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斐波那契 山西大學(xué) 歐陽絳 斐波那契，L．(Fibonacci，Leonardo) 約1175年生于意大利比薩； 1250年卒于比薩．?dāng)?shù)學(xué)． 斐波那契是波那契(Bonacci)家族的成員．這個(gè)家族在當(dāng)時(shí)的比薩很有影響．斐波那契的父親圭列爾莫(Guiliellmo)作為比薩共和國(guó)的官員，于1192年左右被派往布日伊(Bougie，今屬阿爾及利亞)，管理比薩的商業(yè)僑民． 斐波那契受過良好的教育．22歲時(shí)隨父親到布日伊，在那里學(xué)會(huì)了用印度數(shù)碼計(jì)算．后來，又隨父親到埃及、敘利亞、希臘(拜占庭)、西西里和普羅旺斯旅行；他通過廣泛的學(xué)習(xí)和認(rèn)真的研究，熟練掌握了多種計(jì)算技巧． 12世紀(jì)末，斐波那契回到比薩，在這里度過了四分之一個(gè)世紀(jì)．他在比薩著書立說，書中不僅用印度數(shù)碼和方法進(jìn)行計(jì)算，把它們應(yīng)用于商業(yè)活動(dòng)的所有領(lǐng)域，并且闡述了許多代數(shù)和幾何問題．他的最重要成果表現(xiàn)在不定分析和數(shù)論方面，并遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了前人． 大約1225年，斐波那契受到國(guó)王腓德烈二世(1194—1250)的召見，成為宮庭數(shù)學(xué)家．在保存下來的一份1240年的文件上寫著：由于斐波那契曾向市民和官吏講授計(jì)算方法，每年給予他薪金若干金磅． 保存至今的斐波那契著作有5部：(1)《算盤書》(Liber abbaci，1202，1228)；(2)《實(shí)用幾何》(Practica geometriae，1220，1221)；(3)《花》(Flos，1225)；(4)給帝國(guó)哲學(xué)家狄奧多魯斯(Theodorus)的一封未注明日期的信；(5)《平方數(shù)書》(Liber quadra-torum，1225)．我們知道他還有其他著作，例如關(guān)于商業(yè)算術(shù)的《小方法》(Di minor guisa)．遺憾的是他對(duì)歐幾里得《幾何原本》第10卷的評(píng)述失傳了，在該書中，斐波那契以其對(duì)無理量的數(shù)值處理取代了歐幾里得的幾何表示．邦孔帕尼(Boncompagni)和利布里(Libri)曾編輯整理斐波那契的著作；G．康托爾(Cantor)、G．洛里亞(Loria)和A．П尤什克維奇(ЮшkeBИч)對(duì)斐波那契著作的基本原理作過仔細(xì)的探討． 1．《算盤書》 這里的“算盤”(abacus)不是指古老的算盤或沙盤，而是指一般計(jì)算．從13世紀(jì)到15世紀(jì)，該書有過12種版本，但是，只有13世紀(jì)和14世紀(jì)初的3種版本是完整的．該書有15章，分四部分． 第一部分，第1—7章．斐波那契首先講述羅馬數(shù)碼和指算法，然后介紹印度數(shù)碼，按照阿拉伯方式，個(gè)位“在前面”(在右邊)，分?jǐn)?shù)在整數(shù)的左邊．此外，他引進(jìn)了分?jǐn)?shù)中間的那條橫杠．計(jì)算方法是通過數(shù)值的例子講授的，并且多用去九法核對(duì)結(jié)果(也常用去七法和去11法)．書中還給出把分?jǐn)?shù)分解為單位分?jǐn)?shù)的規(guī)則，引進(jìn)了多種表示分?jǐn)?shù) 第二部分，第8—11章．這部分是與商人有關(guān)的問題，例如貨物的價(jià)格、利潤(rùn)、物物交換、利息、工資、合股分紅、貨幣兌換等．其中的“百雞問題”，可能受到中國(guó)的影響．它實(shí)際是一個(gè)不定方程問題． 第三部分，第12—13章．這部分內(nèi)容最為廣泛，包活許多怪題、難題．例如：(1)“水池問題”：一只蜘蛛每天沿水池的墻向上爬若干英尺，每天晚上往回爬若干英尺，問它多長(zhǎng)時(shí)間能爬出來？