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花拉子米 大連理工大學(xué) 杜瑞芝 花拉子米(al-Khwārizmi，Abū Ja'far Muhammad IbnMūsā) 約公元783年生；約公元850年卒．?dāng)?shù)學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)． 阿布·賈法爾·穆罕默德·伊本·穆薩·阿爾—花拉子米的傳記材料，很少流傳下來．一般認(rèn)為他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今烏茲別克境內(nèi)的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米為姓．另一說他生于巴格達(dá)附近的庫特魯伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家鄉(xiāng)接受初等教育，后到中亞細(xì)亞古城默夫(Мерв)繼續(xù)深造，并到過阿富汗、印度等地游學(xué)，不久成為遠(yuǎn)近聞名的科學(xué)家．東部地區(qū)的總督馬蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召見過花拉子米．公元813年，馬蒙成為阿拔斯王朝的哈利發(fā)后，聘請花拉子米到首都巴格達(dá)工作．公元830年，馬蒙在巴格達(dá)創(chuàng)辦了著名的“智慧館”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世紀(jì)亞歷山大博物館之后最重要的學(xué)術(shù)機關(guān))，花拉子米是智慧館學(xué)術(shù)工作的主要領(lǐng)導(dǎo)人之一．馬蒙去世后，花拉子米在后繼的哈利發(fā)統(tǒng)治下仍留在巴格達(dá)工作，直至去世．花拉子米生活和工作的時期，是阿拉伯帝國的政治局勢日漸安定、經(jīng)濟發(fā)展、文化生活繁榮昌盛的時期． 花拉子米科學(xué)研究的范圍十分廣泛，包括數(shù)學(xué)、天文學(xué)、歷史學(xué)和地理學(xué)等領(lǐng)域．他撰寫了許多重要的科學(xué)著作． 在數(shù)學(xué)方面，花拉子米編著了兩部傳世之作：《代數(shù)學(xué)》和《印度的計算術(shù)》． 代數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法是自古以來逐漸形成的．早在古埃及阿默士的紙草書中就已經(jīng)出現(xiàn)屬于一元一次方程的問題．巴比倫人也知道某些二次方程的解法．在漢穆拉比時代的泥板中巳有二次方程的問題，從中可以看出從算術(shù)到代數(shù)的過渡．代數(shù)學(xué)在希臘時代得到重大發(fā)展，其代表人物是丟番圖(Diophantus)．他的著作《算術(shù)》(Arithmetica)中的大部分內(nèi)容可劃入代數(shù)的范圍．書中出現(xiàn)了符號的運算法則和用字母表示的未知數(shù)，解決了某些二次方程、特殊的三次方程和大量的不定方程問題．公元7—8世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)獲得了可觀的發(fā)展．印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多(Brahmagupta)給出了二次方程的一個求根公式．二次方程的一般解法是花拉子米在他的《代數(shù)學(xué)》中首先給出的． 《代數(shù)學(xué)》大約寫于公元820年，有多種版本流傳下來．比較重要的有兩種；一種是抄錄于1342年的阿拉伯文手稿，現(xiàn)存牛津大學(xué)圖書館，1831年由F．羅森(Rosen)譯成英文，在倫敦出版了它的阿—英對照本；另一種是L．Ch．卡平斯基(Karpinski)根據(jù)著名翻譯家切斯特的羅伯特(Robert of Chester)1145年翻譯的《代數(shù)學(xué)》拉丁文譯本編譯的． 《代數(shù)學(xué)》的阿拉伯文書名是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直譯應(yīng)為《還原與對消的科學(xué)》．