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狄利克雷 中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 袁向東 狄利克雷，P．G．L．(Dirichlet，Peter Gustav Lejeune)1805年2月13日生于德國迪倫；1859年5月5日卒于格丁根．?dāng)?shù)學(xué)． 狄利克雷生活的時代，德國的數(shù)學(xué)正經(jīng)歷著以C．P．高斯(Gauss)為前導(dǎo)的、由落后逐漸轉(zhuǎn)為興旺發(fā)達的時期．狄利克雷以其出色的數(shù)學(xué)教學(xué)才能，以及在數(shù)論、分析和數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域的杰出成果，成為高斯之后與C．G．J．雅可比(Jacobi)齊名的德國數(shù)學(xué)界的一位核心人物． 狄利克雷出身于行政官員家庭，他父親是一名郵政局長．狄利克雷少年時即表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)的濃厚興趣，據(jù)說他在12歲前就自攢零用錢購買數(shù)學(xué)圖書．1817年入波恩的一所中學(xué)，除數(shù)學(xué)外，他對近代史有特殊愛好；人們稱道他是個能專心致志又品行優(yōu)良的學(xué)生．兩年后，他遵照父母的意愿轉(zhuǎn)學(xué)到科隆的一所教會學(xué)校，在那里曾從師物理學(xué)家G．歐姆(Ohm)，學(xué)到了必要的物理學(xué)基礎(chǔ)知識． 16歲通過中學(xué)畢業(yè)考試后，父母希望他攻讀法律，但狄利克雷已選定數(shù)學(xué)為其終身職業(yè)．當(dāng)時的德國數(shù)學(xué)界，除高斯一人名噪歐洲外，普遍水平較低；又因高斯不喜好教學(xué)，于是狄利克雷決定到數(shù)學(xué)中心巴黎上大學(xué)，那里有一批燦如明星的數(shù)學(xué)家，諸如P．S．拉普拉斯(Laplace)、A．勒讓德(Legendre)、J．傅里葉(Fourier)、S．泊松(Poisson)、S．拉克魯瓦(Lacroix)、J．B．比奧(Biot)等等． 1822年5月，狄利克雷到達巴黎，選定在法蘭西學(xué)院和巴黎理學(xué)院攻讀；其間因患輕度天花影響了聽課，幸好時間不長．1823年夏，他被選中擔(dān)任M．法伊(Fay)將軍的孩子們的家庭教師．法伊是拿破侖時代的英雄，時任國民議會反對派的領(lǐng)袖．狄利克雷擔(dān)任此職，不僅收入頗豐，而且受到視如家人的善待，還結(jié)識了許多法國知識界的名流．其中，他對數(shù)學(xué)家傅里葉尤為尊敬，受其在三角級數(shù)和數(shù)學(xué)物理方面工作的影響頗深．另一方面，狄利克雷從未放棄對高斯1801年出版的數(shù)論名著《算術(shù)研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的鉆研．據(jù)傳他即使在旅途中也總是隨身攜帶此書，形影不離．當(dāng)時還沒有其他數(shù)學(xué)家能完全理解高斯的這部書，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人．可以說，高斯和傅里葉是對狄利克雷學(xué)術(shù)研究影響最大的兩位數(shù)學(xué)前輩． 1825年，狄利克雷向法國科學(xué)院提交他的第一篇數(shù)學(xué)論文，題為“某些五次不定方程的不可解”(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)．他利用代數(shù)數(shù)論方法討論形如x5+y5=A·z5的方程．幾周后，勒讓德利用該文中的方法證明了xn+yn=zn當(dāng)n=5時無整數(shù)解；狄利克雷本人不久也獨立證明出同一結(jié)論．(后來狄利克雷再次研究費馬大定理時，證明n=14時該方程無整數(shù)解．) 1825年11月，法伊將軍去世．1826年，狄利克雷在為振興德國自然科學(xué)研究而奔走的A．洪堡(von Humboldt)的影響下，返回德國，在布雷斯勞大學(xué)獲講師資格(他在法國未攻讀博士學(xué)位，而由科隆大學(xué)授予他榮譽博士頭銜，這是獲講師資格的必要條件)，后升任編外教授(extraordinary professor，為介于正式教授和講師之間的職稱)． 1828年，狄利克雷又經(jīng)洪堡的幫助來到學(xué)術(shù)空氣較濃厚的柏林，任教于柏林軍事學(xué)院．同年，他又被聘為柏林大學(xué)編外教授(后升為正式教授)，開始了他在柏林長達27年的教學(xué)與研究生涯．由于他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，諄諄善誘，培養(yǎng)了一批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，對德國在19世紀(jì)后期成為國際上又一個數(shù)學(xué)中心產(chǎn)生了巨大影響．1831年，狄利克雷成為柏林科學(xué)院院士．同年，他和哲學(xué)家M．門德爾松(Mende1ssohn)的外孫女麗貝卡·門德爾松-巴托爾特(Rebecca Mendelssohn-Bartholdy)結(jié)婚． 1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到格丁根大學(xué)任教．與在柏林繁重的教學(xué)任務(wù)相比，他很欣賞在格丁根有更多自由支配的時間從事研究(這一時期主要從事一般力學(xué)的研究)．可惜美景不長，1858年夏他去瑞士蒙特勒開會，作紀(jì)念高斯的演講，在那里突發(fā)心臟?。依死纂m平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中風(fēng)身亡的打擊，病情加重，于1859年春與世長辭． 