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費馬 北京航空航天大學(xué) 李心燦 王武保 費馬，P．de(Fermat，Pierre de)1601年8月20日生于法國南部圖盧茲附近的博蒙-德洛馬涅；1665年1月12日卒于法國卡斯特爾．數(shù)學(xué)． 費馬出身于皮革商人家庭，他的祖父、父親、叔父都從事商業(yè)．他的父親多米尼克(Dominique Fermat)還是當?shù)氐诙?zhí)政官，經(jīng)辦了一個生意興隆的皮革商行．他的母親克拉麗·德·朗(Claire de Long)曾在長袍貴族議會中任職．費馬于1631年6月1日和他母親的堂妹路易絲·德·朗(Louise de Long)結(jié)婚，生育了兩個兒子和三個女兒． 費馬的童年和少年時代是在波蒙特渡過的，在家鄉(xiāng)上完中學(xué)后，可能進入了圖盧茲大學(xué)．17世紀20年代的后期他曾在波爾多(Bordeaux)度過了相當長的一段時間，就在這一時期他對數(shù)學(xué)發(fā)生了興趣，深入地研究過F．韋達(Viète)的著作．費馬在1631年5月1日獲奧爾良(Orleans)大學(xué)民法學(xué)士學(xué)位． 費馬以律師為職業(yè)，曾任圖盧茲議會的議員，并享有長袍貴族的特權(quán)．他不但有豐富的法律知識，而且是一個博覽群籍、識多見廣的學(xué)者．雖然數(shù)學(xué)只不過是他的業(yè)余愛好，但他精通法語、意大利語、西班牙語、拉丁語、希臘語，從而使他不僅能精心研究韋達的著作，而且能深入鉆研那些古典的數(shù)學(xué)著作．例如，阿基米德(Archimedes)、阿波羅尼奧斯(Apollonius)、丟番圖(Diophantus)、帕普斯(Pappus)等人的作品，在下述幾個數(shù)學(xué)分支中做出了極為重要的貢獻：他在研究幾何的過程中發(fā)現(xiàn)了解析幾何的原理；他是微積分的先驅(qū)者；他和B．帕斯卡(Pascal)共同開創(chuàng)了概率論的早期研究；他是近代數(shù)論的開拓者． 他和R，笛卡兒(Descartes) 分享創(chuàng)立解析幾何的殊榮 費馬對于曲線的探討，是從研究古希臘的幾何學(xué)家，特別是研究阿波羅尼奧斯的成果開始的．他力圖把阿波羅尼奧斯關(guān)于軌跡的某些久已失傳的證明補充起來，為此他寫了篇幅不大的《平面和立體的軌跡引論》(Ad locos planos et solidos)一書．這本著作可能在1629年左右編成，但直到1679年才出版問世．他說他試圖開展關(guān)于軌跡的一般性研究，這種研究是希臘人沒有做到的． 從費馬的《平面和立體的軌跡引論》和他在1636年與G．P．羅貝瓦爾(Roberval)等人的通信中，可以看出他在笛卡兒發(fā)表《幾何學(xué)》(La géome-trie，1637)之前，就已發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理，發(fā)現(xiàn)了用代數(shù)方程表示曲線的方法：他取一條水平的直線作為軸，并在此直線上確定一個點作為原點．他考慮任意曲線和它上面的一般點M(圖1)．點M的位置用兩個字母A，E來確定，A表示從原點O沿軸線 費馬所用的坐標實際上是我們所說的傾斜坐標，但是y軸沒有明顯地出現(xiàn)，而且不用負數(shù)．他的A，E就是我們的x，y．費馬清楚地敘述了他的一般原理：“只要在最后的方程里出現(xiàn)了兩個未知量，我們就得到一條軌跡，這兩個量之一，其末端就繪出一條直線或曲線．”