|
馮·諾伊曼 李旭輝 (華東師范大學) 馮·諾伊曼，J．(von Neumann，John)1903年12月28日生于匈牙利布達佩斯；1957年2月8日卒于美國華盛頓．數(shù)學、物理學、計算機科學． 馮·諾伊曼出生于猶太人家庭．父親麥克斯·馮·諾伊曼(Max von Neumann)是位富有的銀行家． 1913年，奧匈帝國皇帝弗朗西斯·約瑟夫一世(Franz Joseph I)授予麥克斯貴族的封號，諾伊曼家族的姓中便有了“von”字． 馮·諾伊曼自幼受到良好的教育．父親特地聘請了家庭教師，向他系統(tǒng)傳授數(shù)學、外語、歷史和自然常識，而他很早就顯示出超人的記憶力和理解力．傳說他6歲能心算8位數(shù)除法，8歲掌握了微積分，12歲時還學習了E．波萊爾(Borel)的《函數(shù)論教程》(Lecons sur la th orie des fonctions)． 第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)的1914年，馮·諾伊曼剛滿10歲，被送入大學預科學習．他的過人才智引起了老師L．瑞茲(Ratz)的注意，瑞茲覺得讓馮·諾伊曼接受傳統(tǒng)的中學教育是在浪費時間，應該對他進行專門的數(shù)學訓練，使其天才得到充分發(fā)展．瑞茲把馮·諾伊曼推薦給布達佩斯大學的J．屈爾沙克(K rschak)教授，屈爾沙克則安排助教M．費克特(Fekete)擔任了他的家庭輔導工作．他發(fā)表的第一篇論文，便是在不到18歲時與費克特合寫的，推廣了切比雪夫(Чеъыдев)多項式求根的費耶爾(Fej r)定理．1921年他通過中學生畢業(yè)考試時，已被公認為前途遠大的數(shù)學新秀． 這之后的四年，馮·諾伊曼先后在柏林大學和瑞士蘇黎世的同業(yè)高等技術學院攻讀化學，同時保留著布達佩斯大學數(shù)學系的學籍．每學期末，他都要從歐洲趕回布達佩斯，探望家人并參加數(shù)學考試．1925年和1926年春，他先后獲得了蘇黎世的化學工程學位和布達佩斯大學的數(shù)學博士學位． 在柏林，馮·諾伊曼參加過A．愛因斯坦(Einstein)關于統(tǒng)計力學的講座并跟隨E．施密特(Schmidt)學習；在蘇黎世，他與H．外爾(Weyl)和G．波利亞(P lya)都有過密切接觸．馮·諾伊曼曾說，對他早年學術思想影響最大的數(shù)學家，便是外爾和施密特． 他還數(shù)次前往格丁根大學，拜訪大數(shù)學家D．希爾伯特(Hi－lbert)．他被希爾伯特的量子力學和證明論深深吸引住了．希爾伯特也非常賞識這位年輕學者，1926年初他尚未拿到博士學位時，希爾伯特就設法為他謀到了格丁根大學的訪問學者資格． 1927—1929年，馮·諾伊曼被聘為柏林大學的義務講師，其間在集合論、代數(shù)學和量子理論方面取得了大量研究成果，受到數(shù)學界的矚目．1929年他轉入漢堡大學任義務講師．經(jīng)外爾推薦，他于1930年以客座講師的身份來到美國普林斯頓大學數(shù)學系，第二年成為該系終身教授．這樣，他每年有一半時間生活在歐洲，另一半則在美國度過． 1933年，高級研究院在普林斯頓成立．馮·諾伊曼從一開始便受聘擔任研究院的數(shù)學物理終身教授，年僅29歲，是院內(nèi)最年輕的教授．他在1937年取得了美國公民權． 當時，世界經(jīng)濟正處于大蕭條時期，戰(zhàn)爭的陰云籠罩著歐洲，而普林斯頓卻成為數(shù)學和物理學精英云集之地．在濃厚的學術氣氛和安定的生活中，馮·諾伊曼一直全身心地從事著研究工作．1932年，他從數(shù)學上總結了量子力學的發(fā)展，出版《量子力學的數(shù)學基礎》(Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik)一書，同時推出了著名的弱遍歷定理．1937年他發(fā)表關于算子環(huán)的理論，還確立了連續(xù)幾何學．希爾伯特第五問題的部分解決，也是他在這個時期的主要成就之一． 1930年。馮·諾伊曼與M·柯維斯(Kovèsi)結婚，女兒瑪麗娜(Marina)在1935年出生．兩年后，他們的婚姻破裂．1938年夏，馮·諾伊曼回布達佩斯講學、探親，與克拉拉·丹(KlaraDan)結婚并于年底一起來到了普林斯頓．克拉拉后來成為首批為計算機編制數(shù)學問題碼的學者之一． 第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后，馮·諾伊曼的科學生涯發(fā)生了轉折．1940年，他被阿伯丁彈道實驗研究所聘為科學顧問，1941年受聘任海軍兵工局顧問．從1943年底起，他又以顧問身份參加了洛斯阿拉莫斯研究所的工作，指導原子彈最佳結構的設計，探討實現(xiàn)大規(guī)模熱核反應的方案．在數(shù)學上，除了解決各種數(shù)值計算問題外他的最重要成就是1944年正式創(chuàng)立了對策論和現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟學． 大戰(zhàn)后期，他轉向電子計算機的研究．1944年夏，他參觀了尚未竣工的第一臺電子計算機ENIAC，并參加了為改進計算機性能而舉行的一系列專家會議．此后一年里，他提出電子計算機及程序設計的嶄新思想，制訂出兩份全新方案——EDVAC機方案和IAS機方案．1951年，IAS機研制成功，證明了他的理論的正確性． 大戰(zhàn)結束后，馮·諾伊曼擔任高級研究院計算機研究所所長，同時繼續(xù)在美國海軍武器實驗室等軍事機關中服務．1954年10月，他被任命為美國原子能委員會委員，便于次年辭去了在高級研究院的職務，由工作、生活了23年的普林斯頓遷居到華盛頓． 從40年代末直到逝世前，馮·諾伊曼還集中研究了自動機理論，包括對各種人造自動機和天然自動機的比較，解決自動機的自適應、自繁殖和自恢復等問題．