(2)“兔和狗問題”：狗不僅往前追而且也往回跑；速度不是常數(shù)而是依算術(shù)級(jí)數(shù)增加的．問狗多長(zhǎng)時(shí)間能追上兔？(3)“給與取問題”：有兩個(gè)或多個(gè)人，他們中的一個(gè)向其他人中的一個(gè)或幾個(gè)要一定數(shù)量的錢，并且知道此時(shí)這個(gè)人的錢和其他人的錢的比例，求原來的錢數(shù)．一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是：x＋7=5(y-7)，y+5=7(x-5)．(4)“求錢數(shù)問題”：兩個(gè)或多個(gè)人得到一筆錢，并且知道每個(gè)人的錢占總錢數(shù)的比例，求每個(gè)人的錢數(shù)．對(duì)于3個(gè)人，有如下的表達(dá)式：①x＋b=2(y＋z)，②y＋b=3(x+z)；③z+b=4(x+y)．這也是不定方程問題．還有一組更為廣泛流傳的問題，被稱做“單獨(dú)一個(gè)人不能買”，說的是：幾個(gè)人中的任何一個(gè)，只有當(dāng)他從別人手中得到一部分錢時(shí)，才能買到某件東西．這組題有各種變異，甚至可以涉及7個(gè)人．5匹馬．以一個(gè)僅涉及3個(gè)人的問題為例，其方程可寫為 書中包含很多余數(shù)問題，例如求滿足條件n≡1(mod 2，3，4，5和6)≡0(mod 7)的n．另外，斐波那契還提出了一個(gè)極為有趣的“兔子問題”，即：“由一對(duì)兔子開始，一年后可以繁殖成多少對(duì)兔子？”其中假定：“每對(duì)大兔每月能生產(chǎn)一對(duì)小兔，而每對(duì)小兔生長(zhǎng)兩個(gè)月就成大兔．” 斐波那契在運(yùn)用特殊的方法解決特殊問題方面，具有驚人的技巧；他還常常巧妙地引進(jìn)輔助未知數(shù)．在其他場(chǎng)合，則使用一般的方法，如簡(jiǎn)單試位法，反演法，雙試位法等． 書中表明，斐波那契已注意到負(fù)數(shù)．他給出了諸如22＋(－9)＝22－9和－1＋11＝＋10的運(yùn)算． 第四部分，第14，15章．第14章依印度－阿拉伯算法講授求平方根和立方根的數(shù)值方法，與現(xiàn)代的方法基本一致．他已懂得在被開方數(shù) /2a1．對(duì)于立方根 第一個(gè)近似是 雖然納薩維(al－Nasawi)已經(jīng)知道第一個(gè)近似，但進(jìn)一步的近似則是斐波那契首先發(fā)現(xiàn)的．他在該章中實(shí)現(xiàn)了歐幾里得無理量的完整的運(yùn)算，并且對(duì)計(jì)算的正確性給出幾何式的證明． 第15章分3節(jié)．第1節(jié)講比例及它們的各種變換．例如，在一個(gè)問題中給定：(1)6∶x＝y(tǒng)∶9；(2)x＋y=21．從(1)得xy=54；然后利用《幾何原本》第2卷第5個(gè)命題，得 和 x-y=15． 從而解得3和18．第2節(jié)先講畢達(dá)哥拉斯定理的應(yīng)用；然后是許多不同類型的問題，例如：給定32+42=25，解不定方程x2＋y2=25．此外 容器內(nèi)的水會(huì)溢出多少．第3節(jié)給出花拉子米的六種類型的二次方程：ax2=bx，ax2=c，bx=c，ax2＋bx=c，ax2＋c=bx和ax2＝bx+c；然后對(duì)它們作精確的數(shù)值計(jì)算．斐波那契在這里還講到能歸結(jié)為二次方程的高次方程，例如(1)y=10/x，(2)z=y2/x和(3)z2=x2＋y2被給定，就導(dǎo)至x8＋100x4=10000．當(dāng)涉及幾個(gè)未知數(shù)時(shí)，斐波那契以radix和res代表x和y，以pars代表第三個(gè)未知數(shù)；有時(shí)，又把兩個(gè)未知數(shù)的和定作res；對(duì)于x2，用quadratus，census或avere表示；對(duì)于x3，用cubus表示 ；對(duì)于x4，用census decensu或censum census表示，等等．