圖中對于不同位置的E，其末端M，M1，M2，…就把這條“線”描繪出來．費馬的未知量A和E，實際上是變數(shù)，或者可以說，聯(lián)系A(chǔ)和E的方程是不確定的．在這里，費馬采用韋達的辦法，讓一個字母代表一類的數(shù)，然后寫出聯(lián)系A(chǔ)和E的各種方程，并指明它們所描繪的曲線．例如，他寫出“D in A aequetur B in E”(用我們的記號就是Dx=By)，并指明這代表一條直線．他還給出了(以下用我們今天的符號)：d(a-x)=by代表一條直線；a2-x2=y2是圓的方程；a2-x2=ky2是橢圓方程；a2+x2=ky2是雙曲線方程；xy=a是雙曲線方程，x2=ay是拋物線方程．應(yīng)該指出，因費馬不用負坐標，他的方程不能像他所說的代表整個曲線，但他確實領(lǐng)會到坐標軸可以平移或旋轉(zhuǎn)，因為他給出一些較復(fù)雜的二次方程，并給出它們的簡化形式．例如，他曾指出d2+xy=bx+sy是雙曲線．費馬既把圓錐曲線看成圓錐的平截線，也看成為平面軌跡和二次方程的圖象．他在《求最大值和最小值的方法》(Methodus addisquirendam maximam et minimam，1637)中引進了曲線y= xn和y=x-n．他在1643年的一封信里，還簡短地描述了他的三維解析幾何的思想．他第一個把三元方程應(yīng)用于空間解析幾何．他還談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面，并指出作為平面曲線論的頂峰，應(yīng)該研究曲面上的曲線．“這個理論，有可能用一個普遍的方法來處理．我有空閑時將說明這個方法．”盡管費馬對三維解析幾何未能給出一個幾何框架，但他卻為它提供了一個代數(shù)基礎(chǔ)．在1650年的一篇文章“新型二階或高階方程分析中的指標問題”(Novus secundarum et ulterioris ordinis radicumin analyticis usue)里，他指出，一個自變量的方程決定點的作圖，二個自變量的方程決定平面曲線的軌跡的作圖，三個自變量的方程決定空間中曲面的軋跡的作圖． 當?shù)芽▋旱摹稁缀螌W(xué)》出版之際，費馬曾對書中所提出的曲線分類理論提出異議，并指出書中不應(yīng)該刪去極大值和極小值，曲線的切線，以及立體軌跡的作圖法．他認為這些內(nèi)容是所有幾何學(xué)家值得重視的．為此，他們曾進行過激烈的爭論．但冷靜下來之后，態(tài)度便逐漸緩和．費馬在1660年的一篇文章里，既開誠布公地指出笛卡兒《幾何學(xué)》中的一個錯誤，又誠摯地說出，他很佩服笛卡兒的天才． 費馬和笛卡兒研究解析幾何的方法是大相徑庭的，表達形式也迥然不同：費馬主要是繼承了希臘人的思想．盡管他的工作比較全面系統(tǒng)，正確地敘述了解析幾何的基本原理，但他的研究主要是完善了阿波羅尼奧斯的工作．因此古典色彩很濃，并且沿用了韋達以字母代表數(shù)類的思想，因此需要讀者對韋達的代數(shù)知識了解甚多．而笛卡兒則是從批判希臘的傳統(tǒng)出發(fā)，斷然同這種傳統(tǒng)決裂，走的是革新古代方法的道路．他的方法更具一般性，也適用于更廣泛的超越曲線．費馬是從方程出發(fā)來研究它的軌跡；而笛卡兒則從軌跡開始建立它的方程．這正是解析幾何中一個問題的正反兩種提法．但各有側(cè)重，前者是從代數(shù)到幾何，而后者是從幾何到代數(shù)．從歷史的發(fā)展看，后者更具有突破性． 他是微積分學(xué)的先驅(qū)者之一 關(guān)于微積分方法的創(chuàng)立，I．