編著 對(duì)積分方程與代數(shù)方程、常微分方程、偏微分方程以及解析函數(shù)邊值問(wèn)題的聯(lián)系作了清晰的介紹。 主要內(nèi)容包含：各種第一類、第二類Fredholm型、Voherra型線性積分方程和Cauchy核（非周期核）及Hilbert核（單周期核）奇異積分方程的實(shí)用解法，還有第三類積分方程的解法；積分方程組、積分微分方程和對(duì)偶積分方程以及非線性積分方程的常用有效的解法。介紹了數(shù)值解法的過(guò)程。其中，雙周期核和雙準(zhǔn)周期核——Weierstrass核奇異積分方程的類型以及對(duì)偶積分方程的數(shù)值解法、超奇異積分方程和超奇異積分微分方程的簡(jiǎn)明解析解法等是全新的內(nèi)容。 139《積分方程論》(修訂版) 路見(jiàn)可, 鐘壽國(guó)編著 本書(shū)介紹了積分方程中的Fredholm理論、特征值理論、積分變換理論和投影方法、重點(diǎn)是線性Fredhlom第二種方程，對(duì)第一種方程、非線性方程等。 從下一部分開(kāi)始，除了“組合數(shù)學(xué)”“數(shù)值分析”“數(shù)學(xué)建模”“數(shù)學(xué)史” 以外，其他的學(xué)科我還沒(méi)系統(tǒng)深入地學(xué)習(xí)。因此，本來(lái)不打算寫(xiě)這些不是很熟練的部分，但感覺(jué)不寫(xiě)就會(huì)有缺憾，于是查閱一些網(wǎng)絡(luò)資料，集合我的一些淺薄經(jīng)驗(yàn)，來(lái)彌補(bǔ)空白。如果介紹不到位，還請(qǐng)見(jiàn)諒。 |
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來(lái)自： 天心雨清涼 > 《數(shù)學(xué)》