a(chǎn)l-jabr 意為“還原”，這里指把負(fù)項移到方程另一端“還原”為正項；muqabalah 意即“對消”或“化簡”，指方程兩端可以消去相同的項或合并同類項．一般認(rèn)為拉丁文中代數(shù)學(xué)一詞algebra是由al-jabr演變而來． 在《代數(shù)學(xué)》中，花拉子米用十分簡單的例題講述了解一次和二次方程的一般方法．他的作法實質(zhì)上已經(jīng)把代數(shù)學(xué)作為一門關(guān)于解方程的科學(xué)來研究，只是其研究形式與現(xiàn)代的不同．該書包括三部分：第一部分講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)，第二部分列舉各種實用算術(shù)問題，最后一部分是關(guān)于續(xù)承遺產(chǎn)的應(yīng)用問題． 在第一部分里，作者系統(tǒng)地討論了一、二次方程的解法．他給出六種類型的標(biāo)準(zhǔn)方程，這些方程由三種量組成：(1)根(jadhr，指植物的根或事物的根本)或一堆“東西”(Shay’)；(2)根自乘的結(jié)果，即根的平方(māl，也表示財產(chǎn)或貨幣的和)；(3)簡單數(shù)或稱“迪拉姆”(dirham，阿拉伯貨幣單位)．現(xiàn)在把解方程求未知量叫做求根就是來源于此．花拉子米完全用文字來表述，書中沒有出現(xiàn)任何字母和縮寫符號．為了明確起見，下面用現(xiàn)代符號來表示花拉子米論述的六種類型方程： (1)“平方”等于“根” ax2=bx． (2)“平方”等于“數(shù)” ax2=c． (3)“根”等于“數(shù)” bx=c． (4)“平方”和“根”等于“數(shù)” ax2+bx=c． (5)“平方”和“數(shù)”等于“根” ax2+c=bx． (6)“根”和“數(shù)”等于“平方” bx+c=ax2． 以上a，b，c都是正數(shù)．對于每種類型的方程的解法，花拉子米都給出具體例子．例如對于第四種類型的方程，花拉子米的例題是“一個平方數(shù)及其根的10倍等于39個迪拉姆”．他把求解過程敘述為：“取根的數(shù)目的一半，在這里就是5，將它自乘得25，把它同39相加得64，開方等于8，再減去根數(shù)的一半，即5，等于3．這就是根．”下面用現(xiàn)代符號表示該方程及求解過程： 這種解法相當(dāng)于給出方程x2+px=q的一個求根公式 花拉子米放棄了負(fù)根． 在解第五種類型的方程x2+21=10x時，花拉子米求出了兩個根，相當(dāng)于 在數(shù)學(xué)史上，他是最早認(rèn)識到二次方程有兩個根的數(shù)學(xué)家．在這方面，花拉子米比希臘人和印度人有明顯的進步．他還特別指出，當(dāng)根的數(shù)目之半自乘的結(jié)果小于自由項時，開平方是不可能的，此時方程無根．這相當(dāng)于指出我們現(xiàn)在稱之為判別式的必須非負(fù)的條件． 在論述了六種典型方程的解法之后，花拉子米又用幾何方法給出它們的證明．這些證明無疑受到希臘幾何學(xué)的影響，有的似乎是歐幾里得《幾何原本》中有關(guān)命題的翻版． 例如，對于方程x2+10x=39的根的正確性，花拉子米給出了兩種不同的幾何證明．第一種證法是在邊長為x的正方形的四個邊上向外作邊 正方形的面積等于x2+10x+25，即64(因為由已知方程知x2+10x=39)， 證法是在邊長為x的正方形的兩個相鄰邊上作邊長為x和5的矩形，然后把圖形補充為完整的大正方形(圖2)． 在幾何證明之后，花拉子米建立了兩種變換——“還原”與“對消”．他指出，經(jīng)過這兩種變換，一般形式的一次和二次方程就能化成已經(jīng)討論過的六種標(biāo)準(zhǔn)方程．當(dāng)然，這些變換都是用文字?jǐn)⑹龅模ɡ用滓詥栴}“把10分為兩部分，使其平方之和等于58”為例來說明這兩種變換．這個問題相當(dāng)于方程 x2+(10-x)2=58(1) 或 2x2+100-20x=58．(2) 接下去作者指出：“100和兩個平方減去20個根，即100和兩個平方等于58和20個根”這段話的意思是，方程(2)左端的“-20x”移到方程右端，應(yīng)變?yōu)椤?20x”．花拉子米稱這種變換為al-jabr(即“還原”)．