1951年發(fā)表“自動機的一般邏輯理論”(The general and logical theory of automata)，開辟了計算機科學的一個新領域，并為以后人工智能的研究奠定了基礎． 1955年夏，馮·諾伊曼被確診患有骨癌，病情迅速惡化．他在輪椅上堅持進行思考、寫作，參加學術會議，還為耶魯大學準備了希利曼(Hilliman)講座的講稿．1957年2月8日，他在華盛頓陸軍醫(yī)院與世長辭，享年53歲． 馮·諾伊曼一生擔任過許多科學職位，獲得了眾多榮譽，最主要的有：1937年獲美國數(shù)學會博歇(B cher)獎；1947年獲美國數(shù)學會吉布斯(Gibbs)講師席位，并得到功勛獎章(總統(tǒng)獎)；1951—1953年任美國數(shù)學會主席；1956年獲愛因斯坦紀念獎及費米(Fermi)獎． 他發(fā)表的學術論文共有150余篇，全部收錄在1961年珀格蒙出版社出版的《馮·諾伊曼文集》(Collected works of John vonNeumann)中．其中60篇是純粹數(shù)學方面的，60篇關于應用數(shù)學，20篇屬于物理學．馮·諾伊曼以其超人的才思和豐碩的學術成果，成為一代科學巨匠． 純 粹 數(shù) 學 馮·諾伊曼在純粹數(shù)學方面的工作集中于1925—1940年，主要可分為以下六個方向。 1．集合論與數(shù)學基礎 本世紀初，為了克服悖論給G．康托爾(Cantor)集合論帶來的困難，并系統(tǒng)整理康托爾的理論與方法，人們開始致力于公理化方法的研究．1908年，出現(xiàn)了兩個著名的公理系統(tǒng)：E．策梅羅(Zermelo)的系統(tǒng)[后由A．弗倫克爾(Fraenkel)和A．斯科朗(Skolem)修改補充，成為ZF公理系統(tǒng)]和B．羅素(Russell)的類型論． 馮·諾伊曼很早就對集合論問題感興趣．1923年還在蘇黎世就讀期間，他發(fā)表了自己的第二篇論文“超窮序數(shù)引論”(Zur Einf hrung der transfiniten Ordnungszahlen)，力圖將康托爾的序數(shù)概念“具體化、精確化”．在康托爾的定義中，序數(shù)是良序集的序型，而根據(jù)ZF公理系統(tǒng)，序型的存在性是無法證明的．馮·諾伊曼借助于ZF公理系統(tǒng)中初始截斷的概念和無窮公理，給出了序數(shù)及超限序數(shù)形式化的新定義，這種定義一直沿用至今． 此后六七年中，他積極傳播公理化的思想，并試圖建立更具形式化和精確性的公理系統(tǒng)．1923年，他向德國《數(shù)學雜志》(Ma－thematische Zeitschrift)編輯部提交了長篇論文“集合論的公理化”(Die Axiomatisierung der Mengenlehre)，施密特代表編輯部把論文推薦給集合論方面的權威弗倫克爾．經(jīng)過與弗倫克爾詳盡地探討，馮·諾伊曼根據(jù)原文寫出一篇介紹性文章“集合論的一種公理化”(Eine Axiomatisierung der Mengenlehre)，于1925年發(fā)表． “集合論的公理化”后來成為馮·諾伊曼的博士畢業(yè)論文．它所建立的公理體系經(jīng)P．貝爾納斯(Bernays)和K．哥德爾(G del)完善之后，形成了公理化集合論中又一新的系統(tǒng)——NBG系統(tǒng)． NBG系統(tǒng)不像ZF系統(tǒng)那樣，把集合與從屬關系作為原始概念，并采取限制集合產(chǎn)生的辦法來達到排除悖論的目的，也不同于類型論中以集合與層次的語言描述集合體系．它的特點是在“集合”與“屬于”之外，引入了“類”作為不定義概念，比集合的概念更具概括性．類分為集合和真類，規(guī)定真類不能作為類的元素．這樣，就排除了由“所有集合的集合”產(chǎn)生悖論的可能性． 與ZF公理系統(tǒng)相比，NBG系統(tǒng)保留了更多、更有用的論證方法．而且在ZF系統(tǒng)中，包含著由無窮多條公理組成的公理模式，NBG系統(tǒng)則不含公理模式，是一有窮公理系統(tǒng)，有著如同初等幾何公理那樣簡單的邏輯結構，這是它最主要的優(yōu)點． 現(xiàn)已證明，NBG系統(tǒng)是ZF系統(tǒng)的擴充．哥德爾在證明選擇公理與連續(xù)統(tǒng)假設同其他公理的相容性時，就受到了NBG系統(tǒng)的啟發(fā)．到今天，NBG系統(tǒng)仍是集合論最好的基礎之一． 與集合論公理化的工作相適應，馮·諾伊曼在20年代后期參與了希爾伯特的元數(shù)學計劃．1927年的文章“關于希爾伯特的證明論“(Zur Hilbertschen Beweistheorie)對數(shù)學形式主義的基本概念進行了闡釋．它指出，希爾伯特元數(shù)學計劃所提出的各種問題，雖經(jīng)希爾伯特本人及貝爾納斯、W．阿克曼(Ackermann)等人的努力而有所進展，但從總體上而言仍未得到令人滿意的解決．尤其是阿克曼關于自然數(shù)論無矛盾性的證明，不能在古典分析中實現(xiàn)． 1931年，哥德爾不完全性定理提出之后，希爾伯特計劃的完全實現(xiàn)落空了．對此，馮·諾伊曼并未感到過分驚奇，因為早在1925年發(fā)表的“集合論的一種公理化”中，他便隱約地預見到哥德爾的結論：任一形式化體系中都存在著本系統(tǒng)內(nèi)無法判定的命題．原文的最后一句話是：“暫時，除了陳述集合論本身的缺陷外，我們還能做什么呢？沒有一種已知的方法可以避免其中的困難．”他認為，“由哥德爾的結果應當引出一條新的途徑，去理解數(shù)學形式主義的作用，而不應把它當作問題的結束．”他本人對數(shù)學基礎保持著長久的興趣，并在后期關于計算機邏輯設計和機械化證明中得到體現(xiàn)． 2．測度論 測度論在馮·諾伊曼的整個研究工作中并非處于中心地位，但他給出了許多很有價值的方法和結果． 