牛頓(Newton)曾經(jīng)說過：“我從費馬的切線作法中得到了這個方法的啟示，我推廣了它，把它直接地并且反過來應(yīng)用于抽象的方程，” 對光學(xué)的研究特別是透鏡的設(shè)計，促使費馬探求曲線的切線．他在1629年就找到了求切線的一種方法，但遲后八年發(fā)表在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中，他的方法要點如下： 設(shè)PT是曲線在點P處的切線(圖2)，TQ的長叫次切線．費馬的方案是求出PQ的長度，從而知道T的位置，最后就能作出TP． 設(shè)QQ1是TQ的增量，長度為E．因為△TQP∽△PRT1，所以 TQ∶PQ=E∶T1R 但是，費馬說，T1R和P1R的長度差不多；因此 TQ∶PQ=E∶(P1Q1-QP)， 用現(xiàn)在的符號，若令PQ為f(x)，則有 TQ∶f(x)=E∶[f(x＋E)-f(x)]． 因此， 費馬對上式的處理是：用E除右端分式的分子和分母，然后令E=0(他說是去掉E項)，就得到TQ．這就是費馬通過次切線TQ求表達式 費馬把韋達的代數(shù)理論應(yīng)用到帕普斯《數(shù)學(xué)論題》(Mathema-tical collection)中的一個問題，便得到了求最大值最小值方法．他在《求最大值和最小值的方法》中曾用如下的一個例子加以說明：已知一條直線(段)，要求出它上面的一點，使被這點分成的兩部分線段組成的矩形最大．他把整個線段叫做B，并設(shè)它的一部分為A．那么矩形的面積就是AB-A2．然后他用A＋E代替A，這時另外一部分就是B-(A＋E)，矩形的面積就成為(A＋E)(B-A-E)．他把這兩個面積等同起來，因為他認為，當取最大值時，這兩個函數(shù)值——即兩個面積應(yīng)該是相等的．所以 AB＋EB-A2-2AE-E2=AB-A2． 兩邊消去相同的項并用E除，便得到 B=2A+E． 然后令E=0(他說去掉E項)，得到B=2A．因此這矩形是正方形． 費馬認為這個方法有普遍的適用性．他說：如果A是自變量，并且如果A增加到A＋E，則當E變成無限小，且當函數(shù)經(jīng)過一個極大值(或極小值)時，函數(shù)的前后兩個值將是相等的．把這兩個值等同起來；用E除方程，然后使E消失，就可以從所得的方程，確定使函數(shù)取最大值或最小值的A值．這個方法實質(zhì)上是他用來求曲線切線的方法．但是求切線時是基于兩個三角形相似；而這里是基于兩個函數(shù)值相等． 遺憾的是，費馬對于他的方法從來未從邏輯上作過清楚和全面的解釋，因此對于他究竟是怎樣考慮這個問題的，一些數(shù)學(xué)史專家曾產(chǎn)生過爭論．費馬沒有認識到有必要去說明先引進非零E，然后用E通除之后，令E=0的合理性． 但從這里我們可以看出，費馬這種求極值的方法已非常接近微分學(xué)的基本觀念了．如果用現(xiàn)代的記號他的規(guī)則可以表述如下： 欲求f(x)(費馬先取個別的整有理函數(shù))的極值．先把表達式 零，再求出方程的根，便是可能使f(x)具有極值的極值點．他的方法給出了(可微函數(shù)的)極值點x所能滿足的必要條件f′(x)=0．費馬還有區(qū)分x為極大值點和極小值點的準則，即現(xiàn)在所謂的“二階導(dǎo)數(shù)準則”(f″(x)＜0有極大，f″(x)＞0有極小)，盡管他沒能系統(tǒng)地去研究拐點(f″(x)=0)，但也得到了求拐點的一種法則． 費馬還用類似的方法，研究過求拋物體截段重心的問題．他的方法要點如下：設(shè)截段的重心O和頂點的距離為a個單位．將截段的高度h減小E，則重心的位置改變．