第十章   導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

§10.1導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.瞬時(shí)變化率：設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變量為時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變，如果當(dāng)趨近于0時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)c（也就是說(shuō)平均變化率與某個(gè)常數(shù)c的差的絕對(duì)值越來(lái)越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)c稱為函數(shù)在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。

2.導(dǎo)數(shù)：當(dāng)趨近于零時(shí)，趨近于常數(shù)c?？捎梅?hào)“”記作：當(dāng)時(shí)，或記作，符號(hào)“”讀作“趨近于”。函數(shù)在的瞬時(shí)變化率，通常稱作在處的導(dǎo)數(shù)，并記作。

3.導(dǎo)函數(shù)：如果在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)。這樣，對(duì)開(kāi)區(qū)間內(nèi)每個(gè)值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)。于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記為或（或）。

4.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：1）函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差）。

2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

3）函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，，則

5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),且.

6.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

 (1)         (2)

(3)            (4)  

(5)               (6) 

(7)                (8)

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析  

1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率

2.運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù),層層求導(dǎo).

(2) 要分清每一步的求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，不能混淆，一直計(jì)算到最后，常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤，如實(shí)際上應(yīng)是。

(3) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量，如選成，計(jì)算起來(lái)就復(fù)雜了。

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義，通常是指物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度。對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義的理解，有助于對(duì)抽象的導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)識(shí)，應(yīng)給予足夠的重視。

4.

  表示處的導(dǎo)數(shù)，即是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；表示函數(shù)在某給定區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，此時(shí)是在上的函數(shù)，即是在內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

5.導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系

若函數(shù)在處可導(dǎo)，則此函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)

在點(diǎn)處連續(xù)，未必在點(diǎn)可導(dǎo)，也就是說(shuō)，連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件。

6.可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程

由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率，因

此，曲線在點(diǎn)處的切線方程可如下求得：

（1）求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率。

（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義可知，切線方程為.

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]已知,則              .

錯(cuò)因：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計(jì)算不熟練,其與系數(shù)不一樣也是一個(gè)復(fù)合的過(guò)程,有的同學(xué)忽視了,導(dǎo)致錯(cuò)解為:.

正解：設(shè),,則

.

[例2]已知函數(shù)判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)？

錯(cuò)解：。

分析： 分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)，須根據(jù)定義來(lái)判斷是否可導(dǎo) .

解：

　　　∴ f(x)在x=1處不可導(dǎo).

注：，指逐漸減小趨近于0；，指逐漸增大趨近于0。

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)極限值，即，△x→0，包括△x→0＋，與△x→0－，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)是否存在時(shí)，要驗(yàn)證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù).

[例3]求在點(diǎn)和處的切線方程。

錯(cuò)因：直接將，看作曲線上的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)求解。

分析：點(diǎn)在函數(shù)的曲線上，因此過(guò)點(diǎn)的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；

點(diǎn)不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過(guò)設(shè)切點(diǎn)的方法求切線．

解：

即過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為4，故切線為：．

設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，又，

故，。

即切線的斜率為4或12，從而過(guò)點(diǎn)的切線為：

點(diǎn)評(píng)： 要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)．若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)．

[例4]求證：函數(shù)圖象上的各點(diǎn)處切線的斜率小于1，并求出其斜率為0的切線方程.

分析： 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，要證函數(shù)的圖象上各點(diǎn)處切線的斜率都小于1，只要證它的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值都小于1，因此，應(yīng)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，再進(jìn)行論證與求解.

解：（1），即對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任一，其導(dǎo)數(shù)值都小于，于是由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)圖象上各點(diǎn)處切線的斜率都小于1.

（2）令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

曲線的斜率為0的切線有兩條，其切點(diǎn)分別為與，切線方程分別為或。

點(diǎn)評(píng)： 在已知曲線 切線斜率為的情況下，要求其切線方程，需要求出切點(diǎn)，而切點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是的導(dǎo)數(shù)值為時(shí)的解，即方程的解，將方程的解代入就可得切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求出了切點(diǎn)坐標(biāo)即可寫(xiě)出切線方程，要注意的是方程有多少個(gè)相異實(shí)根，則所求的切線就有多少條.

[例5]（02年高考試題）已知，函數(shù)，，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為  .

（1）求 的方程；

（2）設(shè)  與 軸交點(diǎn)為，求證：

　① ；　　　　　②若，則

分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用其求出切線斜率，導(dǎo)出切線方程 .

解：（1）

切線的方程為

即.

（2）①依題意，切線方程中令y=0得，

②由①知，

[例6]求拋物線 上的點(diǎn)到直線的最短距離.

分析：可設(shè) 為拋物線上任意一點(diǎn)，則可把點(diǎn)到直線的距離表示為自變量的函數(shù)，然后求函數(shù)最小值即可，另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)的切點(diǎn)到直線的距離即為本題所求.

解：根據(jù)題意可知，與直線 x－y－2=0平行的拋物線y=x2的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線x－y－2=0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（），那么,∴

∴ 切點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)到直線x－y－2=0的距離，

 ∴ 拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離為.

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.函數(shù)在處不可導(dǎo)，則過(guò)點(diǎn)處，曲線的切線         （    ）

A．必不存在　B．必定存在   C．必與x軸垂直　 D．不同于上面結(jié)論

2.在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)數(shù)是____________.

3.已知，若，則的值為_(kāi)___________.

4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲線上的兩點(diǎn)，則與直線平行的曲線的切線方程是 _____________.

5.如果曲線的某一切線與直線平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程.

6．若過(guò)兩拋物線和的一個(gè)交點(diǎn)為P的兩條切線互相垂直.求證：拋物線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).