在1929年的“一般測度理論”(Zur allgemeinen Theorie desMasses)一文中，馮·諾伊曼對群的子集討論了有限可加測度．n維歐氏空間Rn中的“測度問題”是：Rn的冪集上，是否存在一非負、正規(guī)化且關于剛體運動不變的可加集函數(shù)？F．豪斯多夫(Hau－sdorff)和S．巴拿赫(Banach)證明：測度問題在n為1和2時有無窮多個解，在其他情況下無解．這個結論給人的感覺是：當維數(shù)由2變?yōu)?時，空間的特性發(fā)生了根本的、難以捉摸的變化．馮·諾伊曼則指出，問題在本質上是屬于群論的，造成性質差異的根源在于群的變化而非空間的變化．探討測度問題的可解性，需要用到群的可解性這一代數(shù)概念． 他繼續(xù)運用群論的思想，分析了豪斯多夫-巴拿赫-塔爾斯基(Tarski)悖論：Rn(n≥3)中兩個不同半徑的球，可以分別被分解為有限個互不相交的不可測子集，使兩球的子集間可建立起兩兩全等的關系(在n為1或2時，這種分解不存在)．他解釋說，這是因為在n為3或更大時，正交群包含著自由非阿貝爾(Abel)群，而在小于3時則不然． 這樣，測度問題便從Rn推廣到了一般的非阿貝爾群．而巴拿赫關于R2的一切子集使用同一測度的可能性被證明對阿貝爾群的所有子集也成立．最后，他得出結論：所有可解群都是可測度的(即某種測度能夠引入到可解群上)． 這篇文章屬于最早將集合論的結果從歐氏空間推廣到更一般的代數(shù)和拓撲結構中去的工作之一．從那時起，這種思想方法開始受到了更廣泛的重視． 同一時期，匈牙利數(shù)學家A．哈爾(Haar)提出這樣一個問題：在Rn中是否有一種挑選可測子集的方法，使得每個子集均與給定的集合等價，并且選擇過程保持有限集運算？馮·諾伊曼給出了肯定的回答，并把結論推廣到可測函數(shù)的情形．這成為解決測度分解問題的出發(fā)點．1935年，他還與M．斯通(Stone)合作，討論了更一般的問題：A是一布爾代數(shù)，M為A的理想，何時存在A的子代數(shù)，使A到A／M的映射限制在子代數(shù)上時為同構？他們給出了存在性的各種充分條件． 另一成果是他在1934年對緊致群證明了哈爾測度的唯一性(在相差常數(shù)因子的意義下)．證明過程中構造了緊致群上連續(xù)函數(shù)的“不變平均”(invariant means)，用到不同于哈爾的方法來引進測度：以光滑測度m′代替給定的左不變測度m，m′由下式定義： 其中ω為適當?shù)臋嗪瘮?shù)．m′不但具有m的所有性質，且具有右零不變性．這些方法在后來他與S．博赫納(Bochner)研究可分拓撲群上殆周期函數(shù)時得到了系統(tǒng)的應用． 1933—1934年，馮·諾伊曼在高級研究院作過有關測度論的報告，非常詳細地闡釋了歐氏空間中勒貝格測度的古典理論，并推廣到抽象測度空間中．報告的內(nèi)容在很長一段時間內(nèi)是美國在測度論方面的主要資料來源，1950年由普林斯頓出版社編輯成為《函數(shù)算子》 (Functional operators)一書． 3．遍歷理論 馮·諾伊曼在這一領域的首要成就，是證明了平均遍歷定理(mean ergodic theorem，亦稱弱遍歷定理)．19世紀70年代，L．玻爾茲曼(Boltzmann)提出了統(tǒng)計力學中的遍歷性假設，并希望以此為前提，推導出保測變換的空間平均等于(離散)時間平均，這就是玻爾茲曼計劃． 從數(shù)學上實現(xiàn)這一計劃，首先需要證明作為時間平均的極限的存在性．1931年，B．庫普曼(Koopman)和A．韋伊(Weil)同時發(fā)現(xiàn)，由保測變換誘導出的函數(shù)算子是酉算子．它給馮·諾伊曼以很大啟示．當時，他正致力于算子理論的研究，這一發(fā)現(xiàn)促使他嘗試著用希爾伯特空間的自共軛算子去解決存在性問題．很快，他便提出并證明了遍歷理論的第一個重要定理——平均遍歷定理： ，對保測變換T，遍歷平均 依L2的范數(shù)收斂到函數(shù)Pf，其中Ut是T誘導的算子 UTf(x)=f(Tx),xX 而p是L2到Ut不變函數(shù)空間的正交投影． 在這一結果發(fā)表(1932年)之前，馮·諾伊曼把它介紹給了G．D．伯克霍夫(Birkhoff)和庫普曼．伯克霍夫將“依平均測度”意義下的收斂改善為“處處收斂”，得出了更強的結論——逐點遍歷定理(pointwise ergodic theorem，亦稱個體遍歷定理)，并于1931年12月率先發(fā)表． 盡管如此，由于伯克霍夫與庫普曼在1932年撰寫了“遍歷理論的近期發(fā)展”(Recent contributions to the ergodic theory)，使學術界了解到遍歷定理產(chǎn)生的前因后果，馮·諾伊曼的首創(chuàng)性工作得到了肯定． 不久，第33卷《數(shù)學紀事》(Annals of mathematics，1932)又刊登了他頗具影響力的文章“古典力學中的算子方法”(ZurOperatorenmethode in der klassischen Mechanik)，這標志著對遍歷理論系統(tǒng)研究的開端． 論文首先給出了平均遍歷定理的詳盡證明，然后推出6條重要的定理．第一條是分解定理(decomposition theorem)：任何保測變換均可分解為若干遍歷變換的直積分．它說明在所有保測變換中，具有遍歷性的是最基本、最重要的，任何保測變換都可由它們構造而得． 定理2則進一步指出，單參數(shù)保測變換群的分類問題在本質上可歸結為對遍歷變換進行分類． 保測變換的分類問題后來成為遍歷理論的中心問題，其中最關鍵的第一步，當屬馮·諾伊曼與P．哈爾莫斯(Halmos)1942年共同證明的結論： f1和f2分別是有限測度空間X1和X2上的保測變換，U1和U2分別是X1，X2在L2上誘導出的酉算子．