費馬由一系列的引理，知道兩個截段的重心與頂點的距離與其高成正比，而兩截段體積與其高的平方成正比例，通過對O取瞬，他能用這些事實列出包含a，h和E的“虛擬等式”．根 微積分史上的重要性，在于它第一次采用相當于今天微分學(xué)中的方法，而不是像積分學(xué)中求和的方法，求出了重心． 費馬早在1636年之前在計算拋物線y=xn(n為正整數(shù))的面積時，以等距離的縱標把面積分成窄長條，然后依據(jù)不等式 +(m-1)n 大約在1644年，他在橫坐標做成幾何級數(shù)的那些點上引出縱坐標，而把他自己的結(jié)果推廣到n為分數(shù)與負數(shù)的情形；同時那些近似于ydx的長條的面積組成容易求和的幾何級數(shù)．經(jīng)過求極限即得費馬的結(jié)果，這些 這樣就指出了它與對數(shù)性質(zhì)的關(guān)系． 費馬還得出了一個求半立方拋物線長度的方法．這個方法也是他的一般方法的典型說明，展示出在他各個方面工作中的內(nèi)在聯(lián)系，對曲線上橫坐標OQ=a，縱坐標PQ=b的任一點，次切線TQ=c可以用他的切線 縱坐標P1Q1，則線段PP1可用a和E來表達．對 但在切線上，而且也在曲線上，所以曲線的長度可以視為PP1的線段的和．而這些線段的和又可以作為在拋物線 之下的面積．由于這個面積已能求出，曲線的長度就可以求得． 費馬還用自己的方法處理了許多幾何問題，例如，求球的內(nèi)接圓錐的最大體積、球的內(nèi)接圓柱的最大面積等等． 奇怪的是，費馬在應(yīng)用他的方法來確定切線、求函數(shù)的極大值極小值以及求面積、求曲線長度等問題時，能在如此廣泛的各種問題上從幾何和分析的角度應(yīng)用無窮小量，而竟然沒有看到這兩類問題之間的基本聯(lián)系．其實，只要費馬對他的拋物線和雙曲線求切線和求面積的結(jié)果再加仔細地考察和思考，是有可能發(fā)現(xiàn)微積分的基本定理的．也就是說費馬差一點就成為微積分的真正發(fā)明者．以致J．L．拉格朗日(Lagrange)說：“我們可以認為費馬是這種新計算的第一個發(fā)明人．”P．S．拉普拉斯(Laplace)和J．傅里葉(Fourier)也有類似的評論．但S．D．泊松(Poisson)持有異議，認為費馬還沒達到如此高的境界．因為費馬不但沒有認識到求積運算是求切線運算的逆運算，并且費馬終究未曾指出微分學(xué)的基本概念——導(dǎo)數(shù)與微分；也未曾建立起微分學(xué)的算法．他之所以沒有作進一步的考慮，可能是由于他以為自己的工作只是求幾何問題的解，而不是統(tǒng)一的很有意義的一種推理過程．在他看來，他的求最大值、最小值方法，切線方法以及求面積方法不過是解決這些具體問題的特有方法，而不是新的分析學(xué)．但是他的思想和方法對后來微積分學(xué)的建立奠定了重要的基礎(chǔ)． 他和帕斯卡共同對概率論進行了最早的科學(xué)探索 雖然16世紀概率論已有了某些萌芽，例如H．卡爾達諾(Cardano)曾經(jīng)對機會對策中產(chǎn)生的一些問題感到過興趣，但首先試圖把這些方法歸納和抽象成一種法則的，還應(yīng)歸功于費馬和帕斯卡．而激勵他們倆人認真對待這項研究的起因，卻來自一個賭博者的請求． 1654年法國騎士C．梅累(Méré)向帕斯卡提出了一個使他苦惱很久的問題：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算贏了，現(xiàn)在一個人贏a(a＜s)局，另一個人贏b(b＜s)局，賭博中止，問賭本應(yīng)怎樣分法才算合理？”這個問題后來稱為“賭點問題”．