這樣一來，方程(2)變成 2x2+100=58+20x，(3) 即 x2+50=29+10x．(4) 花拉子米又對方程(4)施行“對消”變換——“從50中減去29，則平方和21等于10個根”，于是(4)化為x2+21=10x，屬于第五種類型方程．花拉子米稱后一種變換為muqabalah(即“對消”)． “還原”與“對消”是花拉子米提出的解方程的基本變形法則．從此以后，解方程的概念逐步明朗起來．這兩種變形法則被長期沿用下來，成為現(xiàn)在的移項與合并同類項． 在花拉子米所列舉的各種實際問題中，還出現(xiàn)了相當(dāng)于現(xiàn)代二元二次方程(或分式方程)組的情形．如用現(xiàn)代符號表示，他的問題中的第一個條件相當(dāng)于方程x+y=10，而依據(jù)第二個條件可分別列出下列方程： x·y=21， x2-y2=40， x2+y2+(x-y)=54， 不過，他并沒有明確地給出第二個未知量，而是用“一個東西”和“10減去一個東西”來代替．事實上，上述方程組都很容易化為一元二次方程． 《代數(shù)學(xué)》中還用大量例子闡明代數(shù)式的運算法則，如單項式乘二項式，兩個二項式相乘，同類根式的乘除法，等等． 關(guān)于花拉子米撰寫《代數(shù)學(xué)》一書所受的學(xué)術(shù)影響以及資料來源等問題，至今尚未搞清．首先，花拉子米似乎沒有受印度代數(shù)的影響．印度數(shù)學(xué)家并未給出方程的根的幾何論證．他們解二次方程也沒有區(qū)分出第四、五、六種類型．花拉子米之所以把一次、二次方程分為六種類型，讓其系數(shù)a，b，c總是正數(shù)，是為了避免單獨出現(xiàn)負(fù)數(shù)或減數(shù)大于被減數(shù)的情形．他認(rèn)識到二次方程有兩個根，但只取正根．對于負(fù)根和零根，一概摒棄．此外，《代數(shù)學(xué)》中完全用文字?jǐn)⑹觯瑳]有出現(xiàn)符號．在對負(fù)數(shù)的認(rèn)識和使用符號等方面，花拉子米比印度數(shù)學(xué)家有明顯的退步．花拉子米關(guān)于二次方程的根的幾何論證法似乎受到希臘幾何學(xué)的影響，但是他的論證方法又在本質(zhì)上區(qū)別于歐幾里得(Euclid)《幾何原本》中的代數(shù)幾何學(xué)．花拉子米引入后三種典型方程的許多問題與丟番圖《算術(shù)》中的問題相似，例如形如 的問題．但是他們解決問題的途徑不同．事實上，丟番圖著作的第一批阿拉伯文譯本是在花拉子米去世后才出現(xiàn)的，因此花拉子米很難受到丟番圖的影響．科學(xué)史家推測①，花拉子米可能通曉中東、近東、巴比倫以及古希臘羅馬的科學(xué)遺產(chǎn)，在此基礎(chǔ)上寫出了獨具風(fēng)格的代數(shù)著作．至于al-jabr一詞，可能來源于亞述語中的有關(guān)術(shù)語，而后者又源于古巴比倫語中的表示兩件東西相等的詞語． 《代數(shù)學(xué)》在12世紀(jì)傳入歐洲，之后的幾個世紀(jì)，它成為歐洲人的標(biāo)準(zhǔn)課本，其內(nèi)容、思想和方法相當(dāng)廣泛地影響過歷代數(shù)學(xué)家．在中世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家L．斐波那契(Fibonacci)的《算盤書》(10202)中，就有一章名為“aljabra et almuchabala”，其中許多問題出自花拉子米的《代數(shù)學(xué)》．15世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家L．帕喬利(Pacioli)寫了一本《算術(shù)、幾何、比和比例集成》(1494)，其中廣泛地討論了一次和二次方程，作者沿用了花拉子米的解法和幾何證明．事實上，在中世紀(jì)和文藝復(fù)興時期，凡是在代數(shù)學(xué)方面有過貢獻的歐洲學(xué)者，他們的工作在不同程度上都受到花拉子米的影響． 《代數(shù)學(xué)》以其邏輯嚴(yán)密、系統(tǒng)性強、通俗易懂和聯(lián)系實際等特點被奉為代數(shù)教科書的鼻祖． 花拉子米的算術(shù)著作，只有一種譯本流傳下來，就是14世紀(jì)中葉翻譯的拉丁文譯本手稿，現(xiàn)存劍橋大學(xué)圖書館，1857年由意大利數(shù)學(xué)史家B．