若f1，f2有離散譜，則f1與f2同構當且僅當U1和U2作為希爾伯特空間上酉算子時是相同的． 馮·諾伊曼在處理遍歷理論的問題時，往往著重于測度和譜的內(nèi)在聯(lián)系．定理5就是關于離散譜的典型結果：對于具有純點譜的酉算子U(由遍歷變換誘導而得)，其譜實際上構成實數(shù)群的一可數(shù)子群；反過來，實數(shù)群的每個無窮可數(shù)子群均可作為某些遍歷變換所誘導的酉算子的純點譜． 與此對應，又有馮·諾伊曼和庫普曼關于連續(xù)譜的混合定理(mixing theorem)．它斷言：遍歷變換的幾何性質(混合性)與酉算子的譜性質(無非平凡的特征值)是等價的． 對于馮·諾伊曼在測度論和遍歷理論方面所取得的成果，哈爾莫斯給予了如此的評價：“從文獻數(shù)量上看，它們尚不及馮·諾伊曼全部科學論著的十分之一，但就質量而言，即使他從未在其他方面作過研究，這些成果也足以使他在數(shù)學界享有永久的聲望．” 4．群論 馮·諾伊曼的一個著名成果，是在1933年對緊致集解決了希爾伯特第五問題．早在1929年，他曾證明對連續(xù)群有可能改變參數(shù)，使群的運算成為解析的．具體地說，對于n維空間中的線性變換群，它有一正規(guī)子群，可以被解析地且按有限個參數(shù)一一對應的方式局部表出．這是第一篇對解決希爾伯特第五問題做出貢獻的文章． 1933年，他在《數(shù)學紀事》第34卷上發(fā)表“拓撲群中解析參數(shù)導論”(Die Einfhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen)，證明每個局部同胚于歐氏空間的緊致群允許一李群結構．這樣，希爾伯特第五問題在緊致群的條件下得到了肯定的回答． 問題的解決用到了彼得(Peter)-外爾積分在群上的類比、施密特的函數(shù)逼近定理及L．E．J．布勞威爾(Brouwer)關于歐氏空間的區(qū)域不變性定理，體現(xiàn)出馮·諾伊曼豐富的集合論與實變函數(shù)知識以及他對積分方程、矩陣計算技巧的熟練應用． 另一項工作亦同群論相關：群上的殆周期函數(shù)(almost pe－riodic function)理論．他把H．玻爾(Bohr)首創(chuàng)的實數(shù)集上殆周期函數(shù)概念擴展到任意群G中，繼而在新的殆周期函數(shù)理論與彼得、外爾的群表示理論之間建立起聯(lián)系：設群G的有限矩陣表示為D(x)=(dij(x))， 則下述三個條件等價： (1)每個dij(x)都是G上的有界函數(shù)； (2)每個dij(x)都是G上的殆周期函數(shù)； (3)D等價于一個酉矩陣的表示． 他由此指出，群上的殆周期函數(shù)構成了群表示理論的最大適用范圍． 5．算子理論 對算子理論的探索貫穿了馮·諾伊曼的整個科學生涯，這方面的論文占他全部著述的三分之一，他在這個領域有著20多年的領導地位． 1927—1930年，他首先給出了希爾伯特空間的抽象定義，即現(xiàn)在所使用的定義．然后，對于希爾伯特空間上自共軛算子譜理論從有界到無界的推廣，做了系統(tǒng)的奠基性工作：引入稠定閉算子的概念，給出無界自共軛算子、酉算子以及正規(guī)算子的譜分解定理，指出了對稱算子和自共軛算子在性質上的差異，還與外爾共同研究了無界算子經(jīng)過擾動后譜的變化規(guī)律． 馮·諾伊曼的譜理論的形成，加上1933年巴拿赫所著《線性算子理論》(Th orie des operations li naires)一書的問世，標志著數(shù)學領域中又一新的分支——泛函分析的誕生． 20年代，E．諾特(Noether)和E．阿廷(Artin)發(fā)展了非交換代數(shù)理論，馮·諾伊曼意識到這是對矩陣論極好的闡釋和簡化，他嘗試著將有關概念擴展到希爾伯特空間上的算子代數(shù)中，由此產(chǎn)生了“算子環(huán)”的概念：關于弱(或強)算子拓撲為閉且含有恒等算子I的＊子代數(shù)稱為算子環(huán)．算子環(huán)可以認為是有限維空間內(nèi)矩陣代數(shù)的自然推廣，后來被人們稱為馮·諾伊曼代數(shù)，以示對馮·諾伊曼的紀念．而在同構意義下，它又可稱作W*代數(shù)． 算子環(huán)的正式定義出現(xiàn)在馮·諾伊曼1929年的論文“函數(shù)運算代數(shù)和正規(guī)算子理論”(Zur Algebra der Funktionaloperati－oren und Theorie der normalen Operatoren)中．這篇論文還包括了“交換子”(commutant)、“因子”(factor)等重要定義，以及二次交換子定理(double commutant theorem)： 是算子環(huán)， 則交換子也是算子環(huán)，且 ． 這實際上給出了算子環(huán)的一個等價定義：希爾伯特空間H上有界線性算子全體 (H)中滿足 =( )’的＊子代數(shù)稱為算子環(huán)．這一定義是研究算子環(huán)的重要工具，如判斷算子何時與一算子環(huán)相伴，用于對稠定閉算子進行標準分解等． 從1935年開始，馮·諾伊曼在F．J．默里(Murray)的協(xié)助下，又寫出了題為“論算子環(huán)”(On rings of operators)的系列文章． 他們的首要結論是：算子環(huán)可以表示為因子的連續(xù)直積分．因此，對算子環(huán)的研究便歸結為對因子的研究． 受經(jīng)典非交換代數(shù)理論的啟示，人們曾推測所有因子均同構于 (H)．馮·諾伊曼和默里在“論算子環(huán)I”中證明：當因子包含極小射影時，它同構于 (H)．但同時，他們又應用遍歷論的技巧，構造出一類重要的例子，說明并非所有的因子都有極小射影，因而有關因子的性質遠非人們推測的那樣簡單． 他們在因子的射影之間建立了序關系，使之具有可比性．