當帕斯卡接到這個問題后，立刻把它轉(zhuǎn)告了費馬，他們倆人都對這個問題得出了正確的答案，但所用的方法不同．關(guān)于概率論的研究就是這樣開始的．正如對概率論做出了卓越貢獻的法國數(shù)學(xué)家泊松后來所說：“由一位廣有交游的人向一位嚴肅的冉森派教徒所提出的一個關(guān)于機會游戲的問題乃是概率演算的起源．”這個廣有交游的人就是梅累，那位嚴肅的冉森派教徒就是帕斯卡． 當C．惠更斯(Huygens)到巴黎的時候，聽說費馬和帕斯卡在研究這個問題，他也進行了研究，并寫成了《論賭博中的計算》(De Ratiociniis in Ludo Aleoe，1657)一書．從此概率論的研究引起了更多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，特別是為了研究在實踐中碰到的大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，就進一步推動了這一數(shù)學(xué)分支的發(fā)展． 他開辟了近代數(shù)論 費馬對解析幾何、微積分和概率論的開創(chuàng)都做出了重要的貢獻．但最能顯示出他的才華且對后人影響最大的，還是他在數(shù)論方面的工作．在他生命的最后15年里，他幾乎把全副精力放到了對數(shù)論的研究上． 在費馬以前，希臘人也曾研究過數(shù)的性質(zhì)，我們可以從歐幾里得(Euclid)、尼科馬霍斯(Nicomachus)、賽翁(Theon)、丟番圖等人的著作中找到一些關(guān)于數(shù)的性質(zhì)的論述，但是很不系統(tǒng)．這門學(xué)科也曾強烈地吸引過印度人，但是直到費馬仔細閱讀了丟番圖的譯本而把注意力轉(zhuǎn)移到這方面之前，數(shù)論始終不曾有過重大的進展．費馬認為數(shù)論被忽視了．他曾抱怨說幾乎沒有什么人提出或懂得算術(shù)問題，并說：“這是不是由于迄今為止，人們都用幾何觀點而不用算術(shù)觀點來處理算術(shù)的緣故？”他認為甚至連丟番圖也頗受幾何觀點的束縛．他相信算術(shù)有它自己的特殊園地：整數(shù)論． 費馬對數(shù)論的研究是從閱讀丟番圖的著作《算術(shù)》(Arithme-tica)一書開始的，這本書曾被文藝復(fù)興時代的數(shù)學(xué)家譯成許多譯本，他仔細閱讀了由M．巴歇(Bachet)1621年校訂的法文譯本．費馬對數(shù)論的大部分貢獻都批注在這本書頁的邊緣和空白處以及寫給朋友的一些信件中．他主要研究了素數(shù)和整數(shù)的可除性問題并給出了從單個的基本解得到一般形式的解的一些論斷． 費馬在1640年6月致M．梅森(Mersenne)的一封信中提出了下述三個定理： 1．若n是合成數(shù)，則2n-1是合成數(shù)． 2．若n是素數(shù)，則2n-2可被2n除盡． 3．若n是素數(shù)，則除了2kn+1這種形式的數(shù)之外，2n-1不能被其他素數(shù)除盡． 費馬宣稱，這三個定理是他關(guān)于數(shù)的性質(zhì)的研究基礎(chǔ)． 費馬對數(shù)論還提出了下列一些重要定理： 4．費馬斷言沒有一個形如4n+3的素數(shù)能表達為兩個平方數(shù)之和． 5．費馬在他的丟番圖書頁上的側(cè)記中以及在寫給梅森的一封信中，推廣了著名的直角三角形的3，4，5關(guān)系，指出了如下一些定理：形如4n＋1的一個素數(shù)能夠而且只能作為一個直角邊為整數(shù)的直角三角形的斜邊；(4n＋1)的平方是兩個而且只有兩個這種直角三角形的斜邊；它的立方是三個而且只有三個這種直角三角形的斜邊；它的四次方是四個而且只有四個這種直角三角形的斜邊，如此等等，乃至無窮． 