邦孔帕尼(Boncompagni)在羅馬出版，書名為：“Trattati d’Aritmetica publlcati da Baldassare Boncompa-gni，Ⅰ．Algoritmi de numero indorum”．以后，這部著作的拉丁文譯本就定名為“Algoritmi de numero indorum”．其中Algoritmi本是花拉子米的拉丁文譯名，可是被人理解為印度的讀數(shù)法，后來它竟演變成表示任何系統(tǒng)或計算系列的“算法”的專業(yè)術(shù)語．這份手稿由于反復(fù)傳抄，其中有多處譯文不準(zhǔn)確，還出現(xiàn)一些空白．現(xiàn)代科學(xué)史家根據(jù)其他一些有關(guān)著作①進行了認(rèn)真的比較研究，恢復(fù)了它的本來面貌．我們把這部著作的名稱譯為《印度的計算術(shù)》． 該書是一部專門講述印度數(shù)碼及其計算法的著作．作者首先講述了印度人使用9個數(shù)碼和零號記數(shù)的方法．這種方法體現(xiàn)了十進位值制記數(shù)原理，任何一個整數(shù)都能很簡單地表示出來并進行計算．作者還給出四則運算的定義和法則．例如乘法定義為重復(fù)相加，除法定義為重復(fù)相減．具體地說，兩數(shù)相乘，就是把其中一個數(shù)按另一個數(shù)的大小增加倍數(shù)，其結(jié)果為乘積；兩數(shù)相除，就是把其中較大的數(shù)按較小的數(shù)的大小分成若干部分，用較大的數(shù)減較小的數(shù)，能減去多少個，商就是多少．花拉子米特別提出倍乘法和倍除法，即乘以2和除以2的運算．古埃及人是很重視這兩種運算的．花拉子米強調(diào)它們是為了幫助學(xué)生記憶開平方的法則．花拉子米在該書中給出的開平方的方法，用現(xiàn)代符號表示，相當(dāng)于下列近似公式： 計算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)部分表示為60進位分?jǐn)?shù)． 書中還專門講述了分?jǐn)?shù)理論．花拉子米把分?jǐn)?shù)分為“能讀的”和“不 能讀的”，在阿拉伯語中用兩個以上的復(fù)合詞來表示．分?jǐn)?shù)的表示法與 (用現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)碼)： 3 8 1 3 2 11 分子在上，分母在下，帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分又在分?jǐn)?shù)部分之上．中國科學(xué)史家推測，這種表示法可能是由中國經(jīng)印度傳入阿拉伯世界的． 花拉子米在這部著作中列表給出分?jǐn)?shù)乘法的例子： 即 從這個計算表格可以看出，計算步驟是先通分： 然后相乘： 通分母時沒有取最小公倍數(shù)．這個例子表明，花拉子米時代的阿拉伯學(xué)者掌握把一般分?jǐn)?shù)化為單分子分?jǐn)?shù)的方法． 《印度的計算術(shù)》一書有著特殊的歷史作用，它是第一部用阿拉伯文撰寫的在伊斯蘭國家介紹印度數(shù)碼和記數(shù)法的著作．它的問世對十進位值制記數(shù)法在中東、近東和歐洲各國的傳播和普及起到了決定作用．阿拉伯人最初只有數(shù)詞，沒有數(shù)碼字，在征服埃及、敘利亞等地之后，他們開始使用希臘字母記數(shù)法．公元773年(另一說771年)，印度學(xué)者把他們著名的悉檀多(即歷數(shù)書)帶入阿拔斯王朝阿爾曼蘇的宮庭中．印度的數(shù)碼字和記數(shù)法從此傳入伊斯蘭世界．花拉子米的《印度的計算術(shù)》極大地推動了印度數(shù)碼和記數(shù)法在阿拉伯國家的傳播．12世紀(jì)時，這部著作傳入歐洲各國，對歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了顯著的影響．印度數(shù)碼逐漸代替了希臘字母記數(shù)系統(tǒng)和羅馬數(shù)字等，最終成為世界通用的數(shù)碼字．在12—13世紀(jì)，出現(xiàn)了一批直接受《印度的計算術(shù)》影響而編寫的算術(shù)書：在意大利，有L．斐波那契(Fibonacci)的《算盤書》(Liber Abaci)；在英國，有J．