而這種序關系又可用維數(shù)函數(shù)(定義于因子的等價類之上)來表述．根據(jù)維數(shù)函數(shù)值域的不同情況，對因子有以下分類： 通過群測度空間的構造，他們得到了Ⅱ1型和Ⅱ∞型因子．1940年的“論算子環(huán)Ⅲ”又給出了Ⅲ型因子的例子． 繼因子的分類和各類因子存在性的證明之后，一個重要的問題是：這種分類是否完成了因子的代數(shù)分類？即某給定類型中的全體因子是否同構？馮·諾伊曼和默里花去大量時間考察這個問題，最終構造出兩個新的Ⅱ1型因子并證明它們是非同構的，從而給了原問題否定的回答． 6．格論 馮·諾伊曼在研究希爾伯特空間算子環(huán)時，遇到了一類完備有補模 定義L為連續(xù)幾何(continuous geome－try)，并構造出一類重要的連續(xù)幾何：對任意可除環(huán)F和自然數(shù)n，F(xiàn)上的2n維子空間構成2n—1維射影幾何PG(F，2n—1)．將它度量完備化之后得到的有補模格就是連續(xù)幾何，記為CG(F)．他證明了希爾伯特空間中的Ⅱ1型因子具有與CG(F)同構的不變子空間格． 正則環(huán)(regular ring)是馮·諾伊曼引入的另一新概念：A是有單 何的表示有著密切聯(lián)系：連續(xù)幾何L與某正則環(huán)A的主左理想構成的格同構．也就是說，將A分解為諸理想的直和，對應于把L分解為諸格的直積的問題． 在這些結論的證明過程中，馮·諾伊曼又發(fā)展了一些新的思想方法，其中主要是關于格的分配性：數(shù)對的分配性、獨立元的分配性和無窮分配性等．他最早發(fā)現(xiàn)，在布爾代數(shù)中，交與并的運算必然是無窮分配的，而這種分配性又等價于連續(xù)性． 他在格論方面的工作大部分未能及時發(fā)表，主要通過1935—1937年高級研究院的講義《復域幾何》(Geometry of complexdomains)、《連續(xù)幾何》及美國科學院會議錄得以保存和傳播． 應 用 數(shù) 學 1940年以后，隨著第二次世界大戰(zhàn)中政治、經(jīng)濟和軍事形勢的發(fā)展，馮·諾伊曼開始把精力更多地投注于實際問題之中，主要是計算數(shù)學和對策論兩方面的工作． 1．計算數(shù)學 馮·諾伊曼認為，描述物理現(xiàn)象的方程一旦用數(shù)學語言給予表達，就可以從數(shù)值上得到解決而無須借助于常規(guī)方法或進行重復試驗．他在計算數(shù)學方面的努力，是與他的這種觀點以及解決實際問題的困難程度分不開的． 大戰(zhàn)中，各種技術問題引起了快速估計和逼近解的需要．這些問題往往涉及一些不能忽略或分離的外部擾動，必須借助數(shù)值方法進行定性分析．馮·諾伊曼從數(shù)值穩(wěn)定性分析、誤差估計、矩陣求逆和含間斷性解的計算等數(shù)個方向進行了探索．1946年，他和V．巴格曼(Bargmann)、D．蒙哥馬利(Montgomery)合作．向海軍武器實驗室提交了報告“高階線性系統(tǒng)求解”(Solutionof linear systems of high order)，對線性方程組的各種解法進行了系統(tǒng)闡述，并探討了利用計算機進行實際求解的可能性． 1947年，他又同H．哥德斯坦(Goldstine)研究了高階矩陣的數(shù)值求逆，并給出嚴格的誤差估計，特別是對150階矩陣求逆所能達到的精確程度給出了有意義的結果． 在解決可壓縮氣體運動尤其是存在間斷性的情況時，馮·諾伊曼創(chuàng)始了人工粘性法．例如，物理學上有系統(tǒng)守恒律 Ut+ F(U)=0(U為熱量，F(xiàn)為流量)， 它所描述的系統(tǒng)即使在初值光滑的情形下也會自發(fā)地產(chǎn)生間斷性(激波)．馮·諾伊曼和R．里希特邁耶(Richtmyer)把它看成分布方程，求解過程便相當于尋求有效的數(shù)值算法來計算分布導數(shù)．他們以拋物正則方程 Ut+ F(U)=εΔU 代替原方程，使分布導數(shù)成為普通導數(shù)，從而可用有限差分來近似，這樣得出的解總是光滑的．這種在計算公式中人為加入“粘性”項的方法，使激波間斷成為光滑的過渡區(qū)，激波的位置與強度便很容易確定了．人工粘性法是現(xiàn)代流體動力學中拉格朗日方法的第一個例子，提供了在電子計算機上對流體力學進行數(shù)值模擬的有力手段． 電子計算機產(chǎn)生之后，馮·諾伊曼又推出了利用計算機進行數(shù)值分析的新思想、新方法，從而推動了計算數(shù)學的興起與形成，也使他成為現(xiàn)代科學計算的奠基人之一(詳見本文“計算機的理論與實踐”部分)． 2．對策論與數(shù)理經(jīng)濟 馮·諾伊曼是對策論(又稱博弈論)的創(chuàng)始人和現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟學的開拓者之一．本世紀20年代，波萊爾最早用數(shù)學語言刻畫了博弈問題，引進純策略與混合策略的概念，并提出解決個人對策與零和二人對策的數(shù)學方案．但是，對策理論作為學科的真正創(chuàng)立，則是從馮·諾伊曼1928年發(fā)表“關于伙伴游戲理論”(Zur The－orie der Gesellschaftsspiele)開始的． 文中最重要的結論，是關于零和二人對策的極小極大定理(minimax theorem)：m×n矩陣A是正規(guī)化零和二人對策的支付矩陣，x和y是對局雙方采取的混合策略的概率向量，存在唯一數(shù)值v，使得 同時，存在最優(yōu)策略x*和y*，使 以極小極大定理為依據(jù)，馮·諾伊曼首先討論了合作對策問題，特別是零和三人對策中有兩方聯(lián)合的情形．為了給出合作對策解的概念，他引入特征函數(shù)的思想．最后又明確表述了n個游戲者的一般博弈方案，結果表明：在附加條件下，n人對策問題的解是存在并且唯一的． 