他在給梅森的信中還說，形如4n＋1的素數(shù)和它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數(shù)之和；它的三次方和四次方都能以兩種方式表達為兩個平方數(shù)之和；它的五次方和六次方都能以三種方式表達為兩個平方數(shù)之和；如此等等，乃至無窮．他在信中接著說：若等于兩個平方數(shù)之和的一個素數(shù)乘以另一個也是這樣的素數(shù)，則其乘積將能以兩種方式表達為兩個平方數(shù)之和．若第一個素數(shù)乘以第二個素數(shù)的平方，則乘積將能以三種方式表達為兩個平方數(shù)之和；若乘以第二個素數(shù)的立方，則乘積將能以四種方式表達為兩個平方數(shù)之和；如此等等，乃至無窮． 6．費馬給出了關(guān)于將素數(shù)表達為x2+2y2，x2+3y2，x2+5y2，x2-2y2以及其他這種形式的許多定理，它們都是關(guān)于素數(shù)表達為平方和的推廣，并指出一個奇素數(shù)能且只能以一種方式表為兩個平方數(shù)之差． 7．費馬在1640年10月18日寫給B．F．德貝西(de Bessy)的一封信中給出了下述定理：若p是個素數(shù)而a與p互素，則ap-a能為p整除．(后人稱這個定理為費馬小定理．) 8．費馬也研究過多邊形數(shù)，他在那本丟番圖的書的空白處寫下了這樣一個定理：每個正整數(shù)或者本身是一個三角形數(shù)，或者是兩個或三個三角形數(shù)之和；每個正整數(shù)或者本身是個正方形數(shù)，或者是2，3或4個正方形數(shù)之和；每個正整數(shù)或者本身是個五邊形數(shù)，或者是2，3，4或5個五邊形數(shù)之和：以及對較高的多邊形數(shù)的類似關(guān)系． 9．費馬在1636年重新發(fā)現(xiàn)了Q．泰比特(T bitibn)第一個提出的法則，給出了第二對親和數(shù)17，926及18，416(第一對親和數(shù)220及284是畢達哥拉斯(Pythagoras)給出的)． 10．費馬重新發(fā)現(xiàn)了求解x2-Ay2=1的問題，其中A是整數(shù)但非平方數(shù)．他在1657年2月寫給德貝西的一封信中提出一個定理：x2-Ay2=1在A是正數(shù)而非完全平方時有無窮多個解．費馬還指出：對于給定的A和B，x2-Ay2=B在什么情況下可解，并能把它解出來． 費馬對上述這些定理都沒有給出證明，有的也只是略述大意，補充這些定理的證明曾強烈的吸引著18世紀許多數(shù)學(xué)家． 費馬在數(shù)論中還提出過其他一些定理．他提出的所有定理，除了下述兩個定理以外，都已被后來的人證明是正確的，這兩個定理是： (i)費馬1640年在一封信中說，形如22n+1(n=0，1，2，…)的數(shù)都是素數(shù)，他自己驗證了當n=0，1，2，3，4時，22n＋1確實都是素數(shù)，但他承認他還不能給出普遍的證明．后來L．歐拉(Euler)證明了當n=5時，即22+1不是素數(shù)．而且，直到今天再沒有發(fā)現(xiàn)其他22n＋1型的素數(shù)．從而說明費馬這個猜想是錯誤的． (ii)費馬于1637年左右，他在巴歇校訂的丟番圖的《算術(shù)》第二卷第八命題——“將一個平方數(shù)分為兩個平方數(shù)”的旁邊寫道：“相反，要將一個立方數(shù)分為兩個立方數(shù)，一個四次冪分為兩個四次冪，一般地將一個高于二次的冪分為兩個同次的冪，都是不可能的，對此，我確信已發(fā)現(xiàn)一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小寫不下．”