2009年上海高考題給我們傳遞的信息 

撰文/大罕

    一、重新認(rèn)識高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容
    按上海高考近十年來的出題規(guī)律，重點(diǎn)內(nèi)容是數(shù)列、函數(shù)（含三角函數(shù)）和解析幾何。但09年試題打破了慣有的做法，例如第13題：函數(shù)函數(shù)y=2cos²x+sin2x的最小值是    . 這類題過去一般是列為大題的，在本卷淡化處理為填空題，一方面考慮了人們的習(xí)慣，另一方面有意將人們的視線加以轉(zhuǎn)移。統(tǒng)觀全卷,除數(shù)列、函數(shù)（含三角函數(shù)）和解析幾何仍不失為重點(diǎn)之外,新增教材內(nèi)容如概率統(tǒng)計(jì)亦應(yīng)列為教學(xué)的重點(diǎn)。
    二、全面地處理教材內(nèi)容。
    本次試題涉及的范圍較之往年更加全面。幾乎覆蓋了高中數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)，特別加強(qiáng)了對新教材內(nèi)容的涉獵。例如極坐標(biāo)參數(shù)方程，往往是冷點(diǎn)內(nèi)容，不會引起人們的足夠注意，繼07、08兩年沒有考題后，本次在第10題中出現(xiàn)。這就告訴我們，一定要認(rèn)真對待教材的每一個(gè)內(nèi)容，不可偏廢。
    三、著力點(diǎn)在推陳出新。   

    推陳出新，是上海試題的一大亮點(diǎn)。這份試卷依然保持這一特色。

    例如，分段函數(shù)是教材的傳統(tǒng)內(nèi)空，如果拘泥求函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)值，判其性質(zhì)，不過是老生常談，本次高考題第20題給出的分段函數(shù)，把它巧妙地嵌入心理學(xué)測量的背景下，很有新意，頗具時(shí)代感。新的視角，一方面給研究函數(shù)單調(diào)性賦于了鮮活的意義，另一方面也給考生增加了難度。難，難在平日訓(xùn)練不夠，總把函數(shù)性質(zhì)當(dāng)成機(jī)械化的行為，一個(gè)計(jì)算器包打半壁江山。

    又如第22題，討論互為反函數(shù)的函數(shù)的“a和性質(zhì)”和“a積性質(zhì)”，根之于教材，發(fā)散于教材，“功夫在詩外”，既有現(xiàn)場咄咄逼人的氣勢，也給學(xué)生發(fā)揮能力廣闊的空間，對考生無疑是一次嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

    四、慎重地對待新增教材內(nèi)容。   

    教材新增的內(nèi)容，幾乎一個(gè)不挪地在試題中出現(xiàn)，行列式（第3題），算法的程序框圖（第4題），概率統(tǒng)計(jì)（第7題數(shù)學(xué)期望，第13題方差的應(yīng)用，第16題概率的計(jì)算，第17題中位數(shù)眾數(shù)與方差），向量（第19題空間向量，第21題方向向量）。這里給我們一個(gè)明確的信號，即新增內(nèi)容絕不是應(yīng)景之物，而是實(shí)打?qū)嵉挠餐ㄘ洝２恍业氖?，新教材多安排在高三時(shí)段進(jìn)行，這一時(shí)段師生們正忙于趕進(jìn)度，教師匆匆忙忙，學(xué)生囫圇吞棗。這回吃了大虧，不能不是給我們敲了一次警鐘。

    五、重點(diǎn)還是放在基本知識，基本技能，基本思維方法上面。   

    基礎(chǔ)知識，基本技能和基本思維方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，丟掉了這個(gè)根本，就會迷失方向誤入歧途。靜觀本卷，不難發(fā)現(xiàn)三基的思想貫穿于整個(gè)試卷，羅列如下：

    第1題，共軛復(fù)數(shù)的計(jì)算；
    第2題，集合的計(jì)算；
    第3題，行列式的計(jì)算；
    第4題，程序框圖；
    第5題，異面直線所成的角；
    第6題，三角函數(shù)的最值；
    第7題，數(shù)學(xué)期望的簡單計(jì)算；
    第8題，涉及球體積的等式變換；
    第9題，橢圓焦半徑三角形的面積；
    第10題，極坐標(biāo)系下直線圍成的三角形面積；
    第15題，實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根的充要條件；
    第16題，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率；
    第19題，二面角的計(jì)算；
    第20題第⑴問，證明單調(diào)減函數(shù)；
    第21題第⑴問，直線與雙曲線漸近線平行的條件；
    第22題第⑴問，驗(yàn)證函數(shù)的“1和性質(zhì)”.
    以上共有82分，占整個(gè)試卷分?jǐn)?shù)的大頭。
    六、強(qiáng)調(diào)常用的數(shù)學(xué)思想和解題方法的培訓(xùn)   