極小極大定理是對策論的基石．30年代，馮·諾伊曼本人及其他數(shù)學家陸續(xù)給出此定理的一些新的證明方法．到了40年代，A．瓦爾德(Wald)以極小極大定理為基礎，把決策過程視為人與環(huán)境進行的二人對策問題，由此開創(chuàng)了統(tǒng)計決策理論．從那時起，對策論成為應用數(shù)學中一個活躍的研究領域． 1940年，奧地利經(jīng)濟學家O．摩根斯坦(Morgenstern)來到普林斯頓，他使馮·諾伊曼對經(jīng)濟問題特別是貨物交換、市場控制和自由競爭等產(chǎn)生興趣．經(jīng)過四年的合作，他們出版了《對策論與經(jīng)濟行為》 (Theory of games and economic behavior)．這部著作對1928年的論文進行了進一步闡述，如增加了“分配”(imputa-tion)、“控制”(domination)的概念，定義了馮·諾伊曼-摩根斯坦解．全書有近三分之二的篇幅是處理合作對策問題的． 對策論在經(jīng)濟理論基本問題中的應用，是書中另一重要成果．他們認為，盡管當時的經(jīng)濟學還處于發(fā)展早期——如同16世紀的物理學，但最終它必將也像物理學一樣，發(fā)展成為一門嚴密的數(shù)理科學．而對策論就是邁向綜合性的數(shù)理經(jīng)濟學的第一步．這實際上體現(xiàn)了馮·諾伊曼將社會科學也納入公理化數(shù)學體系的愿望． 早在1932年普林斯頓舉辦的一次學術討論會上，馮·諾伊曼還討論了一般經(jīng)濟平衡的模型化問題．他給出貨物生產(chǎn)與消費的一個經(jīng)濟模型，并指出了模型問題與極小極大定理的密切關系：當把經(jīng)濟活動視為零和對策問題時，經(jīng)濟模型的平衡點就是對策問題中的極大極小值v． 物 理 學 馮·諾伊曼的眼光并未只局限于數(shù)學方面，他對物理科學同樣有著濃厚的興趣．可以說，對數(shù)學和物理學之間內(nèi)在聯(lián)系的探討，在他的科學成就中具有最重大的意義．前面提到的算子理論和遍歷理論等，實質上都與他在理論物理領域的工作——量子力學的數(shù)學化密不可分． 1926年，馮·諾伊曼來到格丁根大學．他在跟隨希爾伯特研究數(shù)學基礎的同時，被格丁根大學內(nèi)正在開展的量子力學工作深深吸引住了．當時的量子力學在數(shù)學上有兩種表述體系：W．海森堡(Heisenberg)、M．玻恩(Born)和W．泡利(Pauli)從微觀粒子的粒子性出發(fā)建立的矩陣力學，E．薛定諤(Schr dinger)從波動性出發(fā)建立的波動力學．對于推測原子的性質這一實用目的來說，這兩種體系是足夠的．不久，薛定諤又證明了兩者的等價性，并歸結為由P．狄拉克(Dirac)和P．約當(Jordan)發(fā)展的變換理論的特殊情形．但是，馮·諾伊曼等人對此并不滿意，他們希望從中提取更多的共性，建立量子力學的形式化體系． 這年冬天，希爾伯特就量子力學的新發(fā)展作了一次演講，L．諾德海姆(Nordheim)為講義的物理部分準備了材料，而關于數(shù)學形式化部分的主要工作，則是由馮·諾伊曼完成的． 量子理論的一個基本點，是原子狀態(tài)的數(shù)學描述．馮·諾伊曼對此并未明確定義，而是給予了形式化的處理：原子的狀態(tài)由希爾伯特空間中的單位向量表征．這正如希爾伯特對歐氏幾何進行形式化時，把點、直線作為不定義術語一樣．馮·諾伊曼指出，這種描述同海森堡和薛定諤的定義是一致的，而且代數(shù)中的形式規(guī)則如加法、乘法規(guī)則，對他們的表述體系同樣適用． 他又構造了基于五條公理之上的抽象希爾伯特空間，并證明海森堡和薛定諤的原子狀態(tài)定義滿足五條公理．最后的結論是：量子力學的一種合適的形式語言，由抽象希爾伯特空間的向量(代表系統(tǒng)狀態(tài))、某類算子(代表系統(tǒng)中的可觀察量)及其代數(shù)規(guī)則構成． 這些方法極好地體現(xiàn)了希爾伯特的公理化綱領，成為量子力學數(shù)學化的序曲，也促使馮·諾伊曼對希爾伯特空間的算子理論給予了充分的發(fā)展． 1932年，他的名著《量子力學的數(shù)學基礎》由德國斯普林格公司出版．這是對先前的方法和結論的綜合與完善．他特別指出，狄拉克等人在處理算子的概念時，對其定義域和拓撲并未予以充分考慮，草率地假設當算子為自共軛時，總可以被對角化．而對于無法對角化的，則引入狄拉克非正常函數(shù)(δ函數(shù))的概念．馮·諾伊曼發(fā)現(xiàn)了它的自相矛盾的性質，并用自己的成就證明：變換理論能夠建立在清晰的數(shù)學基礎之上．其方法并非去修正狄拉克的理論，而是發(fā)展希爾伯特的算子理論．當他成功地將算子譜論由有界推廣到無界情形后，便最終完成了量子力學的形式化工作，它包含海森堡和薛定諤等人的體系作為特殊情況． 書中另一個主要內(nèi)容，是從統(tǒng)計學角度闡述了量子力學中的“因果律”(causality)和“測不準原理”(indeterminacy)．他的結論是，量子系統(tǒng)的不確定性并非由于觀察者的狀態(tài)未知所致．即使在系統(tǒng)中引入假想的“隱參量”(hidden parameters)，使觀察者處于精確的狀態(tài)，最終仍會因為觀察者的主觀意識而導致不確定的觀察結果．這種觀點得到了大多數(shù)物理學家的贊同． 此書還包括了對量子力學中特殊問題的解決，例如遍歷假設在量子系統(tǒng)中的表述和證明．這成為他后來開辟的遍歷理論的先聲． 《量子力學的數(shù)學基礎》(德文版)先后被譯為法文(1947年)、西班牙文(1949年)、英文(1955年)和日文，它至今仍是理論物理領域的經(jīng)典之作． 1927年，馮·諾伊曼開始用概率術語對量子力學進行分析，引入統(tǒng)計矩陣U(現(xiàn)稱為ρ矩陣)來描述各種量子狀態(tài)的系統(tǒng)之集合．