這就是數(shù)學(xué)史上著名的費馬大定理或稱費馬最后定理．這個定理可用現(xiàn)代的術(shù)語簡述如下： 不可能有滿足 xn＋yn=zn，xyz≠0，n＞2的整數(shù)x，y，z，n存在． 費馬逝世后，人們一直未找到他對這個定理的證明，于是激起了許多數(shù)學(xué)家試圖證明這個定理．例如：歐拉、A．M．勒讓德(Legendrd)、 C．F．高斯(Gauss)、N．H．阿貝爾(Abel)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、G．拉梅(Lame)、A．L．柯西(Cauchy)、E．E．庫默爾(Kummer)等著名數(shù)學(xué)家都試證過，并得到了部分結(jié)果，但都沒有得到普遍的證明．為此，布魯塞爾科學(xué)院、巴黎科學(xué)院曾設(shè)獎金懸賞征集這個問題的證明，也沒得到結(jié)果．1908年，數(shù)學(xué)家F．沃爾夫斯克爾(Wolfskehl)在格丁根皇家科學(xué)會懸賞十萬馬克，贈給最先證明這個定理的人．盡管許多跡象都說明費馬最后定理可能是成立的，但至今依然沒有得到完全的證明．因此，費馬是否真對這一問題作出正確的證明，也許將永遠是個謎，不過從他提出的許多定理的絕大多數(shù)都被后來的人證明是正確的這一事實來看，費馬確實具有一種直觀的天才和非凡的洞察力． 1879年，在萊頓圖書館惠更斯的手稿中發(fā)現(xiàn)一篇論文，其中介紹了由費馬首創(chuàng)和應(yīng)用的“無窮下推法”(the method of infinitedescent)．在1659年，費馬曾將這個方法的梗概寫信告訴過他的朋友P．卡爾卡維(Carcavi)．為了描述這個方法，我們先來考察費馬在1640年12月25日給梅森的信中所提出的一個定理：每一個形如4n＋1的素數(shù)，能唯一的分解為兩個平方數(shù)之和．例如17=42+1，29=52+22．應(yīng)用這個方法時，先假設(shè)形如4n+1的素數(shù)并不具有所述性質(zhì)，我們要證明形如4n＋1的一個較小素數(shù)也不具有所述性質(zhì)．由于n是任意的，所以還必需有一個更小的，這樣通過n的整數(shù)值往下遞推，就必定能推到n=1，從而推到素數(shù)4×1＋1=5也不該具有所述性質(zhì)．但素數(shù)5是能唯一分解為兩個平方數(shù)的和的，這就和假定相矛盾，因而每一個形如4n＋1的素數(shù)都能唯一分解為兩個平方數(shù)之和．費馬還說他用“無窮下推法”證明了下述定理：邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個平方數(shù)．這個概括的證明是他唯一詳細寫出的證明，而且是作為x4＋y4=z4不可能有整數(shù)解的一個推論得出的，他還聲稱他用“無窮下推法”證明了上述命題8和命題10． 但后人一直未找到他是怎樣具體用“無窮下推法”證明的細節(jié)，不過他提出的上述一些命題卻被歐拉、拉格朗日、柯西等用他首創(chuàng)的“無窮下推法”或其他方法證明確實是正確的． 費馬在數(shù)論中提出的命題，都以極大的魅力吸引了許多后來的數(shù)學(xué)家去研究它們，從而推動了19世紀數(shù)論理論的發(fā)展和數(shù)論研究方法的產(chǎn)生．例如，庫默爾在企圖證明費馬最后定理時，就創(chuàng)立了理想數(shù)論．另外費馬的成果對現(xiàn)代代數(shù)學(xué)基本概念的明確闡述也起到了推動作用． 