一、基本概念

   在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分成兩個(gè)或更多的相同或相似的子問(wèn)題，再把子問(wèn)題分成更小的子問(wèn)題……直到最后子問(wèn)題可以簡(jiǎn)單的直接求解，原問(wèn)題的解即子問(wèn)題的解的合并。這個(gè)技巧是很多高效算法的基礎(chǔ)，如排序算法(快速排序，歸并排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……

    任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模有關(guān)。問(wèn)題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對(duì)于n個(gè)元素的排序問(wèn)題，當(dāng)n=1時(shí)，不需任何計(jì)算。n=2時(shí)，只要作一次比較即可排好序。n=3時(shí)只要作3次比較即可，…。而當(dāng)n較大時(shí)，問(wèn)題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問(wèn)題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。

二、基本思想及策略

   分治法的設(shè)計(jì)思想是：將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn)題，以便各個(gè)擊破，分而治之。

   分治策略是：對(duì)于一個(gè)規(guī)模為n的問(wèn)題，若該問(wèn)題可以容易地解決（比如說(shuō)規(guī)模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個(gè)規(guī)模較小的子問(wèn)題，這些子問(wèn)題互相獨(dú)立且與原問(wèn)題形式相同，遞歸地解這些子問(wèn)題，然后將各子問(wèn)題的解合并得到原問(wèn)題的解。這種算法設(shè)計(jì)策略叫做分治法。

   如果原問(wèn)題可分割成k個(gè)子問(wèn)題，1<k≤n，且這些子問(wèn)題都可解并可利用這些子問(wèn)題的解求出原問(wèn)題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產(chǎn)生的子問(wèn)題往往是原問(wèn)題的較小模式，這就為使用遞歸技術(shù)提供了方便。在這種情況下，反復(fù)應(yīng)用分治手段，可以使子問(wèn)題與原問(wèn)題類(lèi)型一致而其規(guī)模卻不斷縮小，最終使子問(wèn)題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過(guò)程的產(chǎn)生。分治與遞歸像一對(duì)孿生兄弟，經(jīng)常同時(shí)應(yīng)用在算法設(shè)計(jì)之中，并由此產(chǎn)生許多高效算法。

三、分治法適用的情況

    分治法所能解決的問(wèn)題一般具有以下幾個(gè)特征：

    1) 該問(wèn)題的規(guī)模縮小到一定的程度就可以容易地解決

    2) 該問(wèn)題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問(wèn)題，即該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

    3) 利用該問(wèn)題分解出的子問(wèn)題的解可以合并為該問(wèn)題的解；

    4) 該問(wèn)題所分解出的各個(gè)子問(wèn)題是相互獨(dú)立的，即子問(wèn)題之間不包含公共的子子問(wèn)題。

第一條特征是絕大多數(shù)問(wèn)題都可以滿(mǎn)足的，因?yàn)閱?wèn)題的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問(wèn)題規(guī)模的增加而增加；

第二條特征是應(yīng)用分治法的前提它也是大多數(shù)問(wèn)題可以滿(mǎn)足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；、

第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問(wèn)題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。

第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問(wèn)題是不獨(dú)立的則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問(wèn)題，此時(shí)雖然可用分治法，但一般用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法較好。

四、分治法的基本步驟

分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：

    step1 分解：將原問(wèn)題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問(wèn)題形式相同的子問(wèn)題；

    step2 解決：若子問(wèn)題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問(wèn)題

    step3 合并：將各個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解。

它的一般的算法設(shè)計(jì)模式如下：

    Divide-and-Conquer(P)

    1. if |P|≤n0

    2. then return(ADHOC(P))

    3. 將P分解為較小的子問(wèn)題 P1 ,P2 ,...,Pk

    4. for i←1 to k

    5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi

    6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子問(wèn)題

    7. return(T)

    其中|P|表示問(wèn)題P的規(guī)模；n0為一閾值，表示當(dāng)問(wèn)題P的規(guī)模不超過(guò)n0時(shí)，問(wèn)題已容易直接解出，不必再繼續(xù)分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規(guī)模的問(wèn)題P。因此，當(dāng)P的規(guī)模不超過(guò)n0時(shí)直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問(wèn)題P1 ,P2 ,...,Pk的相應(yīng)的解y1,y2,...,yk合并為P的解。

五、分治法的復(fù)雜性分析

    一個(gè)分治法將規(guī)模為n的問(wèn)題分成k個(gè)規(guī)模為n／m的子問(wèn)題去解。設(shè)分解閥值n0=1，且adhoc解規(guī)模為1的問(wèn)題耗費(fèi)1個(gè)單位時(shí)間。再設(shè)將原問(wèn)題分解為k個(gè)子問(wèn)題以及用merge將k個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解需用f(n)個(gè)單位時(shí)間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間，則有：

 T（n）= k T(n/m)+f(n)

    通過(guò)迭代法求得方程的解：

    遞歸方程及其解只給出n等于m的方冪時(shí)T(n)的值，但是如果認(rèn)為T(mén)(n)足夠平滑，那么由n等于m的方冪時(shí)T(n)的值可以估計(jì)T(n)的增長(zhǎng)速度。通常假定T(n)是單調(diào)上升的，從而當(dāng)                  mi≤n<mi+1時(shí)，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。 

七、應(yīng)用示例