統(tǒng)計矩陣成為量子統(tǒng)計學的主要工具．而他關于量子力學的度量理論則為熱力學的發(fā)展奠定了基礎． 計算機的理論與實踐 在洛斯阿拉莫斯，原子核裂變過程所提出的大量計算任務，促使馮·諾伊曼關注著電子計算機的研制情況．從1944年8月到1945年6月，他參與了對電子數(shù)值積分和計算器ENIAC(ele－ctronic numerical integrator and calculator)的考察和改進工作．他發(fā)現(xiàn)ENIAC機的主要缺陷，是仍采取以往機電式計算機的“外插型”程序，在按給定程序執(zhí)行運算時，每個問題都需要一個特殊的線路系統(tǒng)，因而缺乏高速計算所必需的靈活性和普遍性． 1945年3月，馮·諾伊曼為賓夕法尼亞大學起草了離散變量自動電子計算機EDVAC(electronic discrete variable automaticcomputer)的設計方案，轟動了科學界．第二年6月，他又與A．伯克斯(Burks)、哥德斯坦聯(lián)名提出更完善的報告“電子計算機邏輯設計初探” (Preliminary discussion of the the logical design of an electronic computing instrument)，揭開了計算機發(fā)展史上新的一頁． 在這兩份報告中，馮·諾伊曼建立了計算機組織的最主要結構原理——存儲程序(stored－program)原理．它確定計算機由五部分構成：計算器、控制器、存儲器、輸入和輸出裝置．程序由指令組成并和數(shù)據(jù)一起存放在存儲器中，機器按程序指定的邏輯順序，把指令從存儲器中讀出來并逐條執(zhí)行，從而自動完成程序描述的處理工作． 根據(jù)這一原理設計的EDVAC機和IAS機方案，與ENIAC機相比有如下重要的改進： (1)將十進制改為二進制，程序和數(shù)據(jù)均由二進制代碼(code)表示； (2)程序由外插變?yōu)閮?nèi)存，當算題改變時，不必變換線路板而只需更換程序； (3)以超聲波信號的方式存儲輸入的電信號，并建立多級存儲結構，存儲能力大大提高； (4)采用并行計算原理，即對數(shù)字的各位同時進行處理． 從1946年開始，馮·諾伊曼組織哥德斯坦等人在高級研究院進行了IAS機的實際建造工作，1951年終于獲得成功．它的運算速度達到每秒百萬次以上，比ENIAC機快數(shù)百倍，實現(xiàn)了馮·諾伊曼的設想． 由存儲程序原理構造的電子計算機稱為存儲程序計算機，后又被稱為馮·諾伊曼型機．現(xiàn)代計算機的組織結構雖然有了一些重大變化，但就原理而言，占主流的仍是以存儲程序原理為基礎的馮·諾伊曼型機．馮·諾伊曼的思想深深地影響著現(xiàn)代計算機的存儲、速度、指令選取和線路設計等各個方面． 馮·諾伊曼的名字是與計算機設計家聯(lián)系在一起的．然而，他對計算機的主要興趣并不在于計算機的設計與制造，而在于如何利用這種新型科學工具，開創(chuàng)現(xiàn)代科學計算的新天地． 古典的數(shù)值分析方法，對于計算機來說未必是最優(yōu)的，而一些在算術上極為復雜的方法，編制為程序后反而容易在新型計算機上得以實現(xiàn)．馮·諾伊曼從這一實際情況出發(fā)，為計算機程序設計做了大量工作．他和哥德斯坦發(fā)明了流程圖(flow diagram)以溝通所要計算的問題和機器指令；他引入子程序和自動編程法，大大簡化了程序員編程時的繁瑣程度．矩陣特征值計算、求逆、多元函數(shù)極值和隨機數(shù)產(chǎn)生等數(shù)十種計算技巧，也都是他在戰(zhàn)后的幾年內(nèi)首創(chuàng)的，它們在工業(yè)部門和政府計劃工作中有著廣泛的應用． 電子計算機誕生后，馮·諾伊曼和S．烏拉姆(Ulam)倡導了一種新型計算方法——蒙特卡洛法(Monte Carlo method)，它將所要求解的數(shù)學問題化為概率模型，在計算機上以較小規(guī)模實現(xiàn)隨機模擬，獲得近似解．例如，在計算n維立方體的某子區(qū)域的體積時，不用通常的將空間分割為一系列格點以逼近所求體積的方法，而是按均勻的概率在空間中隨機選擇點，利用計算機確定落在孩子區(qū)域中的點與所有點的比．當所選點的數(shù)量足夠多時，這個比便給出了體積的近似值． 蒙特卡洛法的優(yōu)點在于對問題的幾何形狀不敏感，收斂速度與維數(shù)無關，因此特別適用于高維數(shù)的數(shù)學物理問題．利用此法，馮·諾伊曼通過適當?shù)膶Σ弋a(chǎn)生了具有給定概率分布的隨機數(shù)列，設計了處理玻爾茲曼方程的概率模型．戰(zhàn)后，他在高級研究院領導了一個氣象研究小組，建立起模擬大氣運動的模型，希望利用計算機逐步求解從而解決數(shù)值天 和技術上都有著極大的啟發(fā)意義． 1956年，美國原子能委員會在向馮·諾伊曼頒發(fā)費米獎時，特別提到了他對于在計算機上進行計算研究的貢獻． 從1945年起，馮·諾伊曼還致力于自動機理論及腦神經(jīng)和計算機的對比研究，他被認為是自動機理論的創(chuàng)立者． 本世紀三、四十年代，C．尚農(nóng)(Shannon)的信息工程、A．圖靈(Turing)的理想計算機理論和R．奧特維(Ortvay)對人腦的研究，引發(fā)了馮·諾伊曼對信息處理理論的興趣．而1943年W．麥考洛奇(McCulloch)與W．匹茨(Pitts)所著的《神經(jīng)活動中內(nèi)在意識的邏輯分析》(A logical calculus of the ideas imma－nent in nervous activity)，則使他看到了將人腦信息過程數(shù)學定律化的潛在可能．在他1945年關于EDVAC機的設計方案中，所描述的存儲程序計算機便是由麥考洛奇和匹茨設想的“神經(jīng)元”(neurons)所構成，而非利用真空管、繼電器或機械開關等常規(guī)元件． 