他對光學(xué)做出了重要貢獻 費馬同他那個世紀的其他數(shù)學(xué)家一樣，他研究過許多科學(xué)問題，特別對光學(xué)做出過重要貢獻． 費馬在1637年看到笛卡兒的《折光》(La dioptrique)中給出的折射定律 其中v1是光線在第一介質(zhì)中的速度，v2是光進入第二介質(zhì)的速度(圖4)．他對這個定律及其證明方法都持懷疑和反對的態(tài)度，并曾引起他們倆人之間長達十年之久的爭論．但后來費馬發(fā)現(xiàn)反射時光線取需時最少的路徑，而且相信自然確實是按簡單而又經(jīng)濟的方式行動的，在1657年和1662年的信件中，他確認了他的最小時間原理——光線永遠取花時間最少的路徑行進．當他在1661年發(fā)現(xiàn)他能夠從他的原理導(dǎo)出光的折射定律時，他不但解除了對笛卡兒的折射定律的懷疑，而且更加確信自己的原理的正確性． 費馬的原理現(xiàn)在數(shù)學(xué)上有幾種等價陳述形式．按照拆射定律 常用n表示v1對v2之比，叫做第二種介質(zhì)相對于第一種介質(zhì)的折射率；如果第一種介質(zhì)是真空，則n叫做非真空介質(zhì)的絕對折射率，如果c表 的速度．如果介質(zhì)的特點是逐點變化的，則n和v都是x，y和z的函數(shù)．因此光線沿著曲線x(σ)，y(σ)，z(σ)從點P1行進到點P2所需的時間為 其中σ1是σ在P1的值而σ2是σ在P2的值．因此費馬原理認為：光線從P1行進到P2所取的實際路徑是使J取極小的曲線． 費馬發(fā)現(xiàn)的這個最小時間原理及其與光的折射現(xiàn)象的關(guān)系，是走向光學(xué)統(tǒng)一理論的最早一步． 費馬性情謙抑，好靜成癖．他對數(shù)學(xué)的許多研究成果，往往以沒有給出證明的斷言寫在他閱讀過的書籍的邊緣或空白處，或者寫在給朋友的一片信箋中，也有一些是散放在舊紙堆里的．他從未想出版，而且固執(zhí)地拒絕編輯他的文章或以他的名字發(fā)表．他曾多次阻止過別人把他的結(jié)果付?。麑σ淹瓿傻墓ぷ鞑辉俑信d趣，所以常常很隨便地將自己的文章送給朋友而不留底稿．費馬在生前也發(fā)表過幾篇文章，但都是在他要求匿名的條件下發(fā)表的，并且要求勿需做詳細明瞭的解釋．他的匿名以及拒絕發(fā)表不但使他當時研究的成就無緣揚名于世，并且使他暮年脫離了研究的主流．直到他去世后，后人[其中包括他的大兒子克萊門特·塞繆爾(Clément Samule)]才把他的成果匯集成書，共兩卷，先后于1670年和1679年在圖盧茲出版．第一卷有丟番圖的算術(shù)，帶有校訂和注解；第二卷包括拋物形求面積法，極大極小及重心的論述和各類問題的解答．還有球切面、曲線求長的討論．另外就是他和笛卡兒、帕斯卡、羅伯瓦、梅森、惠更斯等人的通信錄．這本書后來罕見于世，直到1853年E．布拉興(Brassinne)重新加以注釋，才在巴黎出版．18世紀，費馬還不太有名，但進入19世紀中葉，由于對數(shù)論的重新研究，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史專家對費馬及其著作都產(chǎn)生了濃厚的興趣，世人也爭先發(fā)表和研究費馬的著作，其中尤以查爾斯·亨利(Cherles Henry)和保羅·坦納(Paul Tannery)的四卷論文集最為全面．從這四卷文集中可以清晰而具體地看出費馬對數(shù)學(xué)和光學(xué)所做出的廣泛而重要的貢獻． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
