幾種常見窗函數(shù)及其MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)

LSS133LSS 2014-04-29

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數(shù)字信號(hào)處理中通常是取其有限的時(shí)間片段進(jìn)行分析，而不是對(duì)無限長(zhǎng)的信號(hào)進(jìn)行測(cè)量和運(yùn)算。具體做法是從信號(hào)中截取一個(gè)時(shí)間片段，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換、相關(guān)分析等數(shù)學(xué)處理。信號(hào)的截?cái)喈a(chǎn)生了能量泄漏，而用FFT算法計(jì)算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)，從原理上講這兩種誤差都是不能消除的。在FFT分析中為了減少或消除頻譜能量泄漏及柵欄效應(yīng)，可采用不同的截取函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行截短，截短函數(shù)稱為窗函數(shù)，簡(jiǎn)稱為窗。

泄漏與窗函數(shù)頻譜的兩側(cè)旁瓣有關(guān)，對(duì)于窗函數(shù)的選用總的原則是，要從保持最大信息和消除旁瓣的綜合效果出發(fā)來考慮問題，盡可能使窗函數(shù)頻譜中的主瓣寬度應(yīng)盡量窄，以獲得較陡的過渡帶；旁瓣衰減應(yīng)盡量大，以提高阻帶的衰減，但通常都不能同時(shí)滿足這兩個(gè)要求。頻譜中的如果兩側(cè)瓣的高度趨于零，而使能量相對(duì)集中在主瓣，就可以較為接近于真實(shí)的頻譜。不同的窗函數(shù)對(duì)信號(hào)頻譜的影響是不一樣的，這主要是因?yàn)椴煌拇昂瘮?shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號(hào)的加窗處理，重要的問題是在于根據(jù)信號(hào)的性質(zhì)和研究目的來選用窗函數(shù)。圖1是幾種常用的窗函數(shù)的時(shí)域和頻域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識(shí)別精度最高，幅值識(shí)別精度最低，如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用矩形窗，例如測(cè)量物體的自振頻率等；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識(shí)別精度最低，但幅值識(shí)別精度最高；如果分析窄帶信號(hào)，且有較強(qiáng)的干擾噪聲，則應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；對(duì)于隨時(shí)間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來提高信噪比。表1 是幾種常用的窗函數(shù)的比較。

如果被測(cè)信號(hào)是隨機(jī)或者未知的，或者是一般使用者對(duì)窗函數(shù)不大了解，要求也不是特別高時(shí)，可以選擇漢寧窗，因?yàn)樗男孤?、波?dòng)都較小，并且選擇性也較高。但在用于校準(zhǔn)時(shí)選用平頂窗較好，因?yàn)樗耐◣Р▌?dòng)非常小，幅度誤差也較小。

表1 幾種常用的窗函數(shù)的比較

名稱	特點(diǎn)	應(yīng)用
矩形窗 Rectangle	矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號(hào)通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點(diǎn)是主瓣比較集中，缺點(diǎn)是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。頻率識(shí)別精度最高，幅值識(shí)別精度最低，所以矩形窗不是一個(gè)理想的窗。	如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用矩形窗，例如測(cè)量物體的自振頻率等，也可以用在階次分析中。
漢寧窗 Hanning	又稱升余弦窗。主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點(diǎn)出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗．但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨力下降。它與矩形窗相比，泄漏、波動(dòng)都減小了,并且選擇性也提高。	是很有用的窗函數(shù)。如果測(cè)試信號(hào)有多個(gè)頻率分量，頻譜表現(xiàn)的十分復(fù)雜，且測(cè)試的目的更多關(guān)注頻率點(diǎn)而非能量的大小，需要選擇漢寧窗。如果被測(cè)信號(hào)是隨機(jī)或者未知的，選擇漢寧窗。
海明窗（漢明窗） Hamming	與漢寧窗都是余弦窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗，只是加權(quán)系數(shù)不同，使旁瓣達(dá)到更小。但其旁瓣衰減速度比漢寧窗衰減速度慢。	與漢明窗類似，也是很有用的窗函數(shù)。
平頂窗 Flap Top	平頂窗在頻域時(shí)的表現(xiàn)就象它的名稱一樣有非常小的通帶波動(dòng)。	由于在幅度上有較小的誤差，所以這個(gè)窗可以用在校準(zhǔn)上。
凱塞窗 Kaiser	定義了一組可調(diào)的由零階貝塞爾Bessel 函數(shù)構(gòu)成的窗函數(shù)，通過調(diào)整參數(shù)β可以在主瓣寬度和旁瓣衰減之間自由選擇它們的比重。對(duì)于某一長(zhǎng)度的Kaiser 窗，給定β，則旁瓣高度也就固定了。
布萊克曼窗 Blackman	二階升余弦窗，主瓣寬，旁瓣比較低，但等效噪聲帶寬比漢寧窗要大一點(diǎn)，波動(dòng)卻小一點(diǎn)。頻率識(shí)別精度最低，但幅值識(shí)別精度最高，有更好的選擇性。	常用來檢測(cè)兩個(gè)頻率相近幅度不同的信號(hào)。
高斯窗 Gaussian	是一種指數(shù)窗。主瓣較寬，故而頻率分辨力低；無負(fù)的旁瓣，第一旁瓣衰減達(dá)一55dB。常被用來截短一些非周期信號(hào)，如指數(shù)衰減信號(hào)等。	對(duì)于隨時(shí)間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來提高信噪比。
三角窗（費(fèi)杰窗） Fejer	是冪窗的一次方形式。與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負(fù)旁瓣。	如果分析窄帶信號(hào)，且有較強(qiáng)的干擾噪聲，則應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；
切比雪夫窗（Chebyshev）	在給定旁瓣高度下，Chebyshev窗的主瓣寬度最小，具有等波動(dòng)性，也就是說，其所有的旁瓣都具有相等的高度。

下面是幾種窗函數(shù)歸一化DTFT幅度的MATLAB程序:

附上DTFT函數(shù)（dtft.m）：

function [ X ] = dtft( x,n,w )

% Computes Discrete-time Fourier Transform

% [X] = dtft(x,n,w)

% X = DTFT values computed at w.frequencies

% x = finite duration sequence over n

% n = sample position vector

% w = frequency location vector

X = x*exp(-j*n'*w);

end

矩形窗:

%DTFT of a Rectangular Window, M=10,25,50,101

clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304a');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M=10

M=10; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M=10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=25

M=25; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M=25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=50

M=50; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');

title('M=50'); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=101

M=101; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');

title(['M=101']);

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三角窗:

% Triangular Window:

% DTFT of a Triangular Window,M = 10,25,50,101

clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304b');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10

M=10; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

x=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

M=25; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M = 25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

M=50; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 100

M=101;n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

海寧窗:

% Hann Window

% DTFT of a Hann Window, M = 10,25,50,101

clc;close all;

Hf_1 = figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304c');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10

M=10;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

M=25;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M = 25']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

M=50;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 101

M=101;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

哈明窗:

% Hamming Window:

clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304d');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10

M=10; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

M=25; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M = 25']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

M=50; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M=50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 101

M=101; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi');title(['M=101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

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