此后，他參加了有關信息論、控制論的系列會議，同數(shù)學家、物理學家、電工學家和生物學家進行廣泛接觸，逐漸形成了能同時應用于生物和技術領域的自動機理論．1948年9月，在?？怂?Hixon)討論班上，他作了“自動機的一般邏輯理論”(The ge－neral and logical theory of automata)的報告，提出自動機的自繁殖和迭代陣列等新概念，并對人造自動機(如計算機)和天然自動機(如人腦)進行了比較．他通過計算說明，計算機中電子元件的數(shù)量不過是人腦神經(jīng)元數(shù)目的百萬分之一；而另一方面，信息在電子元件中的傳遞速度大約是在腦神經(jīng)中的一萬倍．這樣，計算機以速度取勝，而大腦則在復雜性上占優(yōu)．為了使兩者的特性具有可比性，可用每秒內(nèi)發(fā)生的電信過程作為標準．計算顯示，人腦的特性要超出計算機一萬倍． 進一步，他還指出，計算機在執(zhí)行運算時一般是依順序進行的，而人腦則傾向于平行運算，因此在“邏輯深度”上不及計算機． 以此為基礎，他于1952年開創(chuàng)了著名的冗余技術：對于一批帶有一定故障發(fā)生率的元件(不可靠元件)，通過適當?shù)姆椒?，建造出任意?guī)模和復雜程度的自動機，使不正確輸出的概率能被控制在一定范圍之內(nèi)(可靠機)．同時，他又仿照微生物組織的結構來描述自繁殖系統(tǒng)，提出諾伊曼細胞空間的概念，利用許多互相連結的小自動機并行運算，形成了更大規(guī)模的自動機——諾伊曼自動機．這是最早最基本的一類自動機．這兩項理論在70年代分別發(fā)展成為容錯自動機理論和細胞自動機理論． 1955年初，馮·諾伊曼應耶魯大學之邀，開始為美國最古老、最著名的科學講座之一——希利曼講座編寫講義，系統(tǒng)闡述他關于計算機、自動機和人腦的理論體系．由于他的病情加重和逝世，這次講座的計劃未能實現(xiàn)．1958年，耶魯大學出版了講義的單行本《計算機與大腦》(The computer and the brain)． 在1947年的論著《數(shù)學家》(The mathematician)中，馮·諾伊曼表達了這樣的數(shù)學觀念：數(shù)學的發(fā)展與自然科學有著密切聯(lián)系，數(shù)學方法滲透于并支配著自然科學的所有理論分支．數(shù)學有其經(jīng)驗來源，不可能存在絕對的、脫離所有人經(jīng)驗的嚴密性概念．而另一方面，數(shù)學是創(chuàng)造性學科，受審美觀的支配，選擇題材和判斷成功的標準都是美學的．必須防止純粹美學化的傾向．為此，應該不斷在數(shù)學中注入一些“或多或少直接來自于經(jīng)驗的思想”． 馮·諾伊曼的科研活動明顯地受著上述觀念的影響．他涉獵了如此眾多的科學領域，力求保持數(shù)學理論同物理學及其他自然科學中日益增長的復雜現(xiàn)象之間的聯(lián)系．這同時也是對實現(xiàn)數(shù)學的普適性和有機統(tǒng)一性這個目標的貢獻． 形式化思想在馮·諾伊曼的哲學觀念中占據(jù)著主導地位．他認為，邏輯體系具有普遍性和綜合性，而形式化邏輯結構在某種程度上刻畫了事物的抽象本質．他對尋找邏輯體系的局限性不感興趣，但當某種局限性被發(fā)現(xiàn)后，他便開始考慮如何利用更加形式化的過程去克服它(體現(xiàn)在他對哥德爾不完全性定理的態(tài)度)．對他來說，最高層次的抽象——例如邏輯和數(shù)學的基礎——應當通過嚴密的形式邏輯手段去完成．在接觸到實際問題時，馮·諾伊曼總能迅速地給出適當?shù)臄?shù)學形式化表述，并進行純形式的推理．不僅如此，將形式邏輯和數(shù)學付諸最大限度的應用，成為他的科學稟性．在他看來，利用抽象的形式結構可以了解整個世界——包括社會生活和精神意識．這在他對數(shù)學基礎、量子理論和計算機組織的形式化工作中都有所反映．可以說，馮·諾伊曼遵循著這樣一種觀念：只有嚴密的邏輯體系才可能包含主宰萬物的、永恒的普遍真理． 在馮·諾伊曼身上，集中著多種科學才能：對數(shù)學思想的集合論基礎(形式上是代數(shù)的)的感知，對分析和幾何的經(jīng)典數(shù)學之本質的理解，以及發(fā)掘現(xiàn)代數(shù)學方法的潛在威力并應用于理論物理問題的深刻洞察力．這些才能之間并不矛盾，但每一種都要求很高的注意力和記憶力，它們能匯集于一人之身是非常難得的． 馮·諾伊曼不用筆和紙就能熟練地估計幾何大小，進行代數(shù)和數(shù)值運算，這種心算能力常常給物理學家們留下深刻的印象． 對于在科學上有時并非十分重要但卻體現(xiàn)出一定難度的問題，他也極愿給予關注．通過與他交談，人們往往可以領會到一些并非人人皆知的、能輕松解決問題的數(shù)學技巧．這使他受到應用數(shù)學工作者的喜愛和歡迎． 除了科學之外，馮·諾伊曼對歷史也有著濃厚的興趣．早在孩提時代，他就系統(tǒng)閱讀了21卷的《劍橋古代史》(Cambridgeancient history)和《劍橋中世紀史》(Cambrige medieval histo－ry)，特別精通歐洲皇室的衍變和拜占庭的歷史．他對歷史事件的敘述和評價，總是令同事們大為折服．從中還可感受到他以數(shù)學家特有的方式表達的幽默． 他能熟練地運用德語、法語、英語、拉丁語和希臘語．他在美國所進行的演講以其良好的文學修養(yǎng)著稱． 馮·諾伊曼曾從N．維納(Wiener)處了解到中國的情況，產(chǎn)生了到中國訪問講學的愿望．1937年5月，維納致函清華大學校長梅貽琦和數(shù)學系主任熊慶來，推薦馮·諾伊曼作為清華大學的訪問教授．可惜，兩個月后日本侵華戰(zhàn)爭的全面爆發(fā)，使他們的希望成了泡影． |
|
|
來自： l1hf > 《數(shù)學家》