    數(shù)學(xué)思想和解題方法是中學(xué)教學(xué)的靈魂，丟魂就會失魄。機(jī)械照搬，胡碰亂猜，粗枝大葉都是不行的。

1．?dāng)?shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用和靈活運(yùn)用。
    第12題，已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列{a_n}滿足a_n∈（-π/2，π/2），且公差d≠0，若f(a₁)+f(a₂)+…+ f(a_n)=0，則當(dāng) k 等于_____時(shí)。本題把三角函數(shù)與數(shù)列有面地聯(lián)系在一起，解題時(shí)要抓住函數(shù)f(x) 在（-π/2，π/2）上是增函數(shù)，又為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)閍₁+a₂₇=a₂+a₂₆=…=2a₁₄，所以當(dāng)k=14時(shí)，f(x)=0.
    2．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想。
    第11題，當(dāng)0≤x≤1，不等式cos(πx)/2≥kx成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________。
    解析：在同一直角坐標(biāo)系下分別作出y=cos(πx)/2和y=kx的圖像，轉(zhuǎn)動(dòng)直線y=kx便知。
    第14題，將函數(shù)y=-2+√(4+6x-x²)（x∈[0,6]）的圖像繞坐標(biāo)點(diǎn)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ(0≤θ≤α)，得到曲線C,若對于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖像，則α的最大值為__________.
    解析：函數(shù)y=-2+√(4+6x-x²)（x∈[0,6]）的圖像是一段弓形，按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使之與x軸相切，此時(shí)轉(zhuǎn)過的角就是α的最大值。

    3.轉(zhuǎn)換命題的思想.
    第18題：圓C：(x-1)²+(y-1)²=1的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，△AOB被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足

S_Ⅰ+S_Ⅳ=S_Ⅱ+S_Ⅲ，則直線AB有（）．
    （A） 0條（B） 1條（C） 2條 （D） 3條
    解析：由已知S_Ⅰ+S_Ⅳ=S_Ⅱ+S_Ⅲ，得：S_Ⅳ-S_Ⅱ=S_Ⅲ-S_Ⅰ，第II，IV部分的面積是定值，所以，S_Ⅳ-S_Ⅱ為定值，即S_Ⅲ-S_Ⅰ為定值，當(dāng)直線AB繞著圓心C移動(dòng)時(shí)，只可能有一個(gè)位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B。這里就用到了轉(zhuǎn)換的思想，把條件S_Ⅰ+S_Ⅳ=S_Ⅱ+S_Ⅲ轉(zhuǎn)換為S_Ⅳ-S_Ⅱ=

S_Ⅲ-S_Ⅰ，而S_Ⅲ-S_Ⅰ為定值，問題便迎刃而解，快捷方便。如果用其它的方法，則需要較高的計(jì)算技能和技巧（參見http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d0100dj80.html）。

    4.直譯法仍是解題的首要方法.

    直譯法,全稱為照直翻譯法,也稱為順藤摸瓜法,順路走法.解基礎(chǔ)題如此,解難題莫不如此.

    第20題,求證當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增加量f(x+1)-f(x)總是下降,怎么證?把f(x+1)-f(x)算出來,再進(jìn)行分析即可.

    第21題, 一條直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行，求直線l的方程及l(fā)與m的距離,如實(shí)寫出就可以了.

    第22題,在讀懂題意的前提下,先求g(x)=x²+1(x>0)的反函數(shù)g^-1(x),再求出g^-1(x+1);另外由g(x)求出g(x+1),再求出g^-1(x+1),兩相比較,是否滿足“1和性質(zhì)”立馬可知.這不正是典型的直譯法么? 

    壓軸題第23題：已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列。

    ⑴若a_n=3n+1，是否存在m、k∈N⁺，有a_m +a_m+1= a_k? 說明理由；    

    ⑵找出所有數(shù)列{a_n}和{b_n}，使對一切n∈N⁺, a_n+1/a_n=b_n,并說明理由；

    ⑶若a₁=5,d=4,b₁=q=3,試確定所有的p，使數(shù)列{a_n}中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和是數(shù)列{b_n}中的一項(xiàng)，請證明。

    以上三個(gè)小題的解決，無一不是直譯法開路，直譯法前行。