狄利克雷的主要科學(xué)工作如下． 數(shù)論 狄利克雷在柏林的早期數(shù)論工作，集中在改進高斯在《算術(shù)研究》及其他數(shù)論文章中的證明或表述方式．如高斯給出的二次互反律的第一個證明相當(dāng)煩瑣，需對8種情形作分別的處理；狄利克雷簡化了這一證明，把全部情形歸結(jié)為2種．其后，他在高斯的理論中引入了一些更深入的問題和結(jié)果．如為解二元型理論中的某些困難問題，他開始討論三元型的課題，提出了一個富有成果的新領(lǐng)域．1837年7月27日，狄利克雷在柏林科學(xué)院會議上，提交了對勒讓德的一個猜想的解答，他證明任一形如 an+b，n=0，1，2，… 的算術(shù)級數(shù)，若a，b互素，則它含有無窮多個素數(shù)(即算術(shù)級數(shù)的素 是復(fù)數(shù))和二元二次型類數(shù)的計算等分析學(xué)工具和方法，成為解析數(shù)論的開創(chuàng)性工作． 1842年，狄利克雷開始研究具有高斯系數(shù)的型，首次運用了“盒子原理”——若將多于n個的物體放入n個盒子，則至少有一個盒子含有多于一個的物體，它在現(xiàn)代數(shù)論的許多論證中起重要作用．1846年，他在屬于代數(shù)數(shù)論的單元理論的文章“復(fù)單元理論(Zur Theorie der complexen Einheiten)中，獲得了一個漂亮而完整的結(jié)果，現(xiàn)稱狄利克雷單元定理：對由一個不可約方程及其r個實根和s對復(fù)根定義的代數(shù)數(shù)域 K=Q(α)，一切單元構(gòu)成的阿貝爾群的秩為r+s-1，其有限階元部分由域中單位根組成． 1863年，狄利克雷的《數(shù)論講義》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的學(xué)生和朋友R．戴德金(Dedekind)編輯出版，這份講義不僅是對高斯《算術(shù)研究》的最好注釋，而且融進了他在數(shù)論方面的許多精心創(chuàng)造，之后多次再版，成為數(shù)論經(jīng)典之一． 分析狄利克雷是19世紀(jì)分析學(xué)嚴(yán)格化的倡導(dǎo)者之一．1829年，他在克雷爾(Crell)雜志發(fā)表了他最著名的一篇文章“關(guān)于三角級數(shù)的收斂性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)．該文是在傅里葉有關(guān)熱傳導(dǎo)理論的影響下寫成的，討論任意函數(shù)展成形如 1/2a0+(a1cosx+b1sinx)+(a2cos2x+b2sin2x)+… 的三角級數(shù)(現(xiàn)稱傅里葉級數(shù))及其收斂性．早在18世紀(jì)，D．伯努利(Bernoulli)和L．歐拉(Euler)就曾在研究弦振動問題時考察過這類級數(shù)．傅里葉在19世紀(jì)初用它討論熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，但未慮及其收斂性．A．L．柯西(Cauchy)在1823年開始考慮它的收斂問題．狄利克雷在文中指出柯西的推理不嚴(yán)格，其結(jié)論也不能涵蓋某些已知其收斂性的級數(shù)．他進而考慮形式上對應(yīng)于給定函數(shù)f(x)的三角級數(shù)的前n項的和，檢驗它跟f(x)的差是否趨于零，后成為判斷級數(shù)收斂的經(jīng)典方法．狄利克雷證明：若f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，在-π＜x dx有限，則在f(x)所有的連續(xù)點處，其傅里葉級數(shù)收斂到f(x)，在函數(shù)的跳躍點處，它收斂于函數(shù)左右極限值的算術(shù)平均．這是第一個嚴(yán)格證明了的有關(guān)傅里葉級數(shù)收斂的充分條件，開始了三角級數(shù)理論的精密研究． 1837年，狄利克雷再次回到上述課題，發(fā)表題為“用正弦和余弦級 tionen durch Sinus-und Cosinusreihen)的文章，其中擴展了當(dāng)時普遍采用的函數(shù)概念(即由數(shù)學(xué)符號及運算組成的表達式為函數(shù)的概念)，引入了現(xiàn)代的函數(shù)概念：若變量y以如下方式與變量x相關(guān)聯(lián)，即只要給x指定一個值，按一個規(guī)則可確定唯一的y值，則稱y是獨立變量x的函數(shù)．為說明該規(guī)則具有完全任意的性質(zhì)，狄利克雷舉出了“性狀極怪”的函數(shù)實例：當(dāng)x為有理數(shù)時，y=c；當(dāng)x為無理數(shù)時，y=d≠c 現(xiàn)稱狄利克雷函數(shù))．但狄利克雷的連續(xù)函數(shù)概念仍是直觀的，并根據(jù)等距取函數(shù)值求和的方法定義其積分．在此基礎(chǔ)上，狄利克雷建立了傅里葉級數(shù)的理論． 數(shù)學(xué)物理 1839年，狄利克雷發(fā)表了3篇涉及力學(xué)的數(shù)學(xué)論文，討論多重積分估值的方法，用于確定橢球體對其內(nèi)部或外部任意質(zhì)點的引力，開始了他對數(shù)學(xué)物理問題的研究．這方面最重要的文章發(fā)表于1850年，提出了研究拉普拉斯方程的邊值問題(現(xiàn)稱狄利克雷問題或第一邊值問題)：求滿足偏微分方程 的位勢函數(shù)V(x，y，z)，使它在球面邊界上取給定的值．這一類型的問題在熱力學(xué)和電動力學(xué)中特別重要，也是數(shù)理方程研究中的基本課題．狄利克雷本人曾用所謂的狄利克雷原理給出了問題的解．1852年，他討論球在不可壓縮流體中的運動，得到流體動力學(xué)方程的第一個精確解． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