常數(shù)項(xiàng)被稱作numerus，denarius或dragma． 2．《實(shí)用幾何》 這是斐波那契的第二部著作，在羅馬、巴黎等地存有九個(gè)抄本．斐波那契在這部著作中不僅通俗地講授量度問題，還講了一些幾何的證明方法．《實(shí)用幾何》分8章，并冠以緒論．在緒論中解釋基本概念以及在比薩流行的線段和面積的測(cè)量方法．第1章講矩形的面積；第2章和第5章講平方根和立方根．第3章為線段和平面圖形(三角形、正方形、矩形、菱形、梯形、多邊形和圓)的面積計(jì)算提供準(zhǔn)確的證明；對(duì)于圓，采用阿基米得的96邊多邊形，π取3.141818…．此外，斐波那契還熟悉有凹角的四邊形． 該書中的許多問題導(dǎo)致二次方程，而這些二次方程可以利用典型的公式來解決．這些問題是以言辭表述的，例如，對(duì)于4x-x2=3，他表述為：如果從四邊的和中減去該正方形的面積，則得3竿．在這里，斐波那契已經(jīng)注意到了雙解．順著這樣的思路，他給測(cè)量員以實(shí)際指導(dǎo)，而且講了使用儀器的方法，例如求三角形田地的高的垂足和在山邊上田地的投影的方法，還講到測(cè)量山邊上直線的水平投影的儀器．第4章講曲面的剖分(來源于歐幾里得的《論剖分》)．第6章討論體積(包括正多面體的體積)．第7章講物體(比如樹)的高的計(jì)算方法，并且給出以三角形的相似性為基礎(chǔ)的測(cè)量規(guī)則；在這里，角由象限儀測(cè)定．第8章講從外接圓和內(nèi)切圓的直徑計(jì)算五邊形和十邊形的邊，及其逆運(yùn)算；還講到從面積計(jì)算邊．隨后有兩個(gè)不定方程：a2+5=b2和c2-10=d2．最后講如何計(jì)算內(nèi)接于等邊三角形的長(zhǎng)方形和正方形的邊長(zhǎng)(斐波那契用的是60進(jìn)位制)． 3．《花》 這部著作是獻(xiàn)給弗里德里克二世的，多是在宮庭舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽時(shí)提出的問題．他給出方程x2+5=y2和x2-5=z2的解， 并證明了三次方程x3＋2x2+10x=20的解不可能是整數(shù)，不可能是分?jǐn)?shù)，也不可能是歐幾里得的無理量(換句話說，沒有能用直尺和圓規(guī)作出的根)；并且，他找到了一個(gè)準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第10位的近似解x=1.36880810785(當(dāng)時(shí)是以60進(jìn)位制寫出的)．我們不知道他是怎樣得到這一結(jié)果的． 4．給帝國(guó)哲學(xué)家狄奧多魯斯的一封未注明日期的信 該信的主題是“百雞問題”．斐波那契在《算盤書》中曾討論過這一問題．信中推演了解不定問題的一般方法．然后講了一個(gè)幾何問題：求作一個(gè)內(nèi)接于等邊三角形的正五邊形．斐波那契通過二次方程得到解，這是早期將代數(shù)應(yīng)用于幾何的典型范例．該信以一個(gè)有五個(gè)未知數(shù)的線性問題結(jié)束；斐波那契沒有邏輯地構(gòu)造解，而只是給出一個(gè)機(jī)械的公式． 5．《平方數(shù)書》 這部關(guān)于不定分析的、有獨(dú)創(chuàng)性的著作，使他成為丟番圖(Diophantus)和P．de費(fèi)馬(Fermat)之間在數(shù)論方面的杰出數(shù)學(xué)家．該書撰于1225年．其主題是：求x2+5=y2和x2-5=z2這兩個(gè)齊次方程的解．斐彼那契知道：從1開始，連續(xù)加奇數(shù)，所得和為平方數(shù)．對(duì)于奇數(shù)a， 斐波那契還給出下述定理：如果(a2＋b2)為和(x2＋y2)是平方數(shù)，且a∶ b≠x∶y， a∶b≠ y∶x，則有等式(a2+b2)·(x2＋y2)=(ax+by)2+(bx-ay)2=(ay-bx)+(by-ax)2．然后，斐波那契引進(jìn)一組特殊的數(shù)：(a＋b)為偶數(shù)時(shí)，n=ab·(a+b)(a-b)；(a＋b)為奇數(shù)時(shí)，n=4ab(a+b)(a-b)．