de薩克羅博斯科(Sacrobosco)的《算法書》(Algorismus)；在法國，有A．de維爾迪厄(Villedieu)的《算法歌》(Carmen de algorismi)；在德國，有N．de約丹努斯(Jordanus)的《算法論證》(Algorismus Demonstratus)等．這些著作又從拉丁文譯成多種文字，通行了幾個世紀(jì)，對印度數(shù)碼和記數(shù)法引進歐洲起到重要作用． 花拉子米對幾何學(xué)也有一定貢獻．在他的《代數(shù)學(xué)》中，有一章名為“測量篇”，專門講述圖形和物體的測量．關(guān)于平面圖形，他主要研究了三角形、四邊形和圓．他對三角形和四邊形進行分類，建立了相應(yīng)的測量公式．他使用的圓面積近似公式為 此處d為直徑，s為弦所對弧長，a為弦長，h為弦心距．花拉子米還研究了棱柱、圓柱、棱錐、圓錐和棱臺等立體的體積測量問題．在“測量篇”中，可以發(fā)現(xiàn)一些來自印度數(shù)學(xué)的資料，以及來自希臘數(shù)學(xué)家海倫的《度量論》中的內(nèi)容．可見花拉子米是熟悉古代印度和希臘的學(xué)術(shù)遺產(chǎn)的． 花拉子米在天文學(xué)、地理學(xué)和歷史學(xué)等方面也有重要貢獻。天文學(xué)在中世紀(jì)東方精密科學(xué)中占有重要地位．古希臘和印度的天文學(xué)對中世紀(jì)伊斯蘭世界天文學(xué)發(fā)展有很大影響．8世紀(jì)以后希臘天文學(xué)論著陸續(xù)譯成阿拉伯文，印度天文學(xué)知識也在8世紀(jì)末傳入巴格達(dá)，9世紀(jì)開始出現(xiàn)第一批用阿拉伯文撰寫的天文學(xué)著作．其中為解決天文學(xué)問題所需的三角表和天文表的匯編稱為積尺(相當(dāng)于印度的悉檀多)，借助這些數(shù)據(jù)表來測定時間、計算天體上星球位置、確定日食和月食開始的時刻等．這些積尺在當(dāng)時的天文學(xué)著作中占有重要地位．花拉子米撰寫的有關(guān)著作是比較優(yōu)秀的，他努力使古希臘羅馬的天文學(xué)理論和傳入古波斯的印度天文學(xué)知識結(jié)合起來，詳細(xì)闡明了在印度天文學(xué)中臻于完善的方法，對托勒密的天文學(xué)理論系統(tǒng)做了補充．除積尺外，花拉子米還撰寫了其他天文學(xué)著作．其中有三種是專門講述星盤知識的．論述了各種星盤的構(gòu)造、功能和應(yīng)用，并介紹了另一種天文儀器——正弦平方儀．他還撰寫了一些關(guān)于日規(guī)和歷法的著作． 中世紀(jì)阿拉伯國家對地理科學(xué)也是十分重視的，這可能是由于軍事和商業(yè)貿(mào)易上的需要．在當(dāng)時，這方面的首要任務(wù)是制造世界地圖．地圖的制作需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)和天文學(xué)知識，因此地理學(xué)著作是與數(shù)學(xué)和天文學(xué)緊密聯(lián)系在一起的．科學(xué)家們把古希臘羅馬時期的數(shù)學(xué)地理學(xué)原理作為研究地理學(xué)的主要依據(jù)．花拉子米是中世紀(jì)阿拉伯世界第一部地理學(xué)專著的作者，他的《地球景象書》為地理學(xué)的研究工作奠定了基礎(chǔ)．這部著作的阿拉伯文本現(xiàn)存斯特拉斯堡圖書館．書中首先詳述了當(dāng)時所知的地球上的居民區(qū)并畫出包括重要居民點(標(biāo)明坐標(biāo))、山、海、島、河流等的地圖．作者參考了希臘的有關(guān)著作，但具有獨創(chuàng)性，給出許多全新的資料．例如，他把地球上居民區(qū)分為7個“氣候帶”，還修正了托勒密有關(guān)著作中的一些數(shù)據(jù)．該書附有四張地圖，是用最古老的阿拉伯制圖術(shù)繪制的．這部著作為中世紀(jì)近東和中東地理學(xué)、大地測量學(xué)和制圖學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)． 花拉子米還用阿拉伯文寫出了最早的歷史著作，他的《歷史書》在這門科學(xué)的發(fā)展中起到了重要作用． |
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