他命名這樣一個(gè)數(shù)為相含數(shù)(congruum)，并且證明：它必定能被24整除．他發(fā)現(xiàn)x2+h和x2-h能同時(shí)是平方數(shù)，僅當(dāng)h是相含數(shù)．例如52＋24=72，52-24=12和102＋96=142，102-96=22對(duì)于a=5和b=4， h=720=5·122，于是得到平方數(shù)的兩個(gè)差y2-x2=x2-z2=720．他確定2401-1681=1681-961，或492-412=412-312．以 122分之，得到 斐波那契接著證明了數(shù)論中的一系列命題，例如：平方數(shù)不可能是相含數(shù)，x2+y2和x2-y2不可能同時(shí)是平方數(shù)，x4-y4不可能是平方數(shù)，等等．在這類問題中．斐波那契長(zhǎng)期處于領(lǐng)先地位． 縱觀斐波那契的活動(dòng)，應(yīng)該說他在西方的數(shù)學(xué)復(fù)興中起到了先鋒作用，或者說他在東西方的數(shù)學(xué)發(fā)展中起到了橋梁作用．G．卡爾達(dá)諾(Cardano)在講述斐波那契的成就時(shí)說：我們可以假定，所有我們掌握的希臘之外的數(shù)學(xué)知識(shí)都是由于斐波那契的存在而得到的，他在L．帕奇歐里(Pacioli)以前很久，就從印度和阿拉伯取得了這些知識(shí)．斐波那契對(duì)古代數(shù)學(xué)作了嶄新的思考，并且獨(dú)立地把它推向前進(jìn)．在算術(shù)方面，他顯示出計(jì)算上的高超才能，并把負(fù)量和零認(rèn)作數(shù)．在幾何上，他既具備歐幾里得的嚴(yán)謹(jǐn)又懂得如何應(yīng)用新的代數(shù)方法解幾何問題． 斐波那契的數(shù)學(xué)工作對(duì)后世有深遠(yuǎn)影響．特別值得一提的是：以《算盤書》中那個(gè)有趣的“兔子問題”為基礎(chǔ)，后人得出著名的斐波那契數(shù)列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 這個(gè)數(shù)列的特征是 u1=u2=1，un=un-1+un-2(n≥3)． 其通項(xiàng)為 意外的結(jié)果．斐波那契數(shù)列有許多重要的性質(zhì)和應(yīng)用．例如，由于 它便與黃金分割聯(lián)系起來．1963年創(chuàng)刊的《斐波那契季刊》(TheFibonacci Quarterly)專門登載有關(guān)這個(gè)數(shù)列的最新發(fā)現(xiàn)．其中包括： (1)任何斐波那契數(shù)的平方與其兩邊的兩個(gè)斐波那契數(shù)的乘積之差為1． (2)任何兩個(gè)相繼的斐波那契數(shù)的平方和 (3)對(duì)于任何四個(gè)相繼的斐波那契數(shù)A，B，C，D，下列公式成立： C2-B2=A×D． (4)最后一位數(shù)字，每60個(gè)數(shù)一循環(huán)；最后兩位數(shù)字，每300個(gè)數(shù)一循環(huán)；最后三位數(shù)字，每1500個(gè)數(shù)一循環(huán)；最后四位數(shù)字，每15000個(gè)數(shù)一循環(huán)；最后五位數(shù)字，每150000個(gè)數(shù)一循環(huán)，等等． (5)每第三個(gè)數(shù)可被2整除，每第四個(gè)數(shù)可被3整除，每第五個(gè)數(shù)可被5整除，每第六個(gè)數(shù)可被8整除，等等．這些除數(shù)本身也構(gòu)成斐波那契數(shù)列． 盡管斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式和關(guān)于斐波那契數(shù)列的一系列成果是后人得到的，但我們不能忘記：這些數(shù)學(xué)成果都起因于斐波那契在